polinomokkal – Első Peter–Weyl-tétel

7.4.1. Tétel. (Első Peter–Weyl-tétel) Legyen G kompakt csoport és Γ ⊆ G olyan halmaz, hogy a Gtriviális unitér karaktere eleme Γ-nak, és minden U ∈Γ esetén U ∈Γ,

továbbá minden U1, U2 ∈ Γ esetén létezik olyan (Vi)i∈I véges rendszer Γ-ban, amelyre U₁⊗U₂ unitér ekvivalens a ⊕

i∈IV_i Hilbert-összeggel. Vezessük be a T_Γ(G) := ⊕

U∈ΓT_U(G) jelölést. Ekkor a következő állítások ekvivalensek.

a) A Γ halmaz szétválasztó G felett.

b) A T_Γ(G) függvényhalmaz sűrű C(G;C)-ben a sup-norma szerint.

c) A T_Γ(G) halmaz sűrű L²_C(G, β)-ban a k · kβ,2 norma szerint, ahol β Haar-mérték G felett.

d) Γ =G.

Bizonyítás. a)⇒b) Az a) alapján a T_Γ(G) függvényhalmaz szétválasztó G felett, hiszen s, s^′ ∈ G és s 6= s^′ esetén van olyan U ∈ Γ, hogy U(s) 6= U(s^′), így az U ábrázolás terében léteznek olyan ζ és η vektortok, amelyekre (U(s)ζ|η) 6= (U(s^′)ζ|η), vagyis az (U(·)ζ|η) ∈ T_U(G) ⊆ T_Γ(G) mátrixelem-függvény az s és s^′ pontokban különböző értékeket vesz föl.

A G → C konstansfüggvények azonosak a G triviális unitér karakterének mátrixelem-függvényeivel, ezért a G→C azonosan 1függvény eleme T_Γ(G)-nek. Továbbá a T_Γ(G) függvényhalmaz zárt a konjugálásra nézve, mert ha U ∈ Γ és C az a konjugálás az U ábrázolás terén, amelyre U =C◦U(·)◦C, akkor az U ábrázolás terének bármely két ζ és η elemére, minden s∈G esetén

(U(s)ζ|η) = (η|U(s)ζ) = (CU(s)ζ|Cη) = (U(s)Cζ|Cη), tehát (U(·)ζ|η)∈T_U(G)⊆T_Γ(G), hiszen U ∈Γ.

A T_Γ(G) függvényhalmaz zárt a szorzásra nézve. Ehhez elég azt bizonyítani, hogy U1, U2 ∈ Γ esetén az U1 és az U2 bármely mátrixelem-függvényének szorzata eleme T_Γ(G)-nek. Legyen H₁ azU1 ésH₂ azU2 ábrázolás tere, valamint legyenekζ1, η1 ∈H₁ és ζ2, η2 ∈H₂ tetszőlegesek. Az ábrázolások tenzorszorzatának értelmezése alapján

(U1(·)ζ1|η1)(U2(·)ζ2|η2) = ((U1⊗U2)(·)(ζ1⊗ζ2)|η1⊗η2).

A Γ-ra vonatkozó feltevés alapján vehetünk olyan(Vi)i∈I véges rendszert Γ-ban, amelyre U1⊗U2 unitér ekvivalens a ⊕

i∈IVi Hilbert-összeggel; legyen u∈C ⊕

i∈IVi;U1⊗U2 unitér operátor, és minden I ∋i-re jelölje K_i a V_i ábrázolás terét. Legyenek (v_i)_i∈I és (w_i)_i∈I azok az elemek ⊕

i∈I

K_i-ben, amelyekre

ζ1⊗ζ2 =u((vi)i∈I), η1⊗η2 =u((wi)i∈I).

Ekkor nyilvánvaló, hogy

((U₁⊗U₂)(·)(ζ₁⊗ζ₂)|η₁⊗η₂) = ((U₁⊗U₂)(·)u((v_i)_i∈I)|u((w_i)_i∈I)) =

= (u( ⊕

i∈IVi (·)((vi)i∈I))|u((wi)i∈I)) = ( ⊕

i∈IVi (·)((vi)i∈I)|(wi)i∈I) =

=^X

i∈I

(Vi(·)vi|wi)∈T_Γ(G).

