Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája
6.1. Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrájának értelmezése
6.1.1. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport. Minden ϕ ∈K (G;C) esetén a ϕ∗ := ∆−1G .(ϕ◦iG),
függvényt a ϕ függvényadjungáltjának nevezzük. Ha β baloldali Haar-mértékG felett, akkor ϕ, ψ ∈K (G;C) esetén a
ϕ∗
βψ :G→C; s7→
Z
G
ϕ(t)ψ(t−1s) dβ(t) függvényt a ϕ és ψ függvények β-szerinti konvolúciójának nevezzük.
Természetesen a konvolúció értelmes, mert ha ϕ, ψ∈K (G;C), akkor minden s∈G esetén a G → C; t 7→ ϕ(t)ψ(t−1s) függvény folytonos és kompakt tartójú, tehát itt semmiféle "valódi" integrálról nincs szó, hiszen az írható, hogy
(ϕ∗
βψ)(s) =β(t7→ϕ(t)ψ(t−1s)),
tehát itt algebrai formulával van dolgunk, semmilyen határértéket nem kell venni.
Figyeljük meg, hogy az adjungálás független a baloldali Haar-mérték választásától, míg a konvolúció egy szigorúan pozitív szám-szorzó erejéig függ aβ baloldali Haar-mértéktől.
Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor minden ϕ, ψ ∈K (G,C) és s∈Gesetén
(ϕ∗βψ)(s) =
Z
G
ϕ(st−1)ψ(t)∆G(t−1) dβ(t)
teljesül, mert β balinvarianciája és iG(β) = ∆−1G .β miatt (ϕ∗βψ)(s) :=
Z
G
ϕ(t)ψ(t−1s) dβ(t) =
Z
G
ϕ(s(s−1t))ψ((s−1t)−1) dβ(t) =
=
Z
G
ϕ(st)ψ(t−1) dβ(t) =
Z
G
ϕ(s(t−1)−1)ψ(t−1) dβ(t) =
=
Z
G
ϕ(st−1)ψ(t)∆G(t−1) dβ(t).
6.1.2. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport és legyen β baloldali Haar-mérték G felett.
a) Minden ϕ, ψ ∈K (G;C) esetén ϕ∗ ∈K (G;C), ϕ∗
βψ ∈K (G;C) és supp(ϕ∗) = (supp(ϕ))−1, supp(ϕ∗
βψ)⊆supp(ϕ)·supp(ψ).
b) A K (G;C) komplex vektortér a
K (G;C)×K (G;C)→K (G;C); (ϕ, ψ)7→ϕ∗βψ konvolúciós szorzással, és a
K (G;C)→K (G;C); ϕ 7→ϕ∗ adjungálással, valamint a
k · kβ,1 :K (G;C)→R+; ϕ 7→β(|ϕ|) normával ellátva normált *-algebra.
c) Minden s∈G és ϕ, ψ ∈K (G;C) esetén (ϕ∗
βψ)◦γG(s) = (ϕ◦γG(s))∗
βψ, (ϕ∗
βψ)◦δG(s) = ϕ∗
β(ψ◦δG(s)).
Bizonyítás. a) Az iG inverzió homeomorfizmus és a ∆G moduláris függvény folytonos, tartójú. A ϕ∗βψ függvény folytonossága azonnal következik a paraméteres integrálok folytonosságából, mert s∈G esetén a konvolúció definíciója alapján
(ϕ∗
βψ)(s) =
Z
G
(ψ◦iG)(s−1t)d(ϕ.β)(t).
