2. A kvantummechanika alapjai 133
2.1.1. H˝ om´ ers´ ekleti sug´ arz´ as
atad´assal j´ar, m´ıg a kibocs´at´as a rezg˝o (gyorsul´o) t¨olt´esek sug´arz´asa. Az anyagot teh´at atomi oszcill´atorok ¨osszess´egek´ent k´epzelhetj¨uk, melyek a rendszer saj´ats´againak megfe-lel˝o frekvenci´akon, a rezg´es amplit´ud´oj´at´ol f¨ugg˝o energi´aval rezeghetnek.
Frekvencia (hull´amhossz) f¨uggv´eny´eben m´erve az anyag ´altal egy adott ν frekvencia (λhull´amhossz) k¨or¨ulidνfrekvenciaintervallumban (dλhull´amhossz intervallumba) kisu-g´arzott e(ν)dν (e(λ)dλ) energia´aramot (teljes´ıtm´enyt), az anyagf¨ugg˝oe(ν) (e(λ)) spekt-r´alis sug´arz´asi energias˝ur˝us´eg (angolul radiant energy density), vagy r¨oviden emisszi´os spektrum meghat´arozhat´o. Az elnyel´est az abszorpci´os spektrummal szok´as jellemezni, ami megadja, hogy az anyag az adott frekvencia (hull´amhossz) k¨or¨uli egys´egnyi frekven-cia (hull´amhossz) tartom´anyban a r´aes˝o elektrom´agneses sug´arz´as h´anyad r´esz´et nyeli el.
Ez is anyagf¨ugg˝o, de dimenzi´otlan, ´ert´eke nyilv´an 0 ´es 1 k¨oz´e esik. Amelyik testre 1, azt h´ıvjuk abszol´ut fekete testnek.
Megjegyz´es: Spektroszk´opi´aban ill. radiol´ogi´aban szok´as az e(ν) (e(λ)) spektr´alis su-g´arz´asi energias˝ur˝us´eg helyett az ε(ν) (ε(λ) ) ´un. spektr´alis emisszi´ok´epess´eget (ango-lul spectral radiant emittance) m´erni, vagyis az egys´egnyi fel¨uleten az adott frekvencia (hull´amhossz) k¨or¨uli egys´egnyi frekvencia (hull´amhossz) tartom´anyban kisug´arzott tel-jes´ıtm´enyt (intenzit´ast). A k´et f¨uggv´eny k¨oz¨otti kapcsolat egyszer˝uen ε(ν) = ce(ν) (ε(λ) = ce(λ)), ahol c a hull´am sebess´ege az adott anyagban. Az elnyel´est ekkor meg-felel˝oen a spektr´alis abszorpci´ok´epess´eg jellemzi. Ha m´eg a sug´arz´as t´erbeli (t´ersz¨og szerinti) eloszl´as´ara is k´ıv´ancsiak vagyunk, akkor a kisug´arzott teljes´ıtm´enyt B(ν)dνdΩ (B(λ)dλdΩ) adja meg, ahol B(ν) (B(λ)) a spektr´alis sug´ars˝ur˝us´eg (angolul spectral ra-diance). Izotrop sug´arz´as eset´en a spektr´alis emisszi´ok´epess´eg a spektr´alis sug´ars˝ur˝us´eg 4π-szerese.
A klasszikus oszcill´ator energi´aja tetsz˝oleges ´ert´eket felvehet, a sug´arz´asi spektrum´aban minden frekvencia (hull´amhossz) el˝ofordulhat a gerjeszt˝o hat´ast´ol f¨ugg˝oen, vagyis a sz´ın-k´epe (spektruma) folytonos.
A tov´abbiakban mindenhol csak a frekvencia f¨uggv´eny´eben megadott spektrumokat fogjuk a k´epletekben ill. az ´abr´akon megadni. A hull´amhossz f¨uggv´eny´eben megadotta-kat egyszer˝uen kaphatjuk az e(λ) = e(ν)λc2 ´es az a(λ) =a(ν)λc2 ¨osszef¨ugg´esekb˝ol.
