Csoport-topológiák tulajdonságai

2.1.1. Definíció. LegyenGcsoport. EgyGfelettiT topológiátcsoport-topológiának mondunk, ha teljesülnek rá az alábbiak.

(GTI)Ap_G :G×G→G; (s, t)7→stcsoport-szorzás folytonos aT ×T ésT topológiák szerint.

(GT_II) Az i_G :G→G; s7→s⁻¹ csoport-inverzió folytonos a T és T topológiák szerint.

A (G,T )párt topologikus csoportnaknevezzük, haGcsoport és T csoport-topológia G felett. Azt mondjuk, hogy a (G,T ) topologikus csoport szeparált, ha T Hausdorff-topológia.

A szokásos jelölési konvenciónak megfelelően a topologikus csoportokat rendszerint egyetlen szimbólummal, a benne szereplő csoport jelével jelöljük, ha ez nem vezet félreértésre.

Megjegyzések. 1) HaGtopologikus csoport, akkor mindens∈Gesetén aγ_G(s),δ_G(s) és Int_G(s)függvények homeomorfizmusok, mert

– γ_G(s) = p_G(s,·)folytonos a (GTI)alapján, valamint és (γ_G(s))⁻¹ =γ_G(s⁻¹);

– δ_G(s) = i_G ◦ γ_G(s) ◦ i_G folytonos az előző állítás és a (GTII) alapján, valamint (δ_G(s))⁻¹ =δ_G(s⁻¹);

– Int_G(s) =γ_G(s)◦δ_G(s)folytonos az előző állítások alapján, ugyanakkor (Int_G(s))⁻¹ = Int_G(s⁻¹).

Ebből következik, hogy egy csoport-topológiát egyértelműen meghatározza a neutrális

elem valamely környezetbázisa.

2) Ha Gcsoport, akkor A, B ⊆Gesetén az

AB :={ ab| (a∈A)∧(b ∈B)}, A⁻¹ :={a⁻¹ |a ∈A }

jelöléseket alkalmazzuk. Ha G topologikus csoport, akkor A, B ⊆G esetén A B ⊆AB,

A ⁻¹ =A⁻¹. Valóban, p_G folytonossága és A×B =A×B miatt

A B :=p_GhA×Bi=p_GhA×Bi ⊆p_GhA×Bi=:AB.

(Itt felhasználtuk azt, hogy ha X,Y topologikus terek és f :X →Y folytonos függvény, akkor minden E ⊆ X halmazra fhEi ⊆ fhEi.) Továbbá, i_G homeomorfizmus, mert i⁻¹_G =i_G és i_G folytonos. Ezért azi_G függvény lezárás-tartó, tehát

A ⁻¹ :=i_GhAi=i_GhAi=:A⁻¹.

Ebből látható, hogy ha G topologikus csoport és A ⊆ G részcsoport, akkor A is részcsoport, mert e_G ∈A⊆A, valamint AA⁻¹ ⊆A miatt

A(A)⁻¹ =A A⁻¹ ⊆AA⁻¹ ⊆A.

3) Ha G csoport, akkor egyG feletti T topológia pontosan akkor csoport-topológia, ha teljesül rá a következő feltétel.

(GT) A d_G :G×G→G; (s, t)→s⁻¹t csoport-osztás folytonos aT ×T ésT topoló-giák szerint.

Valóban, d_G =p_G◦(i_G×id_G), tehát, haT csoport-topológiaG felett, akkor a(GTI)és (GTII)szerintd_Gfolytonos aT ×T ésT topológiák szerint. Megfordítva,i_G =d_G(·, e_G), és p_G =d_G◦(i_G×id_G), tehát, ha d_G folytonos a T ×T és T topológiák szerint, akkor (GTII) és(GTI) teljesül.

4) Ha G topologikus csoport és Ω ⊆ G nyílt halmaz, illetve F ⊆ G zárt halmaz, akkor minden G ∋ s-re sΩ, Ωs és sΩs⁻¹ nyílt halmazok, valamint sF, F s és sF s⁻¹ zárt hal-mazok. Ez az 1) megjegyzésből következik.