Ezzel megmutattuk, hogy T_Γ(G) olyan *-részalgebra C(G;C)-ben, amelynek eleme az azonosan 1 függvény és szétválasztó G felett. Ezért a Stone–Weierstrass-tétel alapján T_Γ(G) sűrű C(G;C)-ben a sup-norma szerint.

b)⇒c) Ha ϕ ∈C(G;C) ésβ Haar-mérték Gfelett, akkor kϕk^β,2 := β(|ϕ|²)≤ β(1G)9ϕ9,

ezért a ϕ ∈ C(G;C) bármely sup-normában sűrű részhalmaza a k · kβ,2 szerint is sűrű C(G;C)-ben. Tehát a b) szerint T_Γ(G) sűrű C(G;C)-ben a k · kβ,2 szerint, ugyanakkor C(G;C) a definíció alapján sűrű az L²_C(G, β) Hilbert-térben. Ezért T_Γ(G) sűrű az L²_C(G, β) Hilbert-térben.

c)⇒d) Tegyük fel, hogy Γ 6= G, és legyen V ∈ G olyan, hogy V /∈ Γ. Ekkor minden U ∈Γ esetén T_V(G)⊥T_U(G), tehát

T_V(G)⊥ ⊕

U∈Γ

T_U(G) =:T_Γ(G),

ahol az ortogonalitást a (·|·)β skalárszorzás szerint értjük, ahol β Haar-mértékG felett.

Ha c) teljesülne, akkor

T_V(G)⊆(TΓ(G))^⊥ ={0},

ami lehetetlen, mert T_V(G) legalább egy dimenziós függvénytér. Ez azt jelenti, hogy a d) tagadásából következik a c) tagadása.

d)⇒a) A Gelfand–Rajkov-tétel alapján Gszétválasztó G felett.

7.4.2. Következmény. Legyen G kompakt csoport és β normált Haar-mérték G felett.

Minden U ∈ G esetén legyen (ζU,i)1≤i≤dim(U) ortonormált bázis az U ábrázolás terében.

Ekkor a

dim(U)(U(·)ζU,i|ζU,j)

U∈^G,b 1≤i,j≤dim(U)

rendszer ortonormált bázis az L²_C(G, β) Hilbert-térben.

Bizonyítás. Azt tudjuk, hogy U ∈G esetén a

( dim(U)(U(·)ζU,i|ζU,j))1≤i,j≤dim(U)

rendszer ortonormált bázis T_U(G)-ben a (·|·)β skalárszorzás szerint, ezért a ( dim(U)(U(·)ζU,i|ζU,j))_U∈G,b 1≤i,j≤dim(U)

rendszer ortonormált algebrai bázis T(G)-ben, ami a Peter–Weyl-tétel alapján sűrű az L²_C(G, β) Hilbert-térben.

7.4.3. Jelölés. Ha V unitér ábrázolása a G csoportnak és m halmaz, akkor mV vagy m·V jelöli azt a ^c⊕

i∈m V_i Hilbert-összeget, amelyre mindeni∈m esetén V_i :=V.

A következő állítás megadja kompakt csoport baloldali reguláris ábrázolásának irreducibilis folytonos unitér ábrázolások Hilbert-összegére való felbontását.

7.4.4. Állítás. Legyen Gkompakt csoport,β normált Haar-mértékGfelett, és jelölje V a G csoport β által meghatározott baloldali reguláris ábrázolását. Minden U ∈G esetén jelölje H_U az U ábrázolás terét, és minden ζ ∈H_U vektorra legyen

T_U,ζ(G) :={(U(·)ζ|η)| η∈H_U}.

a) Ha U ∈G és ζ ∈H_U, akkor T_U,ζ(G) a C(G;C)-ben V-invariáns lineáris altér.

b) Ha U ∈ G és ζ ∈ H_U nem nulla vektor, akkor dim(TU,ζ(G)) = dim(U), továbbá a V|T_U,ζ(G) ábrázolás unitér ekvivalens U-tal.

c) A V ábrázolás unitér ekvivalens a ^c⊕

U∈^Gbdim(U)·U Hilbert-összeggel.

