Évi p részletben fizetendő járadékok díja

A fentiekben levezetett összes járadékbiztosítás esetében feltételeztük, hogy a járadéktagot minden (biztosítási) évben egyszer, egy részletben, az év elején kapja meg a biztosított. De a gyakorlati életben általában olyan járadékokat igényelnek az emberek, amelyek esetében a kifizetés nem évente egyszer, hanem annál gyakrabban, mondjuk 12-szer (vagyis havonta) történik. Az alábbiakban ezért néhány példán megmutatjuk, hogyan módosulnak a fenti díjképletek, ha nem évi 1, hanem évi p számú kifizetést tételezünk fel. Továbbra is évi 1 Ft kifizetéséről lesz szó, de ez p részletben történik, vagyis alkalmanként a biztosított 1/p Ft-ot fog kapni.

Határozzuk meg ezért az azonnal induló, 1 Ft éves járadéktagú, évi p részletben kifizetésre kerülő életjáradék-biztosítás egyszeri nettó díját, x éves belépési korú biztosítottra! Az egyszeri díj jelölése ebben az esetben: ä_"^F

ami meghaladja ennek a könyvnek a kereteit, ugyanakkor az utóbbi időben erre több próbálkozás is született. Az itteni megközelítés a „klasszikus”, mégha nem is teljesen pontos.

149

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

csak azok a párok, akiknek mindegyik tagja életben van még 1 év múlva is, vagyis összesen lx+1ly+1 pár kapja meg, és így tovább. Tehát az ekvivalencia-egyenlet:

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#∙ ä_"#= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#+ 𝑙𝑙𝑙𝑙_"*'∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#*'∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^'+ ⋯ Ha az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk v^x-szel, akkor használhatjuk a két életre szóló kommutációs számokat.

A 𝐷𝐷𝐷𝐷_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_# szorzatot egyszerűen 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#-nal jelölve, a fenti egyenletet felírhatjuk úgy is, hogy 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.79.) Jelentősen egyszerűsíthetjük a fenti képletet, ha bevezetjük a két életre szóló N kommutációs számot is. Legyen ennek definíciója:

𝑁𝑁𝑁𝑁_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.80.) Ekkor a fenti egyenlet átváltozik az alábbi alakra:

𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝑁𝑁𝑁𝑁_"# Látjuk, hogy a két életre szóló életjáradék-biztosítás teljesen analóg az egy életre szólóval.

10.2.7. Évi p részletben fizetendő járadékok díja

A fentiekben levezetett összes járadékbiztosítás esetében feltételeztük, hogy a járadéktagot minden (biztosítási) évben egyszer, egy részletben, az év elején kapja meg a biztosított. De a gyakorlati életben általában olyan járadékokat igényelnek az emberek, amelyek esetében a kifizetés nem évente egyszer, hanem annál gyakrabban, mondjuk 12-szer (vagyis havonta) történik. Az alábbiakban ezért néhány példán megmutatjuk, hogyan módosulnak a fenti díjképletek, ha nem évi 1, hanem évi p számú kifizetést tételezünk fel. Továbbra is évi 1 Ft kifizetéséről lesz szó, de ez p részletben történik, vagyis alkalmanként a biztosított 1/p Ft-ot fog kapni.

Határozzuk meg ezért az azonnal induló, 1 Ft éves járadéktagú, évi p részletben kifizetésre kerülő életjáradék-biztosítás egyszeri nettó díját, x éves belépési korú biztosítottra! Az egyszeri díj jelölése ebben az esetben: ä_"^F

ami meghaladja ennek a könyvnek a kereteit, ugyanakkor az utóbbi időben erre több próbálkozás is született. Az itteni megközelítés a „klasszikus”, mégha nem is teljesen pontos.

149

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

csak azok a párok, akiknek mindegyik tagja életben van még 1 év múlva is, vagyis összesen lx+1ly+1 pár kapja meg, és így tovább. Tehát az ekvivalencia-egyenlet:

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#∙ ä_"#= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#+ 𝑙𝑙𝑙𝑙_"*'∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#*'∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^'+ ⋯ Ha az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk v^x-szel, akkor használhatjuk a két életre szóló kommutációs számokat.

