Unitér ábrázolások Hilbert-integrálja – Choquet-tételChoquet-tétel

A Gelfand–Rajkov-tétel érvényessége azon múlik, hogy lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája olyan Banach-*-algebra, amelynek létezik hű ábrázolása. Ezért alkal-mazhattuk az absztrakt Gelfand–Rajkov-tételt, a harmonikus analízis alaptételével kom-binálva. Most az absztrakt Choquet-tétel harmonikus analízis alaptételével való kombi-nálásával bebizonyítjuk a harmonikus analízis Choquet-tételét, amely szerint megszám-lálható bázisú lokálisan kompakt csoport ciklikus folytonos unitér ábrázolása felbontható

irreducibilis folytonos unitér ábrázolások (alkalmasan értelmezett) Hilbert-integráljára.

Ehhez természetesen szükség lesz az unitér ábrázolások Hilbert-integráljának pontos de-finíciójára.

Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ekkor L¹_C(G, β) *-algebra, így képezhető a K(L¹_C(G, β)) halmaz, tehát azon f : L¹_C(G, β)→C pozitív funkcionálok halmaza, amelyek a k · kf félnorma szerint folytonosak és eleget tesznek az kfk∗ ≤ 1 feltételnek ([19, 20.6.1.]) és ([19, 20.6.3.]). A jelölések egyszerű-sítése céljából megállapodunk abban, hogy a továbbiakban a K(L¹_C(G, β)) halmazt a rövidebb K(G, β) szimbólummal jelöljük. Tudjuk, hogy K(G, β) kompakt konvex hal-maz L¹_C(G, β)^′-ben a σ(L¹_C(G, β)^′, L¹_C(G, β)) topológia szerint ([19, 21.2.5.]). Továbbá, az L¹_C(G, β) Banach-*-algebrának létezik olyan approximatív egysége, amely az egy-séggömbben halad, ezért K(G, β) megegyezik azon L¹_C(G, β) feletti folytonos pozitív funkcionálok halmazával, amelyek funkcionálnormája kisebb-egyenlő 1-nél ([19, 21.2.4.]).

Minden f ∈ K(G, β) esetén a GNS-konstrukcióval előállítható egy H_f Hilbert-tér, egy ζf ∈ H_f vektor és egy πf : L¹_C(G, β) → L(H_f) ábrázolás, amelynek ζf ciklikus vek-tora, és minden θ ∈ L¹_C(G, β) esetén f(θ) = (πf(θ)ζf|ζf)^H_f teljesül, ahol (·|·)^H_f a H_f Hilbert-tér skalárszorzása ([19, 21.1.3.]). Minden K(G, β)∋f-reπf ciklikus, tehát nem-elfajult ábrázolása az L¹_C(G, β) mértékalgebrának, így a harmonikus analízis alaptétele szerint egyértelműen létezik olyan Vf ciklikus folytonos unitér ábrázolása G-nek a H_f Hilbert-térben, hogy minden ϕ∈K (G;C)esetén

f(ϕ) = (π_f(ϕ)ζ_f|ζ_f)H_f =

Z

G

(V_f(s)ζ_f|ζ_f)H_fϕ(s)dβ(s).

Természetesen itt szó sincs "valódi" integrálról, mert f∈K(G, β) és ϕ∈K (G;C) esetén a G → C; s 7→ (Vf(s)ζf|ζf)^H_fϕ(s) függvény folytonos és kompakt tartójú. Ezzel elő-állítottuk a G ciklikus folytonos unitér ábrázolásainak egy teljesen konkrét (Vf)f∈K(G,β)

rendszerét. Legyen most µ valószínűségi Radon-mérték aσ(L¹_C(G, β)^′, L¹_C(G, β)) topoló-giával ellátott K(G, β)kompakt tér felett. A [19, 21.7.2]-ben értelmeztük a

Z

K(G,β)

πf dµ(f)

Hilbert-integrált. Láttuk, hogy ez az L¹_C(G, β) Banach-*-algebrának olyan ábrázolása, amely unitér ekvivalens aπb(µ) ábrázolással, aholb(µ)jelöli aµbaricentrumát aK(G, β) kompakt konvex halmazban ([19, 21.7.3]). Ebből látható, hogy ez a Hilbert-integrál ciklikus, ígynemelfajultábrázolásaL¹_C(G, β)-nak. Ezért a harmonikus analízis alaptétele szerint értelmes a következő definíció.

