Komplex Radon-mértékek alaptulajdonságai

A harmonikus analízis vizsgálatában a leghatékonyabb eszköz a komplex Radon-mértékek elmélete; most ezzel a témakörrel foglalkozunk.

4.1.1. Jelölés. Ha T halmaz, F normált tér és f : T → F függvény, akkor minden K ⊆T halmazra:

9f9K :=







sup

t∈Kkf(t)k , ha K 6=∅ 0 , ha K =∅.

Megjegyezzük, hogy ha T halmaz és F normált tér, akkor minden K ⊆ T halmazra az

F^b(T;F)→R₊; f 7→9f9K

leképezés félnorma, ésK =T esetén ez éppen a sup-norma aT →F korlátos függvények F^b(T;F) terén.

4.1.2. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér.

– Komplex Radon-mértéknek (vagy csak egyszerűen Radon-mértéknek) nevezünk T felett minden olyan θ : K (T;C) → C lineáris funkcionált, amelyre teljesül az, hogy minden K ⊆ T kompakt halmazhoz van olyan C ∈ R₊, hogy minden K (T;C) ∋ ϕ-re, ha supp(ϕ)⊆K, akkor

|θ(ϕ)| ≤C9ϕ9T .

A T lokálisan kompakt tér feletti komplex Radon-mértékek halmazátM(T;C) jelöli.

– Egy T feletti θ komplex Radon-mértéket valós Radon-mértéknek nevezünk, ha

minden ϕ ∈ K (T;R) esetén θ(ϕ) ∈ R. A T feletti valós Radon-mértékek halmazát M(T;R) vagy M(T) jelöli.

– Egy T feletti θ komplex Radon-mértéket pozitív Radon-mértéknek nevezünk, ha minden ϕ ∈ K (T;R) esetén, ha ϕ ≥ 0, akkor θ(ϕ) ∈ R₊. A T feletti pozitív Radon-mértékek halmazát M₊(T) jelöli.

Legyen T lokálisan kompakt tér. Ha θ valós Radon-mérték T felett, akkor a θR := θ|^K(T;R) : K (T;R) → R leképezés olyan lineáris funkcionál, amelyre minden K ⊆T kompakt halmazhoz van olyan C ∈R₊, hogy minden ϕ ∈K (T;R) függvényre, ha supp(ϕ)⊆K, akkor|θR(ϕ)| ≤C9ϕ9T. Megfordítva, legyen µ:K (T;R)→Rolyan lineáris funkcionál, hogy minden K ⊆ T kompakt halmazhoz van olyan C ∈ R₊, hogy minden ϕ∈K (T;R)függvényre, ha supp(ϕ)⊆K, akkor |µ(ϕ)| ≤C9ϕ9T. Ekkor a

θ:K (T;C)→C; ϕ7→µ(ℜ(ϕ)) +iµ(ℑ(ϕ))

leképezés az a komplex Radon-mérték T felett, amelyre θR =µ. Ez azt jelenti, hogy a θ 7→ θR hozzárendelés kitüntetett bijekció M(T;R) és azon µ : K (T;R) → R lineáris funkcionálok halmaza között, amelyekre teljesül az, hogy minden K ⊆ T kompakt halmazhoz van olyan C ∈R₊, hogy minden ϕ∈K (T;R)függvényre, ha supp(ϕ)⊆K, akkor |µ(ϕ)| ≤C9ϕ9T.

4.1.3. Definíció. A T lokálisan kompakt tér feletti θ Radon-mértéket korlátosnak nevezzük, ha θ folytonos a K (T;C) függvénytér feletti sup-norma szerint, vagyis ha létezik olyan C ∈R₊, hogy minden ϕ ∈K (T;C) függvényre |θ(ϕ)| ≤C9ϕ9_T teljesül;

ekkor a θ funkcionálnormáját a θ Radon-mérték mértéknormájának nevezzük és kθk -val jelöljük. A T feletti korlátos komplex Radon-mértékek halmazát M^b(T;C) jelöli.

Nyilvánvaló, hogy ha T kompakt tér, akkor minden T feletti Radon-mérték korlátos, mert ha θ ∈ M(T;C), akkor a T kompakt halmazhoz is van olyan C ∈ R₊, hogy minden ϕ∈K (T;C)függvényre |θ(ϕ)| ≤C9ϕ9T teljesül, vagyisθ a sup-norma szerint folytonos.

