Az invariáns Radon-mértékek szerepe az unitér ábrázolások elméletében

5.1.1. Definíció. Legyen γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben. Azt mondjuk, hogy az X feletti θ komplex Radon-mérték

– γ-invariáns, ha minden s∈G esetén γ(s)(θ) =θ;

– relatív γ-invariáns, ha minden G∋s-hez van olyan c∈R⁺, hogy γ(s)(θ) =cθ;

– topologikusan γ-kváziinvariáns, ha minden G ∋ s-hez van olyan g : X → R⁺ folytonos függvény, hogy γ(s)(θ) = g.θ.

5.1.2. Definíció. A G lokálisan kompakt csoport feletti θ Radon-mértéket balinvari-ánsnak (illetve jobbinvariánsnak) nevezzük, haθ γ_G-invariáns(illetve δ_G-invariáns).

A lokálisan kompakt csoport feletti nem nulla, pozitív, balinvariáns(illetve jobbinvariáns) Radon-mértékeket baloldali (illetve jobboldali) Haar-mértékeknek nevezzük.

Megjegyzések. Legyen γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kom-pakt térben.

1) Nyilvánvaló, hogy minden X feletti γ-invariáns Radon-mérték relatív γ-invariáns, és minden X feletti relatív γ-invariáns Radon-mérték topologikusan γ-kváziinvariáns.

Világos továbbá, hogy ha θ komplex Radon-mérték X felett, és θ γ-invariáns (illetve relatív γ-invariáns, illetve topologikusanγ-kváziinvariáns), akkor minden C∋ c-rec.θ is γ-invariáns (illetve relatívγ-invariáns, illetve topologikusan γ-kváziinvariáns).

2) Legyen µ pozitív Radon-mérték X felett, és g : X → C olyan folytonos függvény, hogy g.µ is pozitív Radon-mérték. Ekkor a g függvény a µ tartóján pozitív. Valóban, minden ϕ∈K₊(X) esetén

R₊ ∋(g.µ)(ϕ) :=µ(g.ϕ) = µ(ℜ(g).ϕ) +iµ(ℑ(g).ϕ),

és µ(ℜ(g).ϕ), µ(ℑ(g).ϕ)∈R, ezért µ(ℑ(g).ϕ) = 0. Ebből következik, hogy ℑ(g).µ = 0, tehát supp(µ) ⊆ [ℑ(g) = 0], vagyis g a µ tartóján valós értékeket vesz föl. Ezért g.µ=ℜ(g).µ, amiből kapjuk, hogy

(ℜ(g))⁻.(g.µ) = (ℜ(g))⁻.(ℜ(g).µ) = (ℜ(g))⁻.((ℜ(g))⁺.µ−(ℜ(g))⁻.µ) =

= (ℜ(g))⁻.((ℜ(g))⁺.µ)−((ℜ(g))⁻)².µ =−((ℜ(g))⁻)².µ,

hiszen (ℜ(g))⁻.(ℜ(g))⁺ = 0. De a hipotézis szerint g.µ pozitív Radon-mérték, így (ℜ(g))⁻.(g.µ) is pozitív, ezért −((ℜ(g))⁻)².µ is pozitív Radon-mérték. Ugyanakkor nyilvánvaló, hogy ((ℜ(g))⁻)².µ is pozitív Radon-mérték, mertµis az. Ebből következik, hogy ((ℜ(g))⁻)².µ = 0, ami azzal ekvivalens, hogy supp(µ)⊆ [((ℜ(g))⁻)² = 0], tehát a g függvény a µtartóján pozitív.

3) Ha G lokálisan kompakt csoport, és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor i_G(β) jobboldali Haar-mérték G felett, mert i_G(β) szintén pozitív és nem nulla, hiszen az i_G inverzió homeomorfizmus, és minden s ∈ G esetén δ_G(s) ◦i_G = i_G ◦γ_G(s), tehát δ_G(s)(i_G(β)) =i_G(γ_G(s)β) =i_G(β). Megfordítva, ha ν jobboldali Haar-mérték G felett, akkor i_G(ν) baloldali Haar-mérték.

