Példák Haar-mértékekre és moduláris függvényekre

1) Legyen Gdiszkrét csoport. Minden ϕ ∈K (G;C) esetén[ϕ 6= 0] véges halmaz, így a β :K (G;C)→C; ϕ7→ ^X

s∈G

ϕ(s)

leképezés jól értelmezett, és nyilvánvalóan Haar-mértékGfelett. Speciálisan, haGvéges szeparált topologikus csoport, akkor G diszkrét és kompakt, tehát az imént értelmezett β leképezés Haar-mérték G felett.

2) Legyenek G és G^′ lokálisan kompakt csoportok, és π : G → G^′ topologikus algebrai izomorfizmus. Ekkor minden Gfeletti βG baloldali Haar-mértékre π(βG)baloldali Haar-mérték G^′ felett, hiszen s^′ ∈G^′ esetén

γ_G^′(s^′)◦π=π◦γ_G(π(s^′)⁻¹), következésképpen (γG^′(s^′))(π(βG)) = π(βG).

3) Legyen n ∈N és tekintsük Rⁿ-t az összeadással, mint csoportművelettel, és az eukli-dészi topológiával ellátva. Ekkor Rⁿ kommutatív lokálisan kompakt csoport, tehát uni-moduláris. Ha µRⁿ jelöli az Rⁿ feletti R_Rn standard halmazgyűrűn telmezett Lebesgue-mértéket, akkor minden F Banach-térre fennáll a K (Rⁿ;F)⊆L¹

F(Rⁿ,R_Rn, µRⁿ) össze-függés, ezért jól értelmezett a

βRⁿ :K (Rⁿ;C)→C; ϕ 7→

Z

Rⁿ

ϕ dµRⁿ

leképezés, ami pozitív Radon-mérték az Rⁿ lokálisan kompakt tér felett. Az elemi analízisből ismert helyettesítéses integrálás tétele alapján minden σ : Rⁿ → Rⁿ C¹ -diffeomorfizmusra és ϕ∈K (Rⁿ;C) függvényre

βRⁿ(ϕ) :=

Z

Rⁿ

ϕ dµRⁿ =

Z

Rⁿ

(ϕ◦σ)|det(Dσ)| dµRⁿ = (σ(|det(Dσ)|.βRⁿ))(ϕ),

ami azt jelenti, hogy

βRⁿ =σ(|det(Dσ)|.βRⁿ).

Ebből azonnal következik, hogy βRⁿ Haar-mérték az Rⁿ kommutatív lokálisan kompakt csoport felett, hiszen s ∈ Rⁿ esetén az γRⁿ(s) : Rⁿ → Rⁿ; t 7→ s +t leképezés olyan C^∞-diffeomorfizmus, amelyreD(γRⁿ(s))egyenlő azidRⁿ értékű konstansfüggvénnyel, így

|det(D(γRⁿ(s)))|= 1.

Az is látható, hogy haγ jelöli aGL(n,R)csoport természetes ábrázolását azRⁿlokálisan kompakt térben (vagyis u ∈ GL(n,R) esetén γ(u) := u), akkor βRⁿ olyan pozitív, nem nulla, relatív γ-invariáns Radon-mérték Rⁿ felett, amelynek multiplikátora megegyezik a |det| függvényGL(n,R)-re vett leszűkítésével.

4) Legyen n ∈ N⁺ és H ⊆ GL(n,R) zárt részcsoport. Tekintsük az RⁿsH standard lokálisan kompakt féldirekt szorzatot, tehát itt a féldirekt csopor-szorzást a

H →Aut(Rⁿ); h7→τ_h :=h

leképezés generálja. Jelölje χ azt a H → R⁺ folytonos csoport-morfizmust, amelyre teljesül az, hogy mindenH ∋u-ra és mindenRⁿfelettiβHaar-mértékreu(β) = χ(u)⁻¹.β.

A 3) példa alapján az Rⁿ feletti Lebesgue-mérték által generált βRⁿ Radon-mérték Haar-mérték Rⁿ felett, és minden GL(n,R) ∋ u-ra u(βRⁿ) = |det(u)|⁻¹.βRⁿ, ezért χ(u) = |det(u)|, vagyis χ = |det||^H. Tehát, ha βH baloldali Haar-mérték H felett, akkor βRⁿ ⊗ (|det||⁻¹H .βH) baloldali Haar-mérték RⁿsH felett. Ugyanakkor minden Rⁿ × H ∋ (a, u)-ra ∆RⁿsH(a, u) = |det(u)|⁻¹∆H(u). Speciálisan, ha H kommutatív (így unimoduláris), de |det| 6= 1 a H halmazon (például H :={α.idRⁿ|α ∈R⁺}), akkor RⁿsH nem unimoduláris.

