A Maxwell-f´ ele sebess´ egeloszl´ as

Eddig a sebess´egeloszl´as konkr´et alakj´aval nem foglalkoztunk, k´epleteinkben benne hagy-tuk a sebess´eg k¨ul¨onb¨oz˝o f¨uggv´enyeinek ´atlag´at. Most foglalkozzunk azzal, hogyan n´ez ki a molekul´ak sebess´eg´enek (1.9) egyenletben defini´alt f(v) val´osz´ın˝us´egi s˝ur˝us´egf¨ ugg-v´enye, melyet fizik´aban pongyol´an sokszor csak sebess´egeloszl´as f¨uggv´enynek h´ıvunk.

Maxwell gondolatmenet´et k¨ovetj¨uk, melyben el˝osz¨or is feltette, hogy a molekul´ak sebess´egkomponenseinek eloszl´asa egym´ast´ol f¨uggetlen, ´ıgy a s˝ur˝us´egf¨uggv´eny h´arom, a v_x, v_y, v_z sebess´egkomponensekre vonatkoz´o s˝ur˝us´egf¨uggv´eny szorzatak´ent ´all el˝o, azaz f(v) =f(v_x, v_y, v_z) =f₁(v_x)·f₂(v_y)·f₃(v_z).

A kinetikus g´azelm´elet harmadik alapfeltev´es´et felhaszn´alva, miszerint a molekul´ ak-nak nincs kit¨untetett halad´asi ir´anya, vagyis a molekula mozg´as izotrop,f csak a sebess´eg nagys´ag´at´ol f¨ugghet. Vari´aci´os elv seg´ıts´eg´evel ezek ut´an bel´athat´o [7], hogy mindh´arom komponens s˝ur˝us´egf¨uggv´enye f₁ = f₂ = f₃ = ϕ(ξ), ahol ϕ(ξ) = Aexp(−αξ²). ´Igy a teljes s˝ur˝us´egf¨uggv´eny f(v_x, v_y, v_z) = ϕ(v_x)ϕ(v_y)ϕ(v_z) = A³exp(−αv²) = f(v), val´oban csak a sebess´eg nagys´ag´anak f¨uggv´enye.

A f¨uggv´eny k´et ´alland´ot tartalmaz, melyeket m´eg meg kell hat´aroznunk. Az A ´ al-land´ot a norm´al´asi felt´etelb˝ol hat´arozhatjuk meg, ami azt fejezi ki, hogy a molekul´ak egyes sebess´egkomponensei valamilyen ´ert´eket biztosan felvesznek −v_max ´esv_max k¨oz¨ott.

Felhaszn´alva, hogy a ϕ(ξ) f¨uggv´eny exponenci´alisan lev´ag, az integr´al´asi hat´arokat ki-terjeszthetj¨uk a ±∞-re, ´ıgy a norm´al´asi felt´etel

∞ energia ´atlag´ara kapott (1.21) kifejez´es ¨osszevet´es´eb˝ol hat´arozhatjuk meg.

v² =v_x²+v_y²+v_z² =v_x²+v_y²+v_z² = 3v²_x, (1.28)

ahol ism´et bevezett¨uk azx:=√

Eszrevehetj¨´ uk a fenti k´epletben a kinetikus energiaε_m = ¹₂mv² kifejez´es´et, azaz f(v) = m Ha arra vagyunk k´ıv´ancsiak (hisz k´ıs´erletileg ez ellen˝orizhet˝o), mennyi azon molekul´ak sz´ama, amelyek adottnagys´ag´u sebess´eggel rendelkeznek, akkor ¨ossze kell adnunk azokat a molekul´akat, amelyek sebess´eg´enek ir´anya k¨ul¨onb¨ozik, de nagys´aguk ugyanaz. Ezek a sebess´egt´erben egy v sugar´u g¨omb dv vastag g¨ombh´ej´aban helyezkednek el (l. 1.8

´abra). A g¨ombh´ej nagys´aga 4πv²dv, vagyis av ´es v+dv tartom´anyban lev˝o sebess´eggel

1.8. ´abra. Av´esv+dvk¨oz¨otti sebess´egnagys´aggal rendelkez˝o molekul´ak a sebess´egt´erben egy v sugar´u g¨ombdv vastag dV = 4πv²dv nagys´ag´u g¨ombh´ej´aban helyezkednek el.

rendelkez˝o molekul´ak sz´ama

dN_v =N f(v)4πv²dv=N F(v)dv, (1.34)

Ez a sebess´eg nagys´aga szerinti s˝ur˝us´egf¨uggv´eny (b´ar az irodalomban eloszl´asf¨uggv´ eny-k´ent emlegetik) aMaxwell-f´ele sebess´egeloszl´as (1859), megadja annak a val´osz´ın˝us´eg´et, hogy egy molekula sebess´eg´enek nagys´aga v ´es v+dv k¨oz´e esik, a h˝om´ers´eklet ´es a g´ az-molekul´ak t¨omeg´enek f¨uggv´eny´eben. K¨ul¨onb¨oz˝o h˝om´ers´eklet illetve molekulat¨omegekre az (1.35) sebess´egeloszl´as az 1.9´es1.10 abr´´ akon l´athat´o.

1.9. ´abra. Az (1.35) F(v) Maxwell-f´ele sebess´egeloszl´as f¨uggv´eny k¨ul¨onb¨oz˝o h˝om´ers´ ekle-tek eset´enN₂ molekul´akra. forr´as: catalog.flatworldknowledge.com

Ezzel a s˝ur˝us´egf¨uggv´ennyel az ¨osszes eddig megjelent sebess´eg´atlagot (pl. v, v¯ ²) k¨onnyen kisz´am´ıthatjuk:

1.10. ´abra. Az (1.35) F(v) Maxwell-f´ele sebess´egeloszl´as f¨uggv´eny k¨ul¨onb¨oz˝o g´ azmole-kul´ak eset´en. J´ol l´atszik, hogy a k¨onnyebb molekul´ak ´atlagosan gyorsabban mozognak, mint a nehezebbek. forr´as: www.chem.ufl.edu

ahol ism´et bevezett¨uk azx:=p _m

2kTvuj v´´ altoz´ot ´es felhaszn´altuk, hogyR∞

0 x⁴exp(−x²)dx=

3√ π

8 [14]. Ez persze nem meglep˝o, hisz α meghat´aroz´as´ahoz ´epp ezt ((1.21) egyenlet) haszn´altuk fel. A n´egyzetes k¨oz´epsebess´eg

c=p v² =

r3kT

m . (1.38)

A legval´osz´ın˝ubb sebess´eg a sebess´egeloszl´as maximumhelye dF(v)

dv vlegval

= 0, innen v_legval =

r2kT

m . (1.39)

L´athat´oan v_legval <v < c, ezek elhelyezked´¯ ese l´athat´o az 1.11 ´abr´an.

Bizonyos sebess´eg´ert´ekek k¨oz´e es˝o sebess´eggel rendelkez˝o molekul´ak sz´ama N_v1≤v≤v₂ =N

v2

Z

v1

F(v)dv, (1.40)

N-szer a g¨orbe alatti ter¨ulet (l. 1.12 ´abra).

A Maxwell-f´ele sebess´egeloszl´ast k´ıs´erletileg is igazolt´ak. A Stern-k´ıs´erlet (1920.) k´ıs´erleti elrendez´es´enek v´azlat´at a 1.13 ´abr´an l´athatjuk. A k´ıs´erlet val´oj´aban egy forg´o henger, melynek F tengely´eben hev´ıt´essel keltett atomok (a konkr´et k´ıs´erletben ez¨usttel

1.11. ´abra. Az (1.35) Maxwell-f´ele sebess´egeloszl´as f¨uggv´eny a legval´osz´ın˝ubb (v_legval), az

´

atlagos (¯v) ´es a n´egyzetes k¨oz´epsebess´eggel (c).

bevont platina sz´alat izz´ıtottak, amelyr˝ol ez¨ust atomok v´altak le) kirep¨ulnek azRr´esen ´es lecsap´odnak az E erny˝on. A r´esen val´o ´athalad´as ut´an m´eg Lt´avols´agot kell megtennie az atomoknak. Ha sebess´eg¨uk v, akkor ezt a t´avols´agot ∆t = L/v id˝o alatt teszik meg, ennyi id˝o alatt az erny˝o elfordul ∆φ = ω∆t sz¨oggel. Vagyis az ´all´o hengerben megfigyelhet˝o becsap´od´asi ponthoz k´epest

d(v) =L∆φ=Lω∆t= L²ω

v (1.41)

t´avols´agra csap´odik be az atom az erny˝obe. A k´ıs´erletet hosszabb ideig folytatva a lerak´od´o anyagr´eteg vastags´ag´ab´ol k¨ovetkeztethet¨unk az F(v) f¨uggv´enyre. A m´odszer el´eg pontatlan, de ¯vh˝om´ers´eklet- ´es t¨omegf¨ugg´ese k¨ozel´ıt˝oleg megfelel az (1.36) k´epletben levezetett ¨osszef¨ugg´esnek.

A Lammert-m´odszer eset´en k´et, k¨oz¨os tengelyen forg´o korongon v´agott ny´ıl´asokon halad ´at az atomnyal´ab (l. 1.14 ´abra). A k´et korong ny´ıl´asa egym´ashoz k´epestφsz¨oggel el van forgatva. Az els˝o ny´ıl´ason ´athalad´o atomok csak akkor haladhatnak ´at a m´asodik ny´ıl´ason is, ha

∆t= L v = φ

ω, vagyis v = Lω

φ . (1.42)

A detektorban teh´at csak a fenti sebess´eghez k¨ozeli sebess´eg˝u molekul´ak jelennek meg (v´eges sz´eless´eg˝u r´es meghat´arozott sebess´egtartom´anyt v´alaszt ki). K¨ul¨onb¨oz˝o ω ´es φ

´

ert´ekeket v´alasztva azF(v) f¨uggv´eny kim´erhet˝o. Ez a k´ıs´erlet m´ar el´eg pontosan igazolja a Maxwell-f´ele sebess´egeloszl´ast.

Az (1.35) Maxwell-f´ele sebess´egeloszl´as f¨uggv´enyb˝ol a molekul´ak kinetikus energi´aj´ a-nak s˝ur˝us´egf¨uggv´eny´et egyszer˝uen megkaphatjuk. Az [ε_m,ε_m+dε_m] energiaintervallumba

1.12. ´abra. A v₁ ´es v₂ sebess´eg´ert´ekek k¨oz´e es˝o sebess´eggel rendelkez˝o molekul´ak sz´ama N-szer az (1.35) Maxwell-f´ele sebess´egeloszl´as f¨uggv´enyv₁-t˝olv₂-ig vett integr´alja (g¨orbe alatti ter¨ulet).

es˝o mozg´asi energi´aval rendelkez˝o molekul´ak sz´ama dN_εm = N F v =

r2ε_m m

r 1

2mε_mdε_m =N 4

√π m

2kT

3/2 2ε_m m e^−εmkT

r 1 2mε_mdε_m

= N F(εm)dεm, (1.43)

ahol felhaszn´altuk, hogy az ε_m mozg´asi energi´aj´u molekul´ak sebess´ege v =

q2εm

m ´es

´ıgy dv = q