5.1.3. Jelölés. A továbbiakban mindenX lokálisan kompakt térre a K ⁺(X) :={ f ∈K₊(X) | f 6= 0 }

jelölést alkalmazzuk.

5.1.4. Lemma. Legyenγ tranzitív topologikus ábrázolása aGcsoportnak azX lokálisan kompakt térben. Ha g ∈K ⁺(X), akkor minden f ∈K (X;R) függvényhez létezik olyan (si)i∈I véges rendszer G-ben és olyan (ci)i∈I rendszer R₊-ban, hogy

f ≤^X

i∈I

c_i(g◦γ(s⁻¹_i )).

Bizonyítás. Legyen x0 ∈ X olyan pont, ahol g(x0) > 0, és legyen ε ∈ R⁺ olyan, hogy ε < g(x0). Ekkor U :={x∈X|g(x)> ε} nyílt környezete x0-nak X-ben.

Rögzítsünk egy f ∈ K (X;R) függvényt, és a γ ábrázolás tranzitivitását felhasználva válasszunk ki olyan (sx)x∈supp(f) rendszert G-ből, amelyre minden x ∈ supp(f) esetén x = γ(sx)(x0). Minden x ∈ supp(f) esetén γ(sx) : X → X olyan homeomorfizmus, amely x₀-hoz az x-t rendeli, ezért γ(s_x)hUi nyílt környezete x-nek X-ben. Tehát (γ(sx)hUi)x∈supp(f) nyílt befedése a supp(f) kompakt halmaznak, így van olyan (xi)i∈I

véges rendszer I-ben, hogy

supp(f)⊆ ^[

i∈I

γ(sxi)hUi.

Legyenx∈supp(f), és vegyünk olyanI ∋i-t, hogyx∈γ(sxi)hUi, vagyisγ(s⁻¹_xi )(x)∈U. Ekkor g(γ(s⁻¹_xi )(x))> ε, tehát

f(x)≤ 9f9T

ε (g ◦γ(s⁻¹_xi ))(x).

Ez azt jelenti, hogy ha minden i∈I esetén si :=sx_i és ci :=9f9T /ε, akkor az (si)i∈I

és (ci)i∈I rendszerek olyanok, amelyek létezését állítottuk.

5.1.5. Állítás. Legyen γ tranzitív topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, és µ nem nulla, pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett. Ekkor supp(µ) = X, és létezik egyetlen olyan χ : G×X → R⁺ függvény, amelyre minden s ∈ G esetén a χ(s,·) : X → R⁺ parciális függvény folytonos, és γ(s)(µ) =χ(s⁻¹,·).µ. Minden s, t∈G és x∈X esetén

χ(e_G, x) = 1;

χ(st, x) =χ(s, γ(t)x)χ(t, x) (ezek a multiplikátor-egyenlőségek).

Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy supp(µ) = X. Ehhez először rögzítsünk olyan χ :G×X →R⁺ függvényt, amelyre minden s ∈G esetén a χ(s,·) : X →R⁺ függvény folytonos, és γ(s)(µ) = χ(s⁻¹,·).µ teljesül; ilyen a µ topologikus γ-kváziinvarianciája miatt létezik. Tegyük fel, hogy g ∈ K ⁺(X) olyan függvény, hogy µ(g) = 0, és legyen f ∈K ⁺(X) tetszőleges. A lemma szerint vehetünk olyan(si)i∈I véges rendszert G-ben és olyan (ci)i∈I rendszert R₊-ban, hogy f ≤ ^X

i∈I

ci(g ◦γ(s⁻¹_i )). Minden i ∈ I esetén a Weierstrass-féle minimum-elv alapján aχ(s⁻¹_i ,·) :X →R⁺ folytonos függvénynek létezik minimuma a γ(si)hsupp(g)i nem üres kompakt halmazon, tehát az

mi := inf

x∈γ(si)hsupp(g)iχ(s⁻¹_i , x)

szám nagyobb 0-nál. A definíció alapján világos, hogyi∈I esetén g◦γ(s⁻¹_i )≤ 1

mi

.χ(s⁻¹_i ,·).(g◦γ(s⁻¹_i )), hiszen supp(g◦γ(s⁻¹_i )) = γ(si)hsupp(g)i, következésképpen

f ≤^X

i∈I

c_i mi

χ(s⁻¹_i ,·)(g◦γ(s⁻¹_i )).

