A megoldhat´ os´ agi t´ etelek alkalmaz´ asai
10.3. A Stokes-feladat
Araml´´ asi feladatokban l´ep fel az al´abbi PDE-rendszer:
A (10.17) rendszer id˝oben stacion´arius lass´u ´araml´ast ´ır le. (Id˝oben v´altoz´o
´
araml´as eset´en a megfelel˝o els˝o egyenletet id˝oben diszkretiz´alva a fentihez hasonl´o feladatot kapunk, de az els˝o egyenlet kieg´esz¨ul egy τ1utaggal, ahol τ >0. A megoldhat´os´agr´ol al´abb elmondottak erre az esetre is ´ertelemszer˝uen
´
atvihet˝ok.) A Stokes-feladat a 7.3. szakaszban vizsg´alt nyeregpont-feladatok tipikus esete, tov´abbi r´eszletek olvashat´ok r´ola pl. a [21, 69] k¨onyvekben.
A gyenge megold´asn´al azuf¨uggv´enyt (a−∆ukifejez´es ´es azu|∂Ω= 0 perem-felt´etel miatt) aH01(Ω)N szorzatt´erben keress¨uk, melyet most is val´os ´ert´ek˝u f¨uggv´enyekkel defini´alunk, ´ıgy val´os Hilbert-t´er. Apnyom´asn´al is szeretn´enk a deriv´altt´ol megszabadulni ´es csakL2(Ω)-ban keresni. Mivel a (10.17) egyen-letek a pf¨uggv´enyt csup´an addit´ıv konstans erej´eig hat´arozz´ak meg, ´ıgy az egy´ertelm˝us´eg ´erdek´eben bevezetj¨uk az al´abi teret:
L˙2(Ω) :={p∈L2(Ω) : Z
Ω
p= 0} (10.18)
a szok´asos L2-skal´arszorzattal. A gyenge megold´as defin´ıci´oj´ahoz az el˝oz˝o szakaszhoz hasonl´oan indulunk ki: a k´et egyenletet rendre beszorozzuk v = (v1, v2, ..., vN) ∈ H01(Ω)N ´esq ∈ L˙2(Ω) tesztf¨uggv´enyekkel, majd alkalmaz-zuk a Green-formul´at, ill. Gauss–Osztrogradszkij-t´etelt. A kapott kifejez´es
´ertelmes akkor is, haucsakH01(Ω)N-ben ´espcsak ˙L2(Ω)-ben van. Itt a fel-adatgyenge megold´as´anaknevezz¨uk, ha
10.3. A Stokes-feladat 167
A (10.17) feladat gyenge megoldhat´os´ag´ahoz a 7.29. t´etelt szeretn´enk felhasz-n´alni. Vezess¨uk be az al´abbi biline´aris form´akat:
A:H01(Ω)N×H01(Ω)N →R, A(u,v) :=
Ekkor a (10.19) rendszer ´eppen (7.16) alak´u.
10.20. ´All´ıt´as. A fentiBform´ara teljes¨ul az inf-sup-felt´etel:
inf
Bizony´ıt´as.Ez a divergencia-oper´ator szuperjektivit´as´anak k¨osz¨onhet˝o: [48]
alapj´an b´armely p ∈ L˙2(Ω) eset´en van olyan u ∈ H01(Ω)N, melyre p =
Mivel a 10.20. ´all´ıt´as alapj´an fenn´all a (10.21) inf-sup-felt´etel, a 7.29. t´etelb˝ol
nyerj¨uk a k´ıv´ant megoldhat´os´agot.
168 10. A megoldhat´os´agi t´etelek alkalmaz´asai
10.4. A Maxwell-egyenletek id˝ oharmonikus ese-t´ enek megold´ asa
A Maxwell-egyenletek a fizika egyik legnevezetesebb modellj´et alkotj´ak, ´es b˝os´eges matematikai vizsg´alatban r´eszes¨ultek. Itt [40] alapj´an azzal a speci´alis esettel foglalkozunk, amikor az elektromos ill. m´agneses mez˝ok az
E(x1, x2, x3, t) =Re(E(x1, x2, x3)eiωt) ´es H(x1, x2, x3, t) =Re(H(x1, x2, x3)eiωt)
(x:= (x1, x2, x3)∈R3,t∈R) ´un. id˝oharmonikus alakot veszik fel valamely ω >0 adott ´alland´o frekvencia mellett, ´es az elektromos ´arams˝ur˝us´eg id˝ot˝ol f¨uggetlen. Az egyszer˝us´eg kedv´e´ert legyen emellett a vezet˝ok´epess´eg ´es a per-meabilit´as ´alland´o:σ, µ > 0 adott konstansok. Ekkor a Maxwell-egyenletek az al´abbi egyszer˝ubb alakra hozhat´ok:
( rotH =σE rotE =−iωµH .
