Absztrakt harmonikus analízis

Absztrakt harmonikus analízis

Kristóf János

Tartalomjegyzék

I. Absztrakt harmonikus analízis 2

1. Csoportok ábrázolásai 7

1.1. Példák csoportokra . . . 7

1.2. Csoportok ábrázolásai . . . 11

1.3. Összekötő operátorok és irreducibilitás . . . 22

1.4. Ciklikus ábrázolások . . . 26

1.5. Csoport algebrai duálisa . . . 30

1.6. Triviális véges dimenziós unitér ábrázolásokkalrendelkező csoportok . . . 31

2. Topologikus csoportok és folytonos ábrázolások 34 2.1. Csoport-topológiák tulajdonságai . . . 34

2.2. Metrizálható topologikus csoportok . . . 41

2.3. Összefüggő topologikus csoportok . . . 44

2.4. Egyenletes folytonosság . . . 45

2.5. Folytonos topologikus ábrázolások . . . 47

2.6. Tranzitív topologikus ábrázolások . . . 50

2.7. Folytonos unitér ábrázolások . . . 54

3. Folytonos függvények lokálisan kompakt tér felett 59 3.1. Felbontási-lemma és hányados-lemma . . . 59

3.2. Approximációs-lemma . . . 62

3.3. Bruhat-féle keresztmetszet-függvény . . . 66

4. Komplex Radon-mértékek 69 4.1. Komplex Radon-mértékek alaptulajdonságai . . . 69

4.2. Pozitív Radon-mértékek . . . 73

4.3. Radon-mérték tartója. . . 78

4.4. Folytonos kompakt tartójú függvény integrálja . . . 81

4.5. Paraméteres integrálok folytonossága . . . 86

4.6. Radon-mértékek tenzorszorzata és az elemiLebesgue–Fubini-tétel . . . 89

4.7. Radon-mértékek leszűkítése és összeragasztása . . . 94

5. Invariáns Radon-mértékek 99 5.1. Az invariáns Radon-mértékek szerepe az unitérábrázolások elméletében . 99

5.2. Haar-mérték egzisztenciája és unicitása . . . 105

5.3. Lokálisan kompakt csoport moduláris függvénye . . . 112

5.4. Haar-mérték és moduláris függvény lokálisankompakt féldirekt szorzat felett116 5.5. Példák Haar-mértékekre és modulárisfüggvényekre . . . 120

6. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája 126 6.1. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájánakértelmezése . . . 126

6.2. δ-rendszerek . . . 132

6.3. A mértékalgebra kommutativitásának ésegységelemességének kritériuma . 137 6.4. A harmonikus analízis alaptétele. . . 141

6.5. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájánakkarakterei . . . 150

6.6. Összekötő operátorok . . . 155

6.7. Baloldali reguláris ábrázolásés a Gelfand–Rajkov-tétel . . . 157

6.8. Unitér ábrázolások Hilbert-integrálja –Choquet-tétel . . . 160

6.9. A mértékalgebra integrál-realizációja* . . . 167

7. Kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai 176 7.1. Kompakt csoport feletti Haar-mértéktulajdonságai . . . 176

7.2. Ortogonalitási relációk . . . 181

7.3. Kompakt csoport feletti trigonometrikuspolinomok . . . 184

7.4. Approximáció trigonometrikuspolinomokkal – Első Peter–Weyl-tétel . . . 186

7.5. Kompakt csoport ábrázoláskarakterei . . . 191

7.6. Kompakt csoport mértékalgebrájának szerkezete . . . 193

7.7. Kompakt csoport unitér ábrázolásánakfelbontása irreducibilisek Hilbert-összegére –Második P 8. Kommutatív lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai 204 8.1. Kommutatív lokálisan kompakt csoporttopologikus duálisa . . . 204

8.2. Fourier-transzformáció . . . 209

8.3. Stone-tétel és unitér ábrázolás spektruma . . . 213

8.4. Fourier-féle δ-rendszerek . . . 225

8.5. Duális Haar-mérték . . . 228

8.6. Fourier-transzformáció az L_F¹(G, β)téren* . . . 235

8.7. A Fourier-féle inverziós-tétel alapformája* . . . 239

8.8. Fourier-féle inverziós-tétel* . . . 247

8.9. Fourier-transzformáció az L_F²(G, β)téren –Plancherel-tétel* . . . 257

8.10. Pontrjagin-féle dualitás-tétel* . . . 269

9. Radon-mérték faktorizációja lokálisan kompakt csoporton 274

9.1. A faktorizáció értelmezése és alaptulajdonságai. . . 274

9.2. A faktorizálhatóság kritériumai . . . 279

9.3. Kompakt tartójú faktormértékek és Bruhat-félekeresztmetszet-függvény . 282 9.4. Invariáns és relatív invariáns pozitívRadon-mértékek homogén téren . . . 285

9.5. Topologikusan kváziinvariáns pozitívRadon-mértékek homogén téren . . . 287

10.Indukált unitér ábrázolások 291 10.1. Indukált lineáris és indukált unitérábrázolások értelmezése . . . 291

10.2. Elemi példák indukált unitér ábrázolásokra . . . 295

10.3. Speciális elemek indukált unitér ábrázolásterében . . . 296

10.4. Az irreducibilitás tétele . . . 301

10.5. Imprimitivitás-rendszerek és az indukálhatóságszükséges feltétele . . . 303

10.6. Az indukálhatóság elégséges feltétele –Mackey-féle imprimitivitás-tétel . . 309

10.7. Az indukálás tranzitivitása . . . 324

10.8. Indukált unitér ábrázolások Hilbert-összege . . . 335

10.9. Az indukált unitér ábrázolások alternatívformája . . . 337

10.10.Lokálisan kompakt féldirekt szorzatokindukált unitér ábrázolásai . . . 340

11.Mackey-féle reprezentációs tétel 357 11.1. Lokálisan kompakt csoport belső topologikusábrázolásai . . . 357

11.2. A Mackey-féle reprezentációs tétel bizonyítása . . . 361

II. Függelék: A topologikus integrálelmélet elemei 373

12.2. Pozitív függvény felső integrálja . . . 377

12.3. Speciális alakú pozitív Radon-mértékekszerinti felső integrál . . . 381

12.4. Additivitás- és szubtraktivitás-formulák . . . 388

12.5. Halmaz külső mértéke . . . 391

12.6. Eltűnő függvények és nullahalmazok. . . 392

12.7. Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenség . . . 396

13.Pozitív Radon-mérték szerinti L^p F(T, µ)-terek 400 13.1.L_F^p(T, µ)-terek alaptulajdonságai . . . 400

13.2. Kapcsolatok az L_F^p(T, µ)-terek között . . . 406

13.3. Az L^p F(T, µ)-terek teljessége – Riesz–Fischer-tétel . . . 409

13.4. Az L_R^p(T, µ)-terek tulajdonságai – Levi-tétel . . . 413

13.5. Lebesgue-tétel . . . 418

14.Integrál az L¹

F(T, µ)-téren 421

14.1. Az integrál értelmezése és alaptulajdonságai . . . 421

14.2. Az integrálható halmazok δ-gyűrűje . . . 426

14.3. Speciális Radon-mértékek szerinti integrál . . . 428

14.4. Du Bois-Reymond lemma . . . 432

14.5. Az integrál lokalizációja . . . 436

14.6. Lebesgue-tétel azL¹ F(T, µ)térre . . . 439

14.7. Szorzatmérték szerinti integrál –Lebesgue–Fubini-tétel . . . 440

15.A korlátos Radon-mérték szerinti integrálás elemi elmélete 446 15.1. A korlátos Radon-mérték szerinti integrálértelmezése . . . 446

15.2. A korlátos Radon-mérték szerinti integrálalaptulajdonságai . . . 452

15.3. A korlátos Radon-mérték szerinti integráljellemzése . . . 457

15.4. Lokálisan kompakt csoport teljesmértékalgebrája . . . 461

I. rész

Absztrakt harmonikus analízis

BEVEZETÉS

Azabsztrakt harmonikus analízisa lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrá- zolásainak elmélete. Ez az elmélet felöleli a kommutatív lokálisan kompakt csoportokkal kapcsolatos Fourier-sorok és Fourier-integráloktémakörét (vagyis a klasszikus harmoni- kus analízist), de azon messze túlmutat. Tartalmazza a kompakt (speciálisan: véges) csoportok folytonos unitér ábrázolásainak elméletét, amelynek fontos alkalmazásai van- nak a kvantumfizikai részecskék és részecske-rendszerek elméleti vizsgálatában, valamint a szilárdtestfizikában. Továbbá, részelmélete neki az indukált unitér ábrázolások elmé- lete, amely lehetővé teszi a kvantummechanikai rendszerek téridőbeli modellezését.

