Numerikus funkcionálanalízis

NUMERIKUS FUNKCION ´ ALANAL´ IZIS

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

Algoritmuselmélet

Algoritmusok bonyolultsága

Analitikus módszerek a pénzügyben és a közgazdaságtanban Analízis feladatgyűjtemény I

Analízis feladatgyűjtemény II Bevezetés az analízisbe Complexity of Algorithms Differential Geometry

Diszkrét matematikai feladatok Diszkrét optimalizálás

Geometria

Igazságos elosztások

Introductory Course in Analysis Mathematical Analysis – Exercises I

Mathematical Analysis – Problems and Exercises II Mértékelmélet és dinamikus programozás

Numerikus funkcionálanalízis Operációkutatás

Operációkutatási példatár Parciális differenciálegyenletek Példatár az analízishez Pénzügyi matematika Szimmetrikus struktúrák Többváltozós adatelemzés

Variációszámítás és optimális irányítás

Kar´ atson J´ anos

NUMERIKUS

FUNKCION ´ ALANAL´ IZIS

E¨otv¨os Lor´and Tudom´anyegyetem Term´eszettudom´anyi Kar

Typotex 2014

c 2014–2019, Kar´atson J´anos,

E¨otv¨os Lor´and Tudom´anyegyetem, Term´eszettudom´anyi Kar Lektor´alta: Gal´antai Aur´el

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerz˝o nev´enek felt¨untet´ese mellett nem kereskedelmi c´ellal szabadon m´asolhat´o, terjeszthet˝o, megjelentethet˝o ´es el˝oadhat´o, de nem m´odos´ıthat´o.

ISBN 978 963 279 239 2

K´esz¨ult a Typotex Kiad´o (http://www.typotex.hu) gondoz´as´aban Felel˝os vezet˝o: Votisky Zsuzsa

M˝uszaki szerkeszt˝o: Gerner J´ozsef

K´esz¨ult a T´AMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 sz´am´u,

”Jegyzetek ´es p´eldat´arak a matematika egyetemi oktat´as´ahoz” c´ım˝u projekt keret´eben.

KULCSSZAVAK: funkcion´alanal´ızis, numerikus anal´ızis, oper´atoregyenletek, line´aris, nemline´aris, parci´alis differenci´alegyenletek, projekci´os m´odszerek, iter´aci´os m´odszerek.

OSSZEFOGLAL ´¨ AS: A funkcion´alanal´ızis a matematikai anal´ızisb˝ol kin˝ott azon tudom´any´ag, melynek l´enyege v´egtelen dimenzi´os terek k¨ozti line´aris ´es nemline´aris lek´epez´esek vizsg´alata. A benne megjelen˝o absztrakci´o lehet˝ov´e teszi az egys´eges t´argyal´asm´odot. E k¨onyv t´em´aj´anak, a numerikus funk- cion´alanal´ızisnek a fogalma arra alapszik, hogy ezek az egys´eges, absztrakt m´odszerek ´eppoly alkalmasak a vizsg´alt egyenletek konstrukt´ıv megold´asi algoritmusainak kidolgoz´as´ara ´es anal´ızis´ere, mint elm´eleti vizsg´alatukra. E k¨onyv meg´ır´as´anak mozgat´orug´oja, hogy numerikus funkcion´alanal´ızisr´ol sz´o- l´o k¨onyv magyarul m´eg nem el´erhet˝o. A k¨onyv n´egy r´eszb˝ol ´all. Az I. r´eszben a funkcion´alanal´ızis egyes alapismereteit foglaljuk ¨ossze. A II. ´es III. r´esz line-

´

aris, ill. nemline´aris oper´atoregyenletek megoldhat´os´agi eredm´enyeir˝ol, azaz a megold´as fogalm´ar´ol, l´etez´es´er˝ol ´es egy´ertelm˝us´eg´er˝ol sz´ol a sz¨uks´eges el- m´eleti h´att´errel egy¨utt. A IV. r´esz tartalmazza a k¨ul¨onf´ele oper´atoregyenlet- t´ıpusokra vonatkoz´o k¨ozel´ıt˝o m´odszerek t´argyal´as´at. A vizsg´alt elj´ar´asok el- s˝osorban k´et nagy csoportba tartoznak: projekci´os, ill. iter´aci´os m´odszerek.

Ennek az anyagnak egy r´esze megfelel az ELT ´E-n tartott funkcion´alanal´ı- zis BSc ´es nemline´aris funkcion´alanal´ızis MSc el˝oad´as t´em´aj´anak, az utols´o fejezet t´argya pedig ´ujabb kutat´asokhoz kapcsol´odik.

Tartalomjegyz´ ek

El˝osz´o 1

I. Bevezet´ es a funkcion´ alanal´ızisbe 5

1. Norm´alt terek 7

1.1. Norm´alt terek, Banach-terek ´es alaptulajdons´agaik . . . 7 1.2. V´eges dimenzi´os norm´alt terek . . . 12 1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨uggv´enyterek . . . 14 1.4. Line´aris lek´epez´esek alaptulajdons´agai. AB(X, Y) t´er . . . . 23

2. Hilbert-terek 29

2.1. Hilbert-terek ´ertelmez´ese . . . 29 2.2. Ortogonalit´asi tulajdons´agok Hilbert-t´erben . . . 33 2.3. Fourier-sorok Hilbert-t´erben . . . 36 3. Folytonos line´aris funkcion´alok norm´alt t´erben 45 3.1. Norm´alt t´er du´alisa . . . 45 3.2. Folytonos line´aris funkcion´alok kiterjeszt´ese . . . 47 3.3. Reflex´ıv Banach-terek . . . 50 4. Folytonos line´aris oper´atorok norm´alt t´erben 53 4.1. A Banach–Steinhaus-t´etelk¨or . . . 53 4.2. A Banach-f´ele ny´ıltlek´epez´es-t´etelk¨or . . . 58 5. Folytonos line´aris funkcion´alok Hilbert-t´erben 65 5.1. Riesz reprezent´aci´os t´etele . . . 65 5.2. Gyenge konvergencia Hilbert-t´erben . . . 67 6. Folytonos line´aris oper´atorok Hilbert-t´erben 69 6.1. Adjung´alt oper´ator, speci´alis oper´atort´ıpusok . . . 70