6.8.1. Definíció. LegyenGlokálisan kompakt csoport,β baloldali Haar-mérték Gfelett, és µ valószínűségi Radon-mérték a σ(L¹_C(G, β)^′, L¹_C(G, β)) topológiával ellátott K(G, β)

kompakt tér felett. Ekkor _Z

K(G,β)

Vf dµ(f),

vagy Vµ jelöli a G-nek azt a folytonos unitér ábrázolását, amely az L¹_C(G, β) Banach-*-algebrának a ^Z

K(G,β)

π_f dµ(f) ábrázolását generálja. Ezt a folytonos unitér ábrázolást a (Vf)f∈K(G,β) unitér ábrázolás-rendszer µszerinti Hilbert-integráljának nevezzük.

Látható, hogy az imént értelmezett ^Z

K(G,β)

Vf dµ(f) folytonos unitér ábrázolás szükségképpen ciklikus. A következő állítás részletes leírást ad ezekre az implicit módon értelmezett folytonos unitér ábrázolásokról.

6.8.2. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és µ valószínűségi Radon-mérték a σ(L¹_C(G, β)^′, L¹_C(G, β)) topológiával ellátott K(G, β) kompakt tér felett. Minden θ∈L¹_C(G, β) esetén legyen

v_θ := (πf(θ)ζf)f∈K(G,β) ∈ ^Y

f∈K(G,β)

H_f, továbbá értelmezzük a

H (G, β) :={v_θ | θ ∈L¹_C(G, β)} halmazt.

a) H (G, β) lineáris altere a ^Y

f∈K(G,β)

H_f lineáris szorzattérnek, és minden x, y ∈ H (G, β) esetén a K(G, β) → C; f 7→ (x(f)|y(f))^H_f leképezés folytonos, ahol minden K(G, β) ∋ f-re (·|·)^H_f a H_f Hilbert-tér skalárszorzása. Továbbá, minden θ ∈ L¹_C(G, β) és x∈H (G, β) esetén (π_f(θ)(x(f)))_f∈K(G,β) ∈H (G, β).

b) Értelmezzük a következő leképezést:

k · kµ :H (G, β)→R₊; x7→

Z

K(G,β)

kx(f)k^2H_f dµ(f),

ahol minden K(G, β) ∋ f-re k · k^H_f a H_f Hilbert-tér normája. Ez Hilbert-félnorma a H (G, β) komplex vektortér felett. Jelölje H_µ a

H (G, β)/Ker(k · k_µ)

prehilbert-tér teljes burkát, és mindenH (G, β)∋x-re legyenx^q azxekvivalenciaosztálya a H(G, β)/Ker(k · kµ) faktortérben.

c) A {v_ϕ^q|ϕ ∈K (G;C)} halmaz sűrű lineáris altér a H_µ Hilbert-térben.

d)AVµ :=

Z

K(G,β)

Vf dµ(f)unitér ábrázolás tere egyenlőH_µ-vel, és mindenx, y ∈ {v_ϕ|ϕ∈ K (G;C)} esetén a

K(G, β)×G→C; (f, s)7→(Vf(s)x(f)|y(f))H_f

függvény folytonos a szorzattopológia szerint, és minden G∋s-re (Vµ(s)x^q|y^q)µ=

Z

K(G,β)

(Vf(s)x(f)|y(f))H_f dµ(f) teljesül, ahol (·|·)_µ a H_µ Hilbert-tér skalárszorzása.

Bizonyítás. Az a) és b) pontokban található állítások következnek a [19, 21.7.1.] a), b) és c) pontjaiban megfogalmazott kijelentésekből. A [19, 21.7.1.] d) pontjából adódik, hogy az L¹_C(G, β) → H_µ; θ 7→ v_θ^q leképezés folytonos lineáris operátor az L¹_C(G, β) Banach-*-algebra normája és a H_µ Hilbert-tér normája szerint. Ebből következik, hogy ha H⊆L¹_C(G, β) olyan halmaz, amely ak · kβ,1 norma szerint sűrű, akkor a{v_θ^q|θ ∈H} halmaz sűrű a H_µ Hilbert-térben. A mértékalgebra definíciója alapján K (G;C) sűrű L¹_C(G, β)-ban a k · kβ,1 norma szerint, ezért c) is igaz.

