SZÁMÍTÓGÉPPEL TÁMOGATOTT GEOMETRIAOKTATÁS
3. AZ APOLLONIUSFELADATOK
Pergai Apollonius i. e. 262 és 190 között élt. Tanulmányait Eukleidész iskolájában folytat-ta, később Alexandriában, majd Pergamoszban tanított. Fő műve a nyolckötetes Konika (A kúpszeletek), amelynek csak az első négy része maradt fenn eredetiben, a többi arab fordításból ismert. Ezzel a munkájával érdemelte ki a megasz geometrosz (nagy geométer) elnevezést. Írásaiban tételeit és bizonyításait csupán szöveges formában fogalmazza meg, matematikai szimbólumokat nem használ. A kúpszeletek mai elnevezése tőle származik, valamint az ő nevét őrzi az Apollonius-kör.6
Elveszett művei közül töredékben ismeretes az Érintkezési pontok című. Ebben szerepel következő híres feladata: adott a síkban három kör, amelyek mindegyike helyettesíthető
B V
Ha a pontot egy nulla sugarú körnek, az egyenest pedig egy végtelen sugarú körnek tekintjük, akkor a feladat röviden így szól: szerkesztendő az a kör, amely érinti a sík három adott körét. Ezek az úgynevezett Apollonius-feladatok.7
Az Apollonius-feladatokat több módon lehet megoldani. (A kerettanterv fejlesztési kö-vetelményei között szerepel a „többféle megoldás keresése”.) Vannak ezek között olyanok, amelyek elemi síkmértani módszereket alkalmaznak (M 1970: 23), felhasználva a következő fogalmakat: pont körre vonatkozó hatványa, két kör hatványvonala, három kör hatványpontja, körsorok (M 1970: 9; H 1962: 362). Ha alkalmazunk síkbeli geometriai transzformációkat, úgymint nyújtást, inverziót (D; H
1962: 350), akkor a megoldások bizonyos esetekben leegyszerűsíthetők (S 2007;
H 1962: 358).
3.1 CIKLOGRÁFIA
Az Apollonius-feladatok esetében is van lehetőség arra, hogy ne sík-, hanem térmértani módszerekkel oldjuk meg azokat. Ehhez egy sík és tér közötti leképezést használunk, a ciklográfi át (F–S 2001; B–P 2006), mely a középiskolai tan-anyagban nem szerepel.
A ciklográfi a a nemlineáris leképezések egyik fajtája, amely a sík irányított körei és a tér pontjai között létesít egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést (bijekciót): a sík bármely k körének a térben az a P pont felel meg, amely a kör középpontjában a síkra emelt merő-legesen van, a kör középpontjától sugárnyi távolságban (2. ábra). Így minden körnek két pont felel meg a térben, ezért egészítsük ki a defi níciót azzal, hogy ha a kör pozitív (az óra mutató járásával ellentétes) irányítású, akkor arról a pontról van szó, amely a rajz síkja felett van, ha pedig a kör negatív (az óramutató járásával megegyező) irányítású, akkor arról a pontról van szó, amely a rajz síkja alatt van.
2. ábra
7 Összesen tízféle Apollonius-feladat van.
S
3.2 MÉRTANIHELYEK
Az Apollonius-feladatok szempontjából a következő kérdések érdekesek:
Mi a sík egy adott körét érintő körök ciklografi kus képeinek halmaza?
Mi a sík egy adott pontján átmenő körök ciklografi kus képeinek halmaza?
Mi a sík egy adott egyenesét érintő körök ciklografi kus képeinek halmaza?
Aki először találkozik ezekkel a kérdésekkel, nem biztos, hogy rögtön látja a választ.
„Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás (folyamatos feladat a 9–12. évfolya-mokon).” Napjainkban már lehetőség van rá, hogy a keresett ponthalmaz megsejtéséhez segítségül hívjunk dinamikus geometriai programot, amely kirajzolja a keresett pontok térbeli mértani helyét.