i

6.2. ¨Onadjung´alt oper´atorok . . . 72

6.3. Projektorok . . . 77

6.4. Izometrikus ´es unit´er oper´atorok . . . 77

6.5. Saj´at´ert´ek ´es spektrum . . . 79

6.6. Kompakt oper´atorok . . . 88

6.7. Oper´atorok spektr´alis el˝o´all´ıt´asa, oper´atorf¨uggv´enyek . . . 99

II. Line´ aris oper´ atoregyenletek elm´ elete Hilbert-t´ erben 109

7.2. Biline´aris form´ak, Lax–Milgram-t´etelk¨or . . . 117

7.3. Nyeregpont-feladatok megoldhat´os´aga, inf-sup-felt´etel . . . . 120

8. Nem korl´atos oper´atorok 127 8.1. Nem korl´atos oper´atorok alaptulajdons´agai . . . 127

8.2. Energiat´er ´es gyenge megold´as szimmetrikus oper´ator eset´en . 136 8.3. Gyenge megold´as nem szimmetrikus oper´ator vagy nyeregpont- feladat eset´en . . . 140

9. Oper´ator-differenci´alegyenletek 145 9.1. F´elcsoportok ´es oper´ator-differenci´alegyenletek . . . 146

9.2. K´et megoldhat´os´agi eredm´eny . . . 148

10.A megoldhat´os´agi t´etelek alkalmaz´asai 155 10.1. Integr´alegyenletek . . . 155

10.2. Perem´ert´ekfeladatok gyenge megold´asa . . . 157

10.3. A Stokes-feladat . . . 166

10.4. A Maxwell-egyenletek id˝oharmonikus eset´enek megold´asa . . 168

10.5. Parabolikus Cauchy-feladat . . . 171

III. Nemline´ aris oper´ atoregyenletek elm´ elete 173

11.2. Gˆateaux-deriv´alt . . . 178

11.3. Monoton oper´atorok ´es konvex funkcion´alok . . . 183

12.Potenci´aloper´atorok 185

ii

12.1. A potenci´al fogalma ´es l´etez´ese . . . 185

12.2. Funkcion´alok minimumhelye . . . 188

13.Nemline´aris oper´atoregyenletek megoldhat´os´aga 189 13.1. A vari´aci´os elv . . . 189

13.2. Monoton oper´atoregyenletek potenci´aloper´atorral . . . 190

13.3. Oper´atoregyenletek nem potenci´alos oper´atorral . . . 192

13.4. Alkalmaz´asok nemline´aris elliptikus perem´ert´ekfeladatokra . . 194

IV. K¨ ozel´ıt˝ o m´ odszerek norm´ alt terekben 203

14.2. Nemline´aris egyenletek minimaliz´al´o funkcion´aljai . . . 208

15.Ritz–Galjorkin-f´ele projekci´os m´odszerek 211 15.1. Ritz–Galjorkin-m´odszer szimmetrikus line´aris egyenletekre . . 211

15.2. Ritz–Galjorkin-m´odszer nem szimmetrikus line´aris egyenletek- re, C´ea-lemma . . . 216

15.3. Ritz–Galjorkin-m´odszer biline´aris form´aval megfogalmazott fel- adatokra . . . 217

15.4. Ritz–Galjorkin-m´odszer nemline´aris egyenletekre . . . 220

15.5. A v´egeselem-m´odszer elm´eleti h´attere . . . 222

16.Iter´aci´os m´odszerek line´aris oper´atoregyenletekre 227 16.1. A gradiens-m´odszer korl´atos ¨onadjung´alt oper´atorra . . . 227

16.2. A konjug´alt gradiens-m´odszer korl´atos ¨onadjung´alt oper´atorra 232 16.3. A konjug´alt gradiens-m´odszer korl´atos, nem ¨onadjung´alt ope- r´atorra . . . 241

16.4. Iter´aci´os m´odszerek nyeregpont-feladatokra . . . 242

16.5. Iter´aci´os m´odszerek ´es prekondicion´al´as . . . 246

17.N´eh´any tov´abbi m´odszer line´aris oper´atoregyenletekre 251 17.1. K¨ozel´ıt˝o oper´atorsorozatok . . . 251

17.2. Regulariz´aci´o nem koerc´ıv feladatokra . . . 252

17.3. Oper´ator-differenci´alegyenletek diszkretiz´aci´oja . . . 254

18.Iter´aci´os m´odszerek nemline´aris oper´atoregyenletekre 261 18.1. Egyszer˝u iter´aci´o monoton oper´atorokra . . . 261

18.2. A Newton–Kantorovics-m´odszer . . . 265

18.3. Newton-t´ıpus´u m´odszerek . . . 269

18.4. K¨uls˝o-bels˝o iter´aci´ok . . . 273 iii

19.Iter´aci´os m´odszerek Ritz–Galjorkin-diszkretiz´aci´okra 277

19.1. R´acsf¨uggetlens´eg line´aris egyenletek eset´en . . . 277

19.2. R´acsf¨uggetlens´eg line´aris nyeregpont-feladatok eset´en . . . 281

19.3. R´acsf¨uggetlens´eg nemline´aris egyenletek eset´en . . . 283

19.4. Alkalmaz´asok elliptikus perem´ert´ekfeladatokra . . . 286

Irodalomjegyz´ek 296

iv

El˝ osz´ o

A funkcion´alanal´ızis a matematikai anal´ızisb˝ol kin˝ott azon tudom´any´ag, mely- nek l´enyege v´egtelen dimenzi´os terek k¨ozti line´aris ´es nemline´aris lek´epez´esek vizsg´alata. A benne megjelen˝o absztrakci´o lehet˝ov´e teszi az anal´ızis k¨ul¨on- b¨oz˝o ter¨uleteit ¨osszefog´o egys´eges t´argyal´asm´odot, ebben k¨ul¨on eml´ıt´est ´er- demel a k¨ul¨onb¨oz˝o f¨uggv´enyoszt´alyok ´altal alkotott f¨uggv´enyterek egys´eges vizsg´alata. A funkcion´alanal´ızisnek jelent˝os magyar vonatkoz´asai is vannak:

Riesz Frigyes, Neumann J´anos ´es (a magyar sz´armaz´as´u) Peter D. Lax neve elv´alaszthatatlan e ter¨ulet fejl˝od´es´et˝ol. Neumann munk´ass´ag´ahoz kapcsol´odik a funkcion´alanal´ızis egyik legnagyobb hat´as´u eredm´enye, ˝o dolgozta ki ugyan- is a kvantummechanika szil´ard matematikai megalapoz´as´at. E k¨onyv t´em´aja szempontj´ab´ol viszont a funkcion´alanal´ızisnek azon eredm´enyei ´allnak k¨oz´ep- pontban, amelyek oper´atoregyenletekkel le´ırhat´o modellek, vagyis integr´al-

´es els˝osorban differenci´alegyenletek ´altal´anos t´argyal´as´ara vonatkoznak.

A term´eszettudom´anyok sz´amos ter¨ulet´en fell´ep˝o k¨oz¨ons´eges ´es f˝ok´ent par- ci´alis differenci´alegyenletek modern elm´eleti vizsg´alata nagym´ert´ekben t´a- maszkodik a funkcion´alanal´ızis eszk¨ozeire, mivel e differenci´alegyenletek ter- m´eszetes alapter´et v´egtelen dimenzi´os f¨uggv´enyterek alkotj´ak. A Szoboljev- terek fogalma tette lehet˝ov´e parci´alis differenci´alegyenletek megoldhat´os´ag´a- nak ´altal´anos elm´elet´et, melyen bel¨ul p´eld´aul a line´aris elliptikus esetben a Dirichlet-f´ele energia-minimaliz´al´asi elv is ´erv´enyes´ıthet˝o, ill. a megoldhat´os´ag egy ´altal´anos, biline´aris lek´epez´esekre vonatkoz´o elvre (Lax–Milgram-lemma) vezethet˝o vissza.

E k¨onyv t´em´aj´anak, a numerikus funkcion´alanal´ızisnek a fogalma arra alap- szik, hogy ezek az egys´eges, absztrakt m´odszerek ´eppoly alkalmasak a vizsg´alt egyenletek konstrukt´ıv megold´asi algoritmusainak kidolgoz´as´ara ´es anal´ızis´e- re, mint elm´eleti vizsg´alatukra. Ez az alapelv a Nobel-d´ıjas matematikus, L. V. Kantorovics klasszikus cikk´ere ny´ulik vissza [32]. A funkcion´alanal´ı- zisben megjelen˝o absztrakci´o sokszor k´epes a tulajdons´agok l´enyeg´et meg- ragadni ´es eleg´ans kezel´esm´odot adni, ez teszi lehet˝ov´e numerikus probl´e- m´ak egyes oszt´alyainak egys´eges meg´ert´es´et ´es kezel´es´et is. A funkcion´alana- l´ızis m´odszerei m´ara m´ar be´ep¨ultek a numerikus elj´ar´asok modern elm´ele-

1

2 El˝osz´o

t´ebe. Itt eml´ıtend˝o, az alapvet˝o p´eld´ak k¨ozt tall´ozva, a v´egeselem-m´odszer egzakt t´argyal´asa Hilbert-t´erbeli appar´atus felhaszn´al´as´aval, bele´ertve a ne- vezetes C´ea-lemm´akat, vagy a parabolikus feladatok Lax-f´ele elm´elete, ill.

az iter´aci´os m´odszerek k¨or´eben a Stokes-t´ıpus´u nyeregpont-feladatok meg- old´asa a megfelel˝o oper´ator f¨uggv´enyt´erbeli szerkezet´ere alapozva, mint pl.

az Uzawa-algoritmus. Tov´abbi magyar vonatkoz´as´ert pedig az iter´aci´ok k¨or´e- ben t´erj¨unk vissza L. V. Kantorovicshoz: n´ala ´ırt disszert´aci´oj´aban dolgozta ki Cz´ach L´aszl´o nem korl´atos oper´atorok korl´atosra val´o transzform´aci´oj´at a konvergencia el´er´es´ehez [12]. Ez az elv k´es˝obb m´atrixokra vonatkoz´oan mint a kond´ıci´osz´amot jav´ıt´o prekondicion´al´as technik´aja terjedt el, amely line´aris rendszerek iter´aci´os megold´as´anak ma alapvet˝o alkot´or´esze.

E k¨onyv meg´ır´as´anak mozgat´orug´oja, hogy numerikus funkcion´alanal´ızisr´ol sz´ol´o k¨onyv magyarul m´eg nem el´erhet˝o. A funkcion´alanal´ızis eml´ıtett szerepe m´ar sz´amos helyen megjelenik a numerikus anal´ızist r´eszletesen ¨osszefoglal´o [69] k¨onyvben, megford´ıtva azonban, e k´et ter¨ulet (az absztrakt elm´elet ´es a k¨ozel´ıt˝o m´odszerek) ¨otv¨oz´es´er˝ol sz´ol´o olyan munka, amely a funkcion´alanal´ızis ir´any´ab´ol kiindulva vizsg´alja az absztrakt m´odszerek alkalmaz´asait numeri- kus elj´ar´asokra, nem k´esz¨ult magyarul. Az angol nyelv˝u (mind a klasszikus, mind az ´ujabb) szakirodalomb´ol megeml´ıtj¨uk a [3, 15, 17, 23, 25, 33, 40, 47, 49, 57, 58] m˝uveket. Magyarul a Newton-t´ıpus´u m´odszereket ´ep´ıti fel nor- m´alt terekben a [30] k¨onyv, amely a rom´an nyelv˝u, klasszikus [29] v´altozatra alapul.