A 𝐷𝐷𝐷𝐷_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_# szorzatot egyszerűen 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#-nal jelölve, a fenti egyenletet felírhatjuk úgy is, hogy 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.79.) Jelentősen egyszerűsíthetjük a fenti képletet, ha bevezetjük a két életre szóló N kommutációs számot is. Legyen ennek definíciója:

𝑁𝑁𝑁𝑁_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.80.) Ekkor a fenti egyenlet átváltozik az alábbi alakra:

𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝑁𝑁𝑁𝑁_"# Látjuk, hogy a két életre szóló életjáradék-biztosítás teljesen analóg az egy életre szólóval.

10.2.7. Évi p részletben fizetendő járadékok díja

A fentiekben levezetett összes járadékbiztosítás esetében feltételeztük, hogy a járadéktagot minden (biztosítási) évben egyszer, egy részletben, az év elején kapja meg a biztosított. De a gyakorlati életben általában olyan járadékokat igényelnek az emberek, amelyek esetében a kifizetés nem évente egyszer, hanem annál gyakrabban, mondjuk 12-szer (vagyis havonta) történik. Az alábbiakban ezért néhány példán megmutatjuk, hogyan módosulnak a fenti díjképletek, ha nem évi 1, hanem évi p számú kifizetést tételezünk fel. Továbbra is évi 1 Ft kifizetéséről lesz szó, de ez p részletben történik, vagyis alkalmanként a biztosított 1/p Ft-ot fog kapni.

Határozzuk meg ezért az azonnal induló, 1 Ft éves járadéktagú, évi p részletben kifizetésre kerülő életjáradék-biztosítás egyszeri nettó díját, x éves belépési korú biztosítottra! Az egyszeri díj jelölése ebben az esetben: ä_"^F

ami meghaladja ennek a könyvnek a kereteit, ugyanakkor az utóbbi időben erre több próbálkozás is született. Az itteni megközelítés a „klasszikus”, mégha nem is teljesen pontos.

149

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

csak azok a párok, akiknek mindegyik tagja életben van még 1 év múlva is, vagyis összesen lx+1ly+1 pár kapja meg, és így tovább. Tehát az ekvivalencia-egyenlet:

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#∙ ä_"#= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#+ 𝑙𝑙𝑙𝑙_"*'∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#*'∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^'+ ⋯ Ha az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk v^x-szel, akkor használhatjuk a két életre szóló kommutációs számokat.

A 𝐷𝐷𝐷𝐷_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_# szorzatot egyszerűen 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#-nal jelölve, a fenti egyenletet felírhatjuk úgy is, hogy 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.79.) Jelentősen egyszerűsíthetjük a fenti képletet, ha bevezetjük a két életre szóló N kommutációs számot is. Legyen ennek definíciója:

𝑁𝑁𝑁𝑁_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.80.) Ekkor a fenti egyenlet átváltozik az alábbi alakra:

𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝑁𝑁𝑁𝑁_"# Látjuk, hogy a két életre szóló életjáradék-biztosítás teljesen analóg az egy életre szólóval.

10.2.7. Évi p részletben fizetendő járadékok díja

A fentiekben levezetett összes járadékbiztosítás esetében feltételeztük, hogy a járadéktagot minden (biztosítási) évben egyszer, egy részletben, az év elején kapja meg a biztosított. De a gyakorlati életben általában olyan járadékokat igényelnek az emberek, amelyek esetében a kifizetés nem évente egyszer, hanem annál gyakrabban, mondjuk 12-szer (vagyis havonta) történik. Az alábbiakban ezért néhány példán megmutatjuk, hogyan módosulnak a fenti díjképletek, ha nem évi 1, hanem évi p számú kifizetést tételezünk fel. Továbbra is évi 1 Ft kifizetéséről lesz szó, de ez p részletben történik, vagyis alkalmanként a biztosított 1/p Ft-ot fog kapni.

Határozzuk meg ezért az azonnal induló, 1 Ft éves járadéktagú, évi p részletben kifizetésre kerülő életjáradék-biztosítás egyszeri nettó díját, x éves belépési korú biztosítottra! Az egyszeri díj jelölése ebben az esetben: ä_"^F

ami meghaladja ennek a könyvnek a kereteit, ugyanakkor az utóbbi időben erre több próbálkozás is született. Az itteni megközelítés a „klasszikus”, mégha nem is teljesen pontos.