5) Legyen Gtopologikus csoport ésV környezete e_G-nek. A csoport-inverzió homeomor-fizmus és e_G-hez e_G-t rendeli, így V⁻¹ is környezete e_G-nek, és az U :=V ∩V⁻¹ halmaz

nyilvánvalóan olyan környezete e_G-nek, amelyre U = U⁻¹ (az ilyen tulajdonságú hal-mazokat szimmetrikusaknak nevezzük). Tehát topologikus csoportban a neutrális elem szimmetrikus környezetei környezetbázist alkotnak.

6) Ha G szeparált topologikus csoport, K ⊆ G kompakt halmaz és F ⊆ G zárt hal-maz, akkorKF ésF K zárt halmazok. Valóban, legyen (si)i∈I tetszőleges olyanKF-ben haladó általánosított sorozat, amely konvergál az s ∈ G elemhez. Ekkor kiválasztha-tók olyan K-ban haladó (ki)i∈I és F-ben haladó (fi)i∈I általánosított sorozatok, hogy minden i ∈ I esetén si = kifi. A K halmaz kompaktsága miatt létezik olyan I^′ fel-felé irányított előrendezett halmaz és olyan σ : I^′ → I monoton növő függvény, hogy Im(σ) kofinális I-vel és a (kσ(i^′))i^′∈I^′ általánosított sorozat konvergál egy k ∈ G pont-hoz. A (GTII) miatt k⁻¹ = lim

i^′,I^′k⁻¹_σ(i′), továbbá s = lim

i^′,I^′ kσ(i^′)fσ(i^′) , így a (GTI) alapján k⁻¹s= lim

i^′,I^′ k⁻¹_σ(i′)kσ(i^′)fσ(i^′) . Ebből következik, hogy az (fσ(i^′))i^′∈I^′ általánosított sorozat konvergens G-ben, és ha f := lim

i^′,I^′f_σ(i^′₎, akkor teljesül a k⁻¹s=f egyenlőség. A K ésF halmaz zárt, ezért k ∈ K és f ∈ F, így s = kf ∈ KF, ami azt jelenti, hogy KF zárt halmaz.

2.1.2. Tétel. Legyen G csoport. Ha T csoport-topológia G felett és B az e_G-nek környezetbázisa T szerint, akkor B-re teljesülnek a következők.

(GV_I) Minden U ∈B esetén van olyan V ∈B, hogy V V ⊆U. (GVII) Minden U ∈B esetén van olyan V ∈B, hogy V⁻¹ ⊆U.

(GVIII) Minden s∈G és U ∈B esetén van olyan V ∈B, hogy sV s⁻¹ ⊆U.

Megfordítva, haBolyan rács, amelynek minden elemee_G-t tartalmazó részhalmazG-ben, és teljesülnek B-re a (GVI), (GVII) és (GVIII) feltételek, akkor létezik egyetlen olyan G feletti T csoport-topológia, amely szerint B az e_G-nek környezetbázisa.

Bizonyítás. Legyen T olyan csoport-topológia G felett, amely szerint B az e_G-nek környezetbázisa. A (GTI) alapján a csoport-szorzás folytonos az (e_G, e_G) pontban a T ×T és T topológiák szerint, ezért (GV_I) teljesül. A (GT_II) alapján az inverzió-függvény folytonos az e_G pontban a T topológia szerint, ezért (GVII) teljesül. Az 1) megjegyzés alapján minden s ∈Gesetén az Int_G(s) függvény folytonos aze_G pontban a T topológia szerint, így(GVIII) is teljesül.

Tegyük fel, hogy B olyan rács, amelynek minden eleme e_G-t tartalmazó részhalmaz G-ben, és teljesülnek B-re a (GVI), (GVII) és(GVIII) feltételek. Legyen

T :={Ω⊆G | (∀s ∈Ω)(∃U ∈B) :sU ⊆Ω}.

Nyilvánvaló, hogy T topológia G felett, hiszen B rács. Megmutatjuk, hogy T olyan csoport-topológia G felett, amely szerint B aze_G-nek környezetbázisa.

