Tranzitív topologikus ábrázolások

A következő állítás bizonyításában felhasználjuk azt az elemi topológiai tényt, hogy haT Hausdorff-tér és(Tα)α∈Aolyanpontonként véges(például diszjunkt) befedéseT-nek, hogy mindenA∋α-raTαparakompakt nyílt részhalmazaT-nek, akkorT is parakompakt ([19, 27.11.5.]). Továbbá hivatkozunk arra, hogyσ-kompakt lokálisan kompakt tér szük-ségképpen parakompakt ([19, 27.12.3.]).

2.6.1. Állítás. Ha Glokálisan kompakt csoport és H zárt részcsoportja G-nek, akkor a G/H topologikus tér lokálisan kompakt és parakompakt.

Bizonyítás. A G/H topologikus tér Hausdorff-tér, mert H zárt részcsoport. Továbbá, G/H minden pontjának létezik kompakt környezete, mert a π_G/H kanonikus szürjekció nyílt és folytonos leképezés, valamint a G minden pontjának van kompakt környezete.

Ezért csak G/H parakompaktságát kell igazolni.

Ehhez először megjegyezzük, hogyG-nek létezikσ-kompakt nyílt részcsoportja. Valóban, ha V a G neutrális elemének szimmetrikus kompakt környezete, és a (V⁽ⁿ⁾)n∈N

halmazsorozatot iterációval úgy értelmezzük, hogy V⁽⁰⁾ :={e_G}, és mindenn∈Nesetén V⁽ⁿ⁺¹⁾ =V⁽ⁿ⁾V, akkor az ^S

n∈NV⁽ⁿ⁾ halmaz a G-nek nyílt részcsoportja, és ez σ-kompakt is, mert minden N∋n-reV⁽ⁿ⁾ kompakt halmaz.

Legyen G∗ a G-nek tetszőleges σ-kompakt nyílt részcsoportja. A G/H halmazon értelmezzük és ≈-val jelöljük azt az ekvivalencia-relációt, amelyre ζ, ζ^′ ∈ G/H esetén ζ ≈ ζ^′ pontosan akkor teljesül, ha van olyan s ∈ G∗, amelyre γ_G/H(s)ζ = ζ^′. Minden ζ ∈G/H esetén jelöljeΩζ a ζ elem ekvivalencia-osztályát a ≈ reláció szerint.

Ha ζ ∈G/H éss∈G olyan, hogy ζ =π_G/H(s), akkor

Ωζ ={γ_G/H(t)ζ | t∈G∗}={γ_G/H(t)π_G/H(s)| t ∈G∗}=

={π_G/H(ts)| t∈G∗}= π_G/H ◦δ_G(s⁻¹) hG∗i,

és a δ_G(s⁻¹) :G→Gleképezés homeomorfizmus, valamint a π_G/H :G→G/H függvény nyílt, ígyπ_G/H◦δ_G(s⁻¹) :G→G/H nyílt leképezés. Ebből, és aG∗ halmaz nyíltságából

következik, hogy minden ζ ∈ G/H esetén Ωζ nyílt halmaz G/H-ban. Ugyanakkor a G∗

σ-kompaktsága folytán minden G/H ∋ζ-ra azΩ_ζ halmazσ-kompaktG/H-ban. Tehát, ha ζ ∈ G/H, akkor az Ωζ halmaz parakompakt nyílt halmaz G/H-ban ([19, 27.12.3.]).

A kiválasztási axióma alkalmazásával vehetünk olyan Z ⊆ G/H halmazt, amely teljes reprezentánshalmaza a≈relációnak. Ekkor(Ω_ζ)_ζ∈Z olyan diszjunkt nyílt befedése G/H-nak, amelynek minden tagja parakompakt nyílt halmaz, így a G/H topologikus tér is parakompakt ([19, 27.11.5.]).

2.6.2. Következmény. Minden lokálisan kompakt csoport parakompakt.

Bizonyítás. Az előző állításból a H :={e_G} választással következik, mert ekkor aG/H topologikus faktortér homeomorf G-vel.