5) Különösen egyszerű példa nem unimoduláris csoportra a G:= b a

0 1 (a∈R)∧(b ∈R⁺) mátrixcsoport, hiszen az

R×R⁺ →G; (a, b)7→ b a 0 1 leképezés topologikus algebrai izomorfizmus az R⊗

τ R⁺ lokálisan kompakt féldirekt szorzat és G között, ahol minden b ∈ R⁺ és a ∈ R esetén τb(a) := ba; továbbá ez az R⊗

τ R⁺ féldirekt szorzat a 4) példa végén említett csoport-típusnak speciális esete.

Egy másik példa nem unimoduláris csoportra a G:= b a

0 b⁻¹ (a ∈R)∧(b∈R⁺)

mátrixcsoport. Valóban, ekkor az

R×R⁺ →G; (a, b)7→ b b⁻¹a 0 b⁻¹ leképezés topologikus algebrai izomorfizmus az R⊗

τ R⁺ lokálisan kompakt féldirekt szorzat és G között, ahol minden b ∈ R⁺ és a ∈ R esetén τb(a) := b²a. Ha b ∈ R⁺, akkor minden ϕ ∈K (R;C) esetén

(τb(βR))(ϕ) =

Z

R

ϕ◦τb dβR=

Z

R

ϕ(b²a) dβR(a) = 1

b²βR(ϕ), következésképpen χτ(b) =b². Ezért minden (a, b)∈R×R⁺ esetén

∆R⊗

τ

R⁺(a, b) = 1 b², tehát R⊗

τ R⁺ nem unimoduláris, így G sem az.

6) Legyen E véges dimenziós vektortér K felett, és lássuk el E-t az összeadással, mint csoportművelettel, és az egyetlen szeparált lineáris topológiával. Ekkor E kommutatív lokálisan kompakt csoport ([19, 1.6.9.]). Legyen n := dimR(E), és βRⁿ az n dimenziós Lebesgue-mérték által meghatározott Radon-mérték az Rⁿ lokálisan kompakt tér felett.

Hau:Rⁿ →E tetszőlegesR-lineáris bijekció, akkorutopologikus algebrai izomorfizmus az Rⁿ és E kommutatív lokálisan kompakt csoportok között, tehát a 2) példa szerint u(βRⁿ) Haar-mértékE felett. Ennek két fontos sepciális esete van.

– Ha n∈N⁺, akkor az

u:Rⁿ×Rⁿ →Cⁿ; ((xk)k∈n,(yk)k∈n)7→(xk+iyk)k∈n

leképezés topologikus algebrai izomorfizmus az Rⁿ⊗Rⁿ topologikus szorzatcsoport és a Cⁿ additív topologikus csoport között, ezért u(βRⁿ⊗βRⁿ) Haar-mérték a Cⁿ additív topologikus csoport felett. Ennek az explicit alakja a következő:

K (Cⁿ;C)→C; ϕ7→

Z

Rⁿ×Rⁿ

ϕ(x+iy)d(µRⁿ ⊗µRⁿ)(x, y),

ahol x, y ∈ Rⁿ esetén x+iy ∈ Cⁿ az a komplex szám n-es, amelyre minden 0 ≤ k < n esetén (x+iy)k =xk+iyk.

– Ha n ∈ N, akkor az M_n(K) mátrixalgebra R felett n² dimenziós, ha K = R, és 2n² dimenziós, ha K=C. Ezért bármilyenu R-lineáris bijekciót választvaRⁿ² (illetve R²ⁿ²) és Mn(R) (illetve Mn(C)) között, az u(β_Rn2) (illetve u(β_R2n2)) funkcionál Haar-mérték az Mn(R) (illetve Mn(C)) additív kommutatív lokálisan kompakt csoport felett.

7) Jelölje R^∗ az R\ {0} halmazt a szorzással, mint csoportművelettel, és az R feletti euklidészi topológia R^∗-ra vett leszűkítésével ellátva; ekkor R^∗ kommutatív lokálisan kompakt csoport. Ha ϕ ∈ K (R^∗;C), akkor létezik a 0-nak olyan U környezete R-ben, hogy supp(ϕ)⊆R\U, ezért a

integrál jól értelmezett, ahol µRaz egydimenziós Lebesgue-mérték. Világos, hogy az így meghatározottβ :K (R^∗;C)→Clineáris funkcionál nem nulla pozitív Radon-mértékR^∗ felett. A helyettesítéses integrálás tétele alapjánβ Haar-mérték azR^∗ lokálisan kompakt csoport felett. Valóban, ha s ∈ R^∗, akkor a γR^∗(s) : R^∗ → R^∗; t 7→ st leképezés C¹ -diffeomorfizmus, és |det(D(γR^∗(s)))| egyenlő az|s|értékű konstansfüggvénnyel R^∗ felett, ezért minden ϕ∈K (R^∗;C) függvényre

Hasonlóan egyszerű annak bizonyítása, hogy az Ukommutatív kompakt csoport felett a C(U;C)→C; ϕ 7→

Z1 0

ϕ(e^2πit) dµR(t) leképezés Haar-mérték.

