Komplex Radon-mértékek
4.2. Pozitív Radon-mértékek
4.2.1. Állítás. Ha T lokálisan kompakt tér, és µ : K (T;C) → C olyan lineáris funkcionál, amelyre minden ϕ ∈ K+(T) esetén µ(ϕ) ∈ R+ (amit úgy fejezünk ki, hogy µ pozitív lineáris funkcionál), akkor µ pozitív Radon-mérték T felett, és minden ϕ ∈K (T;C) esetén
|µ(ϕ)| ≤µ(|ϕ|).
Bizonyítás. Először megjegyezzük, hogy a µ : K (T;C) → C lineáris funkcionál pozitivitása nyilvánvalóan ekvivalens azzal, hogy µ a K (T) függvényhalmazon valós értékű és monoton növő, vagyisϕ, ψ∈K (T)esetén, haϕ≤ψ, akkorµ(ϕ)≤µ(ψ).
Legyen ϕ ∈ K (T;C) tetszőleges. A µ(ϕ) komplex számhoz van olyan z ∈ C, hogy
|z|= 1 és|µ(ϕ)|=zµ(ϕ). Ekkor
|µ(ϕ)|=µ(zϕ) =ℜ(µ(zϕ)) =µ(ℜ(zϕ))≤µ(|ϕ|),
hiszenµC-homogén és valós folytonos kompakt tartójú függvényhez valós számot rendel, ezért minden ψ ∈ K (T;C) esetén ℜ(µ(ψ)) = µ(ℜ(ψ)) teljesül, továbbá világos, hogy ℜ(zϕ)≤ |zϕ|=|ϕ|, így az utolsó lépésben alkalmazhattuk a µ monoton növését.
Legyen K ⊆T kompakt halmaz, és a lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alapján vegyünk olyan ψ ∈ K+(T) függvényt, amelyre K ⊆[ψ = 1]. Ha ϕ ∈ K (T;C) olyan, hogy supp(ϕ) ⊆ K, akkor |ϕ| ≤ ψ9 ϕ9T, így a µ monoton növése és az imént igazolt egyenlőtlenség alapján
|µ(ϕ)| ≤µ(|ϕ|)≤µ(ψ)9ϕ9T
teljesül, vagyis µ Radon-mértékT felett.
4.2.2. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér és µ0 : K+(T) → R+ függvény. Akkor és csak akkor létezik olyan T feletti Radon-mérték, amely µ0-nak kiterjesztése, ha µ0 additív, vagyis minden K+(T)∋ϕ, ψ-re µ0(ϕ+ψ) =µ0(ϕ) +µ0(ψ).
Bizonyítás. A feltétel nyilvánvalóan szükséges. Az elégségesség bizonyításához tegyük fel, hogy µ0 additív. Ekkor µ0 monoton növő K+(T)-n, vagyis ϕ, ψ ∈ K+(T) esetén, ha ϕ ≤ ψ, akkor µ0(ϕ) ≤ µ0(ψ), hiszen a µ0 pozitivitása és additivitása miatt µ0(ψ) = µ0(ϕ+ (ψ−ϕ)) = µ0(ϕ) +µ0(ψ−ϕ) ≥ µ0(ϕ). A µ0 additivitásából könnyen következik, hogy mindenQ+ ∋r-re ésK+(T)∋ϕ-reµ0(rϕ) =rµ0(ϕ). Haϕ∈K+(T)és c∈R+, akkorr, s∈Q+,r≤c≤seseténrµ0(ϕ) = µ0(rϕ)≤µ0(cϕ)≤µ0(sϕ)≤sµ0(ϕ).
Ebből következik, hogy minden ϕ∈K+(T)ésc∈R+ eseténµ0(cϕ) =cµ0(ϕ), vagyisµ0
pozitív homogén.