Ebből a µ pozitivitása (tehát montonitása) miatt 0≤µ(f)≤^X

i∈I

ci

m_iµ(χ(s⁻¹_i ,·)(g◦γ(s⁻¹_i ))) =^X

i∈I

ci

m_i(χ(s⁻¹_i ,·).µ)(g◦γ(s⁻¹_i )) =

=^X

i∈I

c_i mi

(γ(si)(µ))(g◦γ(s⁻¹_i ))=^X

i∈I

c_i mi

(γ(s⁻¹_i )(γ(si)(µ)))(g)=^X

i∈I

c_i mi

µ(g)= 0 következik. Ezzel megmutattuk, hogy ha µ pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett, és van olyan g ∈ K ⁺(X), hogy µ(g) = 0, akkor minden f ∈ K ⁺(X) függvényre µ(f) = 0, így µ = 0. Tehát, ha µ 6= 0 is igaz, akkor minden g ∈ K ⁺(X) esetén µ(g) 6= 0, ezért ∅ az egyetlen nyílt µ-nullahalmaz X-ben, vagyis supp(µ) =X.

Tegyük fel, hogyχ^′ :G×X →R⁺ szintén olyan függvény, amelyre mindens∈Gesetén aχ^′(s,·) :X →R⁺ parciális függvény folytonos, ésγ(s)(µ) =χ^′(s⁻¹,·).µ. Ekkor minden G ∋ s-re χ^′(s⁻¹,·).µ = χ(s⁻¹,·).µ, tehát X = supp(µ) ⊆ [χ^′(s⁻¹,·) = χ(s⁻¹,·)], vagyis minden X ∋x-reχ^′(s⁻¹, x) =χ(s⁻¹, x). Ez azt jelenti, hogyχ^′ =χ.

A χ definíciója szerint µ = γ(e_G)(µ) = χ(e_G,·).µ, ezért X = supp(µ) ⊆ [1 = χ(e_G,·)], vagyis minden X ∋x-reχ(e_G, x) = 1.

Legyenek s1, s2 ∈G tetszőlegesek. Ekkor a χdefiníciója szerint

χ(s⁻¹₂ s⁻¹₁ ,·).µ=χ((s1s2)⁻¹,·).µ=γ(s1s2)(µ) =γ(s1)(γ(s2)(µ)) =

=γ(s₁)(χ(s⁻¹₂ ,·).µ) = (χ(s⁻¹₂ ,·)◦γ(s⁻¹₁ )).(γ(s₁)(µ)) =

= (χ(s⁻¹₂ ,·)◦γ(s⁻¹₁ )).(χ(s⁻¹₁ ,·)).µ, amiből supp(µ) = X alapján

χ(s⁻¹₂ s⁻¹₁ ,·) = (χ(s⁻¹₂ ,·)◦γ(s⁻¹₁ )).χ(s⁻¹₁ ,·)

következik. Ha s, t∈G, akkor innen az s1 :=t⁻¹ éss2 :=s⁻¹ választással kapjuk, hogy minden X ∈x-re

χ(st, x) =χ(s, γ(t)x)χ(t, x), amit bizonyítani kellett.

5.1.6. Következmény. Ha G lokálisan kompakt csoport, és µ baloldali vagy jobboldali Haar-mérték G felett, akkor supp(µ) =G.

5.1.7. Definíció. Ha γ tranzitív topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, és µ nem nulla, pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett, akkor a µ γ-multiplikátorának nevezzük azt a χ : G×X → R⁺ függvényt, amelyre minden s ∈ G esetén a χ(s,·) : X → R⁺ parciális függvény folytonos, és γ(s)(µ) =χ(s⁻¹,·).µ.