Bizonyítás. a) Legyen U ∈Gés ζ ∈H_U. Ekkor s∈G esetén minden η∈H_U vektorrra V(s)(U(·)ζ|η) := (U(·)ζ|η)◦γ_G(s)⁻¹ = (U(·)ζ|U(s)η)∈T_U,ζ(G),

tehát T_U,ζ(G) a V-nek invariáns altere.

b) Legyen U ∈ G és ζ ∈ H_U olyan, hogy ζ 6= 0. Ha (ηi)1≤i≤dim(U) ortonormált bázis H_U-ban, akkor a második ortogonalitás-reláció szerint minden1≤i, j ≤dim(U)számra

Z

G

(U(·)ζ|η_i)(U(·)ζ|η_j) dβ = 1

dim(U)kζk²δ_ij, következésképpen a

dim(U)

kζk (U(·)ζ|ηi)

1≤i≤dim(U)

rendszer ortonormált bázis T_U,ζ(G)-ben a (·|·)β skalárszorzás szerint, amiből azonnal kapjuk, hogy dim(TU,ζ(G)) = dim(U).

Jelölje C aH_U Hilbert-térnek azt a konjugálását, amelyre U =CU(·)C, továbbá legyen (η_i)_{1≤i≤dim(U)} ortonormált bázis H_U-ban. Ekkor (Cη_i)_{1≤i≤dim(U)} is ortonormált bázis H_U-ban, tehát az előzőek alapján a

dim(U)

kζk (U(·)ζ|Cηi)

1≤i≤dim(U)

rendszer ortonormált bázis T_U,ζ(G)-ben. Ugyanakkor (ηi)1≤i≤dim(U) ortonormált bázis H_U = H

U Hilbert-térben, ezért létezik egyetlen olyan W : H

U → T_U,ζ(G) unitér operátor, amelyre minden 1≤i≤dim(U)esetén

W(ηi) = dim(U)

kζk (U(·)ζ|Cηi).

Megmutatjuk, hogy W összeköti az U és V|T_U,ζ(G) ábrázolásokat. Ehhez legyenek 1≤i≤dim(U)és s∈Gtetszőlegesek. Ekkor bevezetve a c:= dim(U)/kζk konstanst azt kapjuk, hogy

V(s)(W(ηi)) =c(U(·)ζ|Cηi)◦γ_G(s)⁻¹ =c(U(·)ζ|U(s)(Cηi)) =

=c(U(·)ζ|CU(s)(ηi)) = c(U(·)ζ|C

dim(U)X

j=1

(U(s)ηi|ηj)ηj ) =

=c

dim(U)

X

j=1

(U(s)ηi|ηj)(U(·)ζ|Cηj) =

dim(U)

X

j=1

(U(s)ηi|ηj)W(ηj) =W(U(s)(ηi)), tehát minden G∋s-reV(s)◦W =W ◦U(s).

c) Minden U ∈ G esetén legyen (ζU,i)1≤i≤dim(U) ortonormált bázis H_U-ban. Ha U ∈ G, akkor1≤i, j ≤dim(U)esetén a második ortogonalitás-reláció miatt mindenH_U ∋η, η^′

-re _Z

G

(U(·)ζU,i|η)(U(·)ζU,j|η^′)dβ = 1

dim(U)(ζU,i|ζU,j)(η|η^′),

tehát ha i6=j, akkor T_U,ζU,i(G)⊥T_U,ζU,j(G). Ebből következik, hogy minden G∋U-ra T_U(G) =^dim(U)⊕

i=1 T_U,ζU,i(G)

teljesül, tehát a T_U(G) altér szintén V-invariáns, és V|T_U(G) unitér ekvivalens az dim(U)·U Hilbert-összeggel. A Peter–Weyl-tétel alapján

L²_C(G, β) = ⊕^c

U∈Gb

T_U(G),

ezért a V és ⊕^c

U∈Gb

(V|T_U(G)) unitér ábrázolások unitér ekvivalensek, következésképpen V unitér ekvivalens a ^c⊕

U∈Gb

dim(U) · U Hilbert-összeggel. De minden U ∈ G esetén dim(U) = dim(U), és a G→ G; U 7→ U leképezés bijekció, ezért V unitér ekvivalens a

c⊕

U∈Gb

dim(U)·U Hilbert-összeggel.

7.4.5. Következmény. (Burnside-tétel) Ha G véges diszkrét csoport, akkor G véges halmaz és

Card(G) = ^X

U∈^Gb

(dim(U))².

Ha G véges kommutatív diszkrét csoport, akkor Card(G) = Card(G).