Az első kérdésnél két esetet különböztethetünk meg: amikor az érintő kör magában tartalmazza az adott kört, valamint amikor nem. A Cabri 3D program Nyomvonal, mér-tani hely eszközét felhasználva könnyen megsejthető, hogy mindkét esetben (3. és 4. ábra) egy-egy (azonos csúcspontú és azonos tengelyű) 45°-os félnyílásszögű végtelen kúp az érintő körök képei. Ezek unióját véve a kérdésre a válasz: az adott körre illeszkedő 45°-os félnyílásszögű kettőskúp, amelynek a csúcsa éppen az adott kör ciklografi kus képe.
3. ábra 4. ábra
De ez egyelőre csak sejtés, amit a diákoknak még be kell bizonyítani. Ehhez ismer-ni kell a kúp fogalmát, annak tulajdonságait és a lehetséges származtatásait (H
1962: 228).
Maga a bizonyítás a következő: Rögzítsük az érintőkör érintési pontját! Ebben az esetben az érintőkör középpontja egy egyenesen mozog, amely illeszkedik a rögzített érintési pontra és az adott kör középpontjára. Mivel az érintőkör középpontja sugárnyi
B V
5. ábra
A második kérdés tulajdonképpen az első speciális esete, amikor az adott kör sugara nulla (ekkor a bizonyításban bármely, az adott ponton átmenő egyenest rögzíthetjük). Az ered-mény szintén egy 45°-os félnyílásszögű kettőskúp, amelynek csúcsa az adott pont.
Az 5. ábrán látható, hogy a kettőskúp – csúcspontján kívüli – bármely pontjának (pl.
P1 vagy P2) ciklografi kus képe egy olyan kör (k1, valamint k2), amely érinti az adott kört (k).
Egy adott egyenest érintő körök ciklografi kus képeinek halmazát a 6. ábra, illetve az egyenes irányából nézve a 7. ábra mutatja. Rögzítsük az adott egyenes és az érintőkör érintési pontját! Ekkor az érintőkör középpontja egy egyenesen mozog, amely illeszkedik a rögzített érintési pontra és merőleges az adott egyenesre. Mivel az érintőkör középpontja sugárnyi távolságra van az érintési ponttól, és az érintőkör ciklografi kus képétől is, így a képpontok egy 45°-os egyenesre illeszkednek. Ha a 45°-os egyenest eltoljuk az adott egyenes mentén, megkapjuk az összes érintőkör képének mértani helyét. Így az alapsíkkal 45°-os szöget bezá-ró, az adott egyenesre illeszkedő síkot kapunk.
6. ábra 7. ábra
S
3.3 AZ APOLLONIUS-FELADATOKELMÉLETIMEGOLDÁSA
A fentiek alapján az Apollonius-feladatokat a következőképpen oldhatjuk meg: vegyük minden adott alakzat (kör, pont vagy egyenes) esetén az azt érintő összes kör ciklografi kus képét (kettőskúpot vagy síkot), határozzuk meg ezek közös pontjait, majd transzformáljuk vissza a pontokat a síkra! Így megkapjuk azokat a köröket, amelyek érintik mindhárom adott alakzatot.
Jegyezzük meg, hogy miután a feladat megoldásait szolgáltató körök irányítása indiff e-rens, minden adott körre két kettőskúpot és minden adott egyenesre két síkot illeszthe-tünk, melyek az alapsíkra nézve egymás tükörképei.
Az összes feladat részletes megoldására nem térünk ki, és nem vizsgáljuk meg, hogy hány megoldása van az egyes feladatoknak. Csupán vázoljuk, hogy hogyan lehet felhasz-nálni a ciklografi kus leképezést a feladatok megoldásában és hogyan lehet mindezt számí-tógép segítségével szemléltetni.
