2. A kvantummechanika alapjai 133
2.3. Anyaghull´ amok
2.3.6. Alkalmaz´ asok
2m∆Φ +V(r)Φ =−~2 2m
∂2Φ
∂x2 +∂2Φ
∂y2 +∂2Φ
∂z2 +V(r)
Φ = EΦ. (2.36) Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen a stacion´arius ´allapotok energia saj´at´allapotok (hisz az egyenlet bal oldal´an ´epp az energiaoper´ator Ψ-re vett hat´asa ´all), ´ıgy a stacion´arius Schr¨odinger egyenlet megold´asa saj´at´ert´ek probl´ema.
A (2.36) egyenlet megold´as´aval k¨ul¨onb¨oz˝o helyzeti energi´ak eset´en ki tudjuk sz´ am´ı-tani a lehets´eges energia´ert´ekeket, vagyis az energiaspektrumot, valamint a hull´amf¨ ugg-v´eny ismeret´eben a megtal´al´asi val´osz´ın˝us´eg helyf¨ugg´es´et. A megold´as sor´an figyelembe kell venn¨unk, hogy a hull´amf¨uggv´eny norm´alt (most csak k¨ot¨ott ´allapotok vizsg´alat´ara szor´ıtkozunk), egy´ert´ek˝u (pl. g¨ombszimmetrikus potenci´al eset´en a hull´amf¨uggv´eny sz¨ og-f¨ugg´ese legyen 2π szerint periodikus), valamint k¨ul¨onb¨oz˝o tartom´anyokban adott v´eges potenci´alok eset´en a hull´amf¨uggv´eny ´es els˝o deriv´altja a hat´arfel¨uletek ment´en folytonos kell legyen.
2.3.6. Alkalmaz´ asok
Sz´amos jelens´eg, mint p´eld´aul a k¨ot¨ott ´allapotok kialakul´asa potenci´alg¨od¨orben,
potenci-´alfalon t¨ort´en˝o sz´or´od´as ´es ´athalad´as val´osz´ın˝us´ege nagym´ert´ekben f¨uggetlen a potenci´al V(r) r´eszleteit˝ol. Ez´ert m´ar egy egyszer˝u modell is sok tanuls´aggal szolg´alhat. Erre n´ez¨unk most n´eh´any p´eld´at.
R´eszecske v´egtelen magas potenci´alfalak k¨oz¨ott
Tekints¨unk egy egy dimenzi´os rendszert, amelyben egy r´eszecsk´et bez´arunk k´et v´egtelen magas potenci´alfal k¨oz´e (l. 2.25 ´abra). A rendszer stacion´arius Schr¨odinger egyenlete
~2 2m
d2Φ
dx2 = (−E+V(x))Φ(x), (2.37)
ahol a potenci´al
V(x) =
0, ha 0< x < a
∞, hax≥a, x≤0 (2.38)
2.25. ´abra. V´egtelen magas potenci´alg¨od¨or potenci´alja.
Ahol a potenci´al v´egtelen, ott a r´eszecske nem fordulhat el˝o, azaz ott a hull´amf¨uggv´eny nulla: Φ(x) = 0. Ha most is megk¨oveteln´enk a folytonoss´agot Φ(x)-re ´es Φ0(x)-re is, akkor azonosan nulla megold´ast kapn´ank. A folytonoss´ag azonban csak akkor k¨ ovetke-zik a Schr¨odinger-egyenletb˝ol, ha a potenci´al v´eges. V´egtelen potenci´alfaln´al a deriv´alt hat´arozatlan (0· ∞ t´ıpus´u probl´ema), aminek csak ´ugy lehet ´ertelmet adni, ha el˝osz¨or v´eges potenci´alra sz´amolunk, azt´an tartunk V-vel v´egtelenbe. ´Igy ´altal´aban v´eges ´ert´ e-ket kapunk a deriv´altra. A hull´amf¨uggv´eny folytonoss´aga a deriv´alt v´egess´eg´eb˝ol m´ar k¨ovetkezik.