Bizonyítás. Ha β a normált Haar-mérték G felett, akkor az L²_C(G, β)vektortér azonosul a C^G vektortérrel, és az előző állítás szerint

Card(G) = dim(C^G) = dim ⊕

U∈Gb

T_U(G)

!

=

= ^X

U∈Gb

dim(TU(G)) = ^X

U∈Gb

(dim(U))².

Ha G kommutatív is, akkor minden U ∈ G esetén dim(U) = 1, ezért az iménti egyenlőségből Card(G) = Card(G) következik.

7.5. Kompakt csoport ábrázoláskarakterei

7.5.1. Definíció. Ha G csoport és V véges dimenziós unitér ábrázolása G-nek, akkor a χ_V :G→C; s7→Tr(V(s)),

függvényt a V ábrázolás karakterének nevezzük.

Megjegyzések. 1) Ha V1 és V2 unitér ekvivalens unitér ábrázolásai a G csoportnak, akkor χ_V1 =χ_V2, vagyis az ábrázolás-karakterek unitér invariáns objektumok. Valóban, ha W ∈C(V1;V2) bijekció, akkor minden s ∈Gesetén

χ_V2(s) = Tr(V2(s)) = Tr(W V1(s)W⁻¹) = Tr(V1(s)) =χ_V1(s).

2) Legyen V véges dimenziós unitér ábrázolása a G csoportnak. Minden s ∈ G esetén χ_V ◦Int_G(s) =χ_V, vagyis az ábrázolás-karakterek a konjugált elemosztályokon állandók.

Valóban, ha s∈G, akkor minden G∋t-re

(χ_V ◦Int_G(s)) (t) = Tr(V(sts⁻¹)) = Tr(V(s)V(t)V(s)⁻¹) = Tr(V(t)).

Hasonlóan látható, hogy minden s, t∈Gesetén χ_V(st) =χ_V(ts), hiszen

χ_V(st) = Tr(V(st)) = Tr(V(s)V(t)) = Tr(V(t)V(s)) = Tr(V(ts)) =χ_V(ts).

3) Ha V véges dimenziós unitér ábrázolása a G csoportnak, és V a V-nek tetszőleges konjugáltja, akkor

χV =χ_V,

mert ha (ζi)i∈I ortonormált bázis a V ábrázolás H Hilbert-terében, és C : H → H konjugálás, valamintV(·) =C◦V(·)◦C, akkor(Cζi)i∈I ortonormált bázis azV ábrázolás terében (ami egyenlő H-val), és minden G∋s-re

χV(s) =^X

4) Ha (V_i)_i∈I a G csoport véges dimenziós unitér ábrázolásainak véges rendszere, és V olyan unitér ábrázolása G-nek, amely unitér ekvivalens a ⊕

i∈IVi Hilbert-összeggel, akkor

H_k Hilbert-térben, és minden G∋s-re χ_V(s) = ^X

5) Ha Gkompakt csoport és V véges dimenziós folytonos unitér ábrázolása G-nek a H Hilbert-térben, akkor χ_V ∈ T_V(G), hiszen ha (ζi)1≤i≤dim(V) ortonormált bázis H -ban,

7.6. Kompakt csoport mértékalgebrájának szerkezete

7.6.1. Jelölés. Ha Gkompakt csoport és V véges dimenziós folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor

e_V := dim(V)χ_V.

7.6.2. Állítás. Legyen G kompakt csoport ésβ a normált Haar-mérték G felett.

a) Ha V1 és V2 diszjunkt véges dimenziós folytonos unitér ábrázolásai G-nek, akkor e_V1 ∗

βe_V2 = 0.

b) Ha V véges dimenziós folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor e^∗_V = e_V és e_V kommutál az L¹_C(G, β) minden elemével (amit úgy fejezünk ki, hogy e_V centrális elem az L¹_C(G, β) algebrában).

c) Ha U irreducibilis folytonos unitér ábrázolása G-nek, akkor e_U∗

βe_U = e_U, tehát e_U projektor az L¹_C(G, β) *-algebrában, továbbá T_U(G) olyan *-részalgebra L¹_C(G, β)-ban, amelynek e_U az egységeleme.