Abban az esetben, ha három egyenes adott, akkor három sík, illetve a fenti megjegyzés alapján három síkpár segítségével határozhatók meg az egyeneseket érintő körök ciklo-grafi kus képei (ha létezik ilyen). A keresett körök ciklociklo-grafi kus képeit a három sík met-széspontjai adják.
Abban az esetben, ha az adott alakzatok között két egyenes és egy kör vagy egy pont van, akkor két sík és egy kúp közös pontjait kell meghatározni. A két sík közös pontjai egy egyenesre illeszkednek (a fenti megjegyzés miatt mindig van ilyen egyenes), vagyis a megoldások képei az előbb említett egyenes és a kúp döféspontjai (ha létezik ilyen).
Ha az adott alakzatok között legfeljebb egy egyenes van, akkor az alakzatokat érintő körök ciklografi kus képei között legalább két kúp van. Adódik a kérdés: mi a párhuzamos tengelyű, 45°-os félnyílásszögű forgáskúpok metszete?
A kúpok másodrendű felületek. Két másodrendű felület metszete általában egy ne-gyedrendű térgörbe. A fent említett kúpok azonban nagyon speciális helyzetűek, így – bizonyítható, hogy – a metszet egy síkra illeszkedik (M 1970: 56). Ezt a síkot – amelyben a metszet fekszik – a két kúp hatványsíkjának nevezzük.8 A hatványsík a kú-pokból egy másodrendű görbét, egy kúpszeletet (H 1962: 397) metsz ki a kúpok csúcsainak elhelyezkedésétől függően. Ha a kúpok bármelyikének a másikon kívül van a csúcsa (8. ábra), akkor a kúpszelet hiperbola. Ha a kúpok bármelyikének a másikon be-lül van a csúcsa (9. ábra), akkor a kúpszelet ellipszis. Ha a kúpok bármelyikének a másik kúpon van a csúcsa, akkor a kúpszelet egy közös alkotó (kettős egyenes).
B V
8. ábra 9. ábra
Abban az esetben, ha az adott alakzatok között egy egyenes van és a másik két alakzat pont vagy kör, akkor a ciklografi kus képek egy sík és két párhuzamos tengelyű kúp. A fentiek miatt a keresett körök képei – amelyek illeszkednek a kúpokra és a síkra – illeszkednek a sík és a kúpok hatványsíkjának metszésvonalára. A megoldást tehát ennek a metszésvo-nalnak és az egyik kúpnak a döféspontja adja.
Abban az esetben, ha a három adott alakzat között nincs egyenes, akkor három pár-huzamos tengelyű kúp adja a ciklografi kus képeket. A három kúp páronkénti hatványsík-ja (ha nem párhuzamosak) egy egyenesre (a három kúp hatványvonalára9) illeszkedik.10 A hatványvonal mindhárom kúpot metszi és a metszéspontok mindhárom kúpra
illesz-kednek, tehát ez az egyenes metszi ki a kúpokból a keresett körök ciklografi kus képeit (10. ábra).
A kettőskúpok csúcspontjai nemcsak az alapsík által meghatározott ugyanazon féltérben helyezkedhetnek el. Elképzelhető, hogy kettő az egyik és egy a másik féltérben fekszik. Ez háromféleképpen fordulhat elő, tehát összesen négy eset van. Miután mindegyik esetben legfeljebb két megoldás van, így az Apollonius-feladatnak legfeljebb nyolc megoldása lehet.
Egy-egy példa látható erre a 11. és a 12. ábrán.
9 Ezt az egyenest azért nevezik hatványvonalnak, mert ha a három kúpot és az egyenest elmetsszük egy tetszőleges, a kúpok tengelyeire merőleges síkkal, akkor három kört és ezek hatványpontját kapjuk.
10 Tulajdonképpen következik abból, hogy körök páronkénti hatványvonalai egy pontban metszik egymást.
10. ábra
S
3.4 AZ APOLLONIUS-FELADATOKGYAKORLATIMEGOLDÁSA
Felmerülhet a kérdés, hogy a leírtak hogyan alkalmazhatóak a gyakorlatban, hiszen mind-végig térbeli alakzatokról volt szó, ám a keresett köröket papíron kell megszerkeszteni körzővel és vonalzóval?