Az első fejezetben összefoglaljuk azokat a legfontosabbalgebraijellegű definíciókat és tulajdonságokat, amelyeket a harmonikus analízis kifejtése során felhasználunk. Példákat mutatunk be azokra a csoportokra, amelyekre a harmonikus analízis tételei alkalmazha- tók, majd megadjuk a csoportok ábrázolásának fogalmát. Ezek legfontosabb speciális esete a topologikus terekben homeomorfizmusokkal, valamint a Hilbert-terekben unitér operátorokkal való ábrázolások. Bevezetjük a legelemibb unitér ábrázolás-konstrukció- kat: az unitér ábrázolások Hilbert-összegzését, tenzorszorzását és konjugálását. Szó lesz az unitér ábrázolások irreducibilitásának és ciklikusságának fogalmáról, és azok kapcso- latáról. Megmutatjuk, hogy minden unitér ábrázolás felbontható ciklikus unitér ábrá- zolások Hilbert-összegére. Bevezetjük a csoportok algebrai duálisát, amelynek központi jelentősége van a harmonikus analízisben. Végül példát adunk olyan csoportokra, ame- lyeknek minden véges dimenziós unitér ábrázolása triviális, vagyis minden csoportelemet az identikus operátor reprezentál. Ez rávilágít arra, hogy a csoportok nemtriviális unitér ábrázolásainak vizsgálatához szükségszerű végtelen dimenziós unitér ábrázolásokkal is foglalkoznunk.

A második fejezetben a topologikus csoportokkal kapcsolatos legelemibb fogalmakat tárgyaljuk. Kitérünk a topologikus csoportok szétválasztási, valamint a lokálisan kom- pakt csoportok összefüggőségi tulajdonságaira. Részletesen megvizsgáljuk a lokálisan kompakt csoportok tranzitív folytonos topologikus ábrázolásainak problémáját. Értel- mezzük és jellemezzük az unitér ábrázolások folytonosságát, majd bevezetjük a topologi- kus csoportok topologikus duálisának fogalmát.

A harmonikus analízis vizsgálatának leghatékonyabb eszköze a lokálisan kompakt te- rek feletti Radon-mértékekelmélete. Ennek kellő mélységű kifejtéséhez nélkülözhetetlen néhány elemi tény ismerete a lokálisan kompakt terek feletti folytonos függvények téma- köréből; ezeket gyűjtjük egybe a harmadik fejezetben.

A negyedik fejezetben a lokálisan kompakt terek feletti Radon-mértékek elemi elmé- letéről lesz szó. Megvizsgáljuk a Radon-mértékek folytonossági tulajdonságait, és azokat az elemi operációkat, amelyeket Radon-mértékeken végre lehet hajtani: a konjugálást, az abszolútérték-képzést, a folytonos függvénnyel vett szorzást, a folytonos függvény ál-

tali kép előállítását, valamint a tenzorszorzást. Bevezetjük a Radon-mérték tartójának fogalmát, és megvilágítjuk a tartó jelentőségét. Értelmezzük a Banach-térbe ható folyto- nos kompakt tartójú függvények integrálját tetszőleges Radon-mérték szerint, valamint Banach-térbe ható tetszőleges folytonos függvény integrálját kompakt tartójú Radon- mérték szerint. Technikai szempontból különös jelentősége lesz a paraméteres integrálok folytonossági tételének, valamint az elemi Lebesgue–Fubini-tételnek.

Hangsúlyozzuk, hogy itt nem célunk a komplex Radon-mértékek szerinti integrálás általános elméletének kifejtése. Ilyen általános topologikus integrálelmélet létezik (a II.

részben erről lesz szó), de utólag kiderül, hogy arra még a harmonikus analízis egé- szen mély tételeinek bizonyításában sincs szükség. Itt csak azokra a legelemibb Radon- mértékelméleti és integrálelméleti tényekre szorítkozunk, amelyek nélkül a harmonikus analízis alaptételeit nem tudnánk bizonyítani. Azonban vannak az absztrakt harmoni- kus analízisnek olyan témakörei, amelyekben már a problémák megfogalmazásához is nélkülözhetetlen a topologikus integrálelmélet mélyebb ismerete. A topologikus integ- rálelmélet fogalmait és eredményeit lényegesen felhasználó pontokat a * szimbólummal különböztetjük meg.

Az ötödik fejezetben értelmezzük a lokálisan kompakt csoportok feletti Haar-mér- tékeket, és igazoljuk ezek létezését és (bizonyos értelmű) egyértelműségét. Egyidejűleg rámutatunk az invariáns mértékek létezésének ábrázoláselméleti jelentőségére. Egy loká- lisan kompakt csoport tranzitív folytonos topologikus ábrázolásának terén adott pozitív nem nulla invaráns Radon-mérték generálja a csoport egy nevezetes unitér ábrázolá- sát, amit reguláris ábrázolásnak nevezünk. Ez a konstrukció lehetőséget ad arra, hogy lokálisan kompakt csoport felett sok nemtriviális folytonos unitér ábrázolást értelmezhes- sünk. A Haar-mértékek segítségével bevezetjük a lokálisan kompakt csoportokmoduláris függvényét és az automorfizmusok modulusát. Kiszámítjuk lokálisan kompakt féldirekt szorzatcsoport bal- és jobboldali Haar-mértékét, valamint moduláris függvényét, továbbá megadjuk néhány konkrét lokálisan kompakt csoport baloldali Haar-mértékét.

A hatodik fejezetben a harmonikus analízis legfontosabb tételét tárgyaljuk. Kapcso- latot teremtünk egy lokálisan kompakt csoport összes folytonos unitér ábrázolásainak osztálya, valamint egy – a topologikus csoport-struktúra által meghatározott – appro- ximatív egységes Banach-*-algebra nemelfajult ábrázolásainak osztálya között. Az itt konstruált Banach-*-algebra a lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája. A mértékal- gebra előállítása szempontjából döntő jelentősége van a lokálisan kompakt csoport feletti folytonos kompakt tartójú függvények konvolúciójának és a konvolúció algebrai tulaj- donságainak. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája általában nem egységelemes, nem kommutatív és nem C^∗-algebra. Azonban tulajdonságait tekintve annyiban hason- lít a C^∗-algebrákra, hogy approximatív egységes, mint minden C^∗-algebra, és létezik hű ábrázolása, mint minden C^∗-algebrának. A lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásainak és a mértékalgebrája nemelfajult ábrázolásainak kapcsolatát ismerve be- bizonyítjuk a harmonikus analízis Gelfand–Rajkov-tételét, amely szerint lokálisan kom-

pakt csoport felett az irreducibilis folytonos unitér ábrázolások szétválasztjáka csoport elemeit. Azt is megmutatjuk, hogy megszámlálható bázisú lokálisan kompakt csoport minden ciklikus folytonos unitér ábrázolása felbontható irreducibilis folytonos unitér áb- rázolások – alkalmas módon értelmezett – Hilbert-integráljára; ez a harmonikus analízis Choquet-tétele.

A hetedik fejezetben kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásaival foglalkozunk.

Lokálisan kompakt csoport kompaktságát jellemezzük a Haar-mértékek korlátossági tu- lajdonságával. Bebizonyítunk két nevezetes ortogonalitási relációtkompakt csoport foly- tonos unitér ábrázolásaira, és megmutatjuk, hogy kompakt csoport irreducibilis folytonos unitér ábrázolásai véges dimenziósak. Megfogalmazunk néhány elemi tételt kompakt cso- port folytonos unitér karaktereire. Bevezetjük a kompakt csoport felettitrigonometrikus polinomok terét, és a Gelfand–Rajkov-tétel, valamint a Stone–Weierstrass-tétel alkal- mazásával megmutatjuk, hogy ez sup-normában sűrű a csoport feletti folytonos komp- lex függvények terében; ez az első Peter–Weyl-tétel. Bebizonyítjuk továbbá a második Peter–Weyl-tételt, amely szerint kompakt csoport minden folytonos unitér ábrázolása előáll irreducibilis folytonos unitér ábrázolások Hilbert-összegeként. Konkrétan felírjuk kompakt csoport baloldali reguláris ábrázolásának irreducibilis unitér részábrázolásokra való felbontását, amely megmutatja, hogy a csoport minden irreducibilis folytonos unitér ábrázolása a baloldali reguláris ábrázolásnak részábrázolása. Bevezetjük a véges dimen- ziós unitér ábrázolások karaktereit, és megvizsgáljuk ezek alkalmazhatóságát kompakt csoport topologikus duálisának kiszámításában.