Bizonyítás. a) LegyenH₁ aV₁ ábrázolás tere ésH₂ aV₂ ábrázolás tere. Legyen(ζ_1,i)_i∈I1 ortonormált bázis H₁-ben és (ζ2,i)i∈I2 ortonormált bázis H₂-ben. Ekkor s∈G esetén

χ_V1∗_βχ_V2 (s) :=

Z

G

χ_V1(t)χ_V2(t⁻¹s) dβ(t) =

= ^X

i∈I1

X

j∈I2

Z

G

(V₁(t)ζ_1,i|ζ_1,i)(V₂(t⁻¹s)ζ_2,j|ζ_2,j) dβ(t) =

= ^X

i∈I1

X

j∈I2

Z

G

(V₁(t)ζ_1,i|ζ_1,i)(V₂(t)ζ_2,j|V₂(s)ζ_2,j)dβ(t) = 0,

ahol az első ortogonalitás-relációt alkalmaztuk. Ebből nyilvánvalóan következik, hogy e_V1 ∗_βe_V2 = 0.

b) Ha s∈G, akkor a nyom tulajdonságai alapján

(χ_V ◦i_G)(s) = Tr(V(s⁻¹)) = Tr(V(s⁻¹)^∗) = Tr(V(s)) =χ_V(s).

Ebből, és a G unimodularitásából következik, hogy χ^∗_V := ∆⁻¹_G ·(χ_V ◦i_G) =χ_V, tehát e^∗_V =e_V.

Legyen ϕ ∈ C(G;C) tetszőleges. Ekkor a β inverzió-invarianciája és jobbinvarianciája, valamint a 2. megjegyzés alapján írható, hogy

χ_V ∗_βϕ (s) :=

c) Legyen U folytonos unitér ábrázolásaG-nek aH Hilbert-térben. Haζ, η∈H , akkor minden G∋s-re a G unimodularitása miatt

(U(·)ζ|η)^∗(s) := (U(s⁻¹)ζ|η) = (U(s)^∗ζ|η) = (U(s)η|ζ).

Vagyis (U(·)ζ|η)^∗ = (U(·)η|ζ), így a T_U(G) halmaz *-zárt lineáris altere az L¹_C(G, β)

*-algebrának.

Tegyük fel, hogy U irreducibilis, és legyenek ζ1, ζ2, η1, η2 ∈H tetszőlegesek. A második ortogonalitás-relációt alkalmazva kapjuk, hogy minden G∋s-re

(U(·)ζ1|η1)∗_β(U(·)ζ2|η2) (s) :=

Ebből azonnal következik, hogy T_U(G) *-részalgebrája az L¹_C(G, β) *-algebrának.

Továbbá, ha (ζi)i∈I ortonormált bázisH -ban, akkor a fentiek szerint χ_U∗

= 1

amiből következik, hogy e_U baloldali egységeleme a T_U(G) részalgebrának, így az e_U centralitása miatt, e_U egységeleme T_U(G)-nek.

Az1.4.5.-ben igazoltuk, hogy haV véges dimenziós unitér ábrázolása aGcsoportnak, akkor létezik a V irreducibilis unitér részábrázolásainak olyan (Ui)i∈I véges rendszere, amelyre V unitér ekvivalens a ⊕

i∈IUi Hilbert-összeggel. Legyen A := {Ui|i ∈ I}, és vezessük be az α :I →A; i7→Ui függvényt, amely szürjekció. Ekkor I = ^S

U∈A

−1αh{U}i, és az egyenlőség jobb oldalán diszjunkt unió áll, ezért a ⊕

i∈IUi Hilbert-összeg unitér ekvivalens a ⊕

U∈ACard(⁻¹αh{U}i)· U Hilbert-összeggel. Legyen minden U ∈ A esetén m_U := Card(⁻¹αh{U}i). Ekkor A a G irreducibilis unitér ábrázolásainak olyan véges halmaza, és (m_U)U∈A olyan rendszer N⁺-ban, amelyre V unitér ekvivalens a ⊕

U∈Am_UU Hilbert-összeggel, továbbá minden A ∋ U-ra U részábrázolása V-nek, tehát ha G topologikus csoport és a V unitér ábrázolás folytonos, akkor A minden eleme folytonos irreducibilis unitér ábrázolása G-nek.

7.6.3. Állítás. Legyenek V1 és V2 véges dimenziós folytonos unitér ábrázolásai a G kompakt csoportnak. A V₁ és V₂ ábrázolások pontosan akkor unitér ekvivalensek, ha χ_V1 =χ_V2.

In document Absztrakt harmonikus analízis (Pldal 191-200)