2.6.3. Tétel. Legyenγ tranzitív topologikus ábrázolása aG topologikus csoportnak azX topologikus térben. Tegyük fel, hogy G lokálisan kompakt és σ-kompakt, valamint az X olyan Hausdorff-tér, amely nem áll elő megszámlálható sok seholsem sűrű halmaz unió-jaként. Ekkor teljesülnek a következő állítások.

a) Minden x ∈X esetén a γ˙x :G/Gγ,x →X függvény homeomorfizmus a G/Gγ,x és X topologikus terek között.

b) Minden x∈X esetén a γG/Gγ,x és γ topologikus ábrázolások topologikusan ekvivalen-sek.

c) Az X topologikus tér σ-kompakt és lokálisan kompakt.

Bizonyítás. Ha x ∈ X, akkor a γ˙x : G/Gγ,x → X függvény folytonos bijekció, hiszen a

˙

γx◦πG/Gγ,x =γx:G→X orbitális függvény folytonos; továbbá aγ˙x függvény összeköti a γG/Gγ,x ésγ ábrázolásokat. Ezért az a) kijelentésből b) következik.

Ha x∈X, akkor G_γ,x zárt részcsoport a G lokálisan kompakt csoportban, így a G/G_γ,x topologikus tér lokálisan kompakt és σ-kompakt. Ezért az a) kijelentésből következik a c) is.

Az a) bizonyításához legyen x ∈ X rögzítve, és tekintsük a γ˙x : G/Gγ,x → X folytonos bijekciót. Azt kell igazolni, hogy ez nyílt leképezés. Tekintettel arra, hogy πG/Gγ,x : G → G/Gγ,x folytonos szürjekció és γ˙x ◦ πG/Gγ,x = γx; a γ˙x nyíltságához elegendő a γx : G → X orbitális függvény nyíltságát bizonyítani. Ha s ∈ G és U környezete s-nek, akkor s⁻¹U környezete e_G-nek, és γxhUi = (γx◦γ_G(s))hs⁻¹Ui = (γ(s)◦γx)hs⁻¹Ui = γ(s)hγxhs⁻¹Uii, továbbá γ(s) : X → X homeomorfizmus. Ezért a γ_x : G → X függvény nyíltsága ekvivalens azzal, hogy az e_G minden U környezetére γxhUi az xpontnak környezete, vagyis x∈Int(γxhUi).

Legyen U tetszőleges környezete e_G-nek, és olyan V olyan kompakt szimmetrikus környezete e_G-nek, amelyre V V ⊆ U. Legyen (K_n)_n∈N a G kompakt részhalmazainak olyan sorozata, amelyre G = ^S

n∈NKn. Ekkor a γ ábrázolás tranzitivitása miatt X =

{γ(s)x|s ∈ G} = {γx(s)|s ∈ G} = γxhGi = γxh ^S

n∈NKni = ^S

n∈NγxhKni. Minden n ∈ N esetén Kn ⊆ ^S

s∈Kn

(sV), ezért a Kn kompaktsága miatt van olyan S ⊆ Kn véges halmaz, amelyre Kn ⊆ ^S

s∈S(sV). Ezért kiválaszthatunk olyan (Sn)n∈N halmazsorozatot, amelyre minden n ∈ N esetén Sn ⊆ Kn véges halmaz, és Kn ⊆ ^S

s∈Sn

(sV). Legyen σ : N → ^S

n∈NSn tetszőleges szürjekció, és minden n ∈ N esetén sn := σ(n). Ekkor (sn)n∈N olyan sorozat G-ben, amelyre X = ^S

n∈NγxhKni= ^S

n∈N

S

s∈Sn

γxhsVi = ^S

n∈NγxhsnVi. Ugyanakkor minden N∋n-re a γ_xhs_nVi halmaz kompakt X-ben, tehát zárt is, mert X Hausdorff-tér. Az X-re vonatkozó hipotézis alapján van olyan n ∈ N, hogy γxhsnVi nem seholsem sűrű, tehát Int (γxhsnVi) 6= ∅. Ha n ∈ N ilyen, akkor a γ(sn) : X → X függvény homeomorfitása miatt ∅ 6= Int (γxhsnVi) = Int ((γx◦γ_G(sn))hVi) = Int((γ(sn)◦γx)hVi) = γ(sn)hInt (γxhVi)i, ezért Int (γxhVi) 6= ∅. Vegyünk egy x0 ∈ Int (γxhVi)pontot. Legyen s∈V olyan, amelyre x0 =γx(s) := γ(s)x. Ekkor

x=γ(s⁻¹)x0 ∈γ(s⁻¹)hInt (γxhVi)i=Int γ(s⁻¹)hγxhVii =Int γxhs⁻¹Vi ⊆

⊆Int γxhV⁻¹Vi ⊆Int (γxhUi), tehát x∈Int(γxhUi).