b) A definícióból látható, hogy a
K (G;C)×K (G;C)→K (G;C); (ϕ, ψ)7→ϕ∗βψ
konvolúciós szorzás C-bilineáris. Megmutatjuk, ez a művelet asszociatív is. Ehhez legyenek ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈K (G;C) éss ∈G rögzítettek. Ekkor
=:
Z
G
ϕ1(t1)(ϕ2∗βϕ3)(t−11 s) dβ(t1) =: (ϕ1∗β(ϕ2∗βϕ3))(s),
ahol az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a β⊗β szorzatmértékre és a G×G→ G; (t1, t2)7→ϕ1(t1)ϕ2(t−11 t2)ϕ3(t−12 s)
kompakt tartójú folytonos függvényre, továbbá felhasználtuk azt, hogy β balinvariáns, tehát minden t1 ∈G esetén
Ezzel megmutattuk, hogy aK (G;C)vektortér aβ szerinti konvolúciós szorzással ellátva komplex algebra. Most bebizonyítjuk, hogy a
K (G;C)→K (G;C); ϕ7→ϕ∗ adjungálás involúcióa K (G;C)algebra felett.
Az nyilvánvaló, hogy az adjungálás konjugált-lineáris leképezés a K (G;C) komplex vektortér felett. Ha ϕ ∈K (G;C), akkor
szorzással és a * involúcióval ellátva *-algebra.
Azt kell még bizonyítani, hogy a
k · kβ,1 :K (G;C)→R+; ϕ7→β(|ϕ|)
leképezés olyan norma a K (G;C) komplex vektortér felett, amely a szubmultiplikatív a
∗β szorzás szerint, és hogy a * adjungálás izometria k · kβ,1 szerint.
Az nyilvánvaló, hogy k · kβ,1 félnorma a K (G;C) komplex vektortér felett, és norma is, mert baloldali Haar-mérték minden nem nulla pozitív folytonos kompakt tartójú függvényhez nem nulla éréket rendel, hiszen baloldali Haar-mérték tartója egyenlő G-vel. Ha ϕ ∈K (G;C), akkor iG(β) = ∆−1G .β miatt
ahol az elemi Lebesgue–Fubini-tételt alkalmaztuk a β⊗β szorzatmértékre és a G×G→R; (t, s)7→ |ϕ(t)||ψ(t−1s)|
kompakt tartójú folytonos függvényre, továbbá kihasználtuk a β balinvarianciáját.
c) Legyen s∈G ésϕ, ψ ∈K (G,C). Ekkor minden s′ ∈Gpontra
ahol kihasználtuk a β balinvarianciáját. Végül, minden s′ ∈G pontra ((ϕ∗
βψ)◦δG(s))(s′):=(ϕ∗
βψ)(s′s−1):=
Z
G
ϕ(t)ψ(t−1s′s−1) dβ(t)=
=
Z
G
ϕ(t)(ψ◦δG(s))(t−1s′)dβ(t) =: (ϕ∗β(ψ◦δG(s)))(s′).
6.1.3. Definíció. Legyen G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett. Ekkor a β szerinti konvolúciós szorzással, az adjungálással és a k · kβ,1 normával ellátott K (G;C) normált *-algebrát Kβ(G;C), és ennek a teljes burkát L1C(G, β) jelöli, és az L1C(G, β) Banach-*-algebrát a G lokálisan kompakt csoport (β szerinti) mértékalgebrájának nevezzük.
Most megadjuk a mértékalgebráknak, mint Banach-tereknek egyfajta realizációját, amely megvilágítja a mértékalgebra elnevezést. Ehhez emlékeztetünk arra, hogy ha T lokálisan kompakt tér, akkor Mb(T;C)jelöli a sup-norma szerint folytonos K (T;C)→ C lineáris funkcionálok terét; ennek elemei aT feletti korlátos komplex Radon-mértékek (4.1.3.). Az Mb(T;C) tér a funkcionálnormával ellátva Banach-tér, és a funkcionál-normát mértéknormának nevezzük.
6.1.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és értelmezzük a
jβ :K (G;C)→Mb(T;C); ϕ 7→ϕ.β
leképezést. Ekkor az (Im(jβ), jβ) pár teljes burka a k · kβ,1 normával ellátott K (G;C) függvénytérnek, ahol Im(jβ) jelöli az Im(jβ) ⊆ Mb(T;C) lineáris altér mértéknorma szerinti lezártját.