Értelmezzük most a
ν:K (T;R)→R; ϕ7→µ0(ϕ+)−µ0(ϕ−)
leképezést. Ha ϕ ∈ K (T;R) tetszőleges, és ϕ1, ϕ2 ∈ K+(T), valamint ψ1, ψ2 ∈ K+(T) olyan függvények, amelyekre ϕ = ϕ1−ϕ2 =ψ1 −ψ2, akkor ϕ1+ψ2 = ϕ2+ψ1, ezért a µ0 additivitása folytán µ0(ϕ1) +µ0(ψ2) = µ0(ϕ2) +µ0(ψ1), következésképpen µ0(ϕ1)− µ0(ϕ2) = µ0(ψ1)−µ0(ψ2). Ez azt jelenti, hogy ha ϕ ∈ K (T;R) és ϕ1, ϕ2 ∈ K+(T) tetszőleges olyan függvények, amelyekre ϕ = ϕ1 −ϕ2, akkor ν(ϕ) = µ0(ϕ1)−µ0(ϕ2).
Ebből azonnal következik a ν leképezés additivitása, hiszen ha ϕ, ψ ∈ K (T;R), akkor ϕ+ψ = (ϕ++ψ+)−(ϕ−+ψ−), így
ν(ϕ+ψ) =µ0(ϕ++ψ+)−µ0(ϕ−+ψ−) =µ0(ϕ+) +µ0(ψ+)−µ0(ϕ−)−µ0(ψ−)
= (µ0(ϕ+)−µ0(ϕ−)) + (µ0(ψ+)−µ0(ψ−)) =: ν(ϕ) +ν(ψ).
Továbbá a ν leképezés R-homogén is. Ha ugyanis ϕ ∈ K (T;R) és c ∈ R+, akkor ν(cϕ) := µ0((cϕ)+) − µ0((cϕ)−) = µ0(cϕ+) − µ0(cϕ−) = cµ0(ϕ+) − cµ0(ϕ−) = c(µ0(ϕ+)−µ0(ϕ−)) =:cν(ϕ). Ugyanakkor ϕ ∈K (T;R) eseténν(−ϕ) =ν(ϕ−−ϕ+) = µ0(ϕ−) −µ0(ϕ+) =: −ν(ϕ), ezért minden c ∈ R, c < 0 számra az előzőek alapján ν(cϕ) =ν((−c)(−ϕ)) = (−c)ν(−ϕ) =cν(ϕ).
Ez azt jelenti, hogy a ν : K (T;R) → R leképezés R-lineáris funkcionál, továbbá a definíció szerint nyilvánvaló, hogy µ0 ⊆ν. Világos, hogy a
µ:K (T;C)→C; ϕ7→ ν(ℜ(ϕ)) +iν(ℑ(ϕ))
leképzés C-lineáris funkcionál, és ν ⊆µ. Ebből látható, hogyµpozitív funkcionál, tehát Radon-mérték T felett.
4.2.3. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, és µ valós Radon-mérték T felett.
Egyértelműen létezik az aT felettiµ+ pozitív Radon-mérték, amelyre mindenϕ ∈K+(T) esetén
µ+(ϕ) = sup
ψ∈K+(T) ψ≤ϕ
µ(ψ).
Ekkor µ−:=µ+−µ szintén pozitív Radon-mérték T felett, és µ=µ+−µ−.
Bizonyítás. Ha ϕ ∈ K+(T), akkor minden ψ ∈ K+(T) függvényre, ψ ≤ ϕ esetén supp(ψ)⊆supp(ϕ), ezért ha asupp(ϕ)kompakt halmazhoz aC ∈R+ szám olyan, hogy minden f ∈ K(T;C) függvényre supp(f) ⊆ supp(ϕ) esetén |µ(f)| ≤ C9f9T, akkor µ(ψ)≤ |µ(ψ)| ≤ C9ψ9T ≤C 9ϕ9T teljesül, tehát a {µ(ψ)|(ψ ∈K+(T))∧(ψ ≤ ϕ)} számhalmaz felülről korlátos. Ezért jól értelmezett a
µ+0 :K+(T)→R+; ϕ 7→ sup
ψ∈K+(T) ψ≤ϕ
µ(ψ)
leképezés. Azt kell igazolni, hogy µ+0 kiterjeszthető T feletti Radon-mértékké. Az előző állítás szerint elég azt megmutatni, hogy µ+0 additív. Ehhez legyenek ϕ1, ϕ2 ∈ K+(T) tetszőlegesek.