2.1.1. H˝ om´ ers´ ekleti sug´ arz´ as
Az egyik legk¨oznapibb gerjeszt˝o hat´as a h˝omozg´as, ami az atomi oszcill´atorokat sug´arz´ as-ra gerjeszti. Tapasztalati t´eny, hogy a kisug´arzott elektrom´agneses sug´arz´as frekvenci´aja (hull´amhossza) csak a h˝om´ers´eklett˝ol f¨ugg – innen j¨on az elnevez´es. A k¨ul¨onb¨oz˝o anya-gok h˝om´ers´ekleti sug´arz´as´anak (vagyis adott h˝om´ers´ekleten az emisszi´os ´es abszorpci´os spektrum´anak) vizsg´alata sor´an kider¨ult, hogy az emisszi´os ´es abszorpci´os spektrumok
nem f¨uggetlenek. Ezt Kirchhoff [Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) fizikus] m´ar 1860-ban meg tudta magyar´azni, miszerint ez ´epp a termikus egyens´uly felt´etele. Az erre vonatkoz´o Kirchhoff t¨orv´eny kimondja, hogy
e(ν, T)
a(ν, T) =u(ν, T), (2.1)
ahol az u(ν, T) univerz´alis (anyagt´ol f¨uggetlen) f¨uggv´eny. Ha univerz´alis, b´armilyen anyagban kim´erhet˝o, s mivel abszol´ut fekete test eset´en a(ν, T) = 1, ´es ´ıgy u(ν, T) = e(ν, T), fekete testet vizsg´alva egyszer˝uen az emisszi´os spektrum m´er´es´eb˝ol meghat´ aroz-hat´o.
Ori´´ asi k´ıs´erleti aktivit´as kezd˝od¨ott az abszol´ut fekete test h˝om´ers´ekleti sug´arz´as´anak vizsg´alat´ara. Az abszol´ut fekete testet a 2.2 ´abr´an l´athat´o m´odon egy ¨ureggel val´
os´ıtot-2.2. ´abra. Abszol´ut fekete testet modellez˝o ¨ureg.forr´as: www.transtutors.com t´ak meg, melynek fal´an csak pici lyuk volt, hogy ne zavarja a benti termikus egyens´ulyt az elektrom´agneses sug´arz´as ´es a falak k¨oz¨ott. Ez´ert szok´as a h˝om´ers´ekleti sug´arz´ast
¨
uregsug´arz´asnak is nevezni. Az ¨ureg fal´at ´alland´o h˝om´ers´ekleten tartva, a lyukon kij¨ o-v˝o sug´arz´ast optikai r´accsal, vagy prizm´aval sz´etv´alasztva ´es k¨ul¨onb¨oz˝o helyre elt´er´ıtve m´ert´ek a sug´arz´as spektrum´at (l. a2.3 ´abra).
2.3. ´abra. Az abszol´ut fekete test sug´arz´as´at vizsg´al´o k´ıs´erleti berendez´es. (T´oth Andr´as gy˝ujtem´eny´eb˝ol.)
A k´ıs´erleti eredm´enyek a 2.4 ´es a 2.5 ´abr´an l´athat´ok.
J´ol l´atszik, hogy a h˝om´ers´eklet n¨ovel´es´evel
2.4. ´abra. Az abszol´ut fekete test emisszi´os spektruma. A folytonos g¨orbe a Planck-f´ele sug´arz´asi t¨orv´eny ((2.4)) fittel´es´et mutatja. forr´as: www.psi.phys.wits.ac.ca
2.5. ´abra. Az abszol´ut fekete test emisszi´os spektruma k¨ul¨onb¨oz˝o h˝om´ers´ekleteken. forr´as:
www.sciforums.com
• a maxim´alis intenzit´as n˝o,
• a teljes energias˝ur˝us´eg, ami a spektr´alis energias˝ur˝us´eg frekvencia szerinti integr´alja (a g¨orbe alatti ter¨ulet) a Stefan-Boltzmann t¨orv´eny [21] szerint n˝o
U(T) =
∞
Z
0
u(ν, T)dν ∼V T4. (2.2)
• a maximum helyek a nagyobb frekvenci´ak fel´e tol´odnak el.