5.1.8. Tétel. Legyen γ tranzitív topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, µ nem nulla, pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett, és F Hilbert-tér. Jelölje χ a µ Radon-mérték γ-multiplikátorát.

a) Tekintsük a

K (X;F)×K (X;F)→C; (f, g)7→(f|g)µ:=

Z

X

(f(x)|g(x)) dµ(x) leképezést. Ez skalárszorzás a K (X;F) függvénytér felett.

b) Minden s∈G esetén értelmezzük a

V0(s) :K (X;F)→K (X;F); f 7→χ(s⁻¹,·)^1/2.(f ◦γ(s⁻¹))

leképezést. Ez olyan lineáris bijekció, amely megtartja a (·|·)µ skalárszorzást, és a G→GL(K (X;F)); s7→V0(s)

leképezés lineáris ábrázolása a G csoportnak a K (X;F) vektortérben.

c) Jelölje V a V₀ lineáris ábrázolás teljesítését, és legyen L²_F(X, µ) a V unitér ábrázolás tere (tehátL²_F(X, µ)a(·|·)µskalárszorzással ellátottK (X;F)prehilbert-tér teljes burka).

Ha F nem 0 dimenziós, és γ injektív, akkor a V unitér ábrázolás is injektív.

d) Ha G topologikus csoport, γ folytonos, és a χ : G × X → R⁺ multiplikátor a szorzattopológia szerint folytonos, akkor V a G-nek folytonos unitér ábrázolása.

Bizonyítás. a) Nyilvánvaló, hogy a (·|·)µ:K (X;F)×K (X;F)→Cleképezés konjugált bilineáris, pozitív, és hermitikus is, mert f, g ∈K (X;F) esetén µ=µmiatt

(f|g)µ:=

Z

X

(f(x)|g(x)) dµ(x) = µ((f(·)|g(·))) = µ (f(·)|g(·)) =

=µ((g(·)|f(·))) =

Z

X

(g(x)|f(x))dµ(x) =: (g|f)µ.

Ha f ∈K (X;F)olyan, hogy (f|f)µ = 0, akkor µ(kf(·)k²) = 0, így supp(µ) =X miatt kf(·)k² = 0, vagyis f = 0. Ez azt jelenti, hogy(·|·)µ pozitív definit is.

b) Nyilvánvaló, hogy s ∈ G esetén a V0(s) : K (X;F) → K (X;F) leképezés lineáris operátor, és az első multiplikátor-egyenlőség alapján V0(e_G) = idK(X;F). Ha s, t ∈ G, akkor a második multiplikátor-egyenlőség alapján minden K (X;F)∋f-re

V0(s)(V0(t)f) =V0(s) χ(t⁻¹,·)^1/2.(f ◦γ(t⁻¹)) =

=χ(s⁻¹,·)^1/2.(χ(t⁻¹,·)^1/2◦γ(s⁻¹)).(f◦γ(t⁻¹)◦γ(s⁻¹)) =

= (χ(t⁻¹,·)◦γ(s⁻¹)).χ(s⁻¹,·) ^1/2.(f ◦γ((st)⁻¹)) =

=χ(t⁻¹s⁻¹,·)^1/2(f ◦γ((st)⁻¹)) =V0(st)f.

Ebből következik, hogy minden G∋s-reV0(s) bijekció, és a G→GL(K (X;F)); s7→V0(s)

leképezés lineáris ábrázolása a G csoportnak a K(X;F) vektortérben. Továbbá, ha s ∈Gés f, g∈K (X;F), akkor

(V0(s)f|V0(s)g)µ:=

Z

X

χ(s⁻¹, x)(f(γ(s⁻¹)x)|g(γ(s⁻¹)x)) dµ(x) =

= (χ(s⁻¹,·).µ)((f(·)|g(·))◦γ(s⁻¹)) = (γ(s)(µ))((f(·)|g(·))◦γ(s⁻¹)) =

=(γ(s⁻¹)(γ(s)(µ)))((f(·)|g(·)))=µ((f(·)|g(·))) =

Z

X

(f(x)|g(x))dµ(x)=:(f|g)µ, tehát a V₀(s) operátor megtartja a (·|·)_µ skalárszorzást.

c) Tegyük fel, hogy a γ leképezés injektív és F 6= {0}. Legyen s ∈ G olyan, hogy V(s) =id_L²

F(X,µ); megmutatjuk, hogys =e_G.