Itt a m´asodik egyenletb˝ol H kik¨usz¨ob¨olhet˝o ´es csak E-re kapunk ¨osszef¨ u-g´est. A H-ra elhagyott egyenl˝os´eget a fenti els˝o egyenletb˝ol kapott divE =
1
σdiv rotH = 0 egyenlettel helyettes´ıtj¨uk (mivel div rot≡0), ´ıgy az eredetivel ekvivalens rendszerhez jutunk. Emellett adott Ω⊂R3 (szakaszonk´ent sima perem˝u) tartom´anyon azE mez˝ore a szok´asos (´un. elektromos) peremfelt´etel a k¨uls˝o norm´alissal val´o vektorszorzat megad´asa: ezekb˝ol a
rot rotE+iωµσE= 0 divE= 0
E×ν|∂Ω= ˜E×ν|∂Ω
feladathoz jutunk, ahol ˜Eadott vektormez˝o. V´eg¨ul vezess¨uk be azu:=E−E˜
´uj ismeretlen f¨uggv´enyt ´es rendezz¨uk az ˜E-os tagokat a jobb oldalakra. A kapott rendszer alakja
rot rotu+iωµσu=f divu=g
u×ν|∂Ω= 0
(10.22)
(aholf ´esg tartalmazza az ˜E-os tagokat). Ennek megoldhat´os´ag´at vezetj¨uk most le alkalmas f¨uggv´enyt´erben.
10.4. A Maxwell-egyenletek id˝oharmonikus eset´enek megold´asa 169
A gyenge megold´as fogalm´at (az el˝oz˝o szakaszokhoz hasonl´oan) a klasszi-kus megold´asra teljes¨ul˝o, kevesebb simas´agot k¨ovetel˝o formul´ab´ol kapjuk, most ´ertelemszer˝uen komplex Szoboljev-terekben. Az els˝o szab´aly a Gauss–
Osztrogradszkij-t´etelb˝ol n´emi sz´amol´assal ad´odik:
10.22. Lemma. Hau,v∈C1(Ω,C3), akkor Z
Ω
rotu·v= Z
Ω
u·rotv+ Z
∂Ω
u(ν×v).
Ezut´an szorozzuk be (10.22) els˝o egyenlet´et olyan v ∈ C1(Ω,C3) f¨uggv´eny konjug´altj´aval, amely teljes´ıti av×ν|∂Ω= 0 peremfelt´etelt, valamint szoroz-zuk be (10.22) m´asodik egyenlet´et divv-vel, integr´aljunk, v´eg¨ul adjuk ¨ossze ezeket. Ekkor
Z
Ω
rotu·rotv+ (divu)(divv) +iωµσuv
= Z
Ω
(f·v+gdivv). (10.23) A megfelel˝o f¨uggv´enyt´er defin´ıci´oj´at az motiv´alja, hogy a rotu ´es divu le-gyen ´ertelmes mintL2-beli f¨uggv´eny. Ez a term´eszetes minim´alis k¨ovetelm´eny (10.23) ´ertelmezhet˝os´eg´ehez. Vezess¨uk be az al´abbi tereket:
H(div) :={v∈L2(Ω)3: divv∈L2(Ω) disztrib´uci´o-´ertelemben}, H(rot) :={v∈L2(Ω)3: rotv∈L2(Ω)3 disztrib´uci´o-´ertelemben}, H0(rot) :={v∈H(rot) : v×ν|∂Ω= 0 nyom-´ertelemben},
aholν a k¨uls˝o norm´alvektor. (A v×ν|∂Ω nyom l´etez´ese egy megfelel˝o t´etel k¨ovetkezm´enye [40].) V´eg¨ul legyen
H:=H(div)∩H0(rot) az al´abbi skal´arszorzattal:
hu,viH:=
Z
Ω
rotu·rotv+ (divu)(divv) +uv
. (10.24)
A defin´ıci´ok ´es az L2 terek teljess´ege alapj´an igazolhat´o, hogy H teljes. Va-l´oj´abanH nem m´as, mintC0∞(Ω) teljess´e t´etele a fenti skal´arszorzattal.
