Kompakt csoport feletti Haar-mérték tulajdonságai

Az első állítás mértékelméleti jellemzést ad lokálisan kompakt csoport kompaktságára.

7.1.1. Állítás. Legyen Glokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mértékG felett.

A G topologikus tér pontosan akkor kompakt, ha a β Radon-mérték korlátos, tehát ha létezik olyan C ∈R₊, hogy minden ϕ∈K (G;C) esetén |β(ϕ)| ≤C9ϕ9.

Bizonyítás. A feltétel természetesen szükséges, hiszen kompakt tér felett minden Radon-mérték korlátos.

Tegyük fel, hogy β korlátos, és legyen C ∈R₊ olyan, hogy minden ϕ ∈K (G;C)esetén

|β(ϕ)| ≤C9ϕ9. LegyenK aze_G-nek rögzített kompakt környezete, és válasszunk olyan ϕ ∈K ⁺(G) függvényt, amelyre supp(ϕ)⊆K.

Jelölje S azon S ⊆ G nem üres véges halmazok halmazát, amelyekre teljesül az, hogy s₁, s₂ ∈ S esetén, ha s₁ 6= s₂, akkor (s₁K)∩(s₂K) = ∅. Ha S ∈ S, akkor s₁, s₂ ∈ S és s1 6=s2 esetén supp(ϕ◦γ_G(s⁻¹₁ ))∩supp(ϕ◦γ_G(s⁻¹₂ )) = (s1supp(ϕ))∩(s2supp(ϕ))⊆ (s1K)∩(s2K) =∅. Ebből következik, hogy S∈S esetén9ϕ9 ≥^X

s∈S

ϕ◦γ_G(s⁻¹), hiszen a (supp(ϕ◦γ_G(s⁻¹)))_s∈S halmazrendszer diszjunkt. Ezért

C9ϕ9≥C

X

s∈S

ϕ◦γ_G(s⁻¹)

≥β ^X

s∈S

ϕ◦γ_G(s⁻¹)

!

=^X

s∈S

(γ_G(s⁻¹)β)(ϕ)=Card(S)β(ϕ),

ahol kihasználtuk a β balinvarianciáját. Ebből látható, hogy a C 9 ϕ9 /β(ϕ) ∈ R₊ valós szám majorálja minden S∋ S-re az S számosságát. Ezért vehetünk olyan S ∈S halmazt, amely az S elemei közül legnagyobb számosságú.

Megmutatjuk, hogy G = ^S

s∈S(sKK⁻¹), amiből következik a G kompaktsága. Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük olyan t ∈ G létezését, amelyre t /∈ ^S

s∈S(sKK⁻¹). Ekkor t = te_G ∈ tKK⁻¹ miatt t /∈ S, így az S∪ {t} halmaz S-nél nagyobb számosságú. Ha s ∈ S, akkor (tK) ∩ (sK) = ∅, különben r ∈ (tK) ∩ (sK) esetén t⁻¹r ∈ K, azaz r⁻¹t ∈ K⁻¹, így t ∈ rK⁻¹ ⊆ (sK)K⁻¹, holott a feltevés szerint t /∈ (sK)K⁻¹. Ezért S∪ {t} ∈S, ami ellentmond annak, hogyS legnagyobb számosságú eleme S-nek.

Megjegyezzük, hogy haGnem diszkrét lokálisan kompakt csoport, akkor aGhalmaz nem megszámlálhatóan végtelen. Valóban, ha G megszámlálható alaphalmazú lokálisan kompakt csoport, akkor a G halmaz előáll megszámlálható sok egy elemű halmaz unió-jaként, és G Baire-tér ([19, 27.10.3.]), így létezik olyans ∈G, hogy az {s} halmaz nem sehol sem sűrű, tehát {s} nyílt halmaz. Ebből következik, hogy minden G ∋t-re a {t} halmaz nyílt, mert {t}=γ_G(ts⁻¹)h{s}i, és γ_G(ts⁻¹) homeomorfizmus. Ezért G diszkrét tér.

Az előző megjegyzésből következik, hogy minden végtelen kompakt csoport szükség-képpen nem megszámlálhatóan végtelen, hiszen diszkrét kompakt tér véges.

Most néhány elemi tényt fogalmazunk meg kompakt csoportok egy dimenziós folyto-nos unitér ábrázolásaival (vagyis a folytofolyto-nos unitér karaktereivel) kapcsolatban. Ezek az állítások elsősorban kommutatív kompakt csoportok esetén érdekesek, mert azok felett a Gelfand–Rajkov-tétel szerint sok folytonos unitér karakter létezik. Ugyanakkor van-nak olyan kompakt csoportok (például SU(2,C)), amelyek felett csak triviális folytonos unitér karakter létezik.