Bizonyítás. A normált terek teljes burkának értelmezése, és a Mb(T;C) normált tér teljessége alapján, az állítás azzal ekvivalens, hogy a jβ operátor izometria a K (G;C) feletti k · kβ,1 és azMb(T;C)feletti k · kfunkcionálnorma szerint. A4.2.9. állítás szerint ϕ ∈K (G;C) esetén kϕ.βk=β(|ϕ|) =:kϕkβ,1.
Tehát, ha β baloldali Haar-mérték a G lokálisan kompakt csoport felett, akkor az L1C(G, β)Banach-tér izometrikusan izomorf azIm(jβ)⊆Mb(T;C)zárt normált altérrel.
A definíció alapján világos, hogyθ ∈Mb(T;C)eseténθ ∈Im(jβ)pontosan akkor teljesül, ha létezik olyan (ϕn)n∈N sorozat K (G;C)-ben, amelyre fennáll a lim
n→∞kϕn.β−θk = 0 egyenlőség. Könnyen látható, hogy az Im(jβ) lineáris altér, és ezzel együtt az Im(jβ) Banach-tér sem függ a β baloldali Haar-mérték választásától. Megjegyezzük, hogy az L1C(G, β) mértékalgebra imént leírt realizációja egyes állítások bizonyításában hasznos lehet, de a tételek nagy részében csak az L1C(G, β) teljes burok létezése fontos, annak konkrét formája lényegtelen.
6.1.5. Jelölés. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor az Im(jβ) Banach-teret, a mértéknormával ellátva L(G) jelöli, ahol β tetszőleges baloldali Haar-mérték G felett.
6.1.6. Állítás. HaGlokálisan kompakt csoport, akkor mindenθ ∈L(G)éss∈Gesetén γG(s)θ∈L(G).
Bizonyítás. Legyenθ∈L(G), ésβbaloldali Haar-mértékGfelett. Vegyünk olyan(ϕn)n∈N sorozatot K (G;C)-ben, amelyre lim
n→∞ϕn.β = θ az L(G) mértéknormája szerint. Ekkor minden G∋s-re és N∋n-re
kϕn.β−θk=kγG(s)(ϕn.β−θ)k=k(ϕn◦γG(s−1).β−γG(s)θk, ezért lim
n→∞(ϕn◦γG(s−1)).β =γG(s)θ az L(G) mértéknormája szerint, következésképpen γG(s)θ∈L(G).
6.2. δ -rendszerek
Lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája általában nem egységelemes. Később bebizonyítjuk, hogy egy lokálisan kompakt csoport mértékalgebrája pontosan akkor egységelemes, ha a csoport diszkrét. Most egy olyan objektum-típussal foglalkozunk, amelynek létezése biztosítja azt, hogy a mértékalgebrák approximatív egységesek.
6.2.1. Definíció. Ha G lokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor β-szerinti δ-rendszernek nevezünk minden olyan K+(G)-ben haladó (ϕi)i∈I
általánosított függvénysorozatot, amelyre teljesülnek a következők.
(SDI) Minden i∈I esetén ϕi(eG)>0 és β(ϕi) = 1.
(SDII) Az eG minden W környezetéhez van olyan iW ∈I, hogy minden i∈ I esetén, ha i≥iW, akkor supp(ϕi)⊆W.
6.2.2. Állítás. Ha G lokálisan kompakt csoport, akkor bármely G feletti β baloldali Haar-mértékhez létezik β-szerintiδ-rendszer.
Bizonyítás. Legyen B tetszőleges környezetbázisa eG-nek, és a B halmazt rendezzük a
⊇ relációval, tehát B felfelé irányított rendezett halmaz.
Legyen W ∈ B rögzítve. A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tételt alkalmazva az {eG} kompakt halmazra és az ezt tartalmazó W◦ nyílt halmazra kapunk olyan ψ ∈ K (G;R) függvényt, amelyre0 ≤ ψ ≤ 1, ψ(eG) = 1 és supp(ψ)⊆ W◦ . Ekkor ψ ∈ K +(G) és supp(β) = G, ezért β(ψ) > 0. Ebből következik, hogy a ϕ := ψ
β(ψ)
függvényre ϕ ∈K+(G), β(ϕ) = 1 és supp(ϕ) = supp(ψ)⊆W. Világos, hogy ϕ(eG)>0 is teljesül.