Ha 0< x < a, a megoldand´o Schr¨odinger egyenlet d2Φ
dx2 +2mE
~2 Φ(x) = 0 (2.39)
alak´u lesz. Ez ugyanaz, mint a kor´abban m´ar l´atott, a k´et v´eg´en r¨ogz´ıtett rezg˝o h´urt le´ır´o differenci´alegyenlet, k2 = 2mE/~2 megfeleltet´essel [1]. A megold´ast itt is kereshetj¨uk Φ(x) =Asin(kx) alakban. A hat´arfelt´etelek (Φ(x = 0) = 0 illetve Φ(x=a) = 0) akkor teljes´ıthet˝ok, ha
kn = nπ
a , aholn = 0,1,2,3, . . . (2.40) Visszahelyettes´ıtve a fenti alakot a lehets´eges energiaszintekre az
En = ~2
2mkn2 = ~2π2
2ma2n2, n= 1,2,3, . . . (2.41) kifejez´est kapjuk (az n = 0 a Φ ≡ 0 megold´asnak felel meg, itt nem fordul el˝o). A rendszer lehets´eges energiaszintjei teh´at csup´an egy diszkr´et halmaz elemei lehetnek, vagyis az energia
”kvant´alt”.
A norm´al´asi felt´etel
∞
Z
−∞
dx|Φn(x)|2 =A2
a
Z
0
dxsin2nπx a
= A2a nπ
nπ
Z
0
dysin2y= A2a
2 = 1. (2.42)
Innen A=p
2/a, vagyis a norm´alt megold´as Φn(x) =
r2
a sinnπx
a , n = 1,2,3, . . . (2.43) Az els˝o h´arom hull´amf¨uggv´enyt, a megtal´al´asi val´osz´ın˝us´egeket ´es az energi´akat a 2.26
´
abr´an l´athatjuk .
2.26. ´abra. Az els˝o h´arom hull´amf¨uggv´eny, megtal´al´asi val´osz´ın˝us´eg ´es energiaszint v´ eg-telen magas potenci´alg¨od¨orben. (T´oth Andr´as gy˝ujtem´eny´eb˝ol.)
R´eszecske ´athalad´asa potenci´all´epcs˝on
Egy m´asik egy dimenzi´os probl´em´aban egy potenci´all´epcs˝ot vizsg´alunk. Ennek le´ır´as´ahoz
2.27. ´abra. Potenci´all´epcs˝o potenci´alja.
v´alasszuk a k¨ovetkez˝o potenci´alt (l. 2.27 ´abra):
V(x) =
V0, hax >0
0, hax≤0 (2.44)
A hozz´a tartoz´o Schr¨odinger egyenlet
~2 2m
d2Φ
dx2 +V(x)Φ(x) = EΦ(x), (2.45)
azaz
d2Φ
dx2 +2m(E−V0)
~2
Φ(x) = 0, hax >0 d2Φ
dx2 +2mE
~2 Φ(x) = 0, hax≤0. (2.46)
A k´et tartom´anyban a megold´as hasonl´o az el˝obb megoldott feladathoz, a megold´asokat pedig illeszteni kell a hull´amf¨uggv´eny ´es deriv´altja folytonoss´ag´anak felt´etel´eb˝ol (a r´ esz-letesebb sz´amol´as majd kvantummechanika ´or´an lesz). Itt csak n´eh´any megfontol´ast ´es az eredm´enyt ismertetj¨uk, valamint a k¨ovetkezm´enyeket diszkut´aljuk. K¨ul¨on¨osen ´ erde-kes az az eset, mikor E < V0, ekkor ugyanis klasszikusan nem tud a r´eszecske ´atjutni a l´epcs˝on.
