A harmonikus analízis alaptétele

6.4.1. Tétel. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. Egyértelműen létezik olyan V_β : K (G;C) → L(H ) leképezés, amelyre teljesül az, hogy minden ϕ ∈ K (G;C) és ζ, η ∈H esetén

(Vβ(ϕ)ζ|η) =

Z

G

(V(s)ζ|η)ϕ(s)dβ(s).

Ez a V_β leképezés nemelfajult folytonos ábrázolása a K_β(G;C) normált *-algebrának a H Hilbert-térben. Minden ϕ ∈K(G;C) és s∈G esetén

V(s)◦Vβ(ϕ) =Vβ(ϕ◦γ_G(s⁻¹)).

Bizonyítás. Legyen ϕ ∈ K (G;C) rögzített. Minden ζ, η ∈ H vektorra a (V(·)ζ|η) : G → C mátrixelem-függvény folytonos, mert a V unitér ábrázolás folytonos, tehát (V(·)ζ|η).ϕ∈K (G;C), így jól értelmezett az

Z

G

(V(s)ζ|η)ϕ(s)dβ(s) integrál. Nyilvánvaló, hogy a

H ×H →C; (ζ, η)7→^Z

G

(V(s)ζ|η)ϕ(s)dβ(s) leképezés konjugált bilineáris, és folytonos, mivel ζ, η∈H esetén

Z

G

(V(s)ζ|η)ϕ(s)dβ(s)

≤

Z

G

|(V(s)ζ|η)||ϕ(s)|dβ(s)≤

≤β(|ϕ|)kζkkηk=kϕkβ,1kζkkηk.

Ebből látható, hogy létezik egyetlen olyan Vβ(ϕ) ∈ L(H ) operátor, amelyre minden ζ, η ∈H esetén

(Vβ(ϕ)ζ|η) =

Z

G

(V(s)ζ|η)ϕ(s)dβ(s), és az is világos, hogy

kVβ(ϕ)k:= sup

ζ∈H,kζk≤1kVβ(ϕ)ζk= sup

ζ∈H,kζk≤1

sup

η∈H,kηk≤1|(Vβ(ϕ)ζ|η)|

!

≤kϕk^β,1.

A definíció alapján triviális, hogy a fentiek szerint jól értelmezett Vβ : K (G;C) → L(H ) leképezés lineáris operátor. A V_β multiplikativitásának bizonyításához legyenek ϕ, ψ ∈K (G;C). Ha ζ, η∈H tetszőlegesek, akkor a definíció szerint

= (ζ|Vβ(ϕ)η) = (Vβ(ϕ)^∗ζ|η),

ahol felhasználtuk azt, hogyi_G(β) = ∆⁻¹_G .β; tehát fennáll aV_β(ϕ^∗) = V_β(ϕ)^∗ egyenlőség.

Eddig igazoltuk azt, hogy a Vβ leképezés folytonos ábrázolása a K_β(G;C) normált *-algebrának a H Hilbert-térben. A Vβ ábrázolás nemelfajultsága azt jelenti, hogy az

S

ϕ∈K(G;C)Im(Vβ(ϕ))halmaz lineáris burka sűrű H-ban, vagyis

[

ϕ∈K(G;C)

Im(Vβ(ϕ))

⊥

={0}. Legyen tehát η∈H olyan vektor, amely ortogonális az

[

ϕ∈K(G;C)

Im(Vβ(ϕ))

halmazra, vagyis amelyre mindenϕ∈K (G;C)ésζ ∈H esetén(V_β(ϕ)ζ|η) = 0. Legyen (ϕi)i∈I tetszőleges β-szerintiδ-rendszer (6.2.1.). Ekkor minden i∈I és ζ ∈H esetén

Z

G

(V(s)ζ|η)ϕi(s) dβ(s) =: (Vβ(ϕi)ζ|η) = 0, ezért a 6.2.4. szerint

(ζ|η) = (V(e_G)ζ|η) = lim

i, I

Z

G

(V(s)ζ|η)ϕi(s) dβ(s) = 0, így η ∈H^⊥ ={0}, amit bizonyítani kellett.

Végül, legyen ϕ ∈ K (G;C) és s ∈ G. Ekkor minden ζ, η ∈ H vektorra a definíció szerint

(Vβ(ϕ◦γ_G(s⁻¹))ζ|η) :=

Z

G

(V(t)ζ|η)ϕ(s⁻¹t) dβ(t) =

=

Z

G

(V(s(s⁻¹t))ζ|η)ϕ(s⁻¹t) dβ(t) =

Z

G

(V(st)ζ|η)ϕ(t)dβ(t) =

=

Z

G

(V(t)ζ|V(s)^∗η)ϕ(t)dβ(t) =: (Vβ(ϕ)ζ|V(s)^∗η) = (V(s)Vβ(ϕ)ζ|η), ahol kihasználtuk a β balinvarianciáját, így Vβ(ϕ◦γ_G(s⁻¹)) = V(s)◦Vβ(ϕ).