Tehát minden W ∈B esetén
{ϕ∈ K+(G) | (ϕ(eG)>0)∧(β(ϕ) = 1)∧(supp(ϕ)⊆W)} 6=∅. A kiválasztási axióma alkalmazásával vehetünk egy
(ϕW)W∈B∈ Y
W∈B
{ϕ∈K+(G)| (ϕ(eG)>0)∧(β(ϕ) = 1)∧(supp(ϕ)⊆W)} kiválasztó függvényt. Ekkor a (ϕW)W∈B általánosított sorozat nyilvánvalóan β-szerinti δ-rendszer.
6.2.3. Állítás. Legyen Glokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mértékG felett.
A következő állítások ekvivalensek.
(i) G metrizálható.
(ii) Létezik olyan (ϕn)n∈N függvénysorozat, amely β-szerinti δ-rendszer.
(iii) Létezik olyan (ϕi)i∈I általánosított függvénysorozat, amelyβ-szerintiδ-rendszer és I megszámlálható.
Bizonyítás. (i)⇒(ii) HaGmetrizálható, akkor létezik azeGkörnyezeteinek olyan(Wn)n∈N
sorozata, hogy a {Wn|n ∈ N} halmaz környezetbázisa eG-nek, és minden n ∈ N esetén Wn+1 ⊆ Wn (2.2.3.). Ugyanúgy, mint az előző állítás bizonyításában, kiválaszthatunk olyan (ϕn)n∈N függvénysorozatot, hogy minden n ∈N esetén ϕn ∈ K+(G), ϕn(eG)>0, β(ϕn) = 1 és supp(ϕn)⊆Wn. Természetesen ekkor(ϕn)n∈N β-szerinti δ-rendszer.
(ii)⇒(iii) Triviális.
(iii)⇒(i) Legyen (ϕi)i∈I általánosított függvénysorozat, amely β-szerinti δ-rendszer, és tegyük fel, hogy I megszámlálható. Ekkor (supp(ϕi))i∈I az eG kompakt környezeteinek olyan rendszere, hogy az eG bármely W környezetéhez van olyan i ∈ I, amelyre supp(ϕi) ⊆ W. Ez azt jelenti, hogy {supp(ϕi)|i ∈ I} megszámlálható környezetebázisa eG-nek, így G metrizálható (2.2.3.).
6.2.4. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és (ϕi)i∈I β-szerinti δ-rendszer. Ekkor minden F Banach-térre és f :G →F folytonos függvényre:
Bizonyítás. Minden i ∈ I esetén az (SDI) feltétel, valamint azt integrál algebrai tulaj-donságai szerint
=
Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. Az f függvény eG pontbeli folytonossága miatt van eG-nek olyan Wε környezete, hogy minden Wε ∋s-rekf(eG)−f(s)k< ε. Ekkor (SDII) alapján
Az előző állításból látható, hogy ha G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és (ϕi)i∈I β-szerinti δ-rendszer, akkor minden ϕ ∈K (G;C) esetén
tehát a G feletti kompakt tartójú Radon-mértékekből álló (ϕi.β)i∈I általánosított sorozat a K (G;C) felett pontonkéntkonvergál εeG-hez, vagyis azeG pontba koncentrált egypontmértékhez, amit Dirac-deltának is neveznek. Innen származik a "δ-rendszer"
elnevezés.
6.2.5. Állítás. Legyen G lokálisan kompakt csoport, β baloldali Haar-mérték G felett, és (ϕi)i∈I β-szerinti δ-rendszer. Ekkor minden ϕ ∈ K (G;C) esetén a (ϕi∗
βϕ)i∈I és (ϕ∗
βϕi)i∈I általánosított függvénysorozatok a G halmazon egyenletesen konvergálnak ϕ-hez, továbbá létezik olyan K ⊆ G kompakt halmaz és olyan iK ∈ I, hogy minden i ∈ I esetén, ha i≥iK, akkor supp(ϕi∗
βϕ)⊆K és supp(ϕ∗
βϕi)⊆K.