Először is megjegyezzük, hogy ha V az e_G-nek környezete T szerint, és Ω ∈ T

olyan, hogy e_G ∈ Ω ⊆ V, akkor a T definíciója alapján van olyan U ∈ B, amelyre U =e_GU ⊆ Ω, így U ⊆V. Ezért, ha a B minden eleme az e_G-nek környezete volna T szerint, akkor B aze_G-nek környezetbázisa lenne a T topológia szerint. Legyen V ∈B rögzítve, és értelmezzük azΩ :={s ∈G|(∃U ∈B) :sU ⊆V}halmazt. Nyivánvaló, hogy V ∈Bése_GV =V miatte_G∈Ω, továbbáΩ⊆V, hiszen has∈ΩésU ∈Bolyan, hogy sU ⊆V, akkor e_G ∈U miatts ∈sU, vagyis s∈V. Megmutatjuk, hogy Ω∈T , amiből következik, hogy V környezete e_G-nek a T topológia szerint. Ehhez legyen s ∈ Ω, és vegyünk olyan U ∈ Bhalmazt, amelyre sU ⊆V. A(GV_I)alapján létezik olyanW ∈B, hogy W W ⊆ U. Ekkor sW ⊆ Ω, hiszen ha t ∈ sW, akkor tW ⊆ sW W ⊆ sU ⊆ V, így t ∈Ω. Ez azt jelenti, hogy Ω ∈T és e_G ∈ Ω⊆V, tehát V környezete e_G-nek a T topológia szerint. Ezzel igazoltuk azt, hogy Baz e_G-nek környezetbázisa aT topológia szerint.

Most megmutatjuk, hogy ha Ω ∈ T és s ∈ G, akkor sΩ ∈ T . Valóban, ha t ∈ sΩ, vagyis s⁻¹t ∈ Ω, és U ∈ B olyan, hogy s⁻¹tU ⊆ Ω, akkor tU ⊆ sΩ, így sΩ ∈ T. Ez azt jelenti, hogy minden s∈G esetén aγ_G(s) függvény homeomorfizmus a T topológia szerint, tehát az {sU|U ∈B} halmaz e topológia szerint környezetbázisa s-nek.

Legyenek s₀, t₀ ∈G; megmutatjuk, hogy a csoport-szorzás folytonos az (s₀, t₀) pontban aT ×T ésT topológiák szerint. Az előző bekezdés alapján elegendő azt igazolni, hogy U ∈ B esetén van olyan V ∈ B halmaz, amelyre p_Gh(s0V)×(t0V)i = (s0V)(t0V) ⊆ (s₀t₀)U. Ehhez a (GV_I) alkalmazásával vegyünk olyan W ∈ B halmazt, amelyre W W ⊆ U. Ezután a (GVIII) felhasználásával vegyünk olyan W^′ ∈ B halmazt, amelyre t⁻¹₀ W^′t0 ⊆ W. Ha V ∈ B olyan halmaz, hogy V ⊆ W ∩ W^′, akkor (s0V)(t0V) = (s0t0)(t⁻¹₀ V t0)V ⊆(s0t0)(t⁻¹₀ W^′t0)W ⊆(s0t0)W W ⊆(s0t0)U.

Legyen s0 ∈ G; megmutatjuk, hogy a csoport-inverzió folytonos az s0 pontban a T topológia szerint. Elegendő azt igazolni, hogy U ∈ B esetén van olyan V ∈B halmaz, amelyre i_Ghs0Vi = (s0V)⁻¹ ⊆ s⁻¹₀ U. Ehhez a (GVII) alkalmazásával vegyünk olyan W ∈Bhalmazt, amelyreW⁻¹ ⊆U, vagyisW ⊆U⁻¹. Ezután a(GVIII)felhasználásával vegyünk olyan V ∈ B halmazt, amelyre s0V s⁻¹₀ ⊆ W, vagyis s0V⁻¹s⁻¹₀ ⊆ W⁻¹ ⊆ U. Ekkor (s₀V)⁻¹ =V⁻¹s⁻¹₀ ⊆s⁻¹₀ U.