6.4.2. Jelölés. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és V folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben. Ekkor az előző tételben értelmezett Vβ : K_β(G;C) → L(H ) ábrázolás folytonos kiterjesztését az L¹_C(G, β)

mértékalgebrára Vβ jelöli. Tehát Vβ az az ábrázolása az L¹_C(G, β)Banach-*-algebrának a H Hilbert-térben, amelyre minden ϕ ∈K (G;C) és ζ, η∈H esetén

(Vβ(ϕ)ζ|η) =

Z

G

(V(s)ζ|η)ϕ(s)dβ(s).

6.4.3. Lemma. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor a

G×K (G;C)→K (G;C); (s, ϕ)7→ϕ◦γ_G(s⁻¹) leképezés folytonos a T_G×T_k·k

β,1 és T_k·k

β,1 topológiák szerint, ahol T_G a G topológiája.

Bizonyítás. Először megjegyezzük, hogy minden ϕ ∈ K (G;C) és s ∈ G esetén, a β balinvarianciája miatt

kϕ◦γ_G(s⁻¹)k^β,1:=β(|ϕ◦γ_G(s⁻¹)|) = (γ_G(s⁻¹)(β))(|ϕ|) = β(|ϕ|) =:kϕk^β,1, vagyis kϕ◦γ_G(s⁻¹)kβ,1 =kϕkβ,1.

Legyen most (s0, ϕ0)∈G×K (G;C) rögzített. Ha(s, ϕ)∈G×K (G;C), akkor kϕ◦γ_G(s⁻¹)−ϕ0◦γ_G(s⁻¹₀ )kβ,1 =k ϕ◦γ_G(s⁻¹s0)−ϕ0 ◦γ_G(s⁻¹₀ )kβ,1 =

=kϕ◦γ_G(s⁻¹s₀)−ϕ₀kβ,1 ≤ k(ϕ−ϕ₀)◦γ_G(s⁻¹s₀)kβ,1+kϕ₀◦γ_G(s⁻¹s₀)−ϕ₀kβ1 =

=kϕ−ϕ0kβ,1+kϕ0◦γ_G(s⁻¹s0)−ϕ0kβ,1. Ebből látható, hogy ha ϕ0 ∈K (G;C) esetén a

G→K (G;C); s7→ϕ0◦γ_G(s⁻¹) függvény folytonos az e_G pontban a T_G ésT_k·k

β,1 topológiák szerint, akkor a G×K (G;C)→K (G;C); (s, ϕ)7→ϕ◦γ_G(s⁻¹)

leképezés folytonos az (s0, ϕ0) pontban a T_G×T_k·k

β,1 ésT_k·k

β,1 topológiák szerint.

Legyen tehát ϕ0 ∈K (G;C), és vizsgáljuk a G→K (G;C); s7→ϕ0◦γ_G(s⁻¹)függvény folytonosságát e_G-ben aT_GésT_k·k

β,1 topológiák szerint. LegyenW₀ kompakt környezete e_G-nek G-ben, és a W0supp(ϕ0) ⊆ G kompakt halmazhoz legyen ψ ∈ K (G;R) olyan függvény, hogy 0 ≤ ψ ≤ 1 és W0supp(ϕ0) ⊆ [ψ = 1]. Legyen ε ∈ R⁺ tetszőleges. A ϕ0

függvény jobboldali egyenletes folytonossága miatt létezik olyan W környezete e_G-nek, hogy minden s1, s2 ∈ G esetén, ha s2s⁻¹₁ ∈ W, akkor |ϕ0(s1)−ϕ0(s2)| < ε. Ekkor s ∈ W ∩W0 esetén minden G∋t-ret(s⁻¹t)⁻¹ =s, ezért|ϕ0(s⁻¹t)−ϕ0(t)| ≤εψ(t), ugyanis

{t ∈ G||ϕ0(s⁻¹t)−ϕ0(t)| > 0} ⊆ (s·supp(ϕ0))∪supp(ϕ0) ⊆ W0supp(ϕ0) ⊆ [ψ = 1].

6.4.4. Lemma. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor minden ϕ, ψ∈K (G;C) és θ ∈M(G;C) esetén paraméteres integrálok folytonosságának tétele alapján folytonos is, ezért az egyenlőség jobb oldala értelmes.)