Bizonyítás. (I) Legyen i∈I és s∈G. Ekkor a konvolúció értelmezése alapján
|(ϕi∗
Legyen most ε ∈ R+ tetszőleges. A kompakt tartójú folytonos függvények jobboldali egyenletes folytonossága miatt vehetjük olyan Uε környezetét eG-nek, hogy minden s1, s2 ∈ G esetén, ha s2s−11 ∈ Uε, akkor |ϕ(s1)−ϕ(s2)| < ε. Az Uε halmazhoz vegyünk
olyan iε ∈I indexet, hogy minden i∈I esetén, ha i≥iε, akkor supp(ϕi)⊆Uε. általánosított függvénysorozat a G halmazon egyenletesen konvergál ϕ-hez.
(II) Legyen i∈I éss ∈G. Ekkor a konvolúció értelmezése alapján
|(ϕ∗
Rögzítsük az eG-nek egy U0 kompakt környezetét. Legyen ε ∈ R+ tetszőleges. A kompakt tartójú folytonos függvények baloldali egyenletes folytonossága miatt vehetjük olyan Uε környezetét eG-nek, hogy minden s1, s2 ∈ G esetén, ha s−11 s2 ∈ Uε, akkor
Ha s ∈G olyan, hogy |(ϕ∗
βϕi)(s)−ϕ(s)| 6= 0, akkor s ∈ supp(ϕ) ⊆ supp(ϕ)·U0, vagy s ∈supp(ϕ∗βϕi)⊆supp(ϕ)·supp(ϕi)⊆supp(ϕ)·U0. Ezért
sup
s∈G|(ϕ∗βϕi)(s)−ϕ(s)| ≤ sup
s′∈supp(ϕ)·U0
∆−1G (s′)
!
ε.
A jobb oldalon zárójelben álló pozitív valós szám csakis ϕ-től és a megválasztott U0
kompakt környezettől függ, tehát független ε-tól. Ezért minden ε ∈ R+ esetén van olyan iε ∈ I, hogy minden s ∈ G pontra és minden i ∈ I indexre, ha i ≥ iε, akkor
|(ϕ∗
βϕi)(s)−ϕ(s)| ≤ε. Ez azt jelenti, hogy a (ϕ∗
βϕi)i∈I általánosított függvénysorozat a G halmazon egyenletesen konvergál ϕ-hez.
(III) Legyen U kompakt környezete eG-nek, és vegyünk olyan i∗ ∈ I indexet, hogy minden i ∈ I esetén, ha i ≥ i∗, akkor supp(ϕ) ⊆ U. Tehát, ha i ∈ I és i ≥ i∗, akkor supp(ϕi∗βϕ)⊆U·supp(ϕ), valamintsupp(ϕ∗βϕi)⊆supp(ϕ)·U. Ebből következik, hogy K := (U ·supp(ϕ))∪(supp(ϕ)·U) olyan kompakt halmaz G-ben és iK := i∗ ∈ I olyan index, hogy minden i∈I esetén, hai≥iK, akkorsupp(ϕi∗βϕ)⊆K éssupp(ϕ∗βϕi)⊆K egyszerre teljesül.
6.2.6. Állítás. LegyenGlokálisan kompakt csoport,β baloldali Haar-mértékGfelett, és (ϕi)i∈I β-szerintiδ-rendszer. Ekkor a (ϕi)i∈I általánosított függvénysorozat approximatív egység a Kβ(G;C) normált algebrában, tehát minden ϕ ∈K (G;C) esetén
limi, I(ϕi∗βϕ) =ϕ= lim
i, I(ϕ∗βϕi) teljesül a K (G;C) feletti k · kβ,1 norma szerint.