K¨onyv¨unk bevezet´est ad a numerikus funkcion´alanal´ızis n´eh´any fontosabb fejezet´ebe. Ehhez el˝osz¨or, az I. r´eszben, a funkcion´alanal´ızis egyes alapisme- reteit foglaljuk ¨ossze. Ennek nem c´elja e ter¨ulet egy ´ujabb fel´ep´ıt´ese, hiszen sz´amos munka l´etezik magyarul a funkcion´alanal´ızis elemibb ´es m´elyebb el- m´eleti eredm´enyeir˝ol, p´eld´aul a klasszikus [59] m˝u, a [37, 38] (ezekre sz´amos helyen utalunk) ´es a [13, 27, 36, 39, 43, 54] k¨onyvek. Az els˝o r´esz c´elja ehe- lyett ¨onmag´aban haszn´alhat´o kiindul´ast adni a tov´abbi r´eszekhez, ez egyben anyagot ad az ELT ´E-n tartott alkalmazott matematikus funkcion´alanal´ızis el˝oad´ashoz is. A II. ´es III. r´esz line´aris, ill. nemline´aris oper´atoregyenletek megoldhat´os´agi eredm´enyeir˝ol, azaz a megold´as fogalm´ar´ol, l´etez´es´er˝ol ´es egy-

´ertelm˝us´eg´er˝ol sz´ol a sz¨uks´eges elm´eleti h´att´errel egy¨utt. A IV. r´esz tartal- mazza a k¨ul¨onf´ele oper´atoregyenlet-t´ıpusokra vonatkoz´o k¨ozel´ıt˝o m´odszerek t´argyal´as´at. A vizsg´alt elj´ar´asok els˝osorban k´et nagy csoportba tartoznak:

projekci´os, ill. iter´aci´os m´odszerek. Ennek az anyagnak egy r´esze megfelel az ELT ´E-n tartott nemline´aris funkcion´alanal´ızis el˝oad´as t´em´aj´anak, az utols´o fejezet t´argya pedig ´ujabb kutat´asokhoz kapcsol´odik [6, 23]. A t´argyalt m´od- szereket f˝o alkalmaz´ask´ent a k¨onyv t¨obb pontj´an is parci´alis differenci´alegyen- leteken szeml´eltetj¨uk. A k¨onyv felt´etelezi az anal´ızis alapjainak, els˝osorban a Lebesgue-integr´al ´es norm´alt terek f˝o tulajdons´againak ismeret´et.

El˝osz´o 3

K¨osz¨onetnyilv´an´ıt´as.E k¨onyv r´ev´en szeretn´em kifejezni k¨osz¨onetem Cz´ach L´aszl´onak – koll´eg´amnak ´es kor´abbi tan´aromnak –, akit˝ol a ter¨ulet ir´anti

´erdekl˝od´esemet ´es elindul´asomat nyertem, ´es aki velem egy¨utt matematikusok nemzed´ekeivel szerettette meg az anal´ızist.

A k¨onyv elk´esz¨ult´eben nagy seg´ıts´eget jelentett az a k´et k´ezirat, melyet Ku- rics Tam´as koll´eg´am m´eg hallgat´ok´ent k´esz´ıtett k´et kapcsol´od´o el˝oad´asom alapj´an, ig´enyes munk´aj´at ez´uton k¨osz¨on¨om, ak´arcsak neki ´es Kov´acs Bal´azs hallgat´omnak a k¨onyv k´ezirat´anak gondos ´atolvas´as´at, ellen˝orz´es´et.

Munk´amat az MTA Bolyai J´anos ¨Oszt¨ond´ıj´anak t´amogat´as´aval v´egeztem.

I. r´ esz

Bevezet´ es a

funkcion´ alanal´ızisbe

5

1. fejezet

Norm´ alt terek

A funkcion´alanal´ızis egyik legalapvet˝obb strukt´ur´aja a norm´alt t´er, mely- nek l´enyege a hossz fogalm´anak ´altal´anos´ıt´asa. Ennek seg´ıts´eg´evel ´altal´anos keretben vizsg´alhat´oak a v´egtelen dimenzi´os f¨uggv´enyterek, melyek az alkal- maz´asok szempontj´ab´ol a norm´alt t´er fogalm´anak legfontosabb realiz´aci´oi.

Mivel e k¨onyv felt´etelezi a norm´alt terek elemi ismeret´et az anal´ızisb˝ol, itt csak r¨ovid ¨osszefoglal´ast adunk n´eh´any olyan alaptulajdons´agr´ol ´es p´eld´ar´ol, melyeket leggyakrabban haszn´alunk majd, vagy nem tartoznak a szok´asos alapismeretek k¨oz´e. A skal´arszorzatterek enn´el speci´alisabb strukt´ur´aj´aval a 2. fejezetben foglalkozunk majd hasonl´o szellemben.

Mivel a norm´alt terek az euklideszi terek ´altal´anos´ıt´as´at jelentik, egy-egy

´

uj fogalom protot´ıpusak´ent gyakran tekinthetj¨uk mag´at Rⁿ-et. Ez´ert k¨ul¨on szakaszban t´er¨unk ki a v´eges dimenzi´os esetre, ´es ezut´an adunk p´eld´akat v´egtelen dimenzi´os terekre. A norm´alt terek tov´abbi, r´eszletesebb t´argyal´asa, bele´ertve a k´es˝obbiekben eml´ıtett, de nem bizony´ıtott ´all´ıt´asokat ´es p´eld´akat, megtal´alhat´o a [37, 38] k¨onyvekben.

V´eg¨ul megeml´ıtj¨uk, hogy a funkcion´alanal´ızis egyes eredm´enyei a norm´alt terekn´el ´altal´anosabb strukt´ur´akban (topologikus vektorterekben) is fel´ep´ıt- het˝ok, l´asd szint´en [37, 38], erre az ´altal´anoss´agra azonban e k¨onyvben nem lesz sz¨uks´eg¨unk.

1.1. Norm´ alt terek, Banach-terek ´ es alaptulaj- dons´ agaik

A norma defin´ıci´oja a hossz fogalm´at ´altal´anos´ıtja tetsz˝oleges vektort´erben.