7.1.2. Lemma. Ha G kompakt csoport, β Haar-mérték G felett, és χ nemtriviális foly-tonos unitér karaktere G-nek, akkor

Z

G

χ dβ = 0.

Bizonyítás. Ha s∈G, akkor aβ balinvarianciája miatt

Z

G

χ dβ =β(χ) = (γ_G(s)β)(χ) =β(χ◦γ_G(s)) =χ(s)β(χ) =χ(s)

Z

G

χ dβ,

tehát ha χ nem az azonosan1 függvény, akkor ^Z

G

χ dβ = 0.

7.1.3. Állítás. LegyenGkompakt csoport, ésΓaGfolytonos unitér karaktereinek olyan halmaza, amely a pontonként értelmezett szorzással csoport, és szétválasztó G felett.

Ekkor Γ egyenlő a G folytonos unitér karaktereinek halmazával.

Bizonyítás. Jelölje A a Γ halmaz által generált komplex lineáris alteret a C(G;C) függvénytérben. A Γ-ra vonatkozó hipotézisek alapján A olyan *-részalgebra a C(G;C)

*-algebrában, amelynek eleme az azonosan 1függvény, és szétválasztóGfelett. A Stone–

Weierstrass-tétel alapján A sup-normában sűrű C(G;C)-ben ([19, 28.4.3.]).

Legyen χ folytonos unitér karaktere G-nek és ε ∈ R⁺ tetszőleges. Az előzőek szerint vehetünk olyan (χ_i)i∈I véges rendszert Γ-ban, és olyan (ci)i∈I rendszert C-ben, hogy

< ε. Természetesen feltehető, hogy a (χ_i)_i∈I rendszer injektív. Ha β normált Haar-mérték G felett, akkor

Ha minden i ∈ I esetén χ 6= χ_i teljesülne, akkor az előző lemmából következik, hogy β(χχ_i) = 0 =β(χχ_i), és

Bizonyítás. Jelölje Φ a szóbanforgó leképezést, amely természetesen csoport-morfizmus.

AΦfüggvény injektivitása nyilvánvalóan következik abból, hogyn∈N⁺ esetén azn-edik egységgyökök halmaza véges. Ha Γ := Im(Φ), akkor Γ ⊆ U olyan részcsoport, amely szétválasztó U felett, így a7.1.3. szerint Γ = U, vagyisΦ szürjektív.

7.1.5. Következmény. Legyen (Gi)i∈I kompakt csoportoknak olyan rendszere, hogy minden i∈ I esetén a folytonos unitér karakterek halmaza szétválasztó Gi felett. Ekkor a ^Y

i∈I

Gi kompakt szorzatcsoport feletti minden χ folytonos unitér karakterhez létezik olyan (χ_i)_i∈I rendszer, hogy minden I ∋ i-re χ_i folytonos unitér karaktere G_i-nek, az {i∈I|χ_i 6= 1Gi} halmaz véges, és minden (si)i∈I ∈^Y

Bizonyítás. Jelölje Γ azon χ : ^Y

i∈I

Gi → U függvények halmazát, amelyekhez létezik olyan (χ_i)i∈I rendszer, hogy minden I ∋ i-re χ_i folytonos unitér karaktere Gi-nek, a {i ∈ I|χ_i 6= 1_Gi} halmaz véges, és minden (s_i)_i∈I ∈ ^Y

i∈I

G_i esetén χ((s_i)_i∈I) = ^Y

i∈I

χ_i(s_i).

Nyilvánvaló, hogy a Γminden eleme folytonos unitér karaktere ^Y

i∈I

Gi-nek.

Legyen(χ_i)i∈I olyan rendszer, hogy mindenI ∋i-reχ_i folytonos unitér karaktereGi-nek, és a J :={i∈I|χ_i 6= 1Gi} halmaz véges. Ekkor a leképezés nyilvánvalóan folytonos a szorzattopológiák szerint, és a

⊗ függvény is folytonos. Ezért a (⊗

i∈Jχ_i)◦pr_J függvény folytonos, és ez az (s_i)_i∈I ∈ ^Y

EzértΓminden eleme folytonos unitér karaktere^Y

i∈I

Gi-nek. Továbbá nyilvánvaló, hogyΓ a pontonként értelmezett szorzással csoport, és szétválasztó ^Y

i∈I

Gi felett. Az előző állítás szerint Γ egyenlő a^Y

i∈I

Gi összes folytonos unitér karaktereinek halmazával, és ezt kellett bizonyítani.

