Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája
6.9. A mértékalgebra integrál-realizációja*
Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Eddig az L1C(G, β) mértékalgebrát abban az értelemben "absztrakt módon" értelmeztük és kezel-tük, hogy a Kβ(G,C) normált *-algebra teljes burkának tekintettük. Ebben a pontban magadjuk az L1C(G, β) mértékalgebra egy realizációját, éppen az integrálelméletben ér-telmezett L1C(G, β) Banach-tér segítségével. (Innen származik a mértékalgebra szoká-sos jelölése.) Ez lesz a mértékalgebra integrál-realizációja, amit majd felhasználunk a Pontrjagin-féle dualitás-tétel bizonyításában.
Először a folytonos kompakt tartójú függvények konvolúcióját értelmező formulát terjesztjük ki integrálható függvényekre.
6.9.1. Állítás. Legyen Glokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték Gfelett és f, g ∈LC1(G, β).
a) Minden s ∈G esetén a
hs:G→C; t7→f(t)g(t−1s) függvény pontosan akkor β-integrálható, ha a
h′s :G→C; t7→f(st−1)g(t)∆G(t)−1 függvény akkor β-integrálható, továbbá, ha hs∈LC1(G, β), akkor
Z
hs dβ =
Z
h′s dβ.
b) β-majdnem minden s∈G esetén a
G→C; t7→f(t)g(t−1s) függvény β-integrálható, és az
f∗
βg :G→C;
s7→
Z
G
f(t)g(t−1s) dβ(t), ha (t 7→f(t)g(t−1s))∈LC1(G, β);
0 , egyébként függvény β-integrálható.
c) Ha f, g∈LC1(G, β), akkor kf∗
βgkβ,1 ≤ kfkβ,1kgkβ,1.
Bizonyítás. a) A hs és h′s függvények definíciójából nyilvánvalóan következik, hogy hs◦γG(s) = (∆Gh′s)◦iG. Ezért a β Radon-mérték balinvarianciája, valamint iG(β) =
∆−1G β (5.3.3.) alkalmazásával kapjuk, hogy
hs ∈LC1(G, β)⇔ hs ∈LC1(G, γG(s)(β)) ⇔(∗) hs◦γG(s)∈LC1(G, β)⇔
⇔ (∆Gh′s)◦iG ∈L1
C(G, β)⇔(∗) h′s ∈L1
C(G,∆G.iG(β))⇔ h′s ∈L1
C(G, β).
ahol a ⇔(∗) ekvivalenciáknál a helyettesítéses integrálás tételére (14.3.4.) hivatkozhatunk.
Továbbá, has ∈G olyan, hogyhs∈LC1(G, β), akkor(hs◦γG(s)◦iG) ∆−1G =h′s és ismét 14.3.4. alapján
Z
h′s dβ =
Z
(hs◦γG(s)◦iG) ∆−1G dβ =
Z
hs d γG(s) iG(∆−1G .β) =
Z
hs dβ, hiszen γG(s) iG(∆−1G .β) =β.
b) Vezessük be a
π :G×G→G×G; (t, s)7→(t, t−1s) leképezést. Könnyen látható, hogy ez bijekció, és
π−1 :G×G→G×G; (t, s)7→(t, ts).
A π függvény a szorzattopológiák szerint folytonos, mert pr1 ◦π = pr1 és pr2 ◦π = pG ◦ (iG × idG) folytonos G × G → G függvények. A π−1 függvény is folytonos a szorzattopológiák szerint, mert pr1◦π−1 =pr1 éspr2◦π−1 =pG folytonos G×G→G függvények. Ez azt jelenti, hogy π homeomorfizmus.
Megmutatjuk, hogy π(β⊗β) = β⊗β. Ehhez legyenek ϕ, ψ ∈K (G;C) tetszőlegesek.