7

8 1. Norm´alt terek

1.1. Defin´ıci´o. Legyen X vektort´er K felett, ahol K = C vagy R. Egy k·k:X →R⁺ f¨uggv´enyt norm´anaknevez¨unk, ha teljes´ıti az al´abbi ´un. nor- maaxi´om´akat:

(i) mindenx∈X eset´enkxk ≥0, ´eskxk= 0⇔x= 0;

(ii) mindenλ∈K´esx∈X eset´enkλxk=|λ| kxk;

(iii) mindenx, y∈X eset´enkx+yk ≤ kxk+kyk.

Ekkor az (X,k·k) p´artnorm´alt t´erneknevezz¨uk.

Megadunk n´eh´any egyszer˝u p´eld´at norm´alt terekre, nagyr´eszt v´eges dimen- zi´osakat. A funkcion´alanal´ızis alkalmaz´asaiban a v´egtelen dimenzi´os terek, els˝osorban f¨uggv´enyterek j´atssz´ak a f˝o szerepet, ezek k¨oz¨ul a legfontosabbak- kal az 1.3. szakaszban foglalkozunk majd.

• A legegyszer˝ubb p´eldaX :=R mint ¨onmaga feletti vektort´er: ez nor- m´alt t´er az abszol´ut ´ert´ekkel mint norm´aval, azaz kxk:=|x|.

• Han∈N⁺, akkorX:=Rⁿnorm´alt t´er a szok´asos euklideszi norm´aval, amit 2-es indexszel szok´as jel¨olni, azazx= (x1, x2, . . . , xn)∈Rⁿeset´en kxk₂:=pPn

i=1x²_i.

• AzX :=Rⁿ teret m´as norm´akkal is ell´athatjuk, p´eld´aul az ´ugynevezett p-norm´akkal, aholx∈Rⁿ eset´en

kxk_p:=









 Xⁿ

i=1

|x_i|^p1/p

, ha 1≤p <+∞;

1≤i≤nmax |xi|, ha p= +∞.

• Ha I = [a, b] adott intervallum, akkor X := C(I) = {f : I → R folytonos f¨uggv´enyek} norm´alt t´er az kfk_max := maxI|f| norm´aval.

Ugyanezen a vektort´eren megadhat´o m´as norma is, pl.kfk₁:=R

I|f|.

1.2. Megjegyz´es. Minden norm´alt t´er egyben metrikus t´er a %(x, y) = kx−yk ´un. induk´alt metrik´aval. (Visszafel´e ez nem igaz, vagyis nem min- den metrik´at induk´al valamilyen norma, pl. ha az alaphalmaz nem vektort´er, vagy ha a metrika diszkr´et.)

A norma r´ev´en ´ertelmezhet˝oek a g¨omb¨ok, k¨ornyezetek ´es ehhez kapcsol´od´o topol´ogiai fogalmak. A ny´ılt g¨omb¨ok seg´ıts´eg´evel a hat´ar´ert´ek ´es folytonoss´ag ugyan´ugy defini´alhat´o, mint Rⁿ-ben. Ut´obbiakε ´esδ n´elk¨ul k¨ozvetlen¨ul is megfogalmazhat´ok, ezt tessz¨uk el˝osz¨or a sorozatok ´es sorok konvergenci´aj´ara, ut´ana ´ertelmez¨unk n´eh´any topol´ogiai alapfogalmat.

1.1. Norm´alt terek, Banach-terek ´es alaptulajdons´agaik 9

1.3. Defin´ıci´o. (Sorozatok ´es sorok konvergenci´aja.) Legyen (X,k·k) nor- m´alt t´er, (xn)⊂X sorozat,x∈X vektor.

(i) limx_n=x (vagyx_n →x), hakx_n−xk →0.

(ii)

∞

P

n=1

xn=x, ha azsn:=

n

P

i=1

xi sorozatra sn→x.

1.4. Defin´ıci´o. Legyen (X,k·k) norm´alt t´er.

(i) Hax0 ∈ X adott pont, r >0 sz´am, akkor x0 k¨ozep˝u ´esr sugar´u ny´ılt g¨omb¨on, ill.z´art g¨omb¨ona

B(x₀, r) :={x∈X: kx−x₀k< r} ´es B(x₀, r) :={x∈X: kx−x₀k ≤r}

halmazokat ´ertj¨uk. EgyU ⊂X halmaz k¨ornyezete x₀-nak, ha U tartalmaz x₀ k¨ozep˝u ny´ılt g¨omb¨ot.

(ii) EgyG⊂X halmaz ny´ılt, ha minden pontj´anak k¨ornyezete.

(iii) EgyF⊂X halmazz´art, haX\Fny´ılt. Ez ekvivalens azzal, hogy minden (xn)⊂F konvergens sorozat eset´en limxn∈F.

(iv) EgyK⊂X korl´atos halmaz´atm´er˝oje:diam(K) := sup

x,y∈K

kx−yk.

1.5. Lemma. Norm´alt t´erben mindenx, y∈X eset´en

kxk − kyk

≤ kx−yk.

Bizony´ıt´as.Mivelx= (x−y)+y, ez´ertkxk ≤ kx−yk+kyk, azazkxk−kyk ≤ kx−yk. Mivelx´esyszerepe szimmetrikus, ez´ertkyk−kxk ≤ ky−xkis igaz,

amib˝ol az ´all´ıt´as k¨ovetkezik.

1.6. K¨ovetkezm´eny. A norma sorozatfolytonos f¨uggv´eny, azaz ha xn→x, akkorkxnk → kxk.

Bizony´ıt´as. Az el˝oz˝o lemma szerint

kx_nk − kxk

≤ kx_n−xk →0, han→

∞.

A fenti bizony´ıt´asok megegyeztek azR-ben szok´asosakkal, az abszol´ut ´ert´eket norm´ara cser´elve. Hasonl´oan igazolhat´o, hogy norm´alt t´erben az ¨osszead´as ´es a skal´arral val´o szorz´as m˝uveletei folytonosak.