Ha ψ ∈ K+(T) és ψ ≤ ϕ1 +ϕ2, akkor a felbontási lemma alapján léteznek olyan ψ1, ψ2 ∈ K+(T) függvények, hogy ψ = ψ1+ψ2, ψ1 ≤ ϕ1, és ψ2 ≤ ϕ2; ekkor a definíció szerint µ(ψ) =µ(ψ1) +µ(ψ2)≤µ+0(ϕ1) +µ+0(ϕ2), tehát µ+0(ϕ1+ϕ2)≤µ+0(ϕ1) +µ+0(ϕ2) (vagyis µ+0 szubadditív).
Ha ψ1, ψ2 ∈K+(T)olyan függvények, hogy ψ1 ≤ϕ1 ésψ2 ≤ϕ2, akkorψ1+ψ2 ∈K+(T) és ψ1 +ψ2 ≤ϕ1+ϕ2, ezért µ(ψ1) +µ(ψ2) =µ(ψ1+ψ2)≤µ+0(ϕ1+ϕ2). Ebből látható, hogy µ+0(ϕ1) +µ+0(ϕ2)≤µ+0(ϕ1+ϕ2), vagyis µ+0 szuperadditív.
Ezzel beláttuk aµ+Radon-mérték létezését, és az unicitása nyilvánvaló. Haϕ ∈K+(T), akkor nyilvánvalóan µ(ϕ) ≤ µ+0(ϕ), ezért a µ− := µ+ −µ lineáris funkcionál pozitív Radon-mérték T felett.
4.2.4. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér, és µ valós Radon-mérték T felett, akkor az előző állításban értelmezett µ+ (illetve µ−) pozitív Radon-mértéket a µ pozitív részének (illetve negatív részének) nevezzük.
4.2.5. Következmény. Legyen T lokálisan kompakt tér. Egyθ :K (T;C)→Clineáris funkcionál pontosan akkor Radon-mérték T felett, ha előáll T feletti pozitív Radon-mértékek lineáris kombinációjaként.
Bizonyítás. Ha θ komplex Radon-mérték T felett, akkor ℜ(θ) és ℑ(θ) valós Radon-mértékek T felett, ezért
θ =ℜ(θ) +iℑ(θ) =ℜ(θ)+− ℜ(θ)−+iℑ(θ)+−iℑ(θ)−.
Megjegyezzük, hogy ha µ korlátos valós Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor a µ+ ésµ− pozitív Radon-mértékek is korlátosak, és
kµk=kµ+k+kµ−k.
4.2.6. Állítás. Legyen T lokálisan kompakt tér, és θ komplex Radon-mérték T felett.
Egyértelműen létezik T felett az a |θ|pozitív Radon-mérték, amelyre minden ϕ ∈K+(T) esetén
|θ|(ϕ) = sup
ψ∈K(T;C)
|ψ|≤ϕ
|θ(ψ)|.
Bizonyítás. Ha ϕ ∈ K+(T), akkor minden ψ ∈ K (T;C) függvényre, |ψ| ≤ ϕ esetén supp(ψ)⊆supp(ϕ), ezért ha asupp(ϕ)kompakt halmazhoz aC ∈R+ szám olyan, hogy minden f ∈ K (T;C) függvényre supp(f) ⊆ supp(ϕ) esetén |θ(f)| ≤ C 9f9T, akkor
|θ(ψ)| ≤ C 9ψ9T ≤ C 9 ϕ9T teljesül, tehát a {|θ(ψ)||(ψ ∈ K (T;C))∧(|ψ| ≤ ϕ)} számhalmaz felülről korlátos. Ezért jól értelmezett a
|θ|0 :K+(T)→R+; ϕ 7→ sup
ψ∈K(T;C)
|ψ|≤ϕ
|θ(ψ)|
leképezés. Azt kell igazolni, hogy |θ|0 kiterjeszthető T feletti Radon-mértékké. Elég azt megmutatni, hogy |θ|0 additív; ehhez legyenek ϕ1, ϕ2 ∈K+(T) tetszőlegesek.