149

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

csak azok a párok, akiknek mindegyik tagja életben van még 1 év múlva is, vagyis összesen lx+1ly+1 pár kapja meg, és így tovább. Tehát az ekvivalencia-egyenlet:

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#∙ ä_"#= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#+ 𝑙𝑙𝑙𝑙_"*'∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#*'∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^'+ ⋯ Ha az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk v^x-szel, akkor használhatjuk a két életre szóló kommutációs számokat.

A 𝐷𝐷𝐷𝐷_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_# szorzatot egyszerűen 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#-nal jelölve, a fenti egyenletet felírhatjuk úgy is, hogy 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.79.) Jelentősen egyszerűsíthetjük a fenti képletet, ha bevezetjük a két életre szóló N kommutációs számot is. Legyen ennek definíciója:

𝑁𝑁𝑁𝑁_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.80.) Ekkor a fenti egyenlet átváltozik az alábbi alakra:

𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝑁𝑁𝑁𝑁_"# Látjuk, hogy a két életre szóló életjáradék-biztosítás teljesen analóg az egy életre szólóval.

10.2.7. Évi p részletben fizetendő járadékok díja

A fentiekben levezetett összes járadékbiztosítás esetében feltételeztük, hogy a járadéktagot minden (biztosítási) évben egyszer, egy részletben, az év elején kapja meg a biztosított. De a gyakorlati életben általában olyan járadékokat igényelnek az emberek, amelyek esetében a kifizetés nem évente egyszer, hanem annál gyakrabban, mondjuk 12-szer (vagyis havonta) történik. Az alábbiakban ezért néhány példán megmutatjuk, hogyan módosulnak a fenti díjképletek, ha nem évi 1, hanem évi p számú kifizetést tételezünk fel. Továbbra is évi 1 Ft kifizetéséről lesz szó, de ez p részletben történik, vagyis alkalmanként a biztosított 1/p Ft-ot fog kapni.

Határozzuk meg ezért az azonnal induló, 1 Ft éves járadéktagú, évi p részletben kifizetésre kerülő életjáradék-biztosítás egyszeri nettó díját, x éves belépési korú biztosítottra! Az egyszeri díj jelölése ebben az esetben: ä_"^F

ami meghaladja ennek a könyvnek a kereteit, ugyanakkor az utóbbi időben erre több próbálkozás is született. Az itteni megközelítés a „klasszikus”, mégha nem is teljesen pontos.

149

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

csak azok a párok, akiknek mindegyik tagja életben van még 1 év múlva is, vagyis összesen lx+1ly+1 pár kapja meg, és így tovább. Tehát az ekvivalencia-egyenlet:

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#∙ ä_"#= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#+ 𝑙𝑙𝑙𝑙_"*'∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#*'∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^'+ ⋯ Ha az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk v^x-szel, akkor használhatjuk a két életre szóló kommutációs számokat.

A 𝐷𝐷𝐷𝐷_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_# szorzatot egyszerűen 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#-nal jelölve, a fenti egyenletet felírhatjuk úgy is, hogy 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.79.) Jelentősen egyszerűsíthetjük a fenti képletet, ha bevezetjük a két életre szóló N kommutációs számot is. Legyen ennek definíciója:

𝑁𝑁𝑁𝑁_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.80.) Ekkor a fenti egyenlet átváltozik az alábbi alakra:

𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝑁𝑁𝑁𝑁_"# Látjuk, hogy a két életre szóló életjáradék-biztosítás teljesen analóg az egy életre szólóval.

10.2.7. Évi p részletben fizetendő járadékok díja

A fentiekben levezetett összes járadékbiztosítás esetében feltételeztük, hogy a járadéktagot minden (biztosítási) évben egyszer, egy részletben, az év elején kapja meg a biztosított. De a gyakorlati életben általában olyan járadékokat igényelnek az emberek, amelyek esetében a kifizetés nem évente egyszer, hanem annál gyakrabban, mondjuk 12-szer (vagyis havonta) történik. Az alábbiakban ezért néhány példán megmutatjuk, hogyan módosulnak a fenti díjképletek, ha nem évi 1, hanem évi p számú kifizetést tételezünk fel. Továbbra is évi 1 Ft kifizetéséről lesz szó, de ez p részletben történik, vagyis alkalmanként a biztosított 1/p Ft-ot fog kapni.