Bizonyítás. Az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmazva a G×G→C; (t, s)7→ϕ(t)ψ(t⁻¹s)

folytonos kompakt tartójú függvényre és a β⊗θ szorzatmértékre kapjuk, hogy

Z

6.4.5. Lemma. Legyen E normált tér, F Banach-tér, és (ui)i∈I operátornormában korlátos általánosított sorozat L(E;F)-ben. Ha létezikE-nek olyan sűrű lineáris altere, amelyen az (ui)i∈I általánosított operátorsorozat pontonként konvergens, akkor az(ui)i∈I

általánosított operátorsorozat azE-n mindenütt pontonként konvergens, és a pontonkénti limeszoperátor folytonos.

Bizonyítás. Legyen M olyan sűrű lineáris altér E-ben, amelyen az (u_i)_i∈I általánosított operátorsorozat pontonként konvergens. Vezessük be a C := sup

i∈I kuik ∈ R₊ számot.

Legyen x ∈ E rögzített és ε ∈ R⁺ tetszőleges. Az ε-hoz vegyünk olyan xM ∈ M elemet, amelyre Ckx−xMk< ε/4. Az F-ben haladó (ui(xM))i∈I általánosított sorozat

konvergens, ezért az ε-hoz van olyan i ∈ I, hogy minden j, k ∈ I esetén, ha j, k ≥ i, akkor ku_j(x_M)−u_k(x_M)k< ε/2. Tehát j, k ∈I ésj, k ≥i esetén

kuj(x)−uk(x)k ≤ kuj(x−xM)k+kuj(xM)−uk(xM)k+kuk(x−xM)k ≤

≤2Ckx−xMk+kuj(xM)−uk(xM)k< ε.

Ez azt jelenti, hogy az F-ben haladó (ui(x))i∈I általánosított sorozat Cauchy-sorozat, így F teljessége miatt konvergens.

Tehát azu:= lim

i,I uipontonkénti limeszfüggvényE-n mindenütt értelmezett, és hax∈E, akkor

ku(x)k=lim

i,I ui(x) = lim

i,I kui(x)k ≤Ckxk,

hiszen minden i∈I eseténkui(x)k ≤Ckxk. Ezértu folytonos lineáris operátor.

6.4.6. Tétel. (A harmonikus analízis alaptétele) Legyen G lokálisan kompakt cso-port és β baloldali Haar-mérték G felett. Ha π az L¹_C(G;β) Banach-*-algebrának nem-elfajult ábrázolása a H Hilbert-térben, akkor a G-nek létezik egyetlen olyan V folytonos unitér ábrázolása H -ban, amelyre π =Vβ.

Bizonyítás. (Unicitás.) Legyen π az L¹_C(G;β) Banach-*-algebrának nemelfajult ábrá-zolása a H Hilbert-térben. A π ábrázolás normában folytonos, sőt norma-nem-növelő ([19, 17.4.2]), és K (G;C) sűrű *-részalgebra L¹_C(G;β)-ben, ezért a π ábrázolás leszűkí-tése K (G;C)-re szintén nemelfajult ([19, 20.1.5]). Tehát az ^S

ϕ∈K(G;C)Im(π(ϕ)) halmaz lineáris burka sűrű H -ban.

Legyenek most V és V^′ olyan folytonos unitér ábrázolásai G-nek a H Hilbert-térben, amelyekre Vβ =π =V_β^′. Ekkor s∈G, ϕ ∈K (G;C) ésζ ∈H esetén

V(s)(π(ϕ)ζ) = (V(s)◦Vβ(ϕ))ζ =Vβ(ϕ◦γ_G(s⁻¹))ζ =π(ϕ◦γ_G(s⁻¹))ζ =

=V_β^′(ϕ◦γ_G(s⁻¹))ζ = (V^′(s)◦V_β^′(ϕ))ζ =V^′(s)(π(ϕ)ζ), ami azt jelenti, hogy V(s) = V^′(s) az ^S

ϕ∈K(G;C)Im(π(ϕ)) halmazon, ezért V(s) = V^′(s).

(Egzisztencia.) Legyenπ azL¹_C(G;β)Banach-*-algebrának nemelfajult ábrázolása a H Hilbert-térben, és jelöljeH₀az ^S

ϕ∈K(G;C)

Im(π(ϕ))halmaz lineáris burkátH -ban. Legyen továbbá (ϕi)i∈I egy β-szerinti δ-rendszer (6.2.1.).

