Komplex Radon-mértékek
5.3. Lokálisan kompakt csoport moduláris függvénye
Z
G
g(s)µ(f)Df(s)dµ(s) = µ(f)(Df.µ)(g).
Tehát azt kaptuk, hogy minden f, g∈K +(G) függvényre µ(f)ν(g) =µ(f)(Df.µ)(g),
így mindenf ∈K +(G)eseténν =Df.µ. Ha tehátf, f′ ∈K +(G), akkorDf.µ=Df′.µ, így G = supp(µ) ⊆ [Df = Df′], vagyis Df = Df′. Ebből következik, hogy minden f, f′ ∈K +(G) eseténDf(eG) =Df′(eG) teljesül, vagyis
iG(ν)(f)
µ(f) = iG(ν)(f′) µ(f′) ,
következésképpen a µés iG(ν) Radon-mértékek arányosak egymással.
5.3. Lokálisan kompakt csoport moduláris függvénye
5.3.1. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport. Létezik egyetlen olyan ∆G : G → R+ függvény, amelyre teljesül az, hogy minden G feletti β baloldali Haar-mértékre, és minden G∋s-re δG(s)β = ∆G(s).β. Ez a ∆G függvény folytonos csoport-morfizmus aG és R+ lokálisan kompakt csoportok között.
Bizonyítás. Legyenβ baloldali Haar-mértékGfelett. Ha s∈G, akkorδG(s)β olyan nem nulla pozitív Radon-mérték G felett, amelyre mindent ∈Gesetén
γG(t)(δG(s)β) = (γG(t)◦δG(s))β = (δG(s)◦γG(t))β =δG(s)(γG(t)β) =δG(s)β.
Ez azt jelenti, hogy minden G ∋ s-re δG(s)β baloldali Haar-mérték G felett, így egyértelműen létezik olyan ∆β(s) ∈ R+, hogy δG(s)β = ∆β(s).β. Nyilvánvaló, hogy s1, s2 ∈G esetén
∆β(s1s2).β=δG(s1s2)β =δG(s1)(δG(s2)β) = ∆β(s1).∆β(s2).β,
ezért β 6= 0 miatt ∆β(s1s2) = ∆β(s1)∆β(s2). Továbbá nyilvánvaló, hogy β =δG(eg)β =
∆β(eG).β, így∆β(eG) = 1. Tehát a∆β :G→R+ függvény csoport-morfizmus. Továbbá, ha ϕ∈K (G;C) olyan, hogy β(ϕ)6= 0, akkor minden G∋s-re
∆β(s) = (δG(s)β)(ϕ) β(ϕ) = 1
β(ϕ)
Z
G
ϕ(ts−1) dβ(t),
amiből látható, hogy a paraméteres integrálok folytonosságának tétele alapján a ∆β : G → R+ függvény folytonos. Végül megjegyezzük, hogy ∆β a β baloldali Haar-mérték választásától független, mert ha β′ szintén baloldali Haar-mérték, és c∈R+ olyan, hogy β′ =c.β, akkor minden s∈G esetén
c.∆β′(s).β = ∆β′(s).β′ =δG(s)β′ =c.δG(s)β=c.∆β(s).β,
így ∆β′(s) = ∆β(s). Ezért ∆G az a függvény, amely minden G feletti β baloldali Haar-mértékre ∆β-val egyenlő.
5.3.2. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor a G moduláris függvényé-nek nevezzük, és ∆G-vel jelöljük azt a G → R+ folytonos csoport-morfizmust, amelyre teljesül az, hogy mindenGfelettiβbaloldali Haar-mértékre, és mindenG∋s-reδG(s)β =
∆G(s).β. A G lokálisan kompakt csoportot unimodulárisnak nevezzük, ha ∆G = 1.
A moduláris függvény létezésének bizonyításából látható, hogy ha G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és ϕ ∈ K (G;C) olyan, hogy β(ϕ)6= 0, akkor minden s ∈Gesetén
∆G(s) = (δG(s)β)(ϕ) β(ϕ) = 1
β(ϕ)
Z
G
ϕ(ts−1)dβ(t).