Bizonyítás. Legyen ϕ ∈ K (G;C) rögzítve. Az előző állítás szerint a K+(G)-ben haladó (|ϕi∗βϕ−ϕ|)i∈I és (|ϕ∗βϕi−ϕ|)i∈I általánosított függvénysorozatok egyenletesen konvergálnak 0-hoz aGhalmazon, és van olyanK ⊆Gkompakt halmaz és iK ∈I, hogy minden i∈I esetén, hai≥iK, akkorsupp(|ϕi∗βϕ−ϕ|)⊆K éssupp(|ϕ∗βϕi−ϕ|)⊆K.
A lokálisan kompakt terekre vonatkozó Uriszon-tétel alapján vehetünk olyan ψK ∈ K (G;R) függvényt, hogy 0 ≤ ψ ≤ 1 és K ⊆ [ψK = 1]. Ekkor i ∈ I és i ≥ iK
esetén
|ϕi∗
βϕ−ϕ| ≤9ϕi∗
βϕ−ϕ9ψK,
|ϕ∗
βϕi −ϕ| ≤9ϕ∗
βϕi−ϕ9ψK, amiből következik, hogy
kϕi∗
βϕ−ϕkβ,1 =
Z
G
∗|ϕi∗
βϕ−ϕ| dβ ≤9ϕi∗
βϕ−ϕ9β(ψK),
kϕ∗βϕi−ϕkβ,1 =
Z
G
∗
|ϕ∗βϕi−ϕ| dβ ≤9ϕ∗βϕi−ϕ9β(ψK).
Ebből látható, hogy limi, I
Z
G
|ϕi∗βϕ−ϕ|dβ = 0 = lim
i, I
Z
G
|ϕ∗βϕi−ϕ| dβ, vagyis
limi, I(ϕi∗
βϕ) =ϕ= lim
i, I(ϕ∗
βϕi)
teljesül ak · kβ,1norma szerint. Továbbá,i∈I eseténkϕikβ,1 =β(ϕi) = 1, tehát a(ϕi)i∈I
általánosított sorozat korlátos a k · kβ,1 norma szerint.
6.2.7. Tétel. HaGlokálisan kompakt csoport ésβ baloldali Haar-mérték, akkor minden β-szerinti δ-rendszer approximatív egysége az L1C(G, β) mértékalgebrának. Minden loká-lisan kompakt csoport mértékalgebrája approximatív egységes Banach-*-algebra.
Bizonyítás. Ha G lokálisan kompakt csoport, és β baloldali Haar-mérték G felett, akkor az előző állítás szerint K (G;C) olyan sűrű *-részalgebrája az L1C(G, β)
Banach-*-algebrának, amelynek létezik approximatív egysége. Ezért L1C(G, β)-nak is létezik approximatív egysége, és még az is igaz, hogy a K (G;C)minden approximatív egysége L1C(G, β)-nak is approximatív egysége ([19, 19.3]).
6.3. A mértékalgebra kommutativitásának és egységelemességének kritériuma
6.3.1. Következmény. LegyenGlokálisan kompakt csoport, ésβ baloldali Haar-mérték G felett. A következő állítások ekvivalensek.
(i) G kommutatív.
(ii) K (G;C) felett a ∗
β konvolúciós szorzás kommutatív.
(iii) Az L1C(G, β) Banach-*-algebra kommutatív.
Bizonyítás. A K (G;C) halmaz sűrű *-részalgebrája az L1C(G, β) Banach-*-algebrának, ezért a K (G;C) halmaz és az L1C(G, β) kommutativitása ekvivalensek, így (ii) és (iii) ugyanazt jelenti.
(i)⇒(ii) HaG kommutatív, akkor unimoduláris, ezért mindenϕ, ψ ∈K (G;C) éss∈G esetén
(ϕ∗βψ)(s) =
Z
G
ϕ(st−1)ψ(t)∆G(t−1)dβ(t) =
Z
G
ϕ(t−1s)ψ(t)dβ(t) =
=
Z
G
ψ(t)ϕ(t−1s) dβ(t) =: (ψ∗βϕ)(s).
