A m´ asodik f˝ ot´ etel matematikai megfogalmaz´ asa, entr´ opia

Az 1.3.6 fejezetben kisz´amolt hat´asfokot egyr´eszt a h˝okkel, m´asr´eszt a h˝otart´aly h˝om´ er-s´ekletekkel kifejezve, majd ´atrendezve l´attuk, hogy ide´alis g´azra a reverzibilis Carnot-k¨orfolyamatban a reduk´alt h˝ok ¨osszege nulla (1.157). Az el˝oz˝o fejezetben a II. f˝ot´etel felhaszn´al´as´aval bebizony´ıtottuk, hogy az (1.156) hat´asfokot megad´o ´es ´ıgy a reduk´alt h˝okre vonatkoz´o (1.157) egyenlet is tetsz˝oleges anyagra fenn´all. Vagyis tetsz˝oleges anyag-gal v´egzett reverzibilis Carnot-k¨orfolyamatban a reduk´alt h˝ok el˝ojeles ¨osszege nulla. Fel-mer¨ul a k´erd´es, hogy mit mondhatunk tetsz˝oleges reverzibilis k¨orfolyamatra?

Reverzibilis k¨orfolyamatok, entr´opia

A k¨orfolyamatot sok kis reverzibilis Carnot-k¨orfolyamat ¨osszeg´evel k¨ozel´ıtve, amit a p-V s´ık adiabat´akkal ´es izoterm´akkal val´o beh´al´oz´as´aval kapunk (l. 1.38abra), megmutatjuk,´ hogy tetsz˝oleges reverzibilis k¨orfolyamatra is igaz marad az, hogy a reduk´alt h˝ok ¨osszege nulla.

´Irjuk fel minden egyes kis reverzibilis Carnot-k¨orfolyamatra, hogy ott a reduk´alt h˝ok

¨

osszege nulla. Osszeadva az egyenleteket azt kapjuk, hogy a reduk´¨ alt h˝ok ¨osszege a tetsz˝oleges reverzibilis k¨orfolyamatra is nulla P

i δQ^rev_i

Ti = 0, hisz a bels˝o izoterma szaka-szokon fell´ep˝o h˝ok k´et szomsz´edos k¨orfolyamatban mindig ellent´etes el˝ojel˝uek, ez´ert az

1.38. ´abra. Reverzibilis folyamatok Carnot-k¨orfolyamatokkal t¨ort´en˝o k¨ozel´ıt´ese

¨osszegb˝ol kiesnek, ´ıgy az ¨osszegben csak a hat´arol´o izoterm´ak reduk´alt h˝oje marad meg.

K¨ozel´ıt´es¨unket az adiabata-izoterma beh´al´oz´as s˝ur˝ubb´e t´etel´evel finom´ıthatjuk. V´ egte-len¨ul finom beh´al´oz´as eset´en k¨ozel´ıt´es¨unk pontoss´a v´alik, s az ¨osszeg integr´alba megy

´

at I δQ^rev

T = 0, (1.164)

vagyis tetsz˝oleges reverzibilis k¨orfolyamatban a reduk´alt h˝ok k¨orintegr´alja anyagi mi-n˝os´egt˝ol f¨uggetlen¨ul nulla. Ez azt jelenti, hogy a reduk´alt h˝o egy ´allapotf¨uggv´eny ele-mi megv´altoz´as´anak (teljes differenci´alj´anak) tekinthet˝o. Clausiust k¨ovetve ezt az ´ al-lapotjelz˝ot entr´opi´anak nevezz¨uk ´es S-sel jel¨olj¨uk, azaz elemi reverzibilis folyamatban dS = ^δQ_T^rev = 0.

L´atjuk, hogy ezzel, legal´abbis reverzibilis folyamatra az I. f˝ot´etelben szerepl˝o h˝ot is a kv´azisztatikus munkav´egz´esnek (l. 1.3.3fejezet) megfelel˝o alakra hoztukδQ^rev =Xdξ= T dS.

V´eges reverzibilis folyamat sor´an t¨ort´en˝o entr´opiav´altoz´ast a folyamatot elemi fo-lyamatokra felosztva, majd az egyes elemi folyamatokban t¨ort´en˝o entr´opiav´altoz´asokat

¨osszeadva sz´am´ıthatjuk

S_B−S_A=

B

Z

A

dS=

B

Z

A

δQ^rev

T . (1.165)

K¨onnyed´en bel´athatjuk, hogy a most defini´alt entr´opia extenz´ıv ´allapotjelz˝o. Tekint-s¨unk egy k´et r´eszre osztott rendszert, amely egy T h˝om´ers´eklet˝u h˝otart´alyb´ol vesz fel h˝ot reverzibilis m´odon. A teljes felvett h˝o a r´eszrendszerek ´altal felvett h˝ok ¨osszege,

δQ^rev =δQ^rev₁ +δQ^rev₂ , ez´ert Adiabatikus reverzibilis folyamatokbanδQ= 0, ´ıgy az entr´opia ´alland´o. Az adiabata g¨orb´ek ez´ert S =´alland´o g¨orb´ek.