Ezzel beláttuk, hogy T olyan csoport-topológia G felett, amely szerint B az e_G-nek környezetbázisa. A T egyértelműsége abból következik, hogy csoport-topológiát a neutrális elem környezetei egyértelműen meghatároznak.

2.1.3. Állítás. Minden topologikus csoport reguláris topologikus tér.

Bizonyítás. Legyen G topologikus csoport és U környezete e_G-nek. Legyen V olyan szimmetrikus környezete e_G-nek, amelyre V V ⊆ U; állítjuk, hogy V ⊆U. Valóban, ha s ∈ V, akkor (sV)∩V 6= ∅, hiszen sV környezete s-nek, továbbá t ∈ (sV)∩V esetén s = t(s⁻¹t)⁻¹ ∈ V V⁻¹ ⊆ U. Tehát a neutrális elemnek létezik zárt halmazokból álló környezetbázisa. Ebből következik, hogy aGminden pontjának létezik zárt halmazokból álló környezetbázisa, tehát Gtopológiája reguláris.

2.1.4. Következmény. Ha G topologikus csoport és B az e_G-nek környezetbázisa G-ben, akkor ^T

V∈BV ={e_G}.

Bizonyítás. HaV ∈B, akkor az előző állítás szerint van olyanW zártkörnyezetee_G-nek, hogy W ⊆V; ekkor {e_G} ⊆W =W ⊆V. Ebből következik, hogy {e_G} ⊆ ^T

V∈BV. Legyens ∈G\{e_G}; ekkor van olyanW környezetee_G-nek, hogye_G ∈/ sW, azazs⁻¹ ∈/ W. A W∩W⁻¹ halmaz aze_G-nek környezete, tehát van olyanV ∈B, hogyV ⊆W∩W⁻¹. Ekkor s /∈V, különben s⁻¹ ∈V⁻¹ ⊆W, ami ellentmond annak, hogy s⁻¹ ∈/ W. Ez azt jelenti, hogy ^T

V∈BV ⊆ {e_G}.

2.1.5. Állítás. (Topologikus csoport szeparáltságának kritériuma) Ha G topo-logikus csoport, akkor a következő állítások ekvivalensek.

(i) A G topologikus tér T₂-tér.

(ii) A G topologikus tér T1-tér.

(iii) A G topologikus tér T0-tér.

(iv) Az {e_G} halmaz zárt G-ben.

(v) Az e_G mindenB környezetbázisára G-ben ^T

V∈BV ={e_G}. (v^′) Az e_G-nek létezik olyan B környezetbázisa G-ben, amelyre ^T

V∈BV ={e_G}.

Bizonyítás. Az (i)⇒(ii) és (ii)⇒(iii) következtetések tetszőleges G topologikus térre igazak.

(iii)⇒(iv) Legyen s ∈ G\ {e_G} rögzített. A (iii) miatt létezik olyan U környezete e_G -nek, amelyre s /∈ U, vagylétezik olyan U környezete e_G-nek, amelyre e_G ∈/ sU. Az első esetben e_G ∈/ sU⁻¹, azaz sU⁻¹ ⊆ G\ {e_G}, vagyis s belső pontja G\ {e_G}-nek, mert U⁻¹ az e_G-nek környezete. A második esetben sU ⊆ G\ {e_G}, vagyis s belső pontja G\ {e_G}-nek. Tehát a G\ {e_G}halmaz nyílt, így (iv) teljesül.

(iv)⇒(v) Az előző következmény alapján az e_G minden B környezetbázisára ^T

V∈BV = {e_G}, tehát ha (iv) teljesül, akkor ^T

V∈BV ={e_G}. (v)⇒(v^′) Nyilvánvaló.

(v^′)⇒(i) Legyenek s1, s2 ∈ G és s1 6= s2, vagyis s⁻¹₁ s2 6= e_G. Az (v^′) alapján van olyan U környezete e_G-nek, hogy s⁻¹₁ s2 ∈/ U. HaU-t így választjuk meg ésV olyan környezete e_G-nek, hogy V V⁻¹ ⊆ U, akkor (s1V)∩(s2V) = ∅, hiszen s ∈ (s1V)∩(s2V) esetén s⁻¹₁ s₂ = (s⁻¹₁ s)(s⁻¹₂ s)⁻¹ ∈ V V⁻¹ ⊆ U, ami lehetetlen. Tehát s₁-nek és s₂-nek léteznek diszjunkt környezetei, így GHausdorff-tér.