A nyolcadik fejezetben áttérünk a klasszikus harmonikus analízis alapproblémájának, vagyis a kommutatív lokálisan kompakt csoportok folytonos unitér ábrázolásainak vizs- gálatára. Kommutatív lokálisan kompakt csoport topologikus duálisán bevezetünk egy természetes csoport-műveletet és topológiát, amelyekkel a duális szintén kommutatív lokálisan kompakt csoporttá válik. Értelmezzük a Fourier-transzformációt, amelyről látható lesz, hogy valójában a kommutatív Banach-*-algebrák önadjungált Gelfand- reprezentációjának speciális esete. A kommutatív Banach-*-algebrákra vonatkozó abszt- rakt Stone-tétel alkalmazásával bebizonyítjuk a harmonikus analízisStone-tételét, amely szerint kommutatív lokálisan kompakt csoport folytonos unitér ábrázolásai azonosul- nak a duális feletti nemelfajult projektorintegrálokkal. Alkalmazzuk a spektrális C^∗- algebrák esetében bizonyított spektráltételt Hilbert-tér folytonos lineáris operátorainak C^∗-algebrájára; így jutunk el a projektorintegrálok és a projektormértékekkapcsolatához.

Ennek alapján pontosítjuk a Stone-tételt.

Ezután részletesen megvizsgáljuk a Fourier-transzformáció természetes általánosítá- sának lehetőségét, a kommutatív lokálisan kompakt csoporton értelmezett, Banach-térbe vezető, Haar-integrálható függvények terére. Az eddigi eredmények származtatásához nincs szükség a topologikus integrálelméletre, elegendő hozzá a komplex Radon-mértékek elemi elmélete. Azonban a Fourier-féle inverziós-formula megfogalmazásához és bizonyí- tásához nélkülözhetetlen a topologikus integrálelmélet mélyebb ismerete. A szükséges

integrálelméleti fogalmak és állítások összefoglalása a Függelékben (II. rész) megta- lálható. Ezek alkalmazásával igazoljuk a klasszikus harmonikus analízis legfontosabb tételeit: a Fourier-féle inverziós tételt, a Plancherel-tételt, valamint a Pontrjagin-féle dualitás-tételt.

A matematikai fizikában természetes módon jelennek meg olyan lokálisan kompakt csoportok, amelyek nem kompaktak és nem kommutatívak, ugyanakkor szükség volna az irreducibilis folytonos unitér ábrázolásaik ismeretére. Ebből a szempontból döntő jelentőségű egy speciális unitér ábrázolás-konstrukció: az indukált unitér ábrázolások konstrukciója. Ezek pontos definíciójához, valamint a legelemibb tulajdonságaik bizonyí- tásához szükség van a lokálisan kompakt csoport feletti Radon-mértékek zárt részcsoport szerinti faktorizációjának elméletére. A mértékfaktorizáció elemi elméletét a kilencedik pontban tárgyaljuk, majd a nyert eredményeket a tizedik pontban alkalmazzuk, amely- ben megadjuk azindukált unitér ábrázolásokfogalmát, és vizsgáljuk ezek tulajdonságait.

Bevezetjük az indukált unitér ábrázoláshoz asszociált imprimitivitás-rendszerfogalmát, és ennek segítségével bebizonyítjuk a Mackey-féle imprimitivitás-tételt, amely jellemzést ad azokra a folytonos unitér ábrázolásokra, amelyek egy adott zárt részcsoport rögzített unitér ábrázolása által indukáltak. Szó lesz az indukált unitér ábrázolások irreducibili- tásának kritériumáról, valamint az indukált unitér ábrázolások egy speciális alternatív formájáról.

A tizenegyedik fejezetben bebizonyítjuk a harmonikus analízis egyik legmélyebb téte- lét: aMackey-féle reprezentációs tételt, amely bizonyos nem kompakt és nem kommutatív lokálisan kompakt csoportok esetében lehetőséget nyújt a csoport topologikus duálisának meghatározására.

Végül megemlítjük, hogy itt csak a legáltalánosabb és legelemibb harmonikus analí- zisbeli gondolatok bemutatására vállalkozunk. Teljesen kimarad például a Lie-csoportok unitér ábrázolásainak elmélete, az ezekkel kapcsolatos Lie-algebrákábrázolásainak elmé- lete, a Garding-tétel, a^o Kirillov-féle pályamódszer, s.í.t. Egyes speciális csoport-típusok (mint például az SL(n,R) vagy SU(n,C) mátrixcsoportok) ábrázolásainak vizsgálata külön fejezetet igényelne. Nem tárgyaljuk az univerzális fedőcsoportok, a Clifford-cso- portok, aClifford-algebrákés asugárábrázolásokelméletét. Nem térhetünk ki aszimplek- tikus csoportok Weil-féle reprezentációjánakvizsgálatára, valamint a harmonikus analízis analitikus számelméleti alkalmazásaira, például a lokálisan kompakt testek elméletében;

és a nem érintett témák sorát vég nélkül lehetne folytatni. Azonban az itt tárgyalt anyag ismerete nélkülözhetetlen a harmonikus analízis speciális témaköreinak megértéséhez.

1. fejezet

Csoportok ábrázolásai

1.1. Példák csoportokra

Először példákat adunk azokra a csoportokra, amelyekkel a harmonikus analízisben foglalkozunk.

1) Ha S egységelemes félcsoport (másnéven monoid), akkor az S invertálható elemeinek G(S) halmaza, a félcsoport-művelet G(S)×G(S)-re vett leszűkítésével ellátva csoport.

Ennek fontos speciális esete az, amikor X halmaz, és S egyenlő az X → X függvények F(X;X) halmazával, amelynek félcsoport-művelete a függvénykompozíció;

ekkor G(F(X;X)) egyenlő az X → X bijekciók (másnéven az X permutációinak) függvénykompozícióval ellátott csoportjával. Ha X halmaz, akkor S(X) jelöli az X permutációinak függvénykompozícióval ellátott csoportját, és ezt az X halmaz teljes permutációcsoportjának, vagy az X halmaz szimmetrikus csoportjának nevezzük. Ha n ∈ N, akkor S(n) helyett az S_n jelölést is alkalmazzuk. Ha X halmaz, akkor az S(X) csoport részcsoportjait az X halmazpermutációcsoportjainak nevezzük.

2) HaX topologikus tér, akkorH(X)jelöli azX topologikus térteljes homeomorfizmus- csoportját, vagyis az X → X homeomorfizmusok halmazát, a függvénykompozícióval ellátva. Világos, hogy H(X) részcsoportja az S(X) teljes permutációcsoportnak, vagyis H(X) permutációcsoportja az X halmaznak. A H(X) részcsoportjait azX topologikus tér homeomorfizmuscsoportjainaknevezzük.

3) Ha M sokaság, akkor Diff(M) jelöli az M sokaság teljes diffeomorfizmuscsoportját, vagyis az M → M diffeomorfizmusok halmazát a függvénykompozícióval ellátva. A Diff(M) részcsoportjait azM sokaság diffeomorfizmuscsoportjainaknevezzük.

4) Ha (M, g) pszeudoriemann-sokaság, akkor Iso(M, g) jelöli az (M, g) teljes izometria-

csoportját, tehát

Iso(M, g) :={σ ∈Diff(M) |(∀a∈M) :g(σ(a))◦(Ta(σ)×Ta(σ)) =g(a)}, és Iso(M, g) csoportművelete a függvénykompozíció. Speciálisan, ha (M, g, τ) Ein- stein-sokaság (tehát időorientált négydimenziós Lorentz-sokaság), akkor az Iso(M, g) csoportot az (M, g, τ) Einstein-sokaság Einstein-csoportjának nevezzük, és E(M, g, τ)- vel jelöljük. Ekkor SE(M, g, τ) jelöli az E(M, g, τ) csoportnak azt a részcsoportját, amelynek elemei megtartják a τ időorientációt. Ezt a csoportot nevezzük az Einstein- sokaság speciális Einstein-csoportjának.