2.6.4. Állítás. Legyen γ tranzitív ábrázolása a G topologikus csoportnak az X halmaz-ban. Létezik X felett egyetlen olyan topológia, amelyre teljesül az, hogy minden x ∈ X esetén a γ˙x :G/Gγ,x →X függvény homeomorfizmus. Ha az X halmazt ellátjuk ezzel a topológiával, akkor γ folytonos topologikus ábrázolása a G topologikus csoportnak az X topologikus térben.

Bizonyítás. A bizonyításban T_G fogja jelölni a G feletti csoport-topológiát. Minden x∈X esetén legyen T_x aG/Gγ,x feletti faktortopológiaγ˙x bijekció által létesített képe, tehát

T_x :={Ω⊆X | ”γ⁻¹˙xhΩi nyílt halmazG/Gγ,x-ben”}=

={Ω⊆X | ”⁻¹γxhΩi nyílt halmaz G-ben”},

hiszenγ˙x◦πG/Gγ,x =γx, és a faktortopológia értelmezése alapján egyΩ^′ ⊆G/Gγ,xhalmaz pontosan akkor nyílt a faktortopológia szerint, ha π_G/G⁻¹_γ,xhΩ^′i nyílt halmaz G-ben. Ha x ∈ X, akkor a definíció szerint T_x olyan topológia X felett, hogy a γ˙x : G/Gγ,x → X bijekció homeomorfizmus a G/Gγ,x feletti faktortopológia és aT_x topológia szerint.

Megmutatjuk, hogy a T_x topológia az x ∈ X elemtől független. Ehhez legyenek x1, x2 ∈ X tetszőlegesek, és a γ ábrázolás tranzitivitását kihasználva vegyünk olyan G∋s-t, amelyreγ(s)x2 =x1. Ekkor γx1 =γx2◦δ_G(s⁻¹), és aδ_G(s⁻¹) :G→Gleképezés homeomorfizmus, valamint aγx2 :G→X folytonosT_GésT_x2 szerint, így aγx1 :G→X

függvény is folytonos aT_G ésT_x

2 topológiák szerint. Ebből következik, hogyT_x

2 ⊆T_x

1. Az x₁ és x₂ (szimmetrikus) szerepét felcserélve kapjuk, hogy T_x1 ⊆ T_x2 is teljesül, így T_x

1 ⊆T_x

2.

Jelölje most T a T_x topológiát, ahol x ∈ X tetszőleges. Világos, hogy a definíció szerint minden X ∋x-re a γ˙x :G/Gγ,x→X függvény homeomorfizmus a G/Gγ,x feletti faktortopológia és a T topológia szerint, ezért γx = ˙γx◦πG/Gγ,x miatt a γx : G → X függvény folytonos a T_G ésT topológiák szerint.

Megmutatjuk, hogy ha az X halmazt ellátjuk a T topológiával, akkor a γ ábrázolás folytonos topologikus ábrázolása a G topologikus csoportnak az X topologikus térben, vagyis az

f :G×X →X; (s, x)7→γ(s)x

leképezés folytonos a T_G ×T és T topológiák szerint. Ehhez legyen x ∈ X rögzített pont. Világos, hogy az id_G ×γ˙_x : G×(G/G_γ,x) → G×X függvény homeomorfizmus a T_G ×(T_G/Gγ,x) és T_G ×T topológiák szerint, ezért f pontosan akkor folytonos a T_G×T és T topológiák szerint, ha az

f ◦(id_G×γ˙_x) :G×(G/G_γ,x)→X

függvény folytonos a T_G × (T_G/Gγ,x) és T topológiák szerint. Világos, hogy az id_G × πG/Gγ,x : G × G → G × (G/Gγ,x) függvény nyílt szürjekció a T_G × T_G és T_G×(T_G/G_γ,x) topológiák szerint. Ezért az f függvény (megfelelő topológiák szerinti) folytonosságához elegendő azt igazolni, hogy az

(f ◦(id_G×γ˙x))◦ id_G×πG/Gγ,x :G×G→X

függvény folytonos a T_G ×T_G és T topológiák szerint. Viszont a definíciók alapján nyilvánvaló, hogy

(f ◦(id_G×γ˙x))◦ id_G×πG/Gγ,x =f◦ id_G× γ˙x◦πG/Gγ,x =

=f◦(id_G×γx) = γx◦p_G,

és itt a jobb oldalon olyan függvény áll, amely folytonos a T_G×T_G és T topológiák szerint, hiszen p_G a (GTI) alapján T_G×T_G-T_G folytonos, és a γx : G → X függvény folytonos a T_G és T topológiák szerint.