4.1.4. Állítás. (Radon-mértékek sorozatfolytonossága) Legyen T lokálisan kom-pakt tér. Egy θ : K (T;C) → C lineáris funkcionál pontosan akkor Radon-mérték T felett, ha minden K (T;C)-ben haladó (ϕn)n∈N sorozatra teljesül az, hogy ha (ϕn)n∈N

egyenletesen konvergál a T halmazon a 0-hoz, és létezik olyan K ⊆ T kompakt halmaz, hogy minden N∋n-re supp(ϕn)⊆K, akkor lim

n→∞θ(ϕn) = 0.

Bizonyítás. Legyen θ komplex Radon-mérték T felett, és (ϕ_n)_n∈N olyan K (T;C)-ben haladó sorozat, amely T-n egyenletesen konvergál 0-hoz, és tegyük fel, hogy K ⊆ T olyan kompakt halmaz, hogy minden N∋n-re supp(ϕn)⊆K. A K-hoz legyen C ∈R₊ olyan, hogy minden K (T;C) ∋ ϕ-re, supp(ϕ) ⊆ K esetén fennáll a |θ(ϕ)| ≤ C9ϕ9T

egyenlőtlenség. Ekkor minden n ∈ N esetén |θ(ϕn)| ≤ C 9ϕn9T, és lim

n→∞9ϕn9T = 0, hiszen (ϕn)n∈N egyenletesen konvergál 0-hoz T-n, így lim

n→∞θ(ϕn) = 0. Megfordítva, tegyük fel, hogy a θ : K (T;C) → C lineáris funkcionál nem Radon-mérték T felett, tehát van olyan K ⊆ T kompakt halmaz, hogy minden C ∈ R₊ számhoz létezik olyan ϕ ∈K (T;C), amelyre supp(ϕ)⊆ K, de |θ(ϕ)|> C 9ϕ9T. Legyen (εn)n∈N tetszőleges R⁺-ban haladó zérussorozat, és válasszunk ki olyan (ψn)n∈N sorozatot K (T;C)-ből, amelyre minden n∈Neseténsupp(ψn)⊆K és|θ(ψn)|>(1/εn)9ψn9T. Legyen minden N∋n-reϕn := (εn/9ψn9T).ψn; ekkor(ϕn)n∈Nolyan sorozatK (T;C)-ben, hogy minden n ∈ N esetén supp(ϕn) ⊆ supp(ψn) ⊆ K, és 9ϕn9T = εn, tehát (ϕn)n∈N egyenletesen konvergál 0-hoz T-n. Ugyanakkor minden N ∋ n-re |θ(ϕn)| = εn|θ(ψn)|/9ψn9T > 1, tehát a (θ(ϕn))n∈N komplex számsorozat nem konvergál 0-hoz.

Egy fontos Radon-mérték konstrukcióról szól a következő állítás.

4.1.5. Állítás. Legyenek T, S lokálisan kompakt terek, g : T → C folytonos függvény, és π : T → S olyan folytonos függvény, hogy minden H ⊆ S kompakt halmazra ⁻¹πhHi kompakt halmaz T-ben. Ekkor minden T feletti θ komplex Radon-mértékre a

K (S;C)→C; ψ 7→θ(g.(ψ◦π)) leképezés komplex Radon-mérték S felett.

Bizonyítás. Legyen θ komplex Radon-mérték T felett; ekkor a szóbanforgó leképezés nyilvánvalóan lineáris funkcionál K (S;C) felett. Legyen H ⊆ S kompakt halmaz. A feltevés szerint ⁻¹πhHi kompakt halmaz T-ben ésθ Radon-mérték T felett, így vehetünk olyan C ∈ R₊ számot, amelyre ϕ ∈ K (T;C) és supp(ϕ) ⊆ ⁻¹πhHi esetén |θ(ϕ)| ≤ C 9ϕ9T. Ha ψ ∈ K (S;C) olyan, hogy supp(ψ) ⊆H, akkor supp(g.(ψ◦π))⊆ ⁻¹πhHi, ezért

|θ(g.(ψ◦π))| ≤C9g.(ψ◦π)9T =C9g.(ψ◦π)9⁻¹

πhHi ≤

≤C( sup

t∈⁻¹πhHi

|g(t)|)9ψ9_S, amivel az állítást igazoltuk.