Megfontol´asok:
• Alland´´ oV(x) = V0 potenci´al eset´en a megold´as Φ(x)∼exp
"
±
p2m(V0−E)
~2
#
. (2.47)
• Ha E > V0, akkor a gy¨okjel alatt negat´ıv sz´am ´all, vagyis a line´arisan f¨uggetlen megold´asok pl. Φ(x) ∼ e±ikx, ahol k =p
2m(E−V0)/~. A k´et el˝ojel fizikailag a jobbra (+) ´es balra (−) halad´o s´ıkhull´am megold´asokat jelentik (line´aris kombin´ a-ci´ojukkal sin(kx) illetve cos(kx) ´all´ohull´amokat is el˝o lehet ´all´ıtani, ahogy az el˝oz˝o feladatban l´attuk).
• Ha E < V0, akkor a k´et line´arisan f¨uggetlen megold´as Φ(x) ∼ e±κx, ahol κ = p2m(V0−E)/~.
A jelen esetben a l´epcs˝o el˝ott V = 0, ut´ana V = V0. A leg´erdekesebb eset 0 <
E < V0 esetben ´all el˝o. Ekkor x ≤ 0 esetben a megold´as Aeikx +Be−ikx, x > 0-n´al pedig A0e−κx +B0eκx. A norm´alhat´os´ag csak akkor teljes¨ul, ha a v´egtelenben (x →
2.28. ´abra. A hull´amf¨uggv´eny helyf¨ugg´es´enek sematikus v´azlata potenci´all´epcs˝o eset´en.
(T´oth Andr´as gy˝ujtem´eny´eb˝ol.)
∞) a megold´as v´eges, vagyis B0 = 0 esetben. Az egy¨utthat´okat a hull´amf¨uggv´eny ´es deriv´altj´anak folytonoss´ag´ab´ol kaphatjuk meg. Mindenesetre a megold´as jellege:
Φ(x≤0) = Ce−
√
2m(V0−E)
~ x, (2.48)
m´ıg Φ(x >0)-ra oszcill´al´o megold´ast kapunk ((l. 2.28´abra). A feladat tanuls´aga az, hogy a klasszikusan tiltott tartom´anyban, jelen esetben x >0 helyen a r´eszecske tart´ozkod´asi val´osz´ın˝us´ege nem nulla a kvantummechanikai sz´amol´asok szerint!
Megjegyz´es: V0 >2mc2 > Eeset´en l´ep fel aKlein-paradoxon: ekkor r´eszecske-antir´eszecske p´ar keletkezik, s ´ıgy t¨obb ver˝odik vissza, mint amennyi beesett.
Athalad´´ as potenci´alg´aton: az alag´uteffektus
Az el˝oz˝o feladat eredm´eny´eb˝ol az k¨ovetkezne, hogy ha a potenci´all´epcs˝o v´eges, akkor a t´uloldalon is lesz valamekkora tart´ozkod´asi val´osz´ın˝us´ege a r´eszecsk´enek. Ezt vizsg´aljuk meg most. Tekints¨uk a 2.29 ´abr´an l´athat´o potenci´alt, amelyre
V(x) =
V0, ha 0< x < d
0, hax≤0, x≥d (2.49)
Ez egy n´egysz¨ogletes potenci´alfalat ´ır le. A Schr¨odinger egyenlet a konstans potenci´ a-l´u r´eszeken ugyanaz, mint a kor´abban l´atott esetben, a megold´asdarabokat, szint´en a kor´abbi elj´ar´asnak megfelel˝oen, a hull´amf¨uggv´eny ´es deriv´altja folytonoss´ag´anak megk¨ o-vetel´es´evel illeszthetj¨uk.
Az ´erdekes tartom´any most is az 0 < E < V0 eset. Ekkor a h´arom elk¨ul¨on¨ul˝o tartom´anyban a megold´as
Φ(x <0) =Aeikx+Be−ikx, Φ(0< x < d) = Ceκx+De−κx, Φ(x > d) =Eeikx+F e−ikx. (2.50)
2.29. ´abra. Potenci´alfal potenci´alja.