A fentiekből kiderül, hogy a feladat mindig visszavezethető síkok metszéspontjának meghatározására, vagy síkok – esetenként hatványsíkok – metszésvonalának, valamint egyenes és kúp döféspontjának meghatározására. Vannak olyan ábrázológeometriai esz-közök, mint például a kótás (mérőszámos) ábrázolás, amelyek segítségével ezen metszetek megszerkeszthetők.
A feladatot megoldani csak azok a diákok tudják, akik tanultak ábrázológeometriát, il-letve ismerik azokat az ábrázolási módokat, amelyekkel a térbeli alakzatok metszetei meg-határozhatók. A középiskolai (gimnáziumi) oktatásban az ábrázolási módokat a 2000-es évek elején a Rajz és vizuális kultúra tárgy keretében oktatták. A 9–10. osztály kerettan-tervében a kótás ábrázolás nem, csupán a Monge-féle két képsíkos, egy-két axonometri-kus és perspektív ábrázolás szerepelt. Napjainkban a Művészetek – vizuális kultúra tárgy keretében oktathatják (!) az ábrázolási módokat a 11–12. évfolyamon.
A fent említett metszési problémák ugyan megszerkeszthetők Monge-projekcióval, de meggyőződésem, hogy érdemes megismertetni a diákokat a mérőszámos ábrázolás alapja-ival. (Annál is inkább, mert az a turistatérképekből már ismerős lehet.)
A kótás ábrázolási módnál egy sík képe nem más, mint párhuzamos egyenesek (szint-vonalak), amelyek egymástól egyenlő távolságra vannak. Vannak olyan Apollonius-feladatok, amelyeknek megoldása során az alapsíkkal (egyben a képsíkkal) 45°-os szöget bezáró síkok is előfordulnak. Ezen síkok képeit alkotó párhuzamos egyenesek távolsága egyenlő a szintvonalak valós, térbeli magasságkülönbségével, sőt a feladatban adott egye-nes egyúttal a ciklografi kus képének – a síknak – a 0. szintvonala.
A 45°-os félnyílásszögű kettőskúp képe – a tengelyére merőleges alapsíkon – kon-centrikus körök (szintkörök). A feladatban adott kör egyúttal a ciklografi kus képének – a kettőskúpnak – a 0. szintvonala.
Két sík metszésvonala meghatározható úgy, mint a síkok azonos mérőszámú szintvo-nalainak metszéspontjai, melyek a síkok metszésvonalának a szintpontjai.
Két kúp hatványsíkjának meghatározásához fel kell használnunk a fent említetteket, miszerint ha a két kúpot és a hatványsíkot elmetsszük egy tetszőleges, a kúpok tengelyére merőleges síkkal, akkor két kört és ezek hatványvonalát kapjuk. Tehát veszünk két azonos mérőszámú szintkörpárt, és megszerkesztjük mindkét esetben a körök hatványvonalát,11 ami már egyértelműen meghatározza a hatványsík képét.
B V
Kúp és egyenes döféspontjainak meghatározásához segédsíkot illesztünk az egyenesen és a kúp csúcsán át, amely a kúpot két alkotóban metszi, ezek pedig az egyenesből kimet-szik a döféspontokat (M 1970: 65).
3.5 LEHETŐSÉGEK, KORLÁTOK
A feladatok szemléltetéséhez használt Cabri 3D ábrák elkészítése során megismertem a prog-ram témához kapcsolódó lehetőségeit és korlátait. Ezek közül néhányat megemlítek.
Annak bemutatására például, hogy három kör páronkénti hasonlósági pontjai egy egyenesre illeszkednek, nagyon jó szolgálatot tesz a Szerkesztés újrajátszása opció. Ennek segítségével lépésről lépésre illusztrálható, hogy hogyan zajlott a szerkesztés.