Speciálisan, az előző állítás feltételei teljesülnek akkor, ha minden i ∈ I esetén Gi

kommutatív kompakt csoport; ez a Gelfand–Rajkov-tételből következik.

Most áttérünk a kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak vizsgálatára.

7.1.6. Állítás. Legyen G kompakt csoport, és V olyan lineáris ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, hogy a G×H → H ; (s, ζ) 7→V(s)ζ leképezés folytonos. Ekkor létezik a H vektortér felett olyan Hilbert-norma, amely ekvivalens a H eredeti normájával, és amely szerint V folytonos unitér ábrázolása G-nek.

Bizonyítás. A G× H → H ; (s, ζ) 7→ V(s)ζ leképezés folytonosságából következik, hogy minden G ∋ s-re V(s) : H → H folytonos lineáris operátor, továbbá a G kompaktsága miatt minden ζ ∈ H esetén a {V(s)ζ|s ∈ G} halmaz kompakt H -ban, így korlátos is. Tehát a {V(s)|s ∈ G} ⊆ L(H) operátorhalmaz pontonként korlátos, ezért Banach egyenletes korlátosság tétele szerint operátornormában is korlátos, vagyis létezik olyan C ∈ R⁺, hogy minden G ∋ s-re kV(s)k ≤ C. Ekkor minden s ∈ G és

ζ ∈H esetén kV(s)ζk ≤ Ckζk, amiből az is következik, hogy minden s ∈G és ζ ∈H esetén C⁻¹kζk ≤ kV(s)ζk.

Jelölje (·|·) a H Hilbert-tér skalárszorzását. Legyen β Haar-mérték G felett, és értelmezzük a

(·|·)_β :H ×H →C; (ζ, η)7→

Z

G

(V(s)ζ|V(s)η)dβ(s)

leképezést. Nyilvánvaló, hogy ez hermitikus konjugált bilineáris függvény, és folytonos is, hiszen ζ, η∈H esetén

|(ζ|η)_β| ≤

Z

G

|(V(s)ζ|V(s)η)|dβ(s)≤

≤

Z

G

kV(s)k²kζkkηkdβ(s)≤C²β(1_G)kζkkηk.

A (·|·)_β leképezés nyilvánvalóan pozitív, és definit is, hiszen ha ζ ∈ H olyan, hogy (ζ|ζ)_β = 0, akkorβ(kV(·)ζk²) = 0, tehátsupp(β) =Gmiatt mindenG∋s-reV(s)ζ = 0, így ζ = 0. Ez azt jelenti, hogy (·|·)_β skalárszorzás a H komplex vektortér felett. Ha k · k_β jelöli a (·|·)_β által generált normát, akkor nyilvánvaló, hogy minden ζ ∈H esetén kζk²_β ≤C²β(1_G)kζk², ugyanakkor

kζk²_β =

Z

G

kV(s)ζk²dβ(s)≥

Z

G

C⁻²kζk²dβ(s) =C⁻²β(1G)kζk².

Ez azt jelenti, hogy a H feletti k · k és k · k_β normák ekvivalensek, amiből az is következik, hogy k · k_β Hilbert-norma H felett, és a G×H →H ; (s, ζ) 7→ V(s)ζ leképezés folytonos, ha H felett k · k_β-t vesszük normaként.

Ha t ∈G, akkor minden H ∋ζ, η-ra a β jobbinvarianciája miatt (V(t)ζ|η)_β :=

Z

G

(V(s)V(t)ζ|V(s)η) dβ(s) =

Z

G

(V(st)ζ|V((st)t⁻¹)η) dβ(s) =

=

Z

G

(V(s)ζ|V(st⁻¹)η) dβ(s) =

Z

G

(V(s)ζ|V(s)V(t⁻¹)η)dβ(s) =:

=: (ζ|V(t⁻¹)η)_β = (ζ|V(t)⁻¹η)_β = ((V(t)⁻¹)^∗ζ|η)_β

tehát V(t) = (V(t)⁻¹)^∗, ami azt jelenti, hogy V(t) unitér operátor a (·|·)_β skalárszorzás szerint.

In document Absztrakt harmonikus analízis (Pldal 181-186)