Példák (topologikus csoportokra).

1) Ha Gtetszőleges csoport, akkor a Gfeletti diszkrét topológia nyilvánvalóan lokálisan kompakt csoport-topológia. Ugyanakkor világos, hogy tetszőleges csoport esetében az antidiszkrét topológia olyan csoport-topológia, amely nem szeparált, ha a csoport legalább két elemű.

2) Nyilvánvaló, hogy ha G topologikus csoport és H részcsoportja G-nek, akkor H a G topológiájának leszűkítésével ellátva szintén topologikus csoport.

3) Legyenek N ésH topologikus csoportok, valamint τ :H →Aut(N) csoport-morfiz-mus. Ha a

p:H×N →N; (h, n)7→τ_h(n)

függvény a H ×N feletti szorzattopológia szerint folytonos, akkor az N⊗

τ H féldirekt szorzatcsoport az N ×H feletti szorzattopológiával ellátva topologikus csoport.

Valóban, apN⊗

τ

H csoport-szorzás folytonosságának bizonyításához azt kell megmutatni, hogy az

(N ×H)×(N ×H)→N ×H; ((n, h),(n^′, h^′))7→(nτh(n^′), hh^′)

függvény a szorzattopológiák szerint folytonos. Topologikus szorzattérbe vezető függvény pontosan akkor folytonos, ha a komponens-függvényei folytonosak, tehát éppen azt kell igazolni, hogy az

α: (N ×H)×(N ×H)→N; ((n, h),(n^′, h^′))7→nτ_h(n^′), β : (N ×H)×(N ×H)→H; ((n, h),(n^′, h^′))7→hh^′ függvények folytonosak, hiszen ezek a pN⊗

τ

H csoport-szorzás első, illetve második komponens-függvényei. Vezessük be az

α^′ : (N ×H)×(N ×H)→N ×(H×N); ((n, h),(n^′, h^′))7→(n,(h, n^′)), β^′ : (N ×H)×(N ×H)→N ×(H×N); ((n, h),(n^′, h^′))7→(h, h^′) függvényeket. Nyilvánvaló, hogy

α=pN ◦(idN ×p)◦α^′, β =pH ◦β^′

teljesül, ezért a p, pN éspH folytonossága miatt elég azt igazolni, hogyα^′ ésβ^′ folytonos függvények a szorzattopológiák szerint. Könnyen látható, hogy α^′ első komponens-függvénye és β^′ mindkét komponens-függvénye előáll projekciók kompozíciójaként, ezért ezek folytonos függvények. Az α^′ második komponens-függvényének mindkét komponens-függvénye szintén előáll projekciók kompozíciójaként, ezért α^′ második

komponens-függvénye is folytonos. Tehát α^′ és β^′ folytonos függvények, így az N⊗

τ H csoport-szorzása folytonos.

Az iN⊗

τ

H csoport-inverzió folytonosságának bizonyításához azt kell megmutatni, hogy az

N ×H →N ×H; (n, h)7→(τh⁻¹(n⁻¹), h⁻¹)

függvény a szorzattopológiák szerint folytonos. Ennek első komponens-függvénye egyenlő a p◦e◦(i_H ×i_N)függvénnyel, ahol bevezettük az e:N ×H →H×N; (n, h)7→(h, n) függvényt, amely homemorfizmus. Ap,iH ésiN függvények folytonosak, ezért a csoport-inverzió első komponens-függvénye folytonos. A második komponens-függvénye pedig egyenlő a H inverziójának és az N ×H második projekciójának kompozíciójával, tehát folytonos. Ezért az N⊗

τ H csoport-inverziója is folytonos.