Nyilvánvaló, hogy egy G lokálisan kompakt csoport pontosan akkor unimoduláris, ha minden Gfeletti baloldali Haar-mérték jobbinvariáns, vagyis jobboldali Haar-mérték.
Másként fogalmazva, egy Glokálisan kompakt csoport pontosan akkor unimoduláris, ha létezik G felett olyan pozitív nem nulla Radon-mérték, amely egyszerre balinvariáns és jobbinvariáns. Kevésbé nyilvánvaló az unimodularitás következő kritériuma.
5.3.3. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor
iG(β) = ∆−1G .β.
A G lokálisan kompakt csoport pontosan akkor unimoduláris, ha a G feletti baloldali Haar-mértékek inverzió-invariánsak.
Bizonyítás. Világos, hogy ∆G.iG(β)nem nulla pozitív Radon-mérték Gfelett, és minden s ∈Gesetén a 4.1.8. alapján
γG(s) (∆G.iG(β)) = ∆G◦γG(s)−1 .(γG(s)(iG(β))) =
= ∆G(s)−1∆G.(iG(δG(s)(β))) =: ∆G(s)−1∆G.(iG(∆G(s).β)) = ∆G.iG(β),
ahol felhasználtuk azt, hogy γG(s) ◦ iG = iG ◦ δG(s) és ∆G : G → R+ csoport-morfizmus. Ez azt jelenti, hogy ∆G.iG(β) baloldali Haar-mérték G felett, ezért létezik
olyan c >0valós szám, hogy c.β = ∆G.iG(β). Erre a mérték-egyenlőségre alkalmazva az iG homeomorfizmust kapjuk, hogy
c.iG(β) = ∆G◦i−1G .(iG(iG(β))) = ∆−1G .β
hiszen iG ◦iG = idG és ∆G : G → R+ csoport-morfizmus. Ezt a mérték-egyenlőséget szorozva a ∆G függvénnyel kapjuk, hogy c.∆G.iG(β) = β, és mivel ∆G.iG(β) = c.β, így ebből c2.β=β adódik. Ezért c= 1, tehát ∆G.iG(β) =β.
Ebből látható, hogy a ∆G = 1 egyenlőség ekvivalens azzal, hogyiG(β) =β (4.3.6.), ami azt jelenti, hogy β inverzió-invariáns.
5.3.4. Állítás. LegyenG lokálisan kompakt csoport. Ha létezikeG-nek olyan U kompakt környezete G-ben, hogy minden G∋s-re sUs−1 ⊆U, akkor G unimoduláris.
Bizonyítás. Legyen U olyan kompakt környezete eG-nek G-ben, hogy minden G ∋ s-re sUs−1 ⊆ U. Legyen β baloldali Haar-mérték G felett, és az U kompakt halmazhoz vegyünk olyan C ∈R+ számot, amelyre mindenϕ ∈K (G;C)függvényre, hasupp(ϕ)⊆ U, akkor |β(ϕ)| ≤ C 9 ϕ9G. Rögzítsünk egy olyan ϕ ∈ K +(G) függvényt, amelyre supp(ϕ)⊆U. Ekkor s∈G eseténsupp(ϕ◦IntG(s)) = s−1supp(ϕ)s⊆s−1Us⊆U, így
|β(ϕ◦IntG(s))| ≤C9ϕ◦IntG(s)9G =C9ϕ9G. Ugyanakkor minden G∋s-re a moduláris függvény definíciója alapján
β(ϕ◦IntG(s))=(IntG(s)β)(ϕ)=(δG(s)(γG(s)β))(ϕ)=(δG(s)β)(ϕ)=∆G(s)β(ϕ), következésképpen fennáll a
∆G(s) = |β(ϕ◦IntG(s))|
|β(ϕ)| ≤C9ϕ9G
|β(ϕ)|
egyenlőtlenség. Ez azt jelenti, hogy∆G korlátosfüggvény. Ezért∆G = 1, hiszen ha volna olyan s ∈ G, hogy ∆G(s) > 1, akkor a (∆G(sn))n∈N számsorozat felülről nem korlátos R+-ban, mert minden N∋n-re∆G(sn) = (∆G(s))n.