A d) bizonyításához rögzítsük a ϕ1, ϕ2 ∈ K (G;C) függvényeket. Először azt mutatjuk meg, hogy a

Φ : K(G, β)×G→C; (f, s)7→(Vf(s)v_ϕ1(f)|v_ϕ2(f))^H_f

függvény a szorzattopológia szerint folytonos. Ha (f, s) ∈ K(G, β)×G, akkor minden G∋s-re

Vf(s)v_ϕ1(f) :=Vf(s)πf(ϕ1)ζf =πf(ϕ1◦γ_G(s⁻¹))ζf, továbbá v_ϕ2(f) := πf(ϕ2)ζf, amiből következik, hogy

Φ(f, s) = (πf(ϕ1◦γ_G(s⁻¹))ζf|πf(ϕ2)ζf)^H_f =

= (πf(ϕ^∗₂∗

β ϕ1◦γ_G(s⁻¹) )ζf|ζf)^H_f =f ϕ^∗₂∗

β ϕ1◦γ_G(s⁻¹) .

Ebből kapjuk, hogy ha (f0, s0)∈K(G, β)×G, akkor minden K(G, β)×G∋(f, s)-re

|Φ(f, s)−Φ(f₀, s₀)|≤f ϕ^∗₂∗

β ϕ₁◦γ_G(s⁻¹) −f ϕ^∗₂∗

β ϕ₁ ◦γ_G(s⁻¹₀ ) + +

f ϕ^∗₂∗_β ϕ1◦γ_G(s⁻¹₀ ) −f0 ϕ^∗₂∗_β ϕ1◦γ_G(s⁻¹₀ ) ≤

≤ kfkϕ^∗₂∗ k · kβ,1 által meghatározott topológia szerint (6.4.3.). Nyilvánvaló továbbá, hogy a

K(G, β)→C; f 7→f ϕ^∗₂∗_β ϕ1◦γ_G(s⁻¹₀ )

függvény folytonos aσ(L¹_C(G, β)^′, L¹_C(G, β))topológiaK(G, β)-ra vett leszűkítése szerint.

Ebből, és az imént bizonyított egyenlőtlenségekből azonnal következik, hogy a Φ : K(G, β)×G→Cfüggvény folytonos a σ(L¹_C(G, β)^′, L¹_C(G, β))|K(G, β)ésT_G topológiák szorzata szerint, ahol T_G aG topológiája.

Tekintsük most a πµ :=

Vf dµ(f)Hilbert-integrálokat. Ha ϕ ∈K (G;C), akkor a definíciók alapján ahol az utolsó egyenlőségnél az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a

K(G, β)×G→C; (f, s)7→(Vf(s)vϕ1(f)|v_ϕ2(f))H_fϕ(s)

kompakt tartójú folytonos függvényre és a µ⊗β szorzatmértékre. Ugyancsak az elemi Lebesgue–Fubini-tételből következik, hogy minden K (G;C)∋ϕ-re a

G→C; s 7→

Z

K(G,β)

(Vf(s)vϕ1(f)|v_ϕ2(f))H_fdµ(f) ϕ(s)

leképezés folytonos, ezért a folytonosság lokalitása miatt a G→C; s7→

Z

K(G,β)

(V_f(s)v_ϕ1(f)|v_ϕ2(f))H_fdµ(f)

függvény is folytonos, hiszen minden s∈G esetén van olyan ϕ ∈K (G;C), hogy ϕ= 1 az s pont valamely környezetén. Továbbá fennáll a

(Vµ(·)v_ϕ^q₁|v_ϕ^q₂)µ.β =

Z

K(G,β)

(Vf(·)vϕ1(f)|v_ϕ2(f))^H_fdµ(f) .β

mérték-egyenlőség, ezért minden s∈G esetén (Vµ(s)v_ϕ^q₁|v_ϕ^q₂)µ=

Z

K(G,β)

(Vf(s)vϕ1(f)|v_ϕ2(f))H_fdµ(f).

6.8.3. Állítás. Ha G megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor az L¹_C(G, β) Banach-*-algebra szeparábilis.

Bizonyítás. A mértékalgebra definíciója alapján a K (G;C) altér sűrű L¹_C(G, β)-ban k · kβ,1 szerint, ezért elég azt igazolni a K (G;C) függvénytér a k · kβ,1 norma szerint szeparábilis.