(ii)⇒(i) Legyenek s, t∈G rögzített elemek. Ekkor minden ϕ, ψ∈K (G;C) esetén (ϕ∗
βψ)◦γG(st) = (ϕ∗
βψ)◦γG(s) ◦γG(t) =
= (ϕ◦γG(s))∗
βψ ◦γG(t)=∗ ψ∗
β(ϕ◦γG(s)) ◦γG(t) =
= (ψ◦γG(t))∗β(ϕ◦γG(s))= (ϕ∗ ◦γG(s))∗β(ψ◦γG(t)) =
= ϕ∗
β(ψ◦γG(t)) ◦γG(s)= (ψ∗ ◦γG(t))∗
βϕ ◦γG(s) =
= (ψ∗
βϕ)◦γG(t) ◦γG(s)= (ϕ∗ ∗
βψ)◦γG(t) ◦γG(s) = (ϕ∗
βψ)◦γG(ts),
ahol a *-gal megjelölt egyenlőségeknél felhasználtuk a∗βszorzás kommutativitását. Ebből következik, hogy minden ϕ, ψ∈K (G;C) esetén
(ϕ∗
βψ)(st) = (ϕ∗
βψ)(ts).
Legyen most (ϕi)i∈I tetszőleges β-szerinti δ-rendszer. Ekkor minden i ∈ I és ψ ∈ K (G;C) esetén
(ϕi∗
βψ)(st) = (ϕi∗
βψ)(ts), amiből a 6.2.5. alapján következik, hogy
ψ(st) = lim
i, I (ϕi∗
βψ)(st) = lim
i, I (ϕi∗
βψ)(ts) =ψ(ts).
AK (G;C)függvényhalmaz szétválasztóGfelett, ezért ebbőlst=tsadódik. (Láthatóan a bizonyításhoz elegendő annak ismerete, hogy a (ϕi∗
βψ)i∈I általánosított sorozat pontonként konvergál a G halmazon ψ-hez.)
6.3.2. Állítás. Legyen Glokálisan kompakt csoport és β baloldali Haar-mértékG felett.
A következő állítások ekvivalensek.
(i) A G topológiája a diszkrét topológia.
(ii) A K (G;C)-ben létezik egységelem a ∗
β szorzás szerint.
(iii) Az L1C(G, β) Banach-*-algebra egységelemes.
(iv) εeG ∈L(G).
(v) Minden s∈G esetén εs∈L(G).
(vi) Létezik olyan s∈G, hogy εs∈L(G).
(vii) A Ψ := {ψ ∈ K (G;R)|(0 ≤ ψ ≤ 1)∧(ψ(eG) = 1)} függvényhalmazra fennáll az
ψ∈Ψinf β(ψ)>0 egyenlőtlenség.
Bizonyítás. (i)⇒(ii) Tegyük fel, hogy G diszkrét, és legyen β a számláló Radon-mérték G felett. Ekkor β Haar-mértékG felett, és nyilvánvaló, hogyχ{e
G} ∈K (G;C), továbbá L1C(G, β) feletti szorzás folytonos.
(iii)⇒(iv) Tegyük fel, hogy az L1C(G, β) Banach-*-algebra egységelemes. Jelölje ∗ a szorzást L1C(G, β)-ban, és legyen1az egységelem azL1C(G, β)algebrában. Legyen(ϕi)i∈I
β-szerinti δ-rendszer. Tudjuk, hogy a(ϕi)i∈I általánosított sorozat approximatív egység az L1C(G, β) normált algebrában, ezért lim
i, I(1∗ϕi)=1 teljesül L1C(G, β)-ban. Ugyanakkor minden i ∈ I esetén 1∗ϕi = ϕi, így a (ϕi)i∈I általánosított sorozat 1-hez konvergál az L1C(G, β) normája szerint. Ebből következik, hogy a (ϕi.β)i∈I általánosított sorozat L(G)-ben konvergál egy δ ∈ L(G) elemhez a mértéknorma szerint. Ekkor a (ϕi.β)i∈I
funkcionál-sorozat pontonként is konvergál δ-hoz, tehát minden ϕ ∈ K (G;C) esetén a 6.2.4. alapján
függvényhalmazt. Megmutatjuk, hogy ha létezik olyan s ∈ G, hogy εs ∈ L(G), akkor
ψ∈Ψinf β(ψ) > 0. Indirekt bizonyítunk, tehát feltesszük, hogy inf
ψ∈Ψβ(ψ) = 0. Vezessük be az
E := θ ∈L(G) inf
ψ∈Ψ|θ|(ψ) = 0
mértékhalmazt. Ha θ, θ1, θ2 ∈ E és c∈ C, akkor |c.θ| =|c|.|θ| és |θ1+θ2| ≤ |θ1|+|θ2|, ezért c.θ ∈E és θ1+θ2 ∈E teljesül, vagyis E lineáris altere L(G)-nek.