Határozzuk meg ezért az azonnal induló, 1 Ft éves járadéktagú, évi p részletben kifizetésre kerülő életjáradék-biztosítás egyszeri nettó díját, x éves belépési korú biztosítottra! Az egyszeri díj jelölése ebben az esetben: ä_"^F

ami meghaladja ennek a könyvnek a kereteit, ugyanakkor az utóbbi időben erre több próbálkozás is született. Az itteni megközelítés a „klasszikus”, mégha nem is teljesen pontos.

191 10. Az életbiztosítás hagyományos díjkalkulációja

10.2.7. Évi p részletben fizetendő járadékok díja

A fentiekben levezetett összes járadékbiztosítás esetében feltételeztük, hogy a jára-déktagot minden (biztosítási) évben egyszer, egy részletben, az év elején kapja meg a biztosított. De a gyakorlati életben általában olyan járadékokat igényelnek az em-berek, amelyek esetében a kifizetés nem évente egyszer, hanem annál gyakrabban, mondjuk 12-szer (vagyis havonta) történik. Az alábbiakban ezért néhány példán meg-mutatjuk, hogyan módosulnak a fenti díjképletek, ha nem évi 1, hanem évi p számú kifizetést tételezünk fel. Továbbra is évi 1 Ft kifizetéséről lesz szó, de ez p részletben történik, vagyis alkalmanként a biztosított 1/p Ft-ot fog kapni.

Határozzuk meg ezért az azonnal induló, 1 Ft éves járadéktagú, évi p részletben kifizetésre kerülő életjáradék-biztosítás egyszeri nettó díját, x éves belépési korú biz-tosítottra! Az egyszeri díj jelölése ebben az esetben:

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#∙ ä_"#= 𝑙𝑙𝑙𝑙_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#+ 𝑙𝑙𝑙𝑙_"*'∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_#*'∙ 𝑣𝑣𝑣𝑣^'+ ⋯ Ha az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk v^x-szel, akkor használhatjuk a két életre szóló kommutációs számokat.

A 𝐷𝐷𝐷𝐷_"∙ 𝑙𝑙𝑙𝑙_# szorzatot egyszerűen 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#-nal jelölve, a fenti egyenletet felírhatjuk úgy is, hogy 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.79.) Jelentősen egyszerűsíthetjük a fenti képletet, ha bevezetjük a két életre szóló N kommutációs számot is. Legyen ennek definíciója:

𝑁𝑁𝑁𝑁_"#= 𝐷𝐷𝐷𝐷_"#+ 𝐷𝐷𝐷𝐷"*' #*' + ⋯

(10.80.) Ekkor a fenti egyenlet átváltozik az alábbi alakra:

𝐷𝐷𝐷𝐷_"#∙ ä_"#= 𝑁𝑁𝑁𝑁_"# Látjuk, hogy a két életre szóló életjáradék-biztosítás teljesen analóg az egy életre szólóval.

10.2.7. Évi p részletben fizetendő járadékok díja

A fentiekben levezetett összes járadékbiztosítás esetében feltételeztük, hogy a járadéktagot minden (biztosítási) évben egyszer, egy részletben, az év elején kapja meg a biztosított. De a gyakorlati életben általában olyan járadékokat igényelnek az emberek, amelyek esetében a kifizetés nem évente egyszer, hanem annál gyakrabban, mondjuk 12-szer (vagyis havonta) történik. Az alábbiakban ezért néhány példán megmutatjuk, hogyan módosulnak a fenti díjképletek, ha nem évi 1, hanem évi p számú kifizetést tételezünk fel. Továbbra is évi 1 Ft kifizetéséről lesz szó, de ez p részletben történik, vagyis alkalmanként a biztosított 1/p Ft-ot fog kapni.

Határozzuk meg ezért az azonnal induló, 1 Ft éves járadéktagú, évi p részletben kifizetésre kerülő életjáradék-biztosítás egyszeri nettó díját, x éves belépési korú biztosítottra! Az egyszeri díj jelölése ebben az esetben: ä_"^F

ami meghaladja ennek a könyvnek a kereteit, ugyanakkor az utóbbi időben erre több próbálkozás is született. Az itteni megközelítés a „klasszikus”, mégha nem is teljesen pontos.