A norm´alt terek egyik alapfogalma a t´er teljess´ege:

1.7. Defin´ıci´o. Egy norm´alt teret Banach-t´erneknevez¨unk, ha teljes, azaz ha minden Cauchy-sorozat konvergens.

A teljess´eg azt jelenti, hogy ebb˝ol a szempontb´ol a t´er hasonl´ıt a val´os sz´amok halmaz´ahoz, ahol klasszikus t´etel garant´alja a Cauchy-sorozatok konvergen- ci´aj´at. N´eh´any tov´abbi p´elda a norm´alt terekn´el m´ar felsoroltakb´ol:

10 1. Norm´alt terek

• (Rⁿ,k·k₂) Banach-t´er akxk₂:=pPn

i=1x²_i euklideszi norm´aval.

• Altal´´ aban is: minden v´eges dimenzi´os norm´alt t´er Banach-t´er. (Ezzel k¨ul¨on foglalkozunk a k¨ovetkez˝o szakaszban.)

• Ha K 6= ∅ tetsz˝oleges halmaz, akkor X := {f : K → R korl´atos f¨uggv´enyek} Banach-t´er azkfk_∞:= sup_K|f| norm´aval.

• (C[a, b],k·k_max) Banach-t´er az kfk_max := max

[a,b]

|f| norm´aval. (Az [a, b]

intervallum helyett egyK⊂Rⁿ kompakt halmaz is ´allhat.)

• (C[a, b],k·k₁) nem teljes, azaz nem Banach-t´er az kfk₁ := Rb

a|f| nor- m´aval. Megadhat´o ugyanis olyan (fn) ⊂C[a, b] sorozat, amely ak·k₁ norm´aban egyf /∈C[a, b] f¨uggv´enyhez konverg´al, pl. a signumf¨uggv´eny- hez. Ez Cauchy-sorozat ak·k₁ norm´aban, de nincs limeszeC[a, b]-ben.

1.8. Megjegyz´es. B´ar nem minden norm´alt t´er Banach-t´er, igazolhat´o, hogy minden X norm´alt t´er s˝ur˝un be´agyazhat´o Banach-t´erbe azonos´ıt´as erej´eig, vagyisX izometrikusan izomorf egy alkalmas Banach-t´er egy s˝ur˝u alter´evel.

(K´et norm´alt teret izometrikusan izomorfnak h´ıvunk, ha van k¨oz¨ott¨uk nor- matart´o line´aris bijekci´o; ilyenkor szok´as ˝oket azonos´ıtani egym´assal.) Ekkor ez a Banach-t´er sz¨uks´egk´eppen egy´ertelm˝u izometria erej´eig, neveX teljess´e t´etele.

Egy bizony´ıt´ast a 3.12. t´etelben l´atunk majd erre. A teljess´e t´etel l´etez´ese k¨ozvetlen¨ul is igazolhat´o metrikus terekre is, azzal az alapgondolattal, hogy a Cauchy-sorozatokhoz hozz´arendelt alkalmas ide´alis elemekb˝ol alkothat´o teljes t´er. ´Espedig, ha k´et Cauchy-sorozatot ekvivalensnek h´ıvunk, amikor k¨ul¨onb- s´eg¨uk 0-hoz tart, akkor az ´uj t´er a Cauchy-sorozatok ekvivalencia-oszt´alyaib´ol fog ´allni, ´es egyX-beli elemet a bel˝ole alkotott konstans sorozat ekvivalencia- oszt´aly´aval azonos´ıtunk. A hossz´u sz´amol´ast ig´enyl˝o r´eszletes bizony´ıt´ast l´asd pl. a [37] k¨onyvben.

1.9. Defin´ıci´o. LegyenXvektort´er,k·k₁´esk·k₂norm´ak. Azt mondjuk, hogy a k´et normaekvivalens, ha l´eteznekM ≥m >0 konstansok, hogy

mkxk₁≤ kxk₂≤Mkxk₁ (∀x∈X). (1.1) K¨onnyen l´athat´o, hogy ez val´oban ekvivalencia-rel´aci´o. Ha a norm´ak ekvi- valensek, akkor ugyanazt a topol´ogi´at gener´alj´ak, vagyis ugyanazok a ny´ılt halmazok ´es a konvergens sorozatok is. P´eld´aul az 1.15 t´etelben l´atni fogjuk majd, hogy v´eges dimenzi´os vektort´eren b´armely k´et norma ekvivalens.

1.10. ´All´ıt´as. Legyen X vektort´er, k·k₁ ´es k·k₂ ekvivalens norm´ak. Ha (X,k·k₁)teljes, akkor(X,k·k₂) is teljes.

1.1. Norm´alt terek, Banach-terek ´es alaptulajdons´agaik 11

Bizony´ıt´as. A defin´ıci´okb´ol k¨ovetkezik, hogy ha (xn) Cauchy-sorozat ak·k₂ norm´aban, akkor Cauchy-sorozat a k·k₁ norm´aban is, ´ıgy (xn) konverg´al a k·k₁norm´aban, de akkor konverg´al (ugyanahhoz a vektorhoz) ak·k₂ norm´a-

ban is.

V´eg¨ul a teljess´egre alapul´o n´eh´any nevezetes eredm´enyt adunk meg.

1.11. T´etel (Cantor-f´ele k¨oz¨ospont-t´etel). Legyen X Banach-t´er. Ha (F_n)⊂X nem ¨ures z´art halmazok egym´asba skatuly´azott sorozata (azazF₁⊃ F₂⊃. . .), melyrediam(F_n)→0, akkor∩Fn egy pont.