4.1.6. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér, g : T → C folytonos függvény, és θ komplex Radon-mérték T felett. Ekkor minden T feletti θ komplex Radon-mértékre a

K (T;C)→C; ϕ7→θ(g.ϕ)

T feletti komplex Radon-mértéket g.θ jelöli, és ezt a g függvény és θ Radon-mérték szorzatának nevezzük.

4.1.7. Definíció. Legyenek T, S lokálisan kompakt terek, és π:T →S olyan folytonos függvény, hogy minden H ⊆ S kompakt halmazra ⁻¹πhHi kompakt halmaz T-ben. Ekkor minden T feletti θ komplex Radon-mértékre a

K (S;C)→C; ψ 7→θ(ψ◦π)

S feletti komplex Radon-mértéketπ(θ) jelöli, és ezt a θ Radon-mértékπ függvény által létesített képének nevezzük.

Vigyázzunk arra, hogy haT,S lokálisan kompakt terek, és θ komplex Radon-mérték T felett, akkor általában csak olyan π : T → S folytonos függvény esetében képezhető az S feletti π(θ) Radon-mérték, amely eleget tesz annak a feltételnek, hogy minden H ⊆S kompakt halmazra ⁻¹πhHikompakt halmazT-ben; különben ψ ∈K (S;C)esetén a ψ ◦ π : T → C folytonos függvény nem szükségképpen kompakt tartójú, tehát a θ(ψ◦π)szimbólum értelmetlen (vagy legalábbis értelmezésre szorul). HaT ésSlokálisan kompakt terek, akkor egy π : T → S folytonos függvényre azt mondjuk, hogy valódi, ha minden H ⊆S kompakt halmazra ⁻¹πhHi kompakt halmaz T-ben. Nyilvánvaló, hogy kompaktT esetén minden T →S folytonos függvény valódi. Továbbá tetszőlegesT ésS lokálisan kompakt térre, mindenT →Shomeomorfizmusvalódi; a továbbiakban lényeges lesz ennek az a speciális esete, amikor T = S. Ha például γ topologikus ábrázolása a G csoportnak az X lokálisan kompakt térben, akkor minden G ∋ s-re γ(s) : X → X homeomorfizmus, így minden X feletti θ Radon-mértékre jól értelmezett γ(s)(θ), ami szintén X feletti Radon-mérték.

4.1.8. Állítás. a) Legyen T lokálisan kompakt tér és g1, g2 : T → C folytonos függvé-nyek. Ha θ komplex Radon-mérték T felett, akkor

g1.(g2.θ) = (g1.g2).θ.

b) Legyenek T1, T2, T3 lokálisan kompakt terek, π1 : T1 → T2 folytonos valódi függvény, és π₂ : T₂ → T₃ folytonos valódi függvény. Ekkor π₂ ◦π₁ : T₁ → T₃ is folytonos valódi függvény, és ha θ komplex Radon-mérték T1 felett, akkor

π2(π1(θ)) = (π2◦π1)(θ).

c) Legyenek T, S lokálisan kompakt terek, g : T → C folytonos függvény, és π : T → S homeomorfizmus. Ha θ komplex Radon-mérték T felett, akkor

π(g.θ) = (g◦π⁻¹).(π(θ)).

Bizonyítás. A definíciók alapján nyilvánvaló.

4.1.9. Definíció. Legyen T lokálisan kompakt tér és θ komplex Radon-mérték T felett.

Ekkor

θ:K (T;C)→C; ϕ7→θ(ϕ), és θ-t a θ Radon-mérték konjugáltjának nevezzük, továbbá

ℜ(θ) := 1

2(θ+θ), ℑ(θ) := 1

2i(θ−θ),

és ℜ(θ)-t(illetveℑ(θ)-t)aθ Radon-mértékvalós részének(illetveképzetes részének) nevezzük.

Nyilvánvaló, hogy lokálisan kompakt tér feletti komplex Radon-mérték konjugáltja szintén komplex Radon-mérték, és komplex Radon-mérték valós, illetve képzetes része valós Radon-mérték. Továbbá, ha T lokálisan kompakt tér és θ komplex Radon-mérték T felett, akkor nyilvánvalóan

θ =ℜ(θ) +iℑ(θ).