Az

150

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

Az ä_"^F-t akkor tudnánk teljesen pontosan meghatározni, ha ismernénk azt a kihalási rendet,

ahol a szomszédos korcsoportok "távolsága" nem 1 év, hanem csak 1/p év. Ezt természetesen elő lehet állítani a már meglévő kihalási rendből interpolációval, de ezzel már a pontos értékek helyére közelítő értékek lépnek. Az alábbiakban ismertetünk egy ilyen módszert, illetve képletet, de előbb egy egyszerű (nem hibátlan) logika alapján levezetünk egy egyszerű, a gyakorlatban jól alkalmazható közelítő képletet.

A módszer az előleges és utólagos járadék közötti analógián alapszik. Mint a 10.58.-ban már láttuk:

ä_"− 𝑎𝑎𝑎𝑎_"= 1 (10.83.)

vagyis az előleges és utólagos járadék egyszeri díja között 1 a különbség, azaz az utólagos járadék abban különbözik az előlegestől, hogy a másikhoz képest csak 1 év múlva kezdődik a járadékfizetés. Ebből levonhatjuk azt a következtetést, hogy

ä_"−⁹_F (10.84.)

nem más, mint azon életjáradék egyszeri díja, ahol az éves járadéktagot m/p (töredék)évvel a biztosítási év kezdete után fizetik⁹⁹. Nyilvánvaló, hogy az m lehetséges értékei: 0,1,2,..., p-1. Ha ezeket az m értékeket sorban behelyettesítjük a fenti kifejezésbe, és azokat összegezzük, akkor egy olyan járadékbiztosítás egyszeri díját kapjuk, ahol minden 1/p töredékév elején 1 Ft járadékot kap a biztosított, tehát évente összesen p Ft-ot. Ez tehát egy p Ft biztosítási összegű, de évi p részletben fizetendő járadék egyszeri díja lesz, vagyis Havi járadékfizetés esetén (amikor p=12, vagyis a havi járadék 1/12 forint) a nettó kockázati díj tehát:

ä_"^'1 = ä_"−11 24

(10.87.) azaz havonta fizetendő járadék(rész) esetén a díj valamivel (11/24 forinttal) kevesebb, mint az év elején egy összegben kifizetett 1 Ft járadéktagú életjáradék szolgáltatás nettó díja.

Most nézzük meg az éven belüli részletfizetést a határozott időtartamig fizetett (időleges) járadékok esetére.

Tudjuk, hogy az n évig esedékes időleges járadék nettó díja

99 Nyilván nem pontos ez a feltevés, de is nem jár nagyon messze a valóságtól!

-t akkor tudnánk teljesen pontosan meghatározni, ha ismernénk azt a kiha-lási rendet, ahol a szomszédos korcsoportok „távolsága” nem 1 év, hanem csak 1/p év.

Ezt természetesen elő lehet állítani a már meglévő kihalási rendből interpolációval, de ezzel már a pontos értékek helyére közelítő értékek lépnek. Az alábbiakban ismerte-tünk egy ilyen módszert, illetve képletet, de előbb egy egyszerű (nem hibátlan) logika alapján levezetünk egy egyszerű, a gyakorlatban jól alkalmazható közelítő képletet.

A módszer az előleges és utólagos járadék közötti analógián alapszik. Mint a 10.58.-ban már láttuk:

(10.83.) vagyis az előleges és utólagos járadék egyszeri díja között 1 a különbség, azaz az utólagos járadék abban különbözik az előlegestől, hogy a másikhoz képest csak 1 év múlva kezdődik a járadékfizetés. Ebből levonhatjuk azt a következtetést, hogy

(10.84.) nem más, mint azon életjáradék egyszeri díja, ahol az éves járadéktagot m/p (töredék) évvel a biztosítási év kezdete után fizetik⁹⁸. Nyilvánvaló, hogy az m lehetséges érté-kei: 0,1,2,..., p-1. Ha ezeket az m értékeket sorban behelyettesítjük a fenti kifejezésbe, és azokat összegezzük, akkor egy olyan járadékbiztosítás egyszeri díját kapjuk, ahol minden 1/p töredékév elején 1 Ft járadékot kap a biztosított, tehát évente összesen p Ft-ot. Ez tehát egy p Ft biztosítási összegű, de évi p részletben fizetendő járadék egy-szeri díja lesz, vagyis képletben:

98 Nyilván nem pontos ez a feltevés, de is nem jár nagyon messze a valóságtól!

150

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

Az ä_"^F-t akkor tudnánk teljesen pontosan meghatározni, ha ismernénk azt a kihalási rendet,

ahol a szomszédos korcsoportok "távolsága" nem 1 év, hanem csak 1/p év. Ezt természetesen elő lehet állítani a már meglévő kihalási rendből interpolációval, de ezzel már a pontos értékek helyére közelítő értékek lépnek. Az alábbiakban ismertetünk egy ilyen módszert, illetve képletet, de előbb egy egyszerű (nem hibátlan) logika alapján levezetünk egy egyszerű, a gyakorlatban jól alkalmazható közelítő képletet.

A módszer az előleges és utólagos járadék közötti analógián alapszik. Mint a 10.58.-ban már láttuk:

ä"− 𝑎𝑎𝑎𝑎"= 1 (10.83.)

vagyis az előleges és utólagos járadék egyszeri díja között 1 a különbség, azaz az utólagos járadék abban különbözik az előlegestől, hogy a másikhoz képest csak 1 év múlva kezdődik a járadékfizetés. Ebből levonhatjuk azt a következtetést, hogy

ä_"−⁹_F (10.84.)

nem más, mint azon életjáradék egyszeri díja, ahol az éves járadéktagot m/p (töredék)évvel a biztosítási év kezdete után fizetik⁹⁹. Nyilvánvaló, hogy az m lehetséges értékei: 0,1,2,..., p-1. Ha ezeket az m értékeket sorban behelyettesítjük a fenti kifejezésbe, és azokat összegezzük, akkor egy olyan járadékbiztosítás egyszeri díját kapjuk, ahol minden 1/p töredékév elején 1 Ft járadékot kap a biztosított, tehát évente összesen p Ft-ot. Ez tehát egy p Ft biztosítási összegű, de évi p részletben fizetendő járadék egyszeri díja lesz, vagyis Havi járadékfizetés esetén (amikor p=12, vagyis a havi járadék 1/12 forint) a nettó kockázati díj tehát:

ä_"^'1 = ä_"−11 24

(10.87.) azaz havonta fizetendő járadék(rész) esetén a díj valamivel (11/24 forinttal) kevesebb, mint az év elején egy összegben kifizetett 1 Ft járadéktagú életjáradék szolgáltatás nettó díja.

Most nézzük meg az éven belüli részletfizetést a határozott időtartamig fizetett (időleges) járadékok esetére.

Tudjuk, hogy az n évig esedékes időleges járadék nettó díja

99 Nyilván nem pontos ez a feltevés, de is nem jár nagyon messze a valóságtól!

150

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

Az ä_"^F-t akkor tudnánk teljesen pontosan meghatározni, ha ismernénk azt a kihalási rendet,

ahol a szomszédos korcsoportok "távolsága" nem 1 év, hanem csak 1/p év. Ezt természetesen elő lehet állítani a már meglévő kihalási rendből interpolációval, de ezzel már a pontos értékek helyére közelítő értékek lépnek. Az alábbiakban ismertetünk egy ilyen módszert, illetve képletet, de előbb egy egyszerű (nem hibátlan) logika alapján levezetünk egy egyszerű, a gyakorlatban jól alkalmazható közelítő képletet.