Bizony´ıt´as. Vegy¨unk minden n-re egy x_n ∈ F_n pontot. K¨onnyen l´athat´o, hogy ezek Cauchy-sorozatot alkotnak, mivel b´armely m≥n eg´eszek eset´en kx_n−x_mk ≤diam(F_n)→0. MivelX teljes, l´etezikx^∗:= limx_n. Mivel min- denn-re az{x_n, x_n+1, . . .}sorozat (amely szint´enx^∗-hoz tart)F_n-ben fekszik,

´ıgy Fn z´arts´aga miatt x^∗ ∈ Fn, ezekb˝olx^∗ ∈ ∩Fn. V´eg¨ul a diam(Fn) → 0 felt´etel miatt nem l´etezhet m´asik olyan pont, amely minden Fn-nek eleme,

´ıgy a metszet csakx^∗-b´ol ´all.

1.12. ´All´ıt´as (Weierstrass-krit´erium). LegyenXBanach-t´er. HaP kxnk konvergens, akkorP

xn is konvergens.

Bizony´ıt´as. Legyenek s_n :=

n

P

i=1

x_i ´es σ_n :=

n

P

i=1

kx_ik a megfelel˝o r´eszlet-

¨

osszegek. EkkorP

kxnk konvergenci´aja miatt (σn) Cauchy-sorozat, emellett mindenn > mindexre

ksn−s_mk=

n

X

i=m+1

x_i ≤

n

X

i=m+1

kxik=σ_n−σ_m=|σn−σ_m|,

´ıgy (sn) is Cauchy-sorozat. Mivel X teljes, ´ıgy ez azt jelenti, hogy P xn

konvergens.

1.13. T´etel (Banach-f´ele fixpontt´etel). LegyenX Banach-t´er ´esf :X→ X kontrakci´o, azaz van olyan q <1sz´am, hogy

kf(x)−f(y)k ≤qkx−yk (∀x, y∈X).

(1) Ekkor f-nek egy´ertelm˝uen l´etezik fixpontja, azaz olyan x^∗ ∈ X, melyre x^∗=f(x^∗).

(2) B´armely x0 ∈ X eset´en az xn+1 :=f(xn) (n∈N) iter´aci´o x^∗-hoz kon- verg´al, ´espedig

kxn−x^∗k ≤ qⁿ

1−qkx1−x0k (∀n∈N).

12 1. Norm´alt terek

Bizony´ıt´as. (1) Mindenn-re kxn+1−xnk =kf(xn)−f(x_n−1)k ≤qkxn− x_n−1k, ´ıgy indukci´oval kxn+1−xnk ≤ qⁿkx1−x0k. Ebb˝ol minden m > n eset´en

kxm−xnk ≤

m−1

X

i=n

kxi+1−xik ≤^m−1X

i=n

qⁱ

kx1−x0k< qⁿ

1−qkx1−x0k, (1.2) amib˝ol k¨ovetkezik, hogy (xn) Cauchy-sorozat. Mivel X teljes, ´ıgy l´etezik x^∗ := limxn. Ez fixpont, mert f (Lipschitz-)folytonos is, amib˝ol f(x^∗) = limf(xn) = limxn+1 =x^∗. M´as fixpont nem lehet, mert ha x^∗∗ is fixpont, akkorkx^∗∗−x^∗k=kf(x^∗∗)−f(x^∗)k ≤qkx^∗∗−x^∗k, ami csakkx^∗∗−x^∗k= 0 eset´en lehets´eges.

(2) Az (1.2) egyenl˝otlens´eg k´et sz´el´eb˝olm→ ∞eset´en megkapjuk a k´ıv´ant becsl´est, mivel a bal oldal kx^∗−xnk-hez tart, a jobb oldal pedig nem f¨ugg

m-t˝ol.

1.14. Megjegyz´es. Az 1.11 ´es 1.13. t´etelek teljes metrikus t´erben is iga- zak (a bizony´ıt´asokban csup´an a k¨ul¨onbs´egnorm´ak helyett t´avols´agokat kell

´ırni), erre azonban nem lesz sz¨uks´eg¨unk. A Banach-f´ele fixpontt´etel a legegy- szer˝ubb olyan t´etel, amely egyenlet megoldhat´os´ag´at ´es a megfelel˝o iter´aci´o konvergenci´aj´at mondja ki, erre a k¨onyv III-IV. r´esz´eben is utalunk majd.

1.2. V´ eges dimenzi´ os norm´ alt terek

A Banach-terekre adott p´eld´ak k¨oz¨ott m´ar eml´ıtett¨uk, hogy minden v´eges dimenzi´os norm´alt t´er teljes. Ezt most igazoljuk is; az ehhez felhaszn´alt els˝o eredm´eny ¨onmag´aban is nevezetes.

1.15. T´etel. V´eges dimenzi´os norm´alt t´eren b´armely k´et norma ekvivalens.

Bizony´ıt´as. El´eg bel´atnunk, hogy minden norma ekvivalens egy r¨ogz´ıtett norm´aval. Hae1, e2, . . . , ek b´azisa X-nek, akkor tetsz˝oleges x∈ X fel´ırhat´o x=

k

P

i=1

x_ie_i alakban, ´es az

kxk_∞:= max

1≤i≤k|xi| (1.3)

kifejez´es norm´at defini´al. Bel´atjuk, hogy tetsz˝oleges k·k norma ekvivalens a k·k_∞norm´aval, azaz fenn´all (1.1) valamilyenM ≥m >0 konstansokkal.

Legyenx∈X tetsz˝oleges. Az egyik ir´any:

kxk=

k

X

i=1

xiei

≤

k

X

i=1

|xi| keik ≤ max

1≤i≤k|xi|X^k

i=1

keik

=Mkxk_∞.

1.2. V´eges dimenzi´os norm´alt terek 13

A m´asik ir´anyhoz el˝osz¨or vegy¨uk ´eszre, hogy az 1.5. lemma ´es fenti ir´any miatt

kxk − kyk

≤ kx−yk ≤Mkx−yk_∞ (∀x, y∈X),

´ıgy k·k Lipschitz-folytonos a k·k_∞ norm´ara n´ezve. Emiatt folytonos is, ´ıgy a Weierstrass-t´etel szerint van minimuma az S := {x ∈ X : kxk_∞ = 1}

korl´atos ´es z´art halmazon, azaz ak·k_∞ norm´aval vett egys´egg¨omb felsz´ın´en.