5) Ha E vektortér, akkor GL(E) jelöli az E vektortér teljes lineáris csoportját, vagyis az E → E lineáris bijekciók halmazát, a függvénykompozícióval ellátva. Ha K test és n ∈ N, akkor a GL(Kⁿ) helyett a GL(n, K) szimbólumot alkalmazzuk. Ha K test, akkor a GL(1, K)csoport kanonikusan azonosítható aK test multiplikatív csoportjával, vagyis aK\ {0}halmazzal, amelynek művelete aK szorzásának(K\ {0})×(K\ {0})-ra vett leszűkítése. Ezt a nevezetes csoportot néha a K^∗ szimbólummal jelölik.

6) Ha E véges dimenziós vektortér a K test felett, akkor a det : GL(E) → K^∗ determináns-függvény csoport-morfizmus, ésSL(E)jelöli azE vektortérspeciális lineáris csoportját, vagyis SL(E) := {u ∈ GL(E) | det(u) = 1}. Ha K test és n ∈ N, akkor az SL(Kⁿ) jelölés helyett az SL(n, K) szimbólumot alkalmazzuk.

7) Legyen E vektortér és X ⊆E; ekkor

GL(E, X) :={u∈GL(E) | uhXi=X};

ez részcsoportja GL(E)-nek. Ha K test és n ∈ N, akkor a GL(Kⁿ, X) jelölés helyett az GL(n, K, X) szimbólumot alkalmazzuk. Ilyen alakú csoportok, illetve ezek bizonyos részcsoportjai gyakran megjelennek a kristályszimmetriák elméletében.

8) Legyen E vektortér, Z halmaz és g :E×E →Z tetszőleges függvény; ekkor O(E, g) :={u∈GL(E) |g ◦(u×u) = g};

ez részcsoportja GL(E)-nek. Ezt a csoportot az E vektortér g-ortogonális csoportjának nevezzük. Ha E véges dimenziós, akkor

SO(E, g) :={u∈O(E, g) |det(u) = 1};

ezt a csoportot az E vektortér speciális g-ortogonális csoportjának nevezzük. Most néhány speciális esetről lesz szó.

– Legyen E valós vektortér, és g : E×E → R skalárszorzás E felett, vagyis g pozitív definit szimmetrikus bilineáris funkcionál. Ekkor tekinthető az O(E, g) (illetve véges

dimenziós E esetén az SO(E, g)) g-ortogonális (illetve speciális g-ortogonális) csoport.

Ha n ∈N⁺, akkor O(n,R) (illetve SO(n,R)) jelöli az

Rⁿ×Rⁿ →R; ((xk)k∈n,(yk)k∈n)7→ ^X

k∈n

xkyk

euklidészi skalárszorzás által meghatározott ortogonális (illetve speciális ortogonális) csoportot. A definíció szerint egy (Rj,k)(j,k)∈n×n n×n-es valós mátrix pontosan akkor eleme O(n,R)-nek, ha minden j, k ∈n esetén

X

i∈n

Ri,jRi,k =δj,k =^X

i∈n

Rk,iRj,i.

– Legyen E komplex vektortér és g :E×E →Cskalárszorzás E felett, vagyis g pozitív definit hermitikus konjugált bilineáris funkcionál. Ekkor tekinthető az O(E, g) (illetve véges dimenziós E esetén az SO(E, g)) g-ortogonális (illetve speciális g-ortogonális) csoport. Az O(E, g) csoportot az (E, g) prehilbert-tér unitér csoportjának nevezzük és U(E, g)-vel jelöljük (illetve véges dimenziós E esetén az SO(E, g) csoportot az (E, g)prehilbert-térspeciális unitér csoportjánaknevezzük ésSU(E, g)-vel jelöljük). Ha n ∈N⁺, akkor U(n,C)(illetve SU(n,C)) jelöli a

Cⁿ×Cⁿ→C; ((xk)k∈n,(yk)k∈n)7→ ^X

k∈n

xky_k

euklidészi skalárszorzás által meghatározott untiér (illetve speciális unitér) csoportot.

A definíció szerint egy (Uj,k)_(j,k)∈n×n n ×n-es komplex mátrix pontosan akkor eleme U(n,C)-nek, ha minden j, k ∈n esetén

X

i∈n

Ui,jUi,k =δj,k =^X

i∈n

Uk,iUj,i.

– Legyen E legalább kétdimenziós valós vektortér, és g : E ×E → R Lorentz-forma E felett, vagyis g olyan szimmetrikus bilineáris funkcionál, amelyhez létezik olyan S ⊆ E homogén hipersík, valamint olyan T ⊆ E egydimenziós lineáris altér, hogy T ⊕S = E és a −g|T×T : T × T → R és g|S×S : S × S → R leképezések skalárszorzások, valamint T és S egymásra g-ortogonálisak. Ekkor az O(E, g) (illetve véges dimenziós E esetében az SO(E, g)) csoportot g-Lorentz-csoportnak (illetve speciális g-Lorentz- csoportnak) nevezzük. Ha n∈N⁺, akkor a

g :Rⁿ⁺¹×Rⁿ⁺¹ →R; ((xµ)µ∈n+1,(yν)ν∈n+1)7→ −x0y0+

Xn µ=1

xµyµ

standard Lorentz-forma szerinti Lorentz csoportnak a(Λµ,ν)(µ,ν)∈(n+1)×(n+1) valós együtt- hatós (n+ 1)×(n+ 1)-es mátrix pontosan akkor eleme, ha minden µ, ν ∈n+ 1 esetén

Xn α,β=0

Λ_α,µG_α,βΛ_β,ν =G_µ,ν

teljesül, ahol (Gµ,ν)(µ,ν)∈(n+1)×(n+1) az az (n + 1)×(n+ 1)-es valós diagonális mátrix, amelyre G_0,0 =−1és minden 1≤µ≤n+ 1 esetén G_µ,µ= 1.

– Legyen E 6={0} véges dimenziós valós vektortér, E^∗ az E algebrai duálisa (vagyis az E feletti lineáris funkcionálok vektortere), és

ω^E: (E×E^∗)×(E×E^∗)→R; ((q,p),(q^′,p^′))7→p^′(q)−p(q^′)

az ún. standard szimplektikus forma E × E^∗ felett. Ekkor ω^E nemelfajult anti- szimmetrikus bilineáris funkcionál E ×E^∗ felett, és az O(E×E^∗, ωE) csoportot az E vektortér szimplektikus csoportjánaknevezzük, és az Sp(E) szimbólummal jelöljük.

9) Legyen E affin tér azE vektortér felett. Ekkor

Aff(E) :={u∈S(E) | (∃u∈GL(E))(∀x∈E)(∀x^′ ∈E) :u(x^′)−u(x) =u(x^′ −x)}, vagyis Aff(E) elemei az E → E affin bijekciók. Aff(E) részcsoportja az S(E) teljes permutációcsoportnak, és ezt az E affin tér teljes affin csoportjának nevezzük. Ha u ∈ Aff(E), akkor egyetlen olyan u ∈GL(E) létezik, amelyre minden x, x^′ ∈ E esetén u(x^′)−u(x) =u(x^′ −x)teljesül; ezt a lineáris bijekciót Du jelöli. Világos, hogy az

Aff(E)→GL(E); u7→Du

leképezés csoport-morfizmus. Han∈NésK test, akkorKⁿtermészetes módon ellátható affin struktúrával a Kⁿ vektortér felett; ekkor az Aff(Kⁿ) jelölés helyett az Aff(n, K) szimbólumot alkalmazzuk.

10) Legyen E affin tér az E vektortér felett és H részcsoportja GL(E)-nek. Ekkor Aff(E, H) :={u∈Aff(E) | Du∈H}.

Világos, hogy Aff(E, H) részcsoportja Aff(E)-nek. A speciális nemrelativisztikus tér- idő-modell, valamint a speciális relativisztikus téridő-modell automorfizmuscsoportjai ilyen alakú csoportok; az előbbit Galilei-csoportnak, míg az utóbbitPoincaré-csoportnak nevezzük.