A módszer az előleges és utólagos járadék közötti analógián alapszik. Mint a 10.58.-ban már láttuk:

ä_"− 𝑎𝑎𝑎𝑎_"= 1 (10.83.)

vagyis az előleges és utólagos járadék egyszeri díja között 1 a különbség, azaz az utólagos járadék abban különbözik az előlegestől, hogy a másikhoz képest csak 1 év múlva kezdődik a járadékfizetés. Ebből levonhatjuk azt a következtetést, hogy

ä_"−⁹_F (10.84.)

nem más, mint azon életjáradék egyszeri díja, ahol az éves járadéktagot m/p (töredék)évvel a biztosítási év kezdete után fizetik⁹⁹. Nyilvánvaló, hogy az m lehetséges értékei: 0,1,2,..., p-1. Ha ezeket az m értékeket sorban behelyettesítjük a fenti kifejezésbe, és azokat összegezzük, akkor egy olyan járadékbiztosítás egyszeri díját kapjuk, ahol minden 1/p töredékév elején 1 Ft járadékot kap a biztosított, tehát évente összesen p Ft-ot. Ez tehát egy p Ft biztosítási összegű, de évi p részletben fizetendő járadék egyszeri díja lesz, vagyis Havi járadékfizetés esetén (amikor p=12, vagyis a havi járadék 1/12 forint) a nettó kockázati díj tehát:

ä_"^'1 = ä_"−11 24

(10.87.) azaz havonta fizetendő járadék(rész) esetén a díj valamivel (11/24 forinttal) kevesebb, mint az év elején egy összegben kifizetett 1 Ft járadéktagú életjáradék szolgáltatás nettó díja.

Most nézzük meg az éven belüli részletfizetést a határozott időtartamig fizetett (időleges) járadékok esetére.

Tudjuk, hogy az n évig esedékes időleges járadék nettó díja

99 Nyilván nem pontos ez a feltevés, de is nem jár nagyon messze a valóságtól!

192 III. AZ ÉLETBIZTOSÍTÁSI TERMÉKEK TECHNIKÁJA

(10.85.)

Tehát:

(10.86.) Havi járadékfizetés esetén (amikor p=12, vagyis a havi járadék 1/12 forint) a nettó kockázati díj tehát:

(10.87.) azaz havonta fizetendő járadék(rész) esetén a díj valamivel (11/24 forinttal) kevesebb, mint az év elején egy összegben kifizetett 1 Ft járadéktagú életjáradék szolgáltatás nettó díja.

Most nézzük meg az éven belüli részletfizetést a határozott időtartamig fizetett (időleges) járadékok esetére.

Tudjuk, hogy az n évig esedékes időleges járadék nettó díja

(10.88.) és a (10.55.) alapján azt is tudjuk, hogya halasztott járadékbiztosítás nem más, mint egy elérési biztosítás és egy azonnal induló járadékbiztosítás kombinációja.

A kommutációs számok segítségével ezt könnyen beláthatjuk:

Ezért az időleges járadékot felírhatjuk úgy is, hogy:

(10.89.) Ebből következik, hogy ha az időleges járadékot évi p részletben fizetjük, akkor a nettó díjra a következő összefüggés adódik:

BANYÁR JÓZSEF: ÉLETBIZTOSÍTÁS, 2. ÁTDOLGOZOTT KIADÁS – 2016.

Az ä_"^F-t akkor tudnánk teljesen pontosan meghatározni, ha ismernénk azt a kihalási rendet,

ahol a szomszédos korcsoportok "távolsága" nem 1 év, hanem csak 1/p év. Ezt természetesen elő lehet állítani a már meglévő kihalási rendből interpolációval, de ezzel már a pontos értékek helyére közelítő értékek lépnek. Az alábbiakban ismertetünk egy ilyen módszert, illetve képletet, de előbb egy egyszerű (nem hibátlan) logika alapján levezetünk egy egyszerű, a gyakorlatban jól alkalmazható közelítő képletet.

A módszer az előleges és utólagos járadék közötti analógián alapszik. Mint a 10.58.-ban már láttuk:

ä_"− 𝑎𝑎𝑎𝑎_"= 1 (10.83.)

vagyis az előleges és utólagos járadék egyszeri díja között 1 a különbség, azaz az utólagos járadék abban különbözik az előlegestől, hogy a másikhoz képest csak 1 év múlva kezdődik a járadékfizetés. Ebből levonhatjuk azt a következtetést, hogy

ä_"−⁹_F (10.84.)

nem más, mint azon életjáradék egyszeri díja, ahol az éves járadéktagot m/p (töredék)évvel

nem más, mint azon életjáradék egyszeri díja, ahol az éves járadéktagot m/p (töredék)évvel

In document Életbiztosítás (Pldal 191-196)