Igazoljuk, hogy az E halmaz zárt a mértéknorma szerint. Valóban, legyen θ ∈ L(G) eleme az E mértéknorma szerinti lezártjának, és ε ∈ R+ tetszőleges. Legyen θ′ ∈ E olyan, hogy kθ−θ′k < ε/2, és vegyünk olyan ψ ∈ Ψ függvényt, amelyre |θ′|(ψ) < ε/2.
Ekkor
|θ|(ψ)≤ |θ−θ′|(ψ) +|θ′|(ψ)<kθ−θ′k ·9ψ9+ε/2< ε.
Ez azt jelenti, hogy θ ∈ E, vagyis E zárt a mértéknorma szerint. Ha ϕ ∈ K (G;C), akkor |ϕ.β|=|ϕ|.β miatt
ψ∈Ψinf |ϕ.β|(ψ) = inf
ψ∈Ψ
Z
G
ψ|ϕ| dβ ≤9ϕ9 inf
ψ∈Ψβ(ψ) = 0,
tehátϕ.β ∈E. Ebből következik, hogyE =L(G), hiszen a{ϕ.β |ϕ ∈K (G;C)}halmaz sűrű L(G)-ben. Ezzel megmutattuk, hogy minden θ ∈ L(G) esetén inf
ψ∈Ψ|θ|(ψ) = 0.
Ugyanakkor s ∈ G és εs ∈ L(G) esetén εeG = γG(s−1)εs ∈ L(G), és természetesen
ψ∈Ψinf εeG(ψ) = 1. Ez az ellentmondás azt jelenti, hogy c:= inf
ψ∈Ψβ(ψ)>0.
(vii)⇒(i) Bebizonyítjuk, hogy ebből az egyenlőtlenségből következik a G diszkrétsége.
Legyen ugyanis W relatív kompakt nyílt környezete eG-nek, és rögzítsünk olyan ψ ∈ K (G;R) függvényt, amelyre 0 ≤ ψ ≤ 1 és W ⊆ [ψ = 1]. Legyen S ⊆ W tetszőleges véges halmaz. A G topologikus tér Hausdorff-tér, ezért létezik olyan (Ws)s∈S diszjunkt halmazrendszer, hogy minden S ∋ s-re Ws környezete s-nek, és Ws ⊆ W. Vehetünk olyan (ψs)s∈S rendszertK (G;R)-ben, hogy minden s∈S esetén0≤ψs ≤1, ψs(s) = 1, és supp(ψs) ⊆ Ws. Ekkor X
s∈S
ψs ≤ ψ, és minden S ∋ s-re ψs◦γG(s) ∈ Ψ, ezért a β balinvarianciája folytán
β(ψ)≥X
s∈S
β(ψs) =X
s∈S
β(ψs◦γG(s))≥c·Card(S).
Ez azt jelenti, hogy Card(S)≤β(ψ)/c, tehát W végeshalmaz. Ekkor viszont W \ {eG} is véges halmaz, így zárt is. Ugyanakkor W nyílt környezete eG-nek, így az {eG} = W \(W \ {eG}) halmaz nyílt, tehát G diszkrét.