Felhaszn´alva, hogy a tapasztalat szerint a h˝o´atad´as ar´anyos a h˝om´ers´ekletv´altoz´assal δQ = nC(T)dT (l. (1.103)), egy R reverzibilis folyamat sor´an k¨onnyen kisz´am´ıthatjuk az entr´opiav´altoz´ast, ha a folyamatra jellemz˝o, ´altal´aban h˝om´ers´ekletf¨ugg˝o m´olh˝oC_R(T)

Ha a folyamat sor´an a rendszerben els˝orend˝u f´azis´atalakul´as is v´egbemegy (pl. hal-maz´allapotv´altoz´as) valamilyen Tf h˝om´ers´ekleten, akkor a f´azis´atalakul´ast k´ıs´er˝o ∆Qf

h˝ocsere (l´atens h˝o, l. 1.3.16 fejezet) miatt egy ∆S_f = ^∆Q_T ^f

f extra entr´opiak¨ul¨onbs´eg is megjelenik. A teljes folyamat sor´an az entr´opiav´altoz´as teh´at

∆S =S(T₁)−S(T₀) =

Sok´aig azt hitt´ek, hogy csak az entr´opiak¨ul¨onbs´egek defini´alhat´ok, ´ıgy csak annak van ´ertelme. Az entr´opiaf¨uggv´eny meghat´aroz´ashoz ismerni kellene a f¨uggv´enyt egy T₀ alappontban. K´es˝obb (l. 1.3.14 fejezet) l´atni fogjuk, hogy az entr´opia nullpontj´ar´ol a Nernst k´ıs´erletei alapj´an kimondott III. f˝ot´etel rendelkezik, mely szerint az abszol´ut nulla fokon minden test entr´opi´aja 0.

Irreverzibilis folyamatok

Mit mondhatunk irreverzibilis folyamatokra? ∆S-t tetsz˝oleges k´et egyens´ulyi ´allapot k¨oz¨ott ki tudjuk sz´amolni, hiszen ´allapotf¨uggv´eny, ´ıgy megv´altoz´asa f¨uggetlen a folya-matt´ol, ez´ert vehet¨unk egy reverzibilis folyamatot a k´et ´allapot k¨oz¨ott, amire a fenti m´odon ki tudjuk sz´am´ıtani az entr´opiav´altoz´ast.

De felmer¨ul a k´erd´es, hogy van-e valamilyen kapcsolat irreverzibilis folyamatok eset´en is az entr´opia megv´altoz´asa ´es a reduk´alt h˝o k¨oz¨ott? E k´erd´es megv´alaszol´asa ´erdek´eben el˝osz¨or tekints¨unk egy, T₁ ´es T₂ h˝otart´alyok k¨oz¨ott m˝uk¨od˝o tetsz˝oleges k¨orfolyamatot, (l. 1.40.a ´abra)! A k¨orfolyamat sor´an ∆U = 0 ´es az (1.3.2) I. f˝ot´etel alapj´anQ₁+Q₂ =

a) b)

1.40. ´abra. a) Az R tetsz˝oleges k¨orfolyamat T₁ illetve T₂ h˝om´ers´ekleteken Q₁ illetve Q₂ h˝ot vesz fel, mik¨ozben W_R munk´at v´egez. b) A C reverzibilis Carnot-k¨orfolyamat ugyanezen h˝otart´alyok k¨oz¨ott ¨uzemelve Q⁰₁ illetveQ⁰₂ h˝ot vesz fel, mik¨ozbenW_C munk´at v´egez. ´Ugy v´alasztjuk a param´etereket, hogy Q⁰₁ =−Q₁ teljes¨ulj¨on.

W_R, ahol Q₁ ´es Q₂ az 1. illetve 2. h˝otart´alyt´ol felvett h˝o, W_R pedig a k¨orfolyamat sor´an a rendszer munk´aja. Tekints¨unk most egy ugyanazon k´et h˝otart´aly k¨oz¨ott m˝uk¨od˝o reverzibilis Carnot-k¨orfolyamatot (l. 1.40.b ´abra). Erre is igaz, hogy ∆U = 0, az I.

f˝ot´etel k¨ovetkezt´eben Q⁰₁ +Q⁰₂ = W_C (ahol Q⁰₁ ´es Q⁰₂ az 1. illetve 2. h˝otart´alyt´ol a Carnot-k¨orfolyamat sor´an felvett h˝o, W_C pedig a munkav´egz´es), emellett a reduk´alt h˝okre vonatkoz´o ^Q_T⁰¹

1 + ^Q_T⁰²

2 = 0 is teljes¨ul.