11) Példa néhány nevezetes véges csoportra. Legyen n∈N⁺ rögzített.

– C_n jelöli az n-ed rendű ciklikus csoportot, tehát C_n az a (csoport-izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott) csoport, amelynek van olyan a n-ed rendű eleme, hogy {a} generátorhalmaz C_n-ben. Könnyen látható, hogy C_n = {e,a,a², ...,aⁿ⁻¹} és Card(C_n) = n. A C_n csoport realizálható úgy, mint a Z/nZ faktorgyűrű additív csoportja, vagy mint C-ben az n-edik egységgyökök U_n multiplikatív csoportja.

– A_n jelöli azn indexűalternáló csoportot, tehát ha ε jelöli azS_n szimmetrikus csoport szignatúra-függvényét, akkor

A_n:={σ ∈S_n |ε(σ) = 1}.

Az A_n csoport elemeit az n ciklikus permutációinak nevezzük.

– D_n jelöli az n indexű diéder csoportot, tehát D_n az a (csoport-izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott) csoport, amelynek léteznek olyan a és b elemei, hogy a n-ed rendű, b másodrendű, bab = aⁿ⁻¹, és {a,b} generátorhalmaz D_n-ben. Könnyen látható, hogy D_n = {e,a,a², ...,aⁿ⁻¹,b,ba,ba², ...,baⁿ⁻¹} és Card(Dn) = 2n. A D_n csoport realizálható úgy, mint O(2,R)∩GL(2,R, X) (7. példa), ahol

X :={(cos(2πk/n),sin(2πk/n))∈R² | k ∈n}.

– Q_n jelöli az n indexű kvaternió-csoportot, tehát Q_n az a (csoport-izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott) csoport, amelynek léteznek olyan a és b elemei, hogy a 2n-ed rendű, b negyedrendű, bab = a²ⁿ⁻¹, b² = aⁿ, és az {a,b} halmaz generátor- halmaz Q_n-ben.

– Legyen X := {0,1}³ és O := SO(3,R)∩GL(3,R, X) (7. példa); ezt a csoportot oktaéder-csoportnak nevezzük. Az O csoport morfikusan beinjektálható az S₈ teljes permutációcsoportba, és könnyen kiszámíthatók az elemei. Kiderül, hogy O-nak 24 eleme van.

– Legyen X := {(−1,1,1),(1,−1,1),(1,1,−1),(1,−1,−1)} és ismét T := SO(3,R)∩ GL(3,R, X) (7. példa); ezt a csoportot tetraéder-csoportnak nevezzük. A T csoport morfikusan beinjektálható az S₄ teljes permutációcsoportba és könnyen kiszámíthatók az elemei. Kiderül, hogy T-nek 12 eleme van.

1.2. Csoportok ábrázolásai

Jelölések. Legyen G csoport.

– AG neutrális eleméte_G jelöli, vagy ha világos, hogy melyik csoport neutrális eleméről van szó, akkor az e jelet alkalmazzuk.

– A G csoport műveletét rendszerint szorzással (kommutatív esetben összeadással) jelöljük. Előfordul, hogy a G × G → G; (s, t) 7→ st csoportműveletet a p_G, és a G→G; s7→s⁻¹ csoport-inverziót az i_G szimbólummal jelöljük.

– Minden s∈G esetén a következő függvény-jelöléseket alkalmazzuk.

γ_G(s) :G→G; t 7→st, δ_G(s) :G→G; t7→ts⁻¹, Int_G(s) :G→G; t 7→sts⁻¹,

tehát Int_G(s) =γ_G(s)◦δ_G(s) =δ_G(s)◦γ_G(s). Has ∈G, akkor Int_G(s)automorfizmusa a G csoportnak, és ezt azs elem által meghatározottbelső automorfizmusnaknevezzük. A

G csoport teljes automorfizmuscsoportját Aut(G) jelöli, és Int(G) :={Int_G(s)|s ∈G}, vagyis Int(G) aG belső automorfizmusainak csoportja.

– Ha H ⊆ G részcsoport, akkor G/H jelöli a H szerinti baloldali mellékosztályok halmazát, tehát G/H := {sH|s ∈ G}, és π_G/H jelöli a G → G/H; s 7→ sH kanonikus szürjekciót. Továbbá, minden s ∈ G esetén γ_G/H(s) jelöli azt a G/H →G/H bijekciót, amelyre γ_G/H(s)◦π_G/H =π_G/H ◦γ_G(s).

1.2.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy γ ábrázolása (vagy reprezentációja) a G cso- portnak az X halmazban, ha γ :G→S(X)csoport-morfizmus. Legyen γ ábrázolása a G csoportnak az X halmazban.

– Az X halmazt a γ ábrázolás terének nevezzük.

– Mindens∈Gesetén aγ(s) :X →X bijekciót azscsoportelemet(γszerint)ábrázoló operátornak nevezzük.

– Ha x∈X, akkor aγx:G→X; s 7→γ(s)x függvényt azx ponthoz tartozóγ-orbitális függvénynek, továbbá az Im(γx) = {γ(s)x|s ∈ G} halmazt az x pont γ-pályájának nevezzük.

– Ha x∈X, akkor aGγ,x :={s∈G|γ(s)x=x}halmazt az xpontγ szerintistabilitás- csoportjának nevezzük.

– Azt mondjuk, hogy a γ ábrázolás tranzitív, ha létezik olyan x∈ X pont, amelynek a γ szerinti pályája egyenlő X-szel, vagyis {γ(s)x|s∈G}=X.

Megjegyzések. Legyen γ ábrázolása aG csoportnak az X halmazban.

1) Hax∈X, akkor aGγ,xstabilitás-csoport nyilvánvalóan részcsoportjaG-nek, és létezik egyetlen olyan γ˙_x : G/G_γ,x → X függvény, hogy γ˙_x ◦π_G/Gγ,x = γ_x; ez a γ˙_x függvény bijekció G/Gγ,x és Im( ˙γx)(vagyis az x pont γ-pályája) között.

2) Hax∈X, akkor minden s∈Geseténγx◦γ_G(s) =γ(s)◦γx, ezért aγ˙x :G/Gγ,x →X injekció olyan, hogy minden s∈G esetén γ˙_x◦γ_G/Gγ,x(s) =γ(s)◦γ˙_x.

3) Ha x1, x2 ∈ X és s ∈ G olyan, hogy x2 = γ(s)x1, akkor a Gγ,x1 és Gγ,x2

stabilitás-csoportok az Int_G(s) belső automorfizmus által izomorfak, vagyis fennáll az Int_G(s)hG_γ,x1i=G_γ,x2 egyenlőség.

Példák (csoportábrázolásokra).

1) Ha G csoport, akkor γ_G és δ_G injektív és tranzitív ábrázolásai a G csoportnak a G halmazban. Ha G csoport és H részcsoportja G-nek, akkor γ_G/H tranzitív ábrázolása G-nek a G/H halmazban; ez az ábrázolás H6=G esetén nem injektív.

2) Legyenek N ésH csoportok, továbbáτ :H →Aut(N)csoport-morfizmus. AzN×H halmazon értelmezzük a · műveletet úgy, hogy (n, h),(n^′, h^′)∈N ×H esetén

(n, h)·(n^′, h^′) := (nτh(n^′), hh^′).

Könnyen ellenőrizhető, hogy·csoportművelet azN×Hhalmaz felett. AzN×H halmazt a · művelettel ellátva az N és H csoportok τ szerinti féldirekt szorzatának nevezzük, és a N⊗

τ H szimbólummal jelöljük. Világos, hogy az N⊗

τ H →S(N); (n, h)7→τ_h leképezés ábrázolása az N⊗

τ H csoportnak az N halmazban.

3) Legyen E vektortér és X ⊆E. Ekkor a

GL(E, X)→S(X); u7→u|^X

leképezés ábrázolása aGcsoportnak azX halmazban; ezt nevezzük aGL(E, X)csoport önábrázolásának. Ha G részcsoportja GL(E, X)-nek, akkor a GL(E, X) önábrázolásá- nak G-re vett leszűkítése ábrázolása G-nek az X halmazban; ezt a G csoport önábrázo- lásának nevezzük.