Végül, a T topológia nyilvánvalóan egyértelműen van meghatározva azzal a feltétellel, hogy minden x ∈ X esetén a γ˙x : G/Gγ,x → X függvény homeomorfizmus T_x és T szerint, hiszen ha x∈X bármelyik rögzített pont és T ilyen tulajdonságú topológia X felett, akkor T ={ Ω⊆X | γ⁻¹˙xhΩi ∈T_x }.

2.6.5. Definíció. Haγ tranzitív ábrázolása a Gtopologikus csoportnak az X halmazban, akkor az X felettiγ-topológiának nevezzük azt azX feletti topológiát, amelyre minden x∈X esetén a γ˙x :G/Gγ,x→X függvény homeomorfizmus.

Tehát, ha G topologikus csoport, és γ tranzitív ábrázolása a G csoportnak az X halmazban, továbbáX felett aγ-topológiát vesszük, akkor minden x∈X eseténγ_G/Gγ,x és γ folytonos topologikus ábrázolások topologikusan ekvivalensek. Azonban létezhet X felett olyan topológia, amely szerint γ folytonos topologikus ábrázolás, de különbözik a γ-topológiától, amit a következő példa illusztrál.

Példa. Legyen θ ∈ R⁺ tetszőleges szám, és lássuk el Z-t az összeadással és a diszkrét topológiával (tehát Z kommutatív σ-kompakt lokálisan kompakt csoport), valamint minden n∈Z esetén legyen

γθ(n) :C→C; z 7→e^2πiθnz.

Ekkorγθ aZcsoportnak topologikus ábrázolása az euklidészi topológiával ellátottC loká-lisan kompakt térben, és természetesen ez nem tranzitív ábrázolás. Mindenz ∈Cesetén legyen Xθ,z :={e^2πiθnz|n ∈Z}, vagyisXθ,z egyenlő az z ∈C pont γθ szerinti pályájával.

Világos, hogy z ∈ C esetén az Xθ,z halmaz γθ-invariáns, és a γθ|Xθ,z részábrázolás a Z csoportnak tranzitív ábrázolása az Xθ,z halmazban; könnyen látható, hogy ez folytonos topologikus ábrázolás, ha az Xθ,z halmazt a C feletti euklidészi topológia leszűkítésével látjuk el. Ha θ racionális szám, akkor minden z ∈ C esetén az Xθ,z halmaz véges, és az Xθ,z feletti γθ|Xθ,z-topológia a diszkrét topológia, tehát egyenlő a C topológiájának Xθ,z-re vett leszűkítésével. Azonbanirracionálisθesetében mindenz ∈C\{0}pontra az Xθ,z felettiγθ|Xθ,z-topológia különbözik aC-ből indukált altértopológiától, pedigγθ|Xθ,z

ez utóbbi ("természetes") topológia szerint is folytonos ábrázolása Z-nek.

Ugyanakkor korábban igazoltuk, hogy ha G σ-kompakt lokálisan kompakt csoport, valamint X olyan Hausdorff-tér, hogyX nem áll elő megszámlálható sok seholsem sűrű halmaz uniójaként, és γ tranzitív folytonos topologikus ábrázolása G-nek X-ben, akkor az X topológiája megegyezik azX halmaz felettiγ-topológiával.

Megjegyezzük, hogy ha γ folytonos topologikus ábrázolása a G topologikus csoport-nak az X topologikus térben, és Y ⊆ X tetszőleges γ-invariáns halmaz, akkor a γ|Y részábrázolás folytonos topologikus ábrázolása G-nek az Y topologikus altérben, hiszen a G×Y → Y; (s, y) 7→ (γ|Y)(s)y leképezés a folytonos G×X → X; (s, x) 7→ γ(s)x függvény leszűkítése G×Y-ra. Speciálisan, ha V folytonos unitér ábrázolása a G topo-logikus csoportnak a H Hilbert-térben és K ⊆H egy V-invariáns zárt lineáris altér, akkor aV|K részábrázolás folytonos unitér ábrázolása aGtopologikus csoportnak aK Hilbert-altérben.

In document Absztrakt harmonikus analízis (Pldal 55-59)