A v´egtelenbeli hat´arfelt´etelek azt ´ırj´ak el˝o, hogy honnan ´erkezzen hull´am a potenci´ al-g´atra. Ha a +∞-b˝ol nem akarunk hull´amot bek¨uldeni, akkor F = 0-t kell v´alasztanunk (most a norm´al´as nem k¨oveteli meg a D egy¨utthat´o nulla volt´at). Az x = 0 ´es x = d helyen felvett folytonoss´agi felt´etelekb˝ol E/A meghat´arozhat´o. Innen l´athat´o, hogy a
2.30. ´abra. A hull´amf¨uggv´eny helyf¨ugg´es´enek sematikus v´azlata potenci´alfal eset´en. (T´oth Andr´as gy˝ujtem´eny´eb˝ol.)
r´eszecske tart´ozkod´asi val´osz´ın˝us´ege nem nulla a potenci´alg´at t´uloldal´an (l. 2.30 ´abra), ahova klasszikusan (r´eszecskek´ent le´ırva) nem ´erkezhetne meg:
|Φ(x > d)|2 =|E|2 ∼e−2κd=e−2d
√
2m(V0−E)/~. (2.51) Ez a jelens´eg az alag´uteffektus.
• a val´osz´ın˝us´eg exponenci´alisan cs¨okken a falvastags´aggal, s ann´al kisebb, min´el nagyobbEelt´er´eseV0-t´ol (vagyis min´el t´avolabb van az energia a falon klasszikusan val´o ´atjut´as´anak energi´aj´at´ol)
• a feladat megold´asa kiterjeszthet˝o folytonosan v´altoz´o magass´ag´u potenci´alokra is (szemiklasszikus k¨ozel´ıt´es, WKB). Ha minden dx potenci´aldarabon elfogadjuk a
fenti megold´ast, l´athat´oan a teljes ´atjut´as val´osz´ın˝us´ege a
|Φ(x > d)|2 ∼e−2R0ddx
√
2m(V(x)−E)/~ (2.52)
formul´at adn´a.
T¨obb k´ıs´erleti tapasztalat is igazolja az alag´uteffektus l´etez´es´et, ´es rengeteg gyakorlati alkalmaz´asa van:
• α-r´eszecsk´ek kiszabadul´asa a magb´ol (α-boml´as, Gamow, 1928)
• ´aram ´athalad´asa v´ekony oxidr´etegen, p´eld´aul f´emek ´erintkez´es´en´el. Alag´uteffektus n´elk¨ul nem m˝uk¨odne a villanykapcsol´o!
• p´aszt´az´o alag´utmikroszk´op (STM: Scanning Tunneling Microscope, 1981. Binnig-R¨ohrer). Ennek m˝uk¨od´esi elve az, hogy egy hegyes t˝ut mozgatnak egy fel¨ulethez igen k¨ozel, tipikusan nm-es t´avols´agban. ´Aram az alag´uteffektus miatt folyik, ´ıgy er˝osen f¨ugg a minta aktu´alis t´avols´ag´at´ol. Ilyen m´odon a fel¨ulet rendk´ıv¨ul r´eszletes, atomi m´eretekig terjed˝o felbont´as´u k´ep´et lehet megkapni. A t˝ure adott potenci´allal a fel¨uleten elhelyezked˝o atomokra, molekul´akra er˝ohat´ast lehet kifejteni, ´ıgy azok egyedi mozgat´asa is lehets´eges (l. 2.31 ´abra).
• mobiltelefon (SIM-k´artya) flash mem´ori´aj´aban a bitek be´ır´asa alag´uteffektussal t¨ or-t´enik.
2.31. ´abra. P´aszt´az´o alag´utmikroszk´op (STM) felv´etelek. forr´as:
www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.html