Ha ψ ∈ K (T;C) és |ψ| ≤ ϕ1 +ϕ2, akkor a felbontási lemma alapján léteznek olyan ψ1, ψ2 ∈ K (T;C) függvények, hogy ψ = ψ1 +ψ2, |ψ1| ≤ ϕ1, és |ψ2| ≤ ϕ2; ekkor a definíció szerint |θ(ψ)| ≤ |θ(ψ1)|+|θ(ψ2)| ≤ |θ|0(ϕ1) +|θ|0(ϕ2), tehát |θ|0(ϕ1 +ϕ2) ≤
|θ|0(ϕ1) +|θ|0(ϕ2).
A fordított egyenlőtlenség bizonyításában felhasználjuk azt, hogy minden C∋z1, z2-höz létezik olyan u ∈ C, hogy |u| = 1 és |z1+uz2| = |z1|+|z2|. Valóban, ha z1 = 0 vagy z2 = 0, akkor u := 1 ilyen, míg z1 6= 0 6= z2 esetén az u := (z1z2)/(|z1||z2|) szám eleget tesz a követelménynek. Legyenek most ψ1, ψ2 ∈ K (T;C) olyan függvények, amelyekre
|ψ1| ≤ϕ1 és |ψ2| ≤ϕ2. Az előző megjegyzés szerint vehetünk olyanu∈C számot, hogy
|u|= 1 és|θ(ψ1) +uθ(ψ2)|=|θ(ψ1)|+|θ(ψ2)|. Ekkor
|θ(ψ1)|+|θ(ψ2)|=|θ(ψ1+uψ2)| ≤ |θ|0(ϕ1+ϕ2),
hiszen |ψ1 +uψ2| ≤ ϕ1 +ϕ2. Ebből azonnal következik, hogy |θ|0(ϕ1) + |θ|0(ϕ2) ≤
|θ|0(ϕ1+ϕ2).
4.2.7. Definíció. Ha T lokálisan kompakt tér, és θ komplex Radon-mérték T felett, akkor az előző állításban értelmezett |θ| pozitív Radon-mértéket aθ abszolút értékének nevezzük.
A definíció alapján triviális, hogy haθ komplex Radon-mérték aT lokálisan kompakt tér felett, akkor minden ψ ∈K (T;C) esetén
|θ(ψ)| ≤ |θ|(|ψ|).
Ezt az egyenlőtlenséget gyakran alkalmazzuk anélkül, hogy hivatkoznánk rá.
Ha T lokálisan kompakt tér, és θ, θ′ komplex Radon-mértékek T felett, valamint z ∈C, akkor a definíció alapján könnyen igazolhatók a következők:
|(|θ|)|=|θ|,
|zθ|=|z||θ|,
|θ+θ′| ≤ |θ|+|θ′|. Továbbá, ha µvalós Radon-mértékT felett, akkor
|µ|=µ++µ−, és teljesül a
µ≥0⇔µ=|µ| ⇔µ=µ+ ⇔µ− = 0 ekvivalencia-lánc.
4.2.8. Lemma. Ha T lokálisan kompakt tér, és µ valós Radon-mérték T felett, akkor minden ϕ ∈K+(T) esetén
|µ|(ϕ) = sup
ψ∈K(T;R)
|ψ|≤ϕ
|µ(ψ)|.
Bizonyítás. A ≥ egyenlőtlenség K (T;R) ⊆ K (T;C) miatt nyilvánvaló. A fordított egyenlőtlenség bizonyításához legyen c ∈ R olyan, hogy c < |µ|(ϕ). A |µ| definíciója szerint létezik olyan ψ ∈ K (T;C), hogy |ψ| ≤ ϕ és c < |µ(ψ)|. Ekkor a µ(ψ) ∈ C számhoz van olyan z ∈ C, hogy |z| = 1 és |µ(ψ)| =zµ(ψ). Felhasználva a µfunkcionál C-linearitását és azt, hogy µ valósRadon-mérték kapjuk, hogy
c <|µ(ψ)|=zµ(ψ) =µ(zψ) =ℜ(µ(zψ)) = µ(ℜ(zψ)) =|µ(ℜ(zψ))|,
tehát ℜ(zψ) ∈ K (T;R) olyan, hogy |ℜ(zψ)| ≤ |ψ| ≤ ϕ, és c < |µ(ℜ(zψ))|. Ebből kapjuk a ≤ egyenlőtlenséget.