Legyen s ∈ G rögzített. Ha ϕ ∈ K (G;C), akkor a (ϕi∗

βϕ)i∈I általánosított sorozat ϕ-hez konvergál L¹_C(G;β)-ban (6.2.6.), így a((ϕi∗

βϕ)◦γ_G(s⁻¹))i∈I általánosított sorozat ϕ◦γ_G(s⁻¹)-hez konvergálL¹_C(G;β)-ban, hiszen aK(G;C)→K (G;C); ψ 7→ψ◦γ_G(s⁻¹)

leképezés folytonos a k · kβ,1 norma szerint. Ugyanakkor a π : L¹_C(G;β) → L(H ) leképezés a normák szerint folytonos, ezért ϕ ∈ K (G;C) esetén a (π((ϕ_i∗

βϕ) ◦ γ_G(s⁻¹)))i∈I általánosított operátorsorozatoperátornormábankonvergálL(H )-ban. Ha i ∈ I és ϕ ∈ K (G;C), akkor (ϕi∗

βϕ)◦γ_G(s⁻¹) = (ϕi ◦γ_G(s⁻¹))∗

βϕ, és a π leképezés szorzás-tartó. Ez azt jelenti, hogy minden ϕ ∈K(G;C) esetén a

π(ϕi◦γ_G(s⁻¹))◦π(ϕ) _i∈I

általánosított operátorsorozat operátornormában konvergál L(H )-ban. Ezért ϕ ∈ K (G;C)esetén ez az általánosított operátorsorozat pontonkéntis konvergensH felett, így minden H ∋ζ-ra a

π(ϕi◦γ_G(s⁻¹))(π(ϕ)ζ) _i∈I

általánosított vektorsorozat konvergens aH Hilbert térben. AH₀sűrű altér értelmezése alapján ez azzal ekvivalens, hogy a

π(ϕ_i◦γ_G(s⁻¹))

i∈I

általánosított operátorsorozat pontonként konvergens a H₀ altéren. Ugyanakkor, i ∈ I esetén

kπ(ϕ_i◦γ_G(s⁻¹))k ≤ kϕ_i◦γ_G(s⁻¹)kβ,1 =kϕ_ikβ,1 = 1,

tehát az (π(ϕi◦γ_G(s⁻¹)))_i∈I általánosított operátorsorozat korlátos az operátornormá-ban. Ebből következik, hogy ez az általánosított operátorsorozat a H -n pontonként konvergens, és a pontonkénti limeszoperátor folytonos (6.4.5.); legyen

V(s) := lim

i, I π(ϕi◦γ_G(s⁻¹)),

ahol a határértéket természetesen a pontonkénti konvergencia topológiája szerint kell venni.

Meg fogjuk mutatni, hogy V az a folytonos unitér ábrázolása G-nek H -ban, amelyre π =Vβ.

Ehhez először megjegyezzük, hogy minden s ∈Gés ϕ∈K (G;C)esetén V(s)◦π(ϕ) =π(ϕ◦γ_G(s⁻¹)),

hiszen minden H ∋ζ-ra V(s)(π(ϕ)(ζ)) := lim

i, I π(ϕ_i◦γ_G(s⁻¹))(π(ϕ)(ζ)) = lim

i, I π((ϕ_i◦γ_G(s⁻¹))∗

βϕ)(ζ) =

= lim

i, I π((ϕi∗

βϕ)◦γ_G(s⁻¹))(ζ) =π(ϕ◦γ_G(s⁻¹))(ζ).

Ebből következik, hogy V lineáris ábrázolása a G csoportnak a H vektortérben.

Valóban, minden ϕ ∈ K (G;C) esetén V(e_G)◦π(ϕ) = π(ϕ), így V(e_G) = idH a H₀ sűrű altéren, tehát V(e_G) = id^H. Továbbá, ha s, t ∈ G, akkor minden ϕ ∈ K (G;C) esetén

(V(s)◦V(t))◦π(ϕ) = V(s)◦(V(t)◦π(ϕ)) = V(s)◦π(ϕ◦γ_G(t⁻¹)) =

=π(ϕ◦γ_G(t⁻¹)◦γ_G(s⁻¹)) = π(ϕ◦γ_G((st)⁻¹)) =V(st)◦π(ϕ),

így V(s)◦V(t) = V(st) a H₀ sűrű altéren, tehát V(s)◦ V(t) = V(st). Ebből már következik, hogy minden s ∈G esetén a V(s) : H → H leképezés bijekció (ti. V(s⁻¹) a V(s) inverze), és a V :G→GL(H ) leképezés csoport-morfizmus.

