12. hét

ÖKONOMETRIA

ÖKONOMETRIA

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

ÖKONOMETRIA

Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó Szakmai felelős: Elek Péter

2010. június

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

ÖKONOMETRIA

12. hét

Regresszió idősorokban 1.

Elek Péter, Bíró Anikó

Tartalom

Regresszió stacionárius idősorokban Hibatagok autokorreláltságának

következményei

Autokorreláltság tesztelése Autokorreláltság kezelése Tankönyv: M 6.1–6.5., 6.8.

Ismétlés: keresztmetszeti regresszió sztochasztikus magyarázó változókkal

Idősoroknál a fix magyarázó változók nem igazán értelmesek Sztochasztikus változós modell: y_i = β₀ + β₁x_i1 + β₂x_i2 + … β_kx_ik + u_i Ebben az OLS becslés torzítatlanságának feltételei

(y_i,x_i1,x_i2,…,x_ik) (i = 1,…,n) véletlen minta a modellből E(u|x₁,x₂,…,x_k) = 0

nincs tökéletes kollinearitás

Továbbá a homoszkedaszticitást is feltételezve, a következők is igazak

a szokásos variancia-képlet helyes, és az OLS-becslés aszimptotikusan normális

az OLS-becslés BLUE.

Ezeken kívül a hibatag normalitását is feltételezve, a kismintás próbák (t-teszt, F-teszt) is érvényesek

Regresszió stacionárius idősorokkal

y_t = β₀ + β₁x_t1 + β₂x_t2 +… β_kx_tk + u_t

Ha x_ti (i = 1,…,k) és y_t is stacionárius, akkor az OLS konzisztenciájának elegendő feltételei

E(u_t|x_t1,x_t2,…,x_tk) = 0 és

nincs tökéletes kollinearitás

További feltételek kellenek a szokásos próbák aszimptotikus érvényességéhez (a variancia-képletek jóságához stb.)

homoszkedaszticitás és

hibatagok autokorrelálatlansága E(u_tu_s|x_t1,…,x_tk,x_s1,…,x_sk) = 0 (t  s)

Regresszió stacionárius idősorokkal (folyt.)

Trendstacionárius esetben ugyanezek igazak, de a trendet regresszorként szerepeltetni kell!

Egyes x_ti-k lehetnek az y_t késleltetettjei (de az exogenitási feltételnek teljesülnie kell!)

Pl. stacionárius AR(1)-modell: k = 1, x_t1 = y_t–1

paraméter OLS-becslése konzisztens,

aszimptotikusan normális (de nem torzítatlan!)

A hibatagok autokorrelációja stacionárius regresszióban

Ha a hibatagok autokorreláltak egy stacionárius regresszióban, akkor

az OLS-becslés továbbra is konzisztens, de már nem BLUE,

és a variancia-képlet és így a szokásos tesztek sem érvényesek!

Variancia-torzítás mértéke: M 285–286. old.

Hibatagok autokorrelációjának tesztelése

Durbin-Watson-teszt Breusch-Godfrey-teszt

az eltérésváltozó fehér zaj az eltérésváltozó autokorrelált

-4 -2 0 2 4

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 -4

-2 0 2 4

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Durbin–Watson-teszt

Az OLS regresszió reziduumait vizsgálja

 1^{2 2} 1 1 1

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1

ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

2 2

ˆ ˆ ˆ

n n n n n

t t t t t t t t

t t t t t

n n n

t t t

t t t

u u u u u u u u

u u u

d ^{        }

  

  

        

  

Az elsőrendű autokorreláció becslőfüggvénye: ^{2 1}

2 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ

n

t t t

n t t

u u u

 ^{ }



 





 2 1 ˆ d

0  d  4 ( –1    1)

d = 2   = 0 (feher zaj)

0 < d < 2   > 0 (pozitív autokorreláció) 2 < d < 4   < 0 (negatív autokorreláció)

DW-teszt, folyt.

H₀:  = 0, H₁:  > 0 (egyoldalú próba!)

A tesztnek két kritikus értéke van, mert a tesztstatisztika eloszlása függ a magyarázó változóktól: d_L (alsó érték), d_U (felső érték)

Döntési szabály:

Elfogadjuk H₀ – t, ha d > d_U Elvetjük H₀ – t, ha d < d_L

Nem tudunk mit tenni ha d_L < d < d_U (semleges zóna, szürke tartomány)

Negatív autokorreláció tesztje:

d helyett 4 – d használata, egyébként minden ugyanaz Elfogadjuk H₀ – t, ha 4 – d > d_U

Elvetjük H₀ – t, ha 4 – d < d_L

Nem tudunk mit tenni ha d_L < 4-d < d_U (semleges zóna, szürke tartomány)

DW-teszt korlátai

Csak AR(1) maradéktagok esetén használható

Teszt bizonyos esetekben (d_L<d<d_U) nem konkluzív

Késleltetett függő változós modellekben (bizonyos esetekben) nem használható (ld. még később)

Breusch-Godfrey-teszt

AR(p) modell a hibatagokra

u_t = ₁u_t-1 + ₂u_t-2 + … + _qu_t-p + e_t

H₀: ₁ = ₂ =…= _p = 0

becsült hibatag regresszálása a magyarázó változókon és p db. késleltetett hibatagokon H₀ esetén, aszimptotikusan nR² ~ _p²

Autokorreláció kezelése

OLS-becslés standard hibáját korrigáló eljárás: Newey-West

Mint ahogy a White-féle eljárás korrigálta az OLS hibáját heteroszkedaszticitás esetén

Generalised Least Squares (GLS) típusú becslések, pl. Cochrane-Orcutt eljárás

Cochrane-Orcutt-eljárás

Modell

y_t = β₀ + β₁x_1t + β₁x_2t + β₁x_kt + u_t u_t = u_t–1 + e_t , e_t ~ IN

Kvázi differenciálás

(y_t – y_t-1) = (1 – )β₀ + β₁(x_1t – x_1,t–1) + … + β_k(x_kt – x_k,t–1) + e_t y_t – y_t-1 regresszálása x_it – x_i,t–1 változókon

Eljárás

egyszerű OLS-becslés, majd  megbecsülése a hibatagokból OLS-becslés a kvázi-differenciált idősorokra

esetleg iteráció (aszimptotikusan nem javít a hatásosságon)

Mivel  becsült, 0 közeli  esetén nem feltétlenül jobb az OLS-nél

Példa: statikus Phillips-görbe becslése (USA) becslés egyszerű OLS-sel

Autokorreláció jelentős

Példa (folyt.): korrekció az autokorrelációval

Magas autokorreláció, lényegében a differenciákra írjuk fel a regressziót! Ebben a becslésben jobban hihetünk.

Osztott késleltetésű modellek

Modell: y_t = α + β₀x_t + β₁x_t–1 + … + β_kx_t–k + u_t

β₀: x egységnyi sokkjának azonnali hatása y-ra β₀, β₁, β₂,…: késleltetések eloszlása

(lag distribution)

β₀ + β₁…+ β_k: x egységnyi permanens sokkjának hatása y-ra (hosszú távú multiplikátor – long run multiplier)

Vannak végtelen késleltetést tartalmazó modellek is, pl. a geometriai késleltetés (geometriailag

lecsengő β – k)

Gyakorlat

Regresszió idősorokban 1.

AR(2)-folyamat:

Stacionaritása, szükséges feltétel a stacionaritáshoz Yule-Walker egyenlet megoldása

ARMA(1,1)-folyamat autokorrelációi

ARMA- és ARIMA-folyamatok szimulációja Differencia- és trendstacionárius folyamatok összehasonlítása és szimulációja

Box-Jenkins-modellezés, előrejelzés a ARIMA- modellből

Példa: (szezonálisan igazított) ipari termelési idősorok modellezése