Megállapodunk abban, hogy ha N és H topologikus csoportok, valamint τ : H → Aut(N)csoport-morfizmus, és a

H×N →N; (h, n)7→τh(n)

függvény a H ×N feletti szorzattopológia szerint folytonos, akkor az N⊗

τ H féldirekt szorzatcsoportot az N × H feletti szorzattopológiával ellátva topologikus csoportnak tekintjük, és ezt a topologikus csoportot topologikus féldirekt szorzatnak nevezzük. Ha N és H lokálisan kompakt csoportok, és a

H×N →N; (h, n)7→τh(n)

függvény aH×N feletti szorzattopológia szerint folytonos, akkor azN⊗

τ H topologikus féldirekt szorzat lokálisan kompakt csoport. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy N⊗

τ H lokálisan kompakt féldirekt szorzat.

4) Ha (Gi)i∈I topologikus csoportok tetszőleges rendszere, akkor a ^Y

i∈I

Gi szorzatcsoport a szorzattopológiával ellátva topologikus csoport.

5) Legyen G csoport. Jelölje G^◦ azt a csoportot, amelynek alaphalmaza egyenlő G-vel, és művelete egyenlő a p_G ◦c_G függvénnyel, ahol c_G : G×G → G×G; (s, t) 7→ (t, s).

(Ezt a csoportot a G ellentett csoportjának nevezzük.) Ekkor G^◦ olyan csoport, amelyre p_G◦ = p_G ◦ c_G és i_G◦ = i_G, amiből látható, hogy minden G feletti csoport-topológia a G^◦felett is csoport-topológia, hiszen a c_G függvény a szorzattopológia szerint homeomorfizmus.

6) Legyen N invariáns részcsoport a G csoportban, és jelölje B a G halmaz N-et tartalmazó részhalmazainak halmazát. Ekkor Bolyan rács, amelynek minden elemee_G-t tartalmazó részhalmaz G-ben, és nyilvánvaló, hogy B-re teljesülnek a (GVI), (GVII) és (GVIII) feltételek, így létezik egyetlen olyanG feletti csoport-topológia, amely szerintB

az e_G-nek környezetbázisa. Ha N 6={e_G}, akkor ez a topológia nem szeparált. Világos, hogy aGfeletti diszkrét (illetve antidiszkrét) topológia ennek az a speciális esete, amikor N ={e_G} (illetve N =G).

7) Legyen A egységelemes Banach-algebra, és jelölje G(A) azA invertálható elemeinek multiplikatív csoportját. EkkorG(A)azAtopológiájának leszűkítésével ellátva szeparált topologikus csoport, és ha A véges dimenziós, akkor G(A) lokálisan kompakt csoport.

Ennek a példának speciális esetei a következők.

– Ha E Banach-tér, akkor az E → E folytonos lineáris operátorok L(E) algebrája az operátornormával ellátva egységelemes Banach-algebra, így G(L(E)) (= GL(E)), vagyis az E → E lineáris homeomorfizmusok csoportja felett az operátornorma által generált altértopológia csoport-topológia, amely pontosan akkor lokálisan kompakt, ha E véges dimenziós.

– Ha E véges dimenziós vektortér Kfelett, akkor az L(E) operátoralgebra felett létezik olyan norma, amellyel ellátva L(E) egységelemes Banach-algebra, és bármely két ilyen norma ekvivalens, vagyis ugyanazt a topológiát generálja, hiszen az L(E) vektortér véges dimenziós; ezért a G(L(E)) (= GL(E)) csoport felett az adott norma által meghatározott altértopológia lokálisan kompakt csoport-topológia, és ez független az L(E) feletti norma választásától. A továbbiakban a GL(E) teljes lineáris csoportot mindig ezzel a topológiával ellátva lokálisan kompakt csoportnak tekintjük.

– Ha n ∈ N, akkor az előző példa speciális esetét kapjuk az E := Kⁿ választással;

tehát aGL(Kⁿ)(=GL(n,K)) csoport kitüntetett topológiával ellátva lokálisan kompakt csoport. A továbbiakban a GL(n,K)teljes mátrixcsoportot mindig ezzel a topológiával ellátva lokálisan kompakt csoportnak tekintjük.

In document Absztrakt harmonikus analízis (Pldal 39-46)