Ha s∈G és ζ ∈H, akkor kV(s)ζk=

lim

i, I π(ϕi◦γ_G(s⁻¹))ζ

= lim

i, I kπ(ϕi◦γ_G(s⁻¹))ζk ≤ kζk, hiszen ha i∈I, akkor

kπ(ϕi◦γ_G(s⁻¹))ζk ≤ kπ(ϕi◦γ_G(s⁻¹))kkζk ≤ kϕikβ,1kζk=kζk.

Ugyanakkor s ∈G és ζ ∈ H esetén kζk=kV(s⁻¹)(V(s)ζ)k ≤ kV(s)ζk. Ez azt jelenti, hogy minden s ∈ G esetén a V(s) operátor izometrikus bijekció, tehát V(s) unitér operátor. Ilymódon V unitér ábrázolása a Gcsoportnak a H Hilbert-térben.

A V unitér ábrázolás folytonosságának bizonyításához elég azt igazolni, hogy minden ϕ ∈K (G;C) és ζ ∈H esetén a

G→H ; s 7→V(s)(π(ϕ)(ζ))

függvény folytonos az e_G pontban. Ez így van, mert ha ϕ ∈ K (G;C) és ζ ∈ H, akkor minden G∋s-reV(s)(π(ϕ)(ζ)) =π(ϕ◦γ_G(s⁻¹))(ζ), és a

G→L¹_C(G, β); s7→ϕ◦γ_G(s⁻¹) függvény folytonos, valamint az

L¹_C(G, β)→H ; f 7→π(f)(ζ) leképezés is folytonos.

Azt kell még igazolni, hogy π = Vβ. Ehhez legyenek ϕ, ψ ∈ K (G;C) és ζ, η ∈ H tetszőlegesek. Világos, hogy a

(π(·)ζ|η) :L¹_C(G;C)→C; f 7→(π(f)ζ|η)

lineáris funkcionál folytonos, és mivel π norma-nem-növelő, azt kapjuk, hogy minden f ∈K (G;C)esetén

|(π(f)ζ|η)| ≤ kπ(f)kkζkkηk ≤ kfk^β,1kζkkηk=β(|f|)kζkkηk. Ebből következik, hogy a

θπ;ζ,η :K (G;C)→C; f 7→(π(f)ζ|η)

lineáris funkcionál Radon-mérték G felett. Valóban, legyen K ⊆ G kompakt halmaz és C ∈ R₊ olyan szám, hogy minden f ∈ K (G;C) esetén, ha supp(f) ⊆ K, akkor

|β(f)| ≤C9f9. Ekkor minden f ∈K (G;C) esetén

|θπ;ζ,η(f)| ≤ kζkkηkβ(|f|)≤ kζkkηkC9(|f|)9 = (kζkkηkC)9f 9. A 6.4.4. lemma alapján

θ_π;ζ,η(ϕ∗

βψ) =

Z

G

ϕ(t)θ_π;ζ,η(ψ◦γ_G(t⁻¹))dβ(t).

Felhasználva azt, hogy mindenG∋t-reπ(ψ◦γ_G(t⁻¹)) = V(t)◦π(ψ), ebből kapjuk, hogy (π(ϕ)(π(ψ)ζ)|η) = (π(ϕ∗_βψ)ζ|η) =:θπ;ζ,η(ϕ∗_βψ) =

=

Z

G

ϕ(t)θ_π;ζ,η(ψ◦γ_G(t⁻¹))dβ(t) :=

Z

G

ϕ(t)(π(ψ◦γ_G(t⁻¹))ζ|η)dβ(t) =

=

Z

G

ϕ(t)((V(t)◦π(ψ))ζ|η) dβ(t) =: (Vβ(ϕ)(π(ψ)ζ)|η).

Ebből következik, hogy minden ϕ ∈ K (G;C) esetén π(ϕ) = Vβ(ϕ) = Vβ(ϕ), ezért a π, Vβ :L¹_C(G, β)→L(H )normákban folytonos operátorok megegyeznek aK (G;C)⊆ L¹_C(G, β) sűrű lineáris altéren, így π=Vβ.

Tehát, ha G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és H Hilbert-tér, akkor a G csoport H-ban megvalósuló folytonos unitér ábrázolásainak hal-maza és az L¹_C(G, β) Banach-*-algebra H-ban megvalósuló nemelfajult ábrázolásainak halmaza között a V 7→ Vβ leképezés bijekció. Ez azt jelenti, hogy az absztrakt har-monikus analízis, vagyis a lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak elmélete részelméleteaz approximatív egységes Banach-*-algebrák nemelfajult ábrázolá-sai elméletének.

6.5. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájának

In document Absztrakt harmonikus analízis (Pldal 146-155)