Azt tudjuk, hogy a G →C folytonos függvények tere felett a kompakt konvergencia to-pológiájametrizálható és szeparábilis (3.3.3.), ezért aK (G;C)függvénytér felett a kom-pakt konvergencia topológiája szintén metrizálható és szeparábilis. LegyenΦ⊆K (G;C) olyan megszámlálható halmaz, amely sűrű K (G;C)-ben a kompakt konvergencia topo-lógiája szerint. A G lokálisan kompakt tér σ-kompakt is, így vehetjük a G kompakt részhalmazainak olyan (Kn)n∈N sorozatát, amelyre G = ^S

n∈NKn és minden N ∋ n-re Kn ⊆ Int(Kn+1) ([19, 27.12.2.]). A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alkalmazásával kiválasztható olyan(ψn)n∈N függvénysorozat, amelyre mindenn ∈N ese-tén ψn ∈K (G;R), 0≤ψn ≤1, supp(ψn) ⊆Int(Kn+1) és Kn ⊆ [ψn = 1]. Értelmezzük a Φ := ^S

n∈N{ψnϕ|ϕ ∈ Φ} függvényhalmazt, és megmutatjuk, hogy a Φ megszámlálható halmaz sűrű K (G;C)-ben a k · kβ,1 szerint.

Legyenϕ ∈K (G;C)és vegyünk olyan (ϕn)n∈NsorozatotΦ-ből, amely aGminden kom-pakt részhalmazán egyenletesen konvergál ϕ-hez. Legyen n ∈ N olyan, hogysupp(ϕ)⊆ Int(Kn). Ekkor ψnϕ = ϕ, tehát a (ψnϕm)m∈N függvénysorozat egyenletesen konver-gál ϕ-hez a G halmazon. Ugyanakkor minden m ∈ N esetén supp(ψnϕm) ⊆ supp(ψn) és supp(ψ_n) kompakt halmaz G-ben. Ezért a Radon-mértékek sorozatfolytonosságának tétele alapján (4.1.4.) a Φ-ban haladó (ψnϕm)m∈N függvénysorozat konvergál ϕ-hez a k · kβ,1 norma szerint.

6.8.4. Tétel. (Choquet-tétel) Legyen G megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és V ciklikus folytonos unitér ábrázolása G-nek. Ekkor a K(G, β) kompakt konvex halmaz felett létezik olyanµ valószínűségi Radon-mérték, amely az_Z Ext(K(G, β)) halmazon koncentrált, és amelyre V unitér ekvivalens a

K(G,β)

Vf dµ(f) Hilbert-integrállal.

Bizonyítás. A V ciklikussága folytán Vβ ciklikus ábrázolása az L¹_C(G, β) Banach-*-algebrának. Ugyanakkor G megszámlálható bázisú, ezért az előző állításból következik, hogyL¹_C(G, β)szeparábilis, ígyK(G, β)metrizálható kompakt konvex halmazL¹_C(G, β)^′ -ben a σ(L¹_C(G, β)^′, L¹_C(G, β)) topológia szerint. Tehát a metrizálható kompakt konvex halmazokra vonatkozó Choquet-tétel szerint ([19, 11.2.8.]) létezik olyan µvalószínűségi Radon-mérték K(G, β) felett, amely az Ext(K(G, β)) halmazon koncentrált, és amelyre V_β unitér ekvivalens az ^Z

K(G,β)

π_f dµ(f) Hilbert-integrállal. Ekkor a ^Z

K(G,β)

V_f dµ(f) Hilbert-integrál értelmezése alapján V és ^Z

K(G,β)

Vf dµ(f) unitér ekvivalens unitér ábrázolások.

Tehát az előző tétel feltételei mellett az ^Z

K(G,β)

Vf dµ(f) szimbólum helyett (kissé pontatlanul ugyan, de szemléletesen) az

Z

Ext(K(G,β))

Vf dµ(f)

szimbólumot is írhatjuk, hiszen µ az Ext(K(G, β)) halmazon koncentrált, vagyis a K(G, β)\Ext(K(G, β)) halmaz µ-nullahalmaz. Ha f ∈ Ext(K(G, β)) és f 6= 0, akkor πf, és vele együtt Vf is irreducibilis ([19, 21.5.2.]). Ez azt jelenti, hogy a V ciklikus foly-tonos unitér ábrázolást irreducibilis folyfoly-tonos unitér ábrázolások Hilbert-integráljaként állítottuk elő.

In document Absztrakt harmonikus analízis (Pldal 165-172)