Kombin´aljuk most a k´et k¨orfolyamatot egym´as ut´an v´egeztetve ˝oket ´es vizsg´aljuk az

´ıgy kapott R+C rendszert! Ha R ciklusa ut´an ind´ıtjuk C-t, mik¨ozben az R rendszert termikusan elszigetelj¨uk, a h˝otart´alyokb´ol felvett h˝ok nem m´odosulnak, hisz mindig csak

az egyik k¨orfolyamat van a h˝otart´alyokkal kapcsolatban. Egy ciklus sor´an az R+C rendszer az 1. h˝otart´alyb´ol Q₁ +Q⁰₁, m´ıg a 2.-b˝ol Q₂ +Q⁰₂ h˝ot vesz fel. Mivel a bels˝o energia v´altozatlan, az I. f˝ot´etel alapj´an a kombin´alt rendszer munkav´egz´ese W_R+C = Q₁+Q⁰₁+Q₂+Q⁰₂.

Ugy v´´ alasztva a Carnot-k¨orfolyamatot, hogy Q⁰₁ =−Q₁ teljes¨ulj¨on (az izoterma sza-kaszok hossz´anak v´altoztat´as´aval b´armilyenQ⁰₁ el´erhet˝o), akkor az 1. h˝otart´aly v´ altozat-lan marad, a kombin´alt rendszer munkav´egz´ese pedig megegyezik a 2.-b˝ol felvett h˝ovel W_R+C = Q₂ +Q⁰₂ = Q₂ − ^T_T²

1Q⁰₁ = Q₂ + ^T_T²

1Q₁ = T₂(^Q_T²

2 + ^Q_T¹

1). Ez a munkav´egz´es a II.

f˝ot´etel alapj´an nem lehet pozit´ıv, hisz akkor ´ugy v´egezt¨unk volna hasznos munk´at, hogy csak egy h˝otart´alyt´ol vett¨unk fel h˝ot. ´Igy WR+C ≤0. Mivel a T2 abszol´ut h˝om´ers´eklet nemnegat´ıv, ebb˝ol ^Q_T²

2 + ^Q_T¹

1 ≤ 0 k¨ovetkezik. Az egyenl˝os´egjel vonatkozik a reverzibilis folyamatokra.

Tetsz˝oleges k¨orfolyamatra (melyn´el a h˝ofelv´etel nem fix T1 ´es T2 h˝om´ers´ekleteken t¨ort´enik) felbontjuk a k¨orfolyamatot infinitezim´alisan kicsiny k¨orfolyamatokra, ahol m´ar fix h˝om´ers´ekleteken t¨ort´enik a h˝ocsere, ´ıgy mindig igaz a fenti egyenl˝otlens´eg. ¨Osszeadva az egyenl˝otlens´egeket, kiesnek a dupl´an sz´amolt szakaszokon a h˝ok, s marad a folyamatra vett k¨orintegr´al

I δQ

T ≤0. (1.169)

Ez aClausius-f´ele egyenl˝otlens´eg, ahol az egyenl˝os´egjel reverzibilis folyamatokra vonatko-zik. A Clausius-f´ele egyenl˝otlens´eget felhaszn´alva kisz´am´ıthatjuk egy v´eges irreverzibilis folyamatra is az ´allapotv´altoz´ast. Eg´esz´ıts¨uk ki a v´eges folyamatot k¨orfolyamatt´a ´ugy,

1.41. ´abra. A → B irreverzibilis folyamat k¨orfolyamatt´a t¨ort´en˝o kieg´esz´ıt´ese B → A reverzibilis folyamat hozz´aad´as´aval.

hogy a v´egpontb´ol reverzibilis folyamattal megy¨unk vissza a kezd˝opontba (l. 1.41 ´ ab-ra). Az ´ıgy kapott k¨orfolyamat irreverzibilis, hisz egy r´esze az, ez´ert a r´a vonatkoz´o Clausius-f´ele egyenl˝otlens´egH _δQ^irrev

T <0. A k¨orintegr´alt a k´et r´eszfolyamatnak

megfele-l˝oen felbontva ahol felhaszn´altuk, hogy a reverzibilis r´eszfolyamatra a reduk´alt h˝o integr´alja ´epp az entr´opia megv´altoz´as´aval egyenl˝o. ´Atrendezve

B

Mivel a fenti ¨osszef¨ugg´esekhez a II. f˝ot´etel felhaszn´al´as´aval jutottunk, azokat a II.

f˝ot´etel matematikai megfogalmaz´as´anak h´ıvjuk. ¨Osszefoglalva teh´at tetsz˝oleges rendszer tetsz˝oleges folyamat´ara (ill. k¨orfolyamat´ara) a II. f˝ot´etel a k¨ovetkez˝ok´epp fogalmazhat´o meg matematikailag

Mindh´armat szok´asClausius-f´ele egyenl˝otlens´egnek h´ıvni. Az egyenl˝os´egjel a reverzibilis folyamatokra vonatkozik.