5.3.5. Következmény. Minden kommutatív, vagy kompakt, vagy diszkrét lokálisan kompakt csoport unimoduláris.
Bizonyítás. Mindhárom esetben könnyen található a neutrális elemnek olyanU kompakt környezete, hogy minden s csoportelemresUs−1 ⊆U teljesül, ugyanis:
– ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor az eG bármely U kompakt környezete megfelelő;
– ha G kompakt csoport, akkor U :=G megfelelő;
– ha Gdiszkrét csoport, akkor U :={eG} megfelelő.
Megjegyezzük, hogy az iménti következményben mindhárom lokálisan kompakt csoport-típusra közvetlenül is bizonyítani lehet az unimodularitást. Valóban:
– ha G kommutatív lokálisan kompakt csoport, akkor minden s ∈ G esetén δG(s) = γG(s−1), ezért a G feletti baloldali Haar-mértékek jobboldali Haar-mértékek is, tehát G unimoduláris;
– haGkompakt csoport, akkor mindenπ :G→R+ folytonos csoport-morfizmusraπ = 1 teljesül (így ∆G = 1 is igaz), különben volna olyan s ∈ G, hogy π(s) > 1, és akkor a (π(sn))n∈N sorozat nem korlátos felülről, de aπ értékkészletében halad, amely kompakt halmaz R+-ben;
– ha G diszkrét csoport, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy a K (G;C)→C; ϕ7→ X
s∈G
ϕ(s)
funkcionál egyszerre baloldali és jobboldali Haar-mérték G felett, következésképpen G unimoduláris.
Azonban léteznek olyan lokálisan kompakt csoportok, amelyek nem kommutatívak, nem kompaktak és nem diszkrétek, de bennük a neutrális elemnek létezik olyan kompakt környezete, amely invariáns a belső automorfizmusokra nézve, tehát unimodulárisak.
5.3.6. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, és π : G → G olyan bijekció, amely csoport-izomorfizmus és homeomorfizmus egyszerre (ilyenkor azt mondjuk, hogy π a G lokálisan koampakt csoportnak automorfizmusa). Ekkor létezik egyetlen olyan modG(π)∈R+ szám, amelyre teljesül az, hogy mindenGfelettiβ baloldali Haar-mértékre π(β) = (modG(π))−1.β.
Bizonyítás. Has∈G, akkorγG(s)◦π =π◦γG(π−1(s)), tehát haβ baloldali Haar-mérték G felett, akkor
γG(s)(π(β)) = (γG(s)◦π)(β) = (π◦γG(π−1(s)))(β) =π(γG(π−1(s))(β)) =π(β), tehát π(β) szintén baloldali Haar-mérték G felett. Ezért minden G feletti β baloldali Haar-mértékhez egyértelműen létezik olyan mβ ∈R+, amelyre π(β) =mβ.β. Ha β és β′ baloldali Haar-mertékek, és c∈R+ olyan, hogy β′ =c.β, akkor
mβ.β′ =c.(mβ.β) =c.π(β) =π(c.β) =π(β′) =mβ′.β′,
ezért mβ = mβ′. Ezért modG(π) az a szám, amely minden G feletti β baloldali Haar-mértékre 1/mβ-val egyenlő.
5.3.7. Definíció. Ha π automorfizmusa a G lokálisan kompakt csoportnak, akkor a π automorfizmus modulusának nevezzük, és modG(π)-vel jelöljük azt a pozitív valós számot, amelyre teljesül az, hogy minden G feletti β baloldali Haar-mértékre π(β) = (modG(π))−1.β.
Könnyen látható, hogy ha π1 ésπ2 automorfizmusai a G lokálisan kompakt csoport-nak, akkor modG(π1 ◦π2) = modG(π1)modG(π2), mert ha β baloldali Haar-mérték G felett, akkor
(modG(π1◦π2))−1.β = (π1◦π2)(β) =π1(π2(β)) =π1((modG(π2))−1.β) =
= (modG(π2))−1.(π1(β)) = (modG(π2))−1.(modG(π1))−1.β.