8) Legyen A egységelemes, véges dimenziós normált algebra, és jelölje G(A) az A invertálható elemeinek csoportját. Tudjuk, hogy A Banach-algebra, tehát G(A) nyílt halmazA-ban, ígyG(A)azAszorzásával, mint csoportművelettel, valamint azAlineáris topológiájának G(A)-ra vett leszűkítésével ellátva lokálisan kompakt csoport. Minden s ∈G(A)esetén értelmezzük az Ls :A→A; a7→sa függvényt. Jelölje m azA algebra dimenzióját Rfelett. Azt állítjuk, hogy létezik egyetlen olyan χ:G(A)→R⁺ folytonos csoport-morfizmus, hogy minden u:R^m→A R-lineáris bijekcióra és G(A)∋s-re

χ(s) = 1

|det(u⁻¹◦Ls◦u)|,

továbbá, ha u:R^m →A tetszőleges R-lineáris bijekció, akkor a βu :K (G(A);C)→C; ϕ7→

Z

−1uhG(A)i

((ϕχ)◦u)dµR^m

leképezés baloldali Haar-mérték G(A) felett. (Megjegyezzük, hogy ha s ∈ G(A), akkor az Ls : A → A leképezés lineáris bijekció, tehát ha u : R^m → A tetszőleges R-lineáris bijekció, akkor u⁻¹◦Ls◦u ∈ GL(m,R), ezért det(u⁻¹◦Ls◦u) jól értelmezett, nem 0 valós szám.)

Valóban, ha u, v :R^m →A mindketten R-lineáris bijekciók, és s ∈G(A), akkor u⁻¹◦Ls◦u= (u⁻¹◦v)◦(v⁻¹◦Ls◦v)◦(v⁻¹◦u),

és u⁻¹ ◦v ∈ GL(m,R) olyan, hogy v⁻¹ ◦u = (u⁻¹ ◦v)⁻¹, így a determináns-függvény multiplikativitása folytán det(u⁻¹ ◦Ls◦u) = det(v⁻¹ ◦Ls◦v). Ezért létezik egyetlen olyan χ : G(A) → R⁺ függvény, amelynek a létezését állítottuk. Az A szorzásának asszociativitásából következik, hogy ez a χ függvény csoport-morfizmus. Továbbá χ folytonos is, mert előáll folytonos függvények kompozíciójaként.

Legyen most u : R^m → A rögzített R-lineáris bijekció, és tekintsük a βu leképezést, amely nyilvánvalóan nem nulla pozitív Radon-mérték G(A) felett. Ha s ∈G(A), akkor χ◦L_s⁻¹ = χ(s⁻¹)χ, ezért minden ϕ ∈ K (G(A);C) esetén a helyettesítéses integrálás tételét alkalmazva kapjuk, hogy

(γG(A)(s)βu)(ϕ) := βu(ϕ◦γG(A)(s)) :=

=

Z

−1uhG(A)i

(ϕ◦γG(A)(s)◦u)(χ◦u)dµR^m =

Z

−1uhG(A)i

(ϕ◦Ls◦u)(χ◦u)dµR^m =

=

Z

−1uhG(A)i

((ϕ◦u)(χ◦Ls⁻¹ ◦u))◦(u⁻¹◦Ls◦u) dµR^m =

=

Z

−1uhG(A)i

(ϕ◦u)(χ◦L_s⁻¹ ◦u)

|det(u⁻¹◦Ls◦u)| dµR^m =

=χ(s)

Z

−1uhG(A)i

(ϕ◦u)χ(s⁻¹)(χ◦u) dµR^m =

Z

−1uhG(A)i

((ϕχ)◦u)dµR^m =:βu(ϕ), tehát βu baloldali Haar-mérték G(A)felett.

9) A 8) példa eredményeit természetesen alkalmazhatjuk az Mn(K) mátrixalgebrákra.

Ekkor G(M_n(K)) = GL(n,K), tehát így konkrét alakot kapunk a GL(n,K) teljes

mátrixcsoport feletti baloldali Haar-mértékekre. Nemtriviális multilineáris algebrai meggondolásokkal kideríthető, hogy s ∈ GL(n,R) esetén χ(s) = |det(s)|⁻ⁿ, míg s ∈ GL(n,C) esetén χ(s) = |det(s)|⁻²ⁿ. Továbbá, ekkor a 8)-ban értelmezett baloldali Haar-mérték automatikusan jobbinvariánsnak bizonyul, ezért GL(n,K) unimoduláris csoport.

6. fejezet

Lokálisan kompakt csoport

In document Absztrakt harmonikus analízis (Pldal 125-131)