1.2.2. Definíció. Legyen G csoport.

– Azt mondjuk, hogyγ topologikus ábrázolásaaGcsoportnak azX topologikus térben, ha X topologikus tér, és γ olyan ábrázolása a G csoportnak az X halmazban, amelyre minden s ∈Gesetén a γ(s) :X →X ábrázoló operátor folytonos.

– Azt mondjuk, hogy V lineáris ábrázolása a G csoportnak az E vektortérben, ha E vektortér, és V olyan ábrázolása a Gcsoportnak az E halmazban, amelyre minden s∈G esetén a V(s) :E →E ábrázoló operátor lineáris.

– Azt mondjuk, hogy V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben, ha H Hilbert-tér, és V olyan ábrázolása a G csoportnak a H halmazban, amelyre minden s ∈ G esetén V(s) : H → H ábrázoló operátor lineáris izometria (vagy ami ugyanaz:

skalárszorzás-tartó lineáris operátor).

Megjegyzések. Legyen G csoport.

1) Ha γ topologikus ábrázolása aG csoportnak az X topologikus térben, akkor minden s ∈ G esetén a γ(s) : X → X ábrázoló operátor homeomorfizmus, hiszen a hipotézis alapján a γ_G(s)⁻¹ = γ_G(s⁻¹) : X → X függvény is folytonos. Ez azt jelenti, hogy a G csoport topologikus ábrázolásai az X topologikus térben éppen a G → H(X) csoport- morfizmusok, ahol H(X)az X topologikus tér teljes homeomorfizmuscsoportja.

2) Ha V lineáris ábrázolása a G csoportnak az E vektortérben, akkor minden s ∈ G esetén a V(s) : E → E ábrázoló operátor lineáris bijekció, hiszen a hipotézis alapján a V(s)⁻¹ =V(s⁻¹) :E →E függvény is lineáris. Ez azt jelenti, hogy aG csoport lineáris ábrázolásai az E vektortérben éppen a G → GL(E) csoport-morfizmusok. Ha az E vektortér véges dimenziós, akkor a dim(E) számot a V lineáris ábrázolás dimenziójának nevezzük, és gyakran dim(V)-vel jelöljük.

3) Ha V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert-térben, akkor minden s ∈ G esetén a V(s) : H → H ábrázoló operátor unitér, hiszen a hipotézis alapján a V(s)⁻¹ = V(s⁻¹) : H → H függvény is lineáris izometria. Ez azt jelenti, hogy a G csoport unitér ábrázolásai a H Hilbert-térben éppen a G → U(H ) csoport- morfizmusok, ahol U(H ) aH Hilbert-tér unitér operátorainak csoportja.

Legyen H prehilbert-tér, és V olyan lineáris ábrázolása a G csoportnak a H vektortérben, amelyre minden s∈Gesetén a V(s) :H →H operátor izometria (vagy ami ugyanaz: skalárszorzás-tartó lineáris operátor). Jelölje H^da H teljes burkát. Ha s ∈ G, akkor a V(s) : H →H^dfolytonos lineáris operátor egyértelműen kiterjeszthető Hd→ H^dfolytonos lineáris operátorrá. Jelölje V : G→ L(H^d) azt a függvény, amely minden G ∋ s-hez hozzárendeli a V(s) folytonos lineáris kiterjesztését H^d-ra. Ekkor V unitér ábrázolása a G csoportnak a H^dHilbert-térben, hiszen minden s ∈ G esetén az egyenlőségek folytatásának elve alapján a V(s) operátor is izometria, ezért Im(V(s)) zárt H^d-ban és Im(V(s)) ⊇ Im(V(s))(= H ), vagyis Im(V(s)) sűrű is H^d-ban, azaz V(s)∈U(H^d). Ezt a V unitér ábrázolást aV lineáris ábrázolásteljesítéséneknevezzük.

A harmonikus analízisben nagyon gyakori ez a konstrukció, amit a két következő állítás is illusztrál.

1.2.3. Állítás. Legyen (V_i)_i∈I a G csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges rendszere, és minden I ∋i-re jelölje H_i a Vi ábrázolás terét. Ekkor a

⊕

i∈I

H_i × ⊕

i∈I

H_i →C; ((ζ_i)_i∈I,(η_i)_i∈I)7→^X

i∈I

(ζ_i|η_i) leképezés skalárszorzás a ⊕

i∈I

H_i vektortér felett, és minden s∈G esetén a

⊕

i∈IVi(s) : ⊕

i∈I

H_i → ⊕

i∈I

H_i; (ζi)i∈I 7→(Vi(s)(ζi))i∈I

leképezés olyan lineáris bijekció, amely megtartja a fenti skalárszorzást. Továbbá, a

⊕

i∈IVi :G→GL ⊕

i∈I

H_i ; s7→ ⊕

i∈IVi(s) leképezés lineáris ábrázolása a G csoportnak a ⊕

i∈I

H_i vektortérben.

1.2.4. Definíció. Legyen(Vi)i∈I aGcsoport unitér ábrázolásainak tetszőleges rendszere, és minden I ∋i-re jelölje H_i a Vi ábrázolás terét. Ekkor az előző állításban értelmezett

⊕

i∈IVi lineáris ábrázolás teljesítését a (Vi)i∈I unitér ábrázolás-rendszer Hilbert- összegének nevezzük, és a ^c⊕

i∈IVi szimbólummal jelöljük; továbbá az előző állításban bevezetett ⊕

i∈I

H_i prehilbert-tér teljes burkát, vagyis a ⊕^c

i∈IV_i unitér ábrázolás terét ^c⊕

i∈I

H_i jelöli, és ezt a Hilbert-teret a (H_i)i∈I Hilbert-tér-rendszer Hilbert-összegének nevezzük.

A következő állításban felhasználjuk a vektorterek véges rendszere (rendezetlen algebrai) tenzorszorzatának értelmezését és néhány alaptulajdonságát. Ezeket most röviden összefoglaljuk. Ebben a bekezdésben (Ei)i∈I a K test feletti vektortereknek tetszőleges végesrendszerét fogja jelölni.

– Az (Ei)i∈I rendszer (rendezetlen algebrai) tenzorszorzatának nevezünk minden olyan (E, m)párt, amelyre teljesül az, hogyE vektortér aK test felett ésm:^Y

i∈I

Ei →E olyan multilineáris operátor, hogy minden K feletti F vektortérhez és minden u :^Y

i∈I

Ei → F multilineáris operátorhoz létezik egyetlen olyan ue : E → F lineáris operátor, hogy ue◦m =u.

– Az (Ei)i∈I rendszernek létezik tenzorszorzata. Ehhez jelölje minden I ∋i-re E_i^∗ az Ei

vektortér algebrai duálisát, vagyis az Ei → K lineáris funkcionálok vektorterét. Jelölje továbbá Mult ^Y

i∈I

E_i^∗;K

!

a^Y

i∈I

E_i^∗ →K multilineáris funkcionálok vektorterét. Minden (x_i)_i∈I esetén értelmezzük a

⊗

i∈Ixi :^Y

i∈I

E_i^∗ →K; (ui)i∈I 7→^Y

i∈I

ui(xi)

leképezést, amelyre nyilvánvalóan teljesül az, hogy ⊗

i∈Ixi ∈Mult ^Y

i∈I

E_i^∗;K

!

. Ekkor a

⊗:^Y

i∈I

Ei →Mult ^Y

i∈I

E_i^∗;K

!

; (xi)i∈I 7→ ⊗

i∈Ixi

leképezés multilineáris, és ha ⊗

i∈IE_ijelöli a⊗leképezés értékkészlete által generált lineáris alteret a Mult ^Y

i∈I

E_i^∗;K

!

vektortérben, akkor igazolható, hogy az ⊗

i∈IEi,⊗ pár tenzorszorzata az (E_i)_i∈I vektortér-rendszernek. A ⊗

i∈IE_i vektortér elemeit tenzoroknak nevezzük és a ⊗ multilineáris operátor értékkészletének elemeit felbontható tenzoroknak nevezzük. Láthatóan minden tenzor előáll véges sok felbontható tenzor összegeként.

– A tenzorszorzat abban az értelemben egyértelmű, hogy ha az (E, m) és (E,fm) párok mindketten tenzorszorzatai az(E_i)_i∈I vektortér-rendszernek, akkor létezik egyetlen olyan v :E →E lineáris bijekció, amelyre v ◦m=fm.