4.2.9. Lemma. Ha T lokálisan kompakt tér, és θ ∈ M(T;K), akkor minden ϕ ∈ K (T;K) esetén
|θ|(|ϕ|) = sup
ψ∈K(T;K)
|ψ|≤1
|θ(ϕψ)|.
Bizonyítás. Legyen c ∈ R olyan, hogy c < |θ|(|ϕ|). Ekkor az abszolút érték definíciója alapján, és K = R esetén az előző lemmára hivatkozva vehetünk olyan ϕ′ ∈ K (T;K) függvényt, amelyre |ϕ′| ≤ |ϕ| és c < |θ(ϕ′)|. A hányados lemma szerint van olyan (ψn)n∈N sorozat K (T;K)-ban, hogy minden N ∋ n-re |ψn| ≤ 1, supp(ψn) ⊆ [ϕ′ 6= 0], és lim
n→∞(ψnϕ) =ϕ′ a T halmazon egyenletesen. A Radon-mértékek sorozatfolytonossága miatt θ(ϕ′) = lim
n→∞θ(ψnϕ), ezért c < lim
n→∞|θ(ψnϕ)|, így van olyan n ∈ N, amelyre c < |θ(ψnϕ)|. Természetesen ebből következik, hogyc < sup
ψ∈K(T;K)
|ψ|≤1
|θ(ϕψ)|, ami azt jelenti, hogy
|θ|(|ϕ|)≤ sup
ψ∈K(T;K)
|ψ|≤1
|θ(ϕψ)|.
A fordított egyenlőtlenség viszont nyilvánvaló, mert ψ ∈ K (T;K) és |ψ| ≤ 1 esetén
|θ(ϕψ)| ≤ |θ|(|ϕ||ψ|)≤ |θ|(|ϕ|).
Nyilvánvaló, hogy az előző lemma ekvivalens módon megfogalmazható a következő-képpen: ha θ komplex Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, és ϕ ∈K (T;C), akkor ϕ.θ korlátos Radon-mérték T felett, és |θ|(|ϕ|) =kϕ.θk. Speciálisan, ha µpozitív Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, akkor minden ϕ∈K (T;C)függvényre µ(|ϕ|) =kϕ.µk.
4.2.10. Állítás. Ha θ komplex Radon-mérték a T lokálisan kompakt tér felett, és g ∈C(T;C), akkor
|g.θ|=|g|.|θ|.
Bizonyítás. Elegendő azt igazolni, hogy minden K+(T) ∋ ϕ-re |g.θ|(ϕ) = |θ|(|g|ϕ).
Legyen tehát ϕ∈K+(T) rögzített.
Minden ψ ∈K (T;C)függvényre, ha |ψ| ≤ϕ, akkor
|(g.θ)(ψ)|=|θ(gψ)| ≤ |θ|(|g||ψ|)≤ |θ|(|g|ϕ), ezért az abszolút érték definíciója szerint |g.θ|(ϕ)≤ |θ|(|g|ϕ).
A fordított egyenlőtlenség bizonyításához az előző lemmát alkalmazva kapjuk, hogy
|θ|(|g|ϕ) =|θ|(|gϕ|) = sup
ψ∈K(T;C)
|ψ|≤1
|θ(gϕψ)|= sup
ψ∈K(T;C)
|ψ|≤1
|(g.θ)(ϕψ)| ≤ |g.θ|(ϕ),
hiszen ψ ∈K (T;C)és |ψ| ≤1esetén |(g.θ)(ϕψ)| ≤ |g.θ|(ϕ|ψ|)≤ |g.θ|(ϕ).