10.23. Defin´ıci´o. Azu∈H(div)∩H0(rot) f¨uggv´enyt a (10.22) feladat gyen-ge megold´as´anaknevezz¨uk, ha (10.23) teljes¨ul b´armelyv∈H(div)∩H0(rot) eset´en.
A megoldhat´os´ag igazol´as´ahoz k´et lemm´ara van sz¨uks´eg. Az els˝o a 10.20.
´
all´ıt´as bizony´ıt´as´aban szerepl˝o szuperjektivit´as megfelel˝oje div helyett rot-ra (l´enyeg´eben a div rot≡0 azonoss´ag megford´ıt´asa):
170 10. A megoldhat´os´agi t´etelek alkalmaz´asai
10.24. Lemma. [40] Legyen w ∈ H(div), melyre divw = 0. Ekkor l´etezik olyan s ∈ H(rot), melyre w = rots, s˝ot melyrekwkL2 ≥ γkskL2 alkalmas γ >0 ´alland´oval.
10.25. Lemma. Az hu,vi0:=
Z
Ω
rotu·rotv+ (divu)(divv)
skal´arszorzat a (10.24) skal´arszorzat´eval ekvivalens norm´at induk´al a H = H(div)∩H0(rot)t´eren.
Bizony´ıt´as. Legyen v∈ H adott. Nyilv´an kvkH ≥ kvk0, a visszair´anyhoz pedig el´eg igazolnunk, hogykvkL2 ≤˜ckvk0, ahol ˜c >0 f¨uggetlenv-t˝ol.
Tekints¨uk a
−∆z=−divv, z|∂Ω= 0
feladatot, melynek a 10.15. t´etel szerint egy´ertelm˝uen l´etezik z ∈ H01(Ω) gyenge megold´asa. Itt div∇z = ∆z ∈ L2(Ω), ´ıgy ∇z ∈ H(div). Legyen w:=v− ∇z. Ekkor
kvkL2 ≤ kwkL2+k∇zkL2,
ahol ut´obbira a 10.16. megjegyz´es alapj´an van olyan c >0, hogyk∇zkL2 ≤ ckdivvkL2. M´asr´esztw∈H(div) ´es divw= divv−∆z= 0, ´ıgy a 10.24. lem-ma szerint l´etezik olyans∈H(rot), melyrew= rots, s˝ot kwkL2 ≥γkskL2. Itt az|∂Ω= 0 peremfelt´etel miatt∇z p´arhuzamosν-vel, ´ıgy∇z×ν|∂Ω= 0, m´asr´eszt a v ∈ H felt´etelb˝ol v×ν|∂Ω = 0, ´ıgy w×ν|∂Ω = 0. Ebb˝ol a 10.22. lemma alapj´an kwk2L2 = R
Ωrots·w = R
Ωs·rotw. ´Igy kwk2L2 ≤ kskL2krotwkL2 ≤ γ1kwkL2krotwkL2, azaz kwkL2 ≤ 1γkrotwkL2 =
1
γkrotvkL2, felhaszn´alva, hogyw=v− ∇z´es hogy rot∇ ≡0. Egy¨utt teh´at kvkL2≤ 1
γkrotvkL2+ckdivvkL2 ≤c˜ krotvk2L2+kdivvk2L2
1/2
= ˜ckvk0. 10.26. T´etel. B´armelyf ∈L2(Ω)3´esg∈L2(Ω)eset´en a (10.22) feladatnak l´etezik egyetlenu∈H(div)∩H0(rot)gyenge megold´asa.
Bizony´ıt´as. Legyen B(u,v) :=
Z
Ω
rotu·rotv+ (divu)(divv) +iωµσuv
(∀u,v∈H)
´es φv:=
Z
Ω
(f ·v+gdivv) (∀v∈H).