A feltevés alapján minden F ∋ z-re és K (X;C) ∋ ϕ-re ϕ.z = V(s)(ϕ.z) :=

(χ(s⁻¹,·)^1/2.(ϕ ◦ γ(s⁻¹))).z, így F 6= {0} miatt minden ϕ ∈ K (X;C) esetén ϕ = χ(s⁻¹,·)^1/2.(ϕ◦γ(s⁻¹)), vagyis χ(s⁻¹,·)^1/2.ϕ =χ(s⁻¹,·).(ϕ◦γ(s⁻¹)). Ebből következik, hogy ϕ∈K (X;C) esetén

µ(χ(s⁻¹,·)^1/2.ϕ) =µ(χ(s⁻¹,·).(ϕ◦γ(s⁻¹))) = (χ(s⁻¹,·).µ)(ϕ◦γ(s⁻¹))) =

= (γ(s)(µ))(ϕ◦γ(s⁻¹))) = (γ(s⁻¹)(γ(s)(µ)))(ϕ) =µ(ϕ).

Ez maga után vonja azt, hogy χ(s⁻¹,·)^1/2.µ =µ, ígysupp(µ) =Xmiattχ(s⁻¹,·)^1/2 = 1.

Ezért minden ϕ∈K (X;C)eseténϕ=ϕ◦γ(s⁻¹), vagyisϕ◦γ(s) =ϕ. Tehát, hax∈X, akkor minden ϕ ∈ K (X;C) esetén ϕ(γ(s)x) = ϕ(x), így γ(s)x = x, mivel a K (X;C) függvényhalmaz szétválasztó X felett. Ez azt jelenti, hogy γ(s) = id_X = γ(e_G), így a γ injektivitása folytán s=e_G.

d) Tegyük fel, hogy G topologikus csoport, γ folytonos, és a χ : G × X → R⁺ multiplikátor a szorzattopológia szerint folytonos. AV unitér ábrázolás folytonosságának bizonyításához elegendő azt igazolni, hogy minden K (X;F) ∋ f, g-re a G → C; s 7→

(V(s)f|g)µleképezése_G-ben folytonos, hiszenK (X;F)sűrű azL²_F(X;µ)Hilbert-térben.

Legyenek tehát f, g ∈K (X;F) rögzítve; ekkor (V(s)f|g)µ:=

Z

X

χ(s⁻¹, x)^1/2(f(γ(s⁻¹)x)|g(x))dµ(x).

Értelmezzük a következő függvényt

Φf,g :G×X →C; (s, x)7→χ(s⁻¹, x)^1/2(f(γ(s⁻¹)x)|g(x)).

A folytonossági feltevésekből következik, hogy a Φf,g : G×X → C függvény a szorzat-topológia szerint folytonos, és triviális az, hogy [Φ_f,g 6= 0] ⊆ G×supp(g). A supp(g) kompaktsága és a paraméteres integrálok folytonossági tétele alapján a

G→C; s7→

Z

X

Φf,g(s, x) dµ(x) függvény folytonos, és ezt kellett bizonyítani.

5.1.9. Definíció. Ha γ tranzitív topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, µ nem nulla, pozitív, topologikusan γ-kváziinvariáns Radon-mérték X felett, és F Hilbert-tér, akkor a G csoport előző tételben értelmezettV unitér ábrázolását V^(γ,µ,F) jelöli. HaGlokálisan kompakt csoport, ésµ(illetveν)baloldali(illetve jobboldali) Haar-mérték Gfelett, akkor a V^(γG,µ,C) (illetve V^(δG,ν,C))unitér ábrázolást aGbaloldali (illetve jobboldali) reguláris ábrázolásának nevezzük.

Tehát lokálisan kompakt csoport baloldali (illetve jobboldali) reguláris ábrázolása egy baloldali (illetve jobboldali) Haar-mérték választásától függ, és ez a lokálisan kompakt csoportnak injektív folytonos unitér ábrázolása.

In document Absztrakt harmonikus analízis (Pldal 104-110)