– Azonban a tenzorszorzat általában nem egyértelmű, mert ha (E, m) tenzorszorzata az (E_i)_i∈I vektortér-rendszernek és E olyan vektortér K felett, amely izomorf E-vel és v : E → E tetszőleges lineáris bijekció, akkor az (E, v ◦m) pár szintén tenzorszorzata az (Ei)i∈I vektortér-rendszernek, és ez általában különbözik az (E, m) pártól. Az (E_i)_i∈I vektortér-rendszer minden konkrét tenzorszorzatát a tenzorszorzatrealizációjának

nevezzük. Azt imént bevezetett ⊗

i∈IE_i,⊗ konkrét realizációt a tenzorszorzat standard realizációjánaknevezzük. De rendszerint az(Ei)i∈I vektortér-rendszer tetszőleges(E, m) tenzorszorzatát is a ⊗

i∈IEi,⊗ szimbólummal jelöljük és (xi)i∈I ∈ ^Y

i∈I

Ei esetén az m((xi)i∈I) elemet is ⊗

i∈Ixi jelöli. Ebből általában nem származik semmiféle félreértés, és abból sem, ha a ⊗

i∈IEi vektorteret nevezzük az (Ei)i∈I vektortér-rendszer tenzorszor- zatának a ⊗

i∈IEi,⊗ pár helyett. De lényeges látni, hogy a tenzorszorzat fogalmához elválaszthatatlanul hozzátartozik a ⊗ multilineáris operátor is.

– Legyen (Fi)i∈I isK feletti vektortereknek tetszőleges rendszere és legyen (ui)i∈I olyan rendszer, hogy minden i ∈ I esetén u_i : E_i → F_i lineáris operátor. Ekkor létezik egyetlen olyan ⊗

i∈Iui : ⊗

i∈IEi → ⊗

i∈IFi lineáris operátor, amelyre teljesül az, hogy minden (xi)i∈I ∈^Y

i∈I

Ei esetén

⊗

i∈Iui ⊗

i∈Ixi = ⊗

i∈Iui(xi).

Ezt a lineáris operátort, az(ui)i∈I operátor-rendszer tenzorszorzatánaknevezzük. Könnyen látható, hogy ha (Gi)i∈I is aK test feletti vektortereknek tetszőleges rendszere és (vi)i∈I

olyan rendszer, hogy minden i∈I esetén vi :Fi →Gi lineáris operátor, akkor fennáll a

⊗

i∈Iv_i ◦ ⊗

i∈Iu_i = ⊗

i∈I(v_i◦u_i) egyenlőség.

1.2.5. Állítás. Legyen (Vi)i∈I a G csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges véges rendszere, és minden I ∋ i-re jelölje H_i a Vi ábrázolás terét. Ekkor a ⊗

i∈I

H_i algebrai tenzorszorzat felett egyértelműen létezik olyan(·|·)skalárszorzás, amelyre teljesül az, hogy minden (ζi)i∈I,(ηi)i∈I ∈^Y

i∈I

H_i esetén

⊗

i∈Iζi ⊗

i∈Iηi =^Y

i∈I

(ζi|ηi).

Továbbá, minden s∈ G esetén létezik egyetlen olyan

⊗

i∈IVi(s) : ⊗

i∈I

H_i → ⊗

i∈I

H_i lineáris operátor, amelyre minden ^Y

i∈I

H_i ∋(ζi)i∈I-ra

⊗

i∈IVi(s) ⊗

i∈Iζi = ⊗

i∈I(Vi(s)(ζi)).

Minden s∈G esetén

⊗

i∈IV_i(s)∈GL ⊗

i∈I

H_i

és ez az operátor megtartja a fenti (·|·) skalárszorzást. Továbbá, a

⊗

i∈IVi :G→GL ⊗

i∈I

H_i ; s7→ ⊗

i∈IVi(s) leképezés lineáris ábrázolása a G csoportnak a ⊗

i∈I

H_i vektortérben.

Bizonyítás. Legyen (η_i)_i∈I ∈^Y

i∈I

H_i rögzített elem, és tekintsük a

Y

i∈I

H_i →C; (ζ_i)_i∈I 7→^Y

i∈I

(ζ_i|η_i)

leképezést. Ez multilineáris funkcionál, így a tenzorszorzat értelmezése alapján létezik egyetlen olyan

τ(ηi)i∈I : ⊗

i∈I

H_i →C

lineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden (ζi)i∈I ∈^Y

i∈I

H_i esetén

τ(ηi)_i∈I ⊗

i∈Iζi =^Y

i∈I

(ζi|ηi).

Könnyen ellenőrizhető, hogy minden ⊗

i∈I

H_i∋t-re a

Y

i∈I

H_i →C; (ηi)i∈I 7→τ_(ηi)i∈I(t)

leképezés multilineáris funkcionál, így a tenzorszorzat értelmezése alapján létezik egyetlen olyan

σ_t: ⊗

i∈I

H_i →C

lineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden (ηi)i∈I ∈^Y

i∈I

H_i esetén

σt ⊗

i∈Iηi =τ(ηi)_i∈I(t).

Könnyen ellenőrizhető, hogy ekkor a (·|·) : ⊗

i∈I

H_i × ⊗

i∈I

H_i →C; (t^′, t)7→σt(t^′)

leképezés olyan konjugált bilineáris funkcionál, amelyre teljesül az, hogy minden (ζ_i)_i∈I,(η_i)_i∈I ∈^Y

i∈I

H_i esetén

⊗

i∈Iζi ⊗

i∈Iηi =^Y

i∈I

(ζi|ηi).

A(·|·)leképezés pozitív definitivitásának bizonyításához legyent ∈ ⊗

i∈I

H_i rögzített elem:

azt fogjuk igazolni, hogy (t|t)∈R₊, és (t|t) = 0 esetén t= 0.

A tenzorszorzat tulajdonságai alapján van olyan A véges halmaz és minden I ∋ i-hez létezik olyan (ζi,α)_α∈A rendszer H_i-ben, hogy

t= ^X

α∈A

⊗

i∈Iζ_i,α .

Minden i ∈ I esetén a (ζi,α)_α∈A véges rendszer által generált véges dimenziós H_i-beli lineáris altérhez van olyan (ηi,βi)_βi∈Bi véges ortonormált rendszer, amely ugyanazt a lineáris alteret generálja, mint a(ζ_i,α)_α∈Arendszer. Ekkor mindenI ∋i-hez ésA ∋α-hoz egyértelműen létezik olyan (ci,α,βi)_βi∈Bi rendszer C-ben, amelyre ζi,α = ^X

βi∈Bi

ci,α,βiηi,βi. Ekkor a ⊗ :^Y

i∈I

H_i → ⊗

i∈I

H_i operátor multilinearitása miatt

t= ^X

α∈A

⊗

i∈Iζi,α = ^X

α∈A

X

β∈B

Y

i∈I

c_i,α,β(i)

!

⊗

i∈Iη_i,β(i) teljesül, aholB :=^Y

i∈I

Bi. A két szummázás sorrendjét felcserélve ebből következik, hogy t= ^X

β∈B

dβ ⊗

i∈Iηi,β(i) , ahol minden B ∋ β-ra dβ := ^X

α∈A

Y

i∈I

ci,α,β(i)

!

∈ C. A (·|·) leképezés alaptulajdonsá- ga, valamint minden i ∈I esetén a H_i-ben haladó (ηi,βi)_βi∈Bi rendszer ortonormalitása alapján kapjuk, hogy minden B ∋β, β^′-re

⊗

i∈Iηi,β(i) ⊗

i∈Iηi,β^′(i) =^Y

i∈I

ηi,β(i) ηi,β^′(i) =^Y

i∈I

δβ(i),β^′(i) =δβ,β^′, ahol δ a Kronecker-deltát jelöli. Ebből következik, hogy

(t|t) = ^X

β∈B

X

β^′∈B

dβdβ^′ ⊗

i∈Iηi,β(i) ⊗

i∈Iηi,β^′(i) =

= ^X

β∈B

X

β^′∈B

dβdβ^′δβ,β^′ = ^X

β∈B

|dβ|².

Ebből azonnal látható, hogy (t|t) ∈ R₊, és (t|t) = 0 esetén minden B ∋ β-ra dβ = 0, tehát t = ^X

β∈B

d_β ⊗

i∈Iη_i,β(i) = 0.