A megoldás során háromszor is előfordult, hogy meg kellett szerkeszteni két kör közös érintőit. Ennek elvégzéséhez a legegyszerűbb mód talán az első szerkesztés utáni Makró használat lenne, azonban ilyen szolgáltatás – ellentétben a Cabri kétdimenziós változatá-val – a Cabri 3D-ben nem áll rendelkezésre.
Az Apollonius-feladatok megoldása során a program a következő korlátokba ütközik:
Metszetgörbe eszközével a 8. és 9. ábrán lévő forgáskúpok metszetét, Metszéspont(ok) eszkö-zével pedig a 10. ábrán lévő hiperbolák metszéspontjait (M1, M2) nem tudja meghatározni, így ezeket egyéb módon kellett megszerkeszteni.
Ugyanakkor lehetőség van az adott alakzatok gyors és egyszerű megváltoztatására, így mivel dinamikus szerkesztőprogramról van szó, a megoldás is azonnal módosul. Például a 11. ábrából kiindulva néhány kattintás alatt eljuthatunk a 12. ábrához.
11. ábra 12. ábra
S
4. ZÁRÓGONDOLATOK
Ahhoz, hogy a fentiekhez hasonló feladatokkal a középiskolás diákok könnyebben meg-birkózhassanak, szükség van térszemléletük fejlesztésére. Úgy gondolom, hogy ezen cél eléréséhez szükséges tárgyi feltételek egyre szélesebb palettája áll a tanárok rendelkezésére.
Folyamatosan bővül azon általános és középiskolák száma, amelyek már rendelkeznek olyan eszközökkel (számítógép, projektor, interaktív tábla; oktatási, szemléltető szoftve-rek), melyek segítik az oktatást, megkönnyítik a megértést, miközben a tanórák izgalma-sabbá, érdekesebbé és fi gyelemfelkeltőbbé válnak.
Talán nem alaptalan azon feltételezésem, miszerint a jövőben további előrelépésekre lehet számítani a cél elérésének tekintetében, hiszen amellett, hogy ezt a kerettanterv is megköveteli, a technika fejlődése folyamatos, határtalan.
HIVATKOZÁSOK
B S. – P I. (2006): Ciklográfi a példatár. Debrecen. https://drive.google.com/fi -le/d/0B4b8DTKHyn6PanVjODhxVjFGZkU/edit (Letöltés ideje: 2015. szeptember 7.) B J. (K F. szerk.) (1973): Appendix – a tér tudománya. Akadémiai Kiadó,
Budapest. 77.
D L. (é. n.): Az inverzió. www.uni-miskolc.hu/~matpi/doc/inverzio.doc (Letöltés ideje: 2015. január 1.)
F S. – S T. (2001): Nemlineáris leképezések jegyzet, ciklográfi a. Debrecen.
H G. (1962): Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, Budapest.
M J. (1970): Körérintési szerkesztések és alkalmazásaik. Tankönyvkiadó, Budapest.
S M. (1980): Matematikatörténeti ABC. Tankönyvkiadó, Budapest.
S E. (2007): Apollonius problémái – tanítás, szerkesztés, vizualizáció. Új Kép, 11(4–5),
http://www.scribd.com/doc/25903807/Apolloniosz-problemai-tanitas-szerkeztes-vizualizacio (Letöltés ideje: 2015. január 1.) BAKOS VIKTOR
Végzettség: matematika– ábrázológeometria tanár (ELTE TTK 2002).
Munkahelyek: Budapesti Gazdasági Főiskola Külkereskedelmi Kar (2005–); Eötvös Loránd Tudományegyetem Ter mé szettudományi Kar (2014–); Geomatech projekt (2014–2015); School of Business Dunakeszi (2001–2014).
Kutatási terület: számítógép segítségével történő matematika- és statisztikaoktatás.