A k´ıs´erleti eredm´enyek magyar´azat´ara k´et elm´eleti pr´ob´alkoz´as is volt a klasszikus fizikai k´epben. Az els˝ot Rayleigh [John William Strut Rayleigh (1842-1919) Nobel-d´ıjas (1904) fizikus] ´es Jeans [James Hopwood Jeans (1877-1946) fizikus, matematikus ´es csilla-g´asz] alkotta meg, akik lesz´amolt´ak az ¨uregbeli, a fal atomi oszcill´atorainak rezg´ese miatt kialakul´o elektrom´agneses sug´arz´as ´all´ohull´am m´odusait, melyek mindegyik´ere adott T h˝om´ers´ekleten az ekvipart´ıci´o t´etele alapj´an kBT energia jut. Az ´ıgy kapott Rayleigh-Jeans t¨orv´eny szerint
u(ν, T) = 8π
c3kBν2T. (2.3)
Ez kis frekvenci´akra visszaadja a tapasztalatot, de nagy frekvenci´akra v´egtelenhez tart,
´ıgy a teljes kisug´arzott energi´ara (frekvencia szerint integr´alva) v´egtelent adna. Ez a probl´ema annak idej´en
”ultraibolya katasztr´ofa” n´even vonult be a t¨ort´enelembe.
A m´asik Wien [Wilhelm Wien (1864-1928) Nobel-d´ıjas (1911) fizikus] nev´ehez f˝ u-z˝odik, aki egy termodinamikai gondolatk´ıs´erlet alapj´an a maximum helyek eltol´od´as´ara adott meg ¨osszef¨ugg´est. Eszerint νTm = ´alland´o, ahol νm a maximumhoz tartoz´o frekven-cia, vagyis a maximum helye a h˝om´ers´eklet n¨ovel´es´evel ar´anyosan eltol´odik a k´ıs´erleti tapasztalattal ¨osszhangban. Ez megk¨ot´est ad azu(ν, T) f¨uggv´enyre, amivel nagy frekven-ci´akra m´ar nincs gond, hiszen azokra az ´ıgy kapott f¨uggv´eny lev´ag, ez´ert a frekvenci´ara integr´alt sug´arz´asi energia v´eges lesz. Kis frekvenci´akra azonban elt´er a k´ıs´erleti g¨orb´et˝ol.
A megold´ast Planck [Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) Nobel-d´ıjas (1918) fizikus] adta meg, akinek igen meglep˝o, a klasszikus fizik´anak ellentmond´o felt´etelez´ese elind´ıtotta a tudom´anyt a kvantumelm´elet fel´e. Felt´etelez´ese szerint minden harmoni-kus oszcill´ator, ´ıgy az ¨uregbeli elektrom´agneses sug´arz´as m´odusai is, csak meghat´arozott diszkr´et adagokban (kvantumokban) tudnak energi´at felvenni vagy leadni. E kvantumok nagys´agahν, aholνa m´odus frekvenci´aja ´esha Planck ´alland´o. Ha adott h˝om´ers´ekleten az ekvipart´ıci´o t´etel´enek megfelel˝okBT energia kisebb, mint egy m´odus frekvenci´aj´ahoz tartoz´ohν energiakvantum, akkor az a m´odus nem veszi fel az ekvipart´ıci´o t´etele szerint r´a jut´o energi´at. Vagyis adott h˝om´ers´ekleten csak azokat a m´odusokat kell ¨osszesz´ amol-nunk, amelyekrehν < hνmax=kBT. A t´erfogategys´egre vonatkoztatott energias˝ur˝us´eget ekkor a
u(ν, T) = 8π c3
hν3 exp (khν
BT)−1 (2.4)
Planck-f´ele sug´arz´asi t¨orv´eny adja meg. A k´ıs´erleti eredm´enyek fittel´es´eb˝ol a hmeghat´ a-rozhat´o (l. 2.4folytonos g¨orb´eje), ´ert´ekeh= 6,6·10−34Js. A (2.4) egyenlet hat´aresetben tudja a Rayleigh-Jeans- (kis frekvenci´akra) ´es a Wien-f´ele (nagy frekvenci´akra) t¨orv´enyt (l. 2.6 ´abra), valamint a teljes kisug´arzott energi´ara a Stefan-Boltzmann t¨orv´enyt (2.2).
2.6. ´abra. A Rayleigh-Jeans, a Wien ´es a Planck-f´ele sug´arz´asi t¨orv´enyek ¨osszehasonl´ıt´asa.
forr´as: www.kutl.kyushu-u.ac.jp