Ezzel megmutattuk, hogy az itt bevezetett (·|·) : ⊗

i∈I

H_i × ⊗

i∈I

H_i →C leképezés olyan skalárszorzása ⊗

i∈I

H_i komplex vektortér felett, amelyre teljesül az, hogy minden (ζi)i∈I,(ηi)i∈I ∈ ^Y

i∈I

H_i esetén

⊗

i∈Iζi ⊗

i∈Iηi =^Y

i∈I

(ζi|ηi).

Tekintettel arra, hogy a felbontható tenzorok véges összegei kiadják a ⊗

i∈I

H_i vektorteret, a (·|·) skalárszorzás biadditivitása következtében (·|·) egyértelműen van meghatározva ezzel a feltétellel. A továbbiakban a ⊗

i∈I

H_i komplex vektorteret ezzel a (·|·) skalárszor- zással ellátva prehilbert-térnek fogjuk tekinteni.

Ha (ui)i∈I olyan rendszer, hogy minden i∈I esetén ui :H_i→H_i skalárszorzás-tartó leké- pezés, akkor ezek ⊗

i∈Iui algebrai tenzorszorzata olyan ⊗

i∈I

H_i → ⊗

i∈I

H_i lineáris operátor, amely megtartja a (·|·)skalárszorzást, mert minden (ζi)i∈I,(ηi)i∈I ∈^Y

i∈I

H_i esetén

⊗

i∈Iui ⊗

i∈Iζi ⊗

i∈Iui ⊗

i∈Iηi := ⊗

i∈Iui(ζi) ⊗

i∈Iui(ηi) =

=^Y

i∈I

(ui(ζi) ui(ηi)) =^Y

i∈I

(ζi ηi) =: ⊗

i∈Iζi ⊗

i∈Iηi , így minden t, t^′ ∈ ⊗

i∈I

H_i esetén (u(t)|u^′(t)) = (t|t^′). Speciálisan, ha minden I ∋ i-re ui : H_i→H_i skalárszorzás-tartó bijekció, akkor a ⊗

i∈Iui : ⊗

i∈I

H_i → ⊗

i∈I

H_i operátor is skalárszorzás-tartó bijekció. Az állítás többi része már nyilvánvaló.

1.2.6. Definíció. Legyen (Vi)i∈I a G csoport unitér ábrázolásainak tetszőleges véges rendszere, és minden I ∋ i-re jelölje H_i a Vi ábrázolás terét. Ekkor az előző állításban értelmezett ⊗

i∈IV_i lineáris ábrázolás teljesítését a (V_i)_i∈I unitér ábrázolás-rendszer

tenzorszorzatának nevezzük, és a ^c⊗

i∈IVi szimbólummal jelöljük; továbbá az előző állításban bevezetett ⊗

i∈I

H_iprehilbert-tér teljes burkát, vagyis a ^c⊗

i∈IViunitér ábrázolás terét

⊗c

i∈I

H_i jelöli, és ezt a Hilbert-teret a(H_i)_i∈I Hilbert–tér-rendszer tenzorszorzatának nevezzük.

1.2.7. Definíció. Konjugálásnak nevezünk a H Hilbert-tér felett minden olyan C : H →H konjugált-lineáris operátort, amelyre teljesül az, hogyC◦C=id^H, és minden H ∋ζ, η-ra(C(ζ)|C(η)) = (η|ζ). Ha V unitér ábrázolása a G csoportnak a H Hilbert- térben, és C konjugálás H felett, akkor a

CV(·)C:G→U(H ); s7→C◦V(s)◦C

függvényt a V unitér ábrázolás C-konjugáltjának nevezzük, és a V_C szimbólummal jelöljük. (Ez nyilvánvalóan szintén unitér ábrázolása aGcsoportnak aH Hilbert-térben.) Megjegyezzük, hogy minden Hilbert-tér felett létezik konjugálás. Valóban, ha H Hilbert-tér, akkor létezik B ⊆ H ortonormált bázishalmaz, és ha R jelöli a B véges részhalmazainak halmazgyűrűjét és µ:R →R₊ a számláló-mérték, akkor a

WB :H →L²_C(B,R, µ); ζ 7→((ζ|b))_b∈B

leképezés unitér operátor. Továbbá, az L²_C(B,R, µ) Hilbert-tér felett létezik egy kitün- tetett konjugálás, ti. az

CB :L²_C(B,R, µ)→L²_C(B,R, µ); f 7→f

leképezés. Ekkor a W_B⁻¹ ◦ CB ◦WB : H → H leképezés nyilvánvalóan konjugálás a H Hilbert-tér felett. Azonban ez a konjugálás lényegesen függ a B választásától.

Pontosabban: ez az az egyetlen konjugálás aH Hilbert-tér felett, amely aBortonormált bázishalmazon egyenlő az identikus függvénnyel.

Ezért bármely csoport, bármely unitér ábrázolásánaklétezikkonjugáltja, de általában nem egyetlen konjugált létezik. Azonban egy unitér ábrázolás bármely két konjugáltja egymással unitér ekvivalens, mert ha V unitér ábrázolása aG csoportnak a H Hilbert- térben, és C1, C2 :H →H konjugálások H felett, akkor minden G∋s-re

(C1◦C2)◦(C2◦V(s)◦C2) = (C1 ◦V(s)◦C1)◦(C1 ◦C2),

hiszen C2◦C2 =id^H =C1◦C1, továbbá, a definíció alapjánC1◦C2 :H →H unitér operátor.

1.2.8. Definíció. AGcsoportV unitér ábrázolásátönduálisnaknevezzük, haV unitér ekvivalens valamelyik (tehát mindegyik) konjugáltjával.

1.2.9. Állítás. LegyenN⊗

τ H féldirekt szorzat, és jelöljejN :N →N×H; n7→(n, e_H), illetve jH :H →N ×H; h7→(e_N, h) a kanonikus injekciót.

a)Ha V unitér ábrázolása az N⊗

τ H csoportnak aH Hilbert-térben, akkorVN :=V ◦jN

unitér ábrázolása N-nek H -ban, és VH := V ◦jH unitér ábrázolása H-nak H -ban, és minden (n, h)∈N ×H esetén

VH(h)VN(n)VH(h)⁻¹ =VN(τh(n)), valamint

V(n, h) =V_N(n)V_H(h).

b) Megfordítva, ha VN unitér ábrázolása N-nek a H Hilbert-térben, és VH unitér ábrázolása H-nak H -ban, és minden (n, h)∈N ×H esetén fennáll az

VH(h)VN(n)VH(h)⁻¹ =VN(τh(n)) egyenlőség, akkor a

V :N ×H →U(H ); (n, h)7→V_N(n)V_H(h), definícióval értelmezett leképezés olyan unitér ábrázolása az N⊗

τ H csoportnak a H Hilbert-térben, amelyre V ◦jN =VN és V ◦jH =VH.

Bizonyítás. a) AjN ésjH kanonikus injekciók csoport-morfizmusok, ezértVN ésVH unitér ábrázolások ugyanabban a H Hilbert-térben. Könnyen ellenőrizhető, hogy minden (n, h)∈N ×H esetén

(e_N, h)(n, e_H)(e_N, h)⁻¹ = (τh(n), e_H), (n, h) = (n, e_H)(e_N, h) ezért

VH(h)VN(n)VH(h)⁻¹ :=V(e_N, h)V(n, e_H)V(e_N, h)⁻¹ =

=V((e_N, h)(n, e_H)(e_N, h)⁻¹) = V(τh(n), e_H) =:VN(τh(n)), valamint

V(n, h) =V((n, e_H)(e_N, h)) =V(n, e_H)V(e_N, h) =:VN(n)VH(h).

b) A VN(e_N) = id^H = VH(e_H) egyenlőségek alapján világos, hogy V(e_N, e_H) = id^H, valamint V ◦j_N = V_N és V ◦j_H = V_H teljesül, ezért csak a V multiplikativitását kell ellenőrizni. Ha (n, h),(n^′, h^′)∈N×H, akkor azN⊗

τ H csoport-szorzásának értelmezése alapján

V((n, h),(n^′, h^′)) :=V(nτh(n^′), hh^′) := VN(nτh(n^′))VH(hh^′)⁽¹⁾=