(S korl´atoss´aga trivi´alis, z´arts´aga az 1.6. k¨ovetkezm´enynek k¨osz¨onhet˝o.) Ez a minimum pozit´ıv ´ert´ek, mivel a nullvektor nincsS-en, ´ıgy

min

kyk_∞=1

kyk=:m >0.

Legyen most x ∈ X tetsz˝oleges. Feltehet˝o x 6= 0, hisz 0-ra (1.1) trivi´alis.

Ekkory:= _kxk^x

∞ ∈S, ´ıgy kxk=

x kxk_∞

kxk_∞=kyk kxk_∞≥mkxk_∞. 1.16. T´etel. Minden v´eges dimenzi´os norm´alt t´er Banach-t´er.

Bizony´ıt´as.Legyen (xⁿ)⊂XCauchy-sorozat a t´erk·knorm´aj´aban. Legyen e₁, e₂, . . . , e_k b´azisX-ben, ´es tekints¨uk az (1.3) k´epletben defini´altk·k_∞ nor- m´at. Mivel minden n, l ∈ N⁺ eset´en

xⁿ−x^l

∞ ≤ _m¹

xⁿ−x^l

, ´ıgy (xⁿ) Cauchy-sorozat k·k_∞-ban is. Ekkor minden i = 1, . . . , k koordin´ata eset´en (xⁿ_i)⊂Ris Cauchy-sorozat, ´ıgy konvergens is, azaz l´etezikxi:= lim

n→∞xⁿ_i ∈R. Ekkor (xⁿ) is konvergensX-ben:

ha x:=

k

X

i=1

x_ie_i, akkor kxⁿ−xk ≤Mkxⁿ−xk_∞=M max

1≤i≤k|xⁿ_i −x_i| →0,

ha n→ ∞.

1.17. Megjegyz´es. (i) A fentiek alapj´an v´eges dimenzi´os vektort´eren b´ar- mely k´et norma ugyanazt a topol´ogi´at gener´alja, azaz ugyanazok a ny´ılt hal- mazok ´es a Cauchy-, ill. konvergens sorozatok is. Az ut´obbi jelent´ese, hogy a sorozat minden koordin´at´aja konvergens.

(ii) Egy norm´alt t´er minden v´eges dimenzi´os altere z´art, mivel ¨onmaga mint norm´alt t´er teljes.

(iii) A fentiekhez hasonl´oan igazolhat´o, hogy v´eges dimenzi´os norm´alt t´erben minden korl´atos sorozatnak van konvergens r´eszsorozata. Ez ui. R-ben igaz,

´ıgy az els˝o koordin´at´ak sorozat´anak van konvergens r´eszsorozata. A m´asodik koordin´at´ak ilyen index˝u r´eszsorozat´anak is van konvergens r´eszsorozata, ´es

´ıgy tov´abb. Az utols´o l´ep´esben kapott indexsorozattal az eg´esz sorozatnak kapjuk konvergens r´eszsorozat´at.

14 1. Norm´alt terek

Tov´abbi k¨ovetkezm´eny az a k´es˝obbiekben hasznos tulajdons´ag, hogy v´eges dimenzi´os alt´ernek a t´er b´armely elem´ehez van legk¨ozelebbi eleme.

1.18. ´All´ıt´as. Legyen (X,k·k)norm´alt t´er, X0 ⊂X v´eges dimenzi´os alt´er, x∈X tetsz˝oleges vektor. Ekkor l´etezik y0 ∈X0, amelyred:=dist(x, X0) = kx−y0k.

Bizony´ıt´as.V´alasszunk olyan (y_n)⊂X₀sorozatot, melyred_n:=kx−y_nk → d. Az (d_n) sz´amsorozat konvergens, ´ıgy korl´atos is, ´ıgy az (y_n)⊂X₀ vektor- sorozat is korl´atos. Mivel X₀ v´eges dimenzi´os, kiv´alaszthat´o (y_n)-b˝ol kon- vergens r´eszsorozat, azaz y_nk → y₀ ∈ X₀. A norma folytonoss´aga miatt

kx−y0k= limkx−yn_kk= limdn_k=d.

Ez a legk¨ozelebbi elem nem mindig egy´ertelm˝u, pl. a maximumnorm´aval el- l´atottC[0,1] t´erben azf ≡1 konstansf¨uggv´eny 1 t´avols´agra van a homog´en line´aris f¨uggv´enyek egydimenzi´os alter´et˝ol, ´es ezt minden 0≤c≤2 param´e- ter˝u g(x) := cx f¨uggv´enyen fel is veszi. K¨onnyen l´athat´o azonban, hogy ha egy t´er norm´aja szigor´uan konvex (azaz ha kx+yk <kxk+kyk, amikor x

´esy nem egym´as sz´amszorosa), akkor a legk¨ozelebbi elem m´ar egy´ertelm˝u.

Ilyenkor ezt az adott vektor v´eges dimenzi´os alt´erre val´o vet¨ulet´enek h´ıvjuk.

1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨ uggv´ enyterek

Az al´abbi p´eld´ak ´altal´aban j´ol ismertek az anal´ızisb˝ol, l´asd [37, 38, 59]. Az L^p(Ω) tereket fontoss´aguk miatt r´eszletezz¨uk. Az egyv´altoz´os Szoboljev-t´er itt ismertetett, Cz´ach L´aszl´ot´ol sz´armaz´o fel´ep´ıt´ese kev´esb´e ismert az iroda- lomban, c´elja a fogalom j´ol ´erthet˝o szeml´eltet´ese. A Szoboljev-t´er ugyanis az alkalmaz´asokban el˝ofordul´o legfontosabb f¨uggv´enyt´er lesz, ´es az egydimenzi-

´

os eset j´oval konstrukt´ıvabban le´ırhat´o, mint a t¨obbv´altoz´os [67], melyre a 10.2.2. szakasz elej´en utalunk majd.

1.3.1. Az L

(Ω) terek

Legyen Ω⊂Rⁿ adott Lebesgue-m´erhet˝o halmaz, 1≤p≤ ∞