Ekkor az elemi Lebesgue–Fubini-tétel és a β balinvarianciája alapján:
π(β⊗β)(ϕ⊗ψ) := (β⊗β)((ϕ⊗ψ)◦π) =
Z
G×G
ϕ(t)ψ(t−1s) d(β⊗β)(t, s)(1)=
(1)=
Z
G
ϕ(t)
Z
G
ψ(t−1s) dβ(s) dβ(t)(2)=
Z
G
ϕ(t)
Z
G
ψ(s) dβ(s) dβ(t) =
=β(ϕ)β(ψ) = (β⊗β)(ϕ⊗ψ), ahol
– az (1)= egyenlőségnél az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a β⊗β szorzatmér-tékre, valamint a G×G; (t, s)7→ϕ(t)ψ(t−1s) függvényre, és
– a (2)= egyenlőségnél felhasználtukβ balinvarinciáját. Ebből következik, hogyπ(β⊗β) =
β⊗β (4.6.1.).
Legyenek f, g ∈LC1(G, β). A 14.3.7. szerint
f⊗g ∈LC1(G×G, β⊗β) =LC1(G×G, π(β⊗β)),
így a helyettesítéses integrálás tételének (14.3.6.) alkalmazásával kapjuk, hogy (f⊗g)◦ π ∈LC1(G×G, β⊗β), és fennáll az
egyenlőség. Most a (nem elemi) Lebesgue–Fubini-tételt alkalmazzuk a β ⊗β szorzat-mértékre és az (f ⊗g)◦π : G×G → C függvényre, amely β ⊗β-integrálható. Azt
függvény β-integrálható. Nyilvánvaló, hogy (t, s)∈G×G esetén ((f ⊗g)◦π) (t, s) =f(t)g(t−1s),
– az (1)≤ egyenlőtlenségnél 12.3.2.-re hivatkoztunk,
– a (2)= egyenlőségnél a π definícióját alkalmaztuk, – a (3)≤ egyenlőtlenségnél felhasználtuk 12.3.1.-t,
– a (4)= egyenlőségnél a π(β⊗β) =β⊗β összefüggést alkalmaztuk, – a (5)= egyenlőségnél hivatkozunk 12.3.3.-ra.
6.9.2. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett és f, g ∈ LC1(G, β), akkor az előző állításban értelmezett f∗βg ∈ LC1(G, β) függvényt az f és g β-integrálható függvények β szerinti konvolúciójának nevezzük.
Megjegyezzük, hogy ez a jelölés és elnevezés nem okozhat félreértést, mert ha f, g ∈ K (G;C), akkor az előző állítás a) pontjában értelmezett f∗
βg függvény megegyezik az f és g függvények korábban értelmezett β szerinti konvolúciójával (6.1.1.). Azonban, β-integrálható függvények konvolúciójával a következő problémák lehetnek:
– létezhetnek olyan s ∈ G pontok, amelyekre a G → C; t 7→f(t)g(t−1s) függvény nem β-integrálható, ezért(f∗
βg)(s) := 0, és azZ
G
f(t)g(t−1s) dβ(t) integrál értelmetlen;
– az f∗
βg :G→Cfüggvény nem szükségképpen folytonos;
– az f∗
βg :G→Cfüggvény nem szükségképpen kompakt tartójú.
Említésre érdemes még az, hogy ha f, g ∈LC1(G, β), akkor minden s∈G esetén, ha a G→C; t7→f(st−1)g(t)∆G(t)−1 függvény β-integrálható, akkor (és csak akkor)
(f∗
βg)(s) =
Z
f(t)g(t−1s) dβ(t) =
Z
f(st−1)g(t)∆G(t)−1 dβ(t),
mivel az előző állítás a) pontja szerint ekkor (és csak ekkor) a G →C; t 7→f(t)g(t−1s) függvény is β-integrálható és ezeknek a függvényeknek aβ-szerinti integráljai egyenlőek.
6.9.3. Állítás. Legyen Glokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték Gfelett és f, g ∈LC1(G, β). Ha g ∈K (G;C), akkor f∗
βg ∈K (G;C) és minden s∈G esetén (f∗
βg)(s) =
Z
G
f(t)g(t−1s) dβ(t), valamint
9f∗βg9 ≤ kfkβ,19g9. Bizonyítás. Ha s∈G, akkor minden t∈G estén
f(t)g(t−1s) =f(t)(g◦iG◦γG(s−1))(t),
tehát a G→C; t 7→f(t)g(t−1s)függvényβ-integrálható, mivel egyenlő az f Legyenek (fn)n∈N olyan K (G;C)-ben haladó sorozat, amelyre
n→∞lim
ilyen létezik a [19, 28.2.5] szerint. JelöljönC egy olyan pozitív számot, amelyre minden n ∈Nesetén9gn9≤C. Tudjuk, hogy mindenn ∈Neseténfn∗
Ez azt jelenti, hogy minden n∈N esetén 9fn∗
βgn−f∗
βg9≤C
Z
G
∗|fn−f| dβ+9gn−g9
Z
G
∗|f|dβ,
és itt az egyenlőtlenség jobb oldalán zérussorozat áll, tehát a K (G;C)-ben haladó (fn∗
βgn)n∈N sorozat egyenletesen konvergál az f∗
βg függvényhez a G halmazon. Ezért az f∗
βg :G→C függvény folytonos és végtelenben eltűnő ([19, 28.2.5]).
6.9.4. Állítás. Legyen Glokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mértékG felett.
a) Ha f, g, f1, f2 ∈LC1(G, β) és λ∈C, akkor az (f1+f2)∗
βg =f1∗
βg+f2∗
βg, g∗
β(f1+f2) =g∗
βf1+g∗
βf2, (λf)∗
βg =λ(f∗
βg), f∗
β(λg) = λ(f∗
βg)
függvény-egyenlőségek a G halmazon β-majdnem mindenütt teljesülnek.
b) Ha f, f′, g, g′ ∈LC1(G, β) és λ∈C, akkor kf′∗
βg′ −f∗
βgkβ,1 ≤ kf′−fkβ,1kg′−gkβ,1+kf′−fkβ,1kgkβ,1+kfkβ,1kg′−gkβ,1. Bizonyítás. a) Minden f, g ∈LC1(G, β) esetén legyen
Nf,g :={s∈G| (t7→f(t)g(t−1))∈/ LC1(G, β)},
amelyről az előző állítás szerint tudjuk, hogy β-nullahalmaz. Ezért az állítás feltételei mellett
N :=Nf,g∪Nf1,g∪Nf2,g∪Ng,f1 ∪Ng,f2
is β-nullahalmaz. Továbbá nyilvánvaló, hogy
Nf1,g∪Nf2,g⊇Nf1+f2,g, Ng,f1 ∪Ng,f2 ⊇Ng,f1+f2.
A β-integrálható függvények konvolúciójának értelmezése és az integrál linearitása alapján triviális, hogy az a) állításban felírt összes függvény-egyenlőség egyszerre teljesül a G\N halmazon, tehátβ-majdnem mindenütt.
b) Az a) állítás alapján a Ghalmazon β-majdnem mindenütt:
f′∗
βg′−f∗
βg = (f′−f)∗
β(g′−g) + (f′−f)∗
βg+f∗
β(g′−g),
következésképpen
|f′∗βg′−f∗βg| ≤ |(f′−f)∗β(g′−g)|+|(f′−f)∗βg|+|f∗β(g′−g)|,
is teljesül a G halmazonβ-majdnem mindenütt. Innen a felső integrál tulajdonságait és az előző állítás b) pontját alkalmazva kapjuk, hogy
kf′∗
Vigyázzunk arra, hogy ha Glokálisan kompakt csoport ésβ baloldali Haar-mértékG felett, akkor az
LC1(G, β)×LC1(G, β)→LC1(G, β); (f, g)7→f∗
βg
leképezés (az általános esetben) nem bilineáris, mert az előző állítás a) pontjában felírt függvény-egyenlőségek a G halmazon csak β-majdnem mindenütt teljesülnek, de nem mindenütt. Legfeljebb azt mondhatjuk, hogy ez a leképezés β-majdnem bilineáris, amin éppen azt értjük, amit az előző állítás a) pontjában megfogalmaztunk.
6.9.5. Állítás. Legyen Glokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mértékG felett.
Ha f, g, h∈L1 teljesül a G halmazon β-majdnem mindenütt.
Bizonyítás. AzLC1(G, β)definíciója alapján vegyünk olyanK (G;C)-ben haladó(fn)n∈N, (gn)n∈N és (hn)n∈N sorozatokat, hogy ezek a k · kβ,1 félnorma szerint konvergálnak, rendre f-hez, g-hez és h-hoz. Az előző állítás b) pontja szerint a K (G;C)-ben haladó (fn∗
félnorma szerint. Ugyanakkor minden N∋n-re (fn∗
βgn)∗
βh)a G halmazon β-majdnem mindenütt.
6.9.6. Állítás. Legyen Glokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mértékG felett.
Ha f ∈LC1(G, β), akkor ∆−1G ·(f◦iG)∈LC1(G, β) és k∆−1G ·(f ◦iG)kβ,1 =kfkβ,1. Bizonyítás. Nyilvánvalóan következik az 5.3.3. állításból és a helyettesítéses integrálás tételéből (14.3.6.).
6.9.7. Definíció. Ha Glokálisan kompakt csoport, akkor mindenf :G→C függvényre f∗ := ∆−1G ·(f◦iG),
és ezt a függvényt az f adjungáltjának nevezzük.
6.9.8. Tétel. Legyen G lokálisan kompakt csoport és legyen β baloldali Haar-mérték G felett.
a) Az L1C(G, β) vektortéren egyértelműen létezik olyan
L1C(G, β)×L1C(G, β)→L1C(G, β), (ζ, η)7→ζ∗η
kétváltozós művelet, amelyre teljesül az, hogy minden f, g ∈LC1(G, β) esetén fq∗gq = f∗βg
q
. b) Az L1C(G, β) vektortéren egyértelműen létezik olyan
L1C(G, β)→L1C(G, β), ζ 7→ζ∗
egyváltozós művelet, amelyre teljesül az, hogy minden f ∈LC1(G, β) esetén (fq)∗ = (f∗)q.
c) Az L1C(G, β) vektortér, ellátva az a)-ban értelmezett szorzással, az b)-ben értelmezett egyváltozós művelettel, és a k · kβ,1 normával olyan Banach-*-algebra, amely a
K (G;C)→L1C(G, β); ϕ7→ϕq
leképezéssel együtt realizációja a G lokálisan kompakt csoport β szerinti mértékal-gebrájának.
Bizonyítás. A 6.9.1., 6.9.4., 6.9.5. és 6.9.6. állítások ismeretében csak azt kell igazolni, hogy f, g∈LC1(G, β) esetén
(g∗∗βf∗)q= ((f∗βg)∗)q.
Ennek bizonyításához legyen s ∈ G olyan, hogy a G → C; t 7→ g∗(t)f∗(t−1s) függvény β-integrálható. Ekkor
(g∗∗
βf∗)(s) :=
Z
G
g∗(t)f∗(t−1s) dβ(t) :=
Z
G
∆G(t)−1g(t−1)∆G(t−1s)−1f(s−1t) dβ(t) =
= ∆G(s)−1
Z
G
g((s−1t)−1s−1)f(s−1t) dβ(t)= ∆∗ G(s)−1
Z
G
g(t−1s−1)f(t) dβ(t) =
= ∆G(s)−1
Z
G
f(t)g(t−1s−1) dβ(t) =: ∆G(s)−1(f∗
βg)(s−1) =: (f∗
βg)∗(s),
ahol a =∗ egyenlőségnél kihasználtuk a β balinvarianciáját. Tehátβ-majdnem mindenütt a G halmazon g∗∗
βf∗= (f∗
βg)∗ (6.9.1.), ezért (g∗∗
βf∗)q= ((f∗
βg)∗)q.