Bohr-f´ ele atommodell

A k¨ul¨onb¨oz˝o anyagok ´altal kibocs´atott, term´eszetben megfigyelhet˝o sug´arz´asok spek-truma m´ar viszonylag r´egen ismert volt. A Nap prizma ´altal felbontott f´eny´enek foly-tonosnak t˝un˝o spektrum´aban Fraunhofer [Joseph Fraunhofer 1787–1826 optikus], aki 1814-ben k´esz´ıti el spektroszk´opj´at, v´ekony s¨ot´et vonalakat fedezett fel. Ezut´an m´asok a XIX. sz´azad elej´en l´angokban vagy kis¨ul´esekben hev´ıtett anyagok spektroszk´opiai elem-z´es´et v´egezve (l. 2.15 ´abra) azt tapasztalt´ak, hogy azok sz´ınk´epe nem folytonos, hanem v´ekony vonalakb´ol ´all (l. 2.16 ´abra). Az ´ıgy nyert abszorpci´os (elnyel´esi) ´es emisszi´os (kibocs´at´asi) spektrum vonalai a tapasztalatok szerint ugyanazokon a frekvenci´akon je-lennek meg, vagyis az anyagok ugyanazt a f´enyt nyelik el, amit kibocs´atani is k´epesek.

2.15. ´abra. Spektrom´eter m˝uk¨od´esi elve. (T´oth Andr´as gy˝ujtem´eny´eb˝ol.)

Spektrumvonalak sokas´ag´anak frekvenci´aj´at j´ol le tudt´ak ´ırni k´et tag k¨ul¨onbs´egek´ent (Rydberg-Ritz kombin´aci´os-elv) [Johannes Robert Rydberg 1854-1919 fizikus, Walther Ritz 1878-1909 fizikus]:

ν_nm=A_n−A_m. (2.12)

H-atom eset´en p´eld´aul nagyon j´o k¨ozel´ıt´est jelentett az 1

λ_nm =R∞

1 n² − 1

m²

(2.13) k´eplet, aholR∞ a Rydberg ´alland´o.

2.16. ´abra. Folytonos ´es emisszi´os ill. abszorpci´os vonalas sz´ınk´epek. forr´as: lahc.edu

Bohr [Niels Henrik David Bohr 1885–1962 Nobel d´ıjas (1922) fizikus] 1913-ban Planck

´

es Einstein kvantumhipot´ezis´ere t´amaszkodva a fenti megfigyel´est

hν_nm =E_n−E_m (2.14)

alakba ´ırta (Bohr-f´ele frekvenciafelt´etel). Ez megadta a vonalas spektrum ´ertelmez´es´et, ha felt´etelezz¨uk, hogyaz atomi elektron csak diszkr´et, meghat´arozott energi´aj´u stacion´ a-rius p´aly´akon mozoghat az atommag k¨or¨ul. Ez k´epezi alapj´at aBohr-f´ele atommodellnek.

• A stacionarit´as az´ert fontos, mert ekkor a p´aly´ak id˝oben ´alland´oak, nincs gyorsul´as, ez´ert nincs sug´arz´as sem: ez´ert a p´aly´ak id˝oben stabilak lehetnek.

• Az emisszi´o magyar´azata az, hogy ilyenkor az elektron alacsonyabb energi´aj´u p´ a-ly´ara ker¨ul ´es az energiak¨ul¨onbs´eget foton form´aj´aban kisug´arozza.

• Abszorpci´o eset´en a be´erkez˝o foton energi´aj´at elnyelve az elektron magasabb ener-gi´aj´u p´aly´ara ker¨ul.

A (2.14) k´eplet ´ıgy megfogalmazhat´o ´ugy is mint az emisszi´o ´es abszorpci´o energiam´ er-lege. Az is nyilv´anval´o ebb˝ol a k´epb˝ol, hogy az emisszi´o ´es abszorpci´o eset´en ugyanazok a frekvenci´ak jelennek meg.

A stacion´arius p´aly´ak meghat´aroz´as´ara Bohr egy felt´etelt szabott. ABohr-f´ele kvan-tumfelt´etel szerint a stacion´arius k¨orp´aly´akon kering˝o elektron impulzusmomentuma

L=~n, (2.15)

ahol n eg´esz sz´am ´es ~= _2π^h = 1.03·10⁻³⁴Js (ejtsd: h von´as) a Planck-´alland´o alapj´an bevezetett konstans.

Ezzel a feltev´essel a H-atom vonalas sz´ınk´ep´et kvantitat´ıve is t¨ok´eletesen magyar´azni tudta a modell! Az atommag vonz´as´ab´ol ad´od´o Coulomb-er˝o tart egyens´ulyt a centrifu-g´alis er˝ovel (az elektronhoz r¨ogz´ıtett koordin´ata-rendszerben):

e²

4πε0r² = mv²

r , (2.16)

ahol m az elektron t¨omege ´es −e a t¨olt´ese. Az egyenletb˝ol r = e²

4πε₀mv², (2.17)

melyb˝ol az L=mvr kifejez´est felhaszn´alva:

L= e²

4πε₀v. (2.18)

A Bohr-f´ele kvantumfelt´etel alapj´an teh´at azn-ik k¨orp´aly´ara v_n = e²

4πε0~n =cα

n, (2.19)

ahol bevezett¨uk az

α= e²

4πε₀~c ≈ 1

137 (2.20)

finomszerkezeti ´alland´ot (pontosabban 1/136.93). A stacion´arius k¨orp´aly´ak sugara teh´at r_n= ~n²

mcα =a_Bn², (2.21)

ahol a_B ≈0.53·10⁻¹⁰m = 0.53˚A azn= 1-es k¨orp´alya sugara, a Bohr-sug´ar. Az elektron energi´aja pedig

E_n= 1

2mv²− e²

4πε₀r =−1

4mv² =−α²mc²

2n² . (2.22)

A negat´ıv energia k¨ot¨ott ´allapotot jelent. A legalacsonyabban fekv˝o alap´allapot energi´aja E₁ = α²mc²/2 = 13.6eV, melyet az atomfizik´aban az energia Rydberg egys´egek´ent haszn´alnak. Ezzel E1 = 1Ry ´es

E_n=− 1

n²Ry. (2.23)

Az energiaszintek k¨ul¨onbs´ege, s ´ıgy a spektrumvonalak frekvenci´ai pedig ν_nm = E_n−E_m

h = 1

h 1 n² − 1

m²

Ry. (2.24)

A (2.24) kifejez´es egyezik Rydberg k´eplet´evel (2.13), ha figyelembe vessz¨uk, hogy λν =c. A Rydberg ´alland´o R∞ = 1/(hc)Ry m´odon fejezhet˝o ki.

A H-atom vonalas spektrum´anak magyar´azata mellett, a Bohr modell diszkr´et ener-gia´ert´ekekkel megk¨ul¨onb¨oztethet˝o, stabil elektronp´aly´ainak l´etez´es´et meggy˝oz˝oen bizo-ny´ıtotta a Frank-Hertz k´ıs´erlet [James Franck 1882-1964 Nobel d´ıjas (1925) fizikus, Gus-tav Ludwig Hertz 1887-1975 Nobel d´ıjas (1925) fizikus]. A k´ıs´erletben (l. 2.17 ´abra) egy alacsony nyom´as´u Hg-g˝ozt tartalmaz´o cs˝oben aK f´emsz´al izz´ıt´asa ´utj´ane⁻-kat keltettek,

2.17. ´abra. Frank-Hertz k´ıs´erlet. (T´oth Andr´as gy˝ujtem´eny´eb˝ol.)

majd a f´emsz´al ´es egy, az elektronok sz´am´ara ´atj´arhat´o R r´acs k¨oz´e kapcsolt U fesz¨ ult-s´eggel gyors´ıtott´ak azokat. Az elektronok ´utjuk k¨ozben ¨utk¨ozhettek a Hg-atomokkal, ´es ha ezut´an ´atjutottak a r´acson, akkor egy gyenge f´ekez˝o elektromos er˝ot´erbe ker¨ultek, melyet azR ´esA k¨oz´e kapcsoltU_f f´ekez˝ofesz¨ults´eggel biztos´ıtottak, hogy a kis energi´aj´u elektronok ne ´erhess´ek el azA an´odot. Ezek ut´an ´aramm´er˝ovel m´ert´ek az A-ra ´atjutott e⁻-ok mennyis´eg´et.

A m´er´esi eredm´eny szerint a fesz¨ults´eg-´aram karakterisztik´aban rezonanciaszer˝u le-t¨or´eseket ´eszleltek (l. 2.18 ´abra): az ´aram a fesz¨ults´eg n¨ovel´es´enek hat´as´ara n¨ovekszik, majd U1 fesz¨ults´eg el´er´esekor hirtelen leesik, azt´an tov´abb n¨ovekszik, majd 2U1 fesz¨ ult-s´egn´el ´ujra leesik, stb. Az U₁ fesz¨ults´eg az elektronok E_m = eU₁ mozg´asi energi´aj´anak felel meg, ami ´epp megegyezett a Hg-atom sz´ınk´epvonalaib´ol meghat´arozhat´o energia-szint k¨ul¨onbs´egeknek.

2.18. ´abra. Frank-Hertz k´ıs´erlet eredm´enye. (T´oth Andr´as gy˝ujtem´eny´eb˝ol.)

A k´ıs´erletet a Bohr modell alapj´an a k¨ovetkez˝ok´epp magyar´azathatjuk:

• am´ıg az elektronok ¨utk¨oz´ese a Hg-atomokkal rugalmas, addig az ´aramer˝oss´eg n˝o a fesz¨ults´eggel,

• az ´aramer˝oss´eg let¨or´ese annak a k¨ovetkezm´enye, hogy az ¨utk¨oz´es rugalmatlann´a v´alik, mikor a Hg-atomok fel tudnak venni aze⁻-t´ol energi´at, ami magasabb

energi-´

aj´u ´allapotba gerjeszti ˝oket. AzU₁ fesz¨ults´eg ´ert´ek megegyezik a spektroszk´opi´ab´ol meghat´arozhat´o energiak¨ul¨onbs´eggel (E₂−E₁ = 4.9eV a Hg-ban),

• a m´asodik, harmadik stb. let¨or´est a 2,3, . . . Hg-atommal ¨utk¨oz¨ott elektronok ´ ara-ma adja.

Kim´ert´ek azt is, hogy amikor a Hg-atomok gerjesztett ´allapotb´ol visszat´ernek az alap´ al-lapotba, hν = 4.9 eV-os sug´arz´ast bocs´atanak ki.

A k´ıs´erlet t¨ok´eletes´ıtett v´altozat´aval a Hg-atom m´as diszkr´et energiaszintjeinek l´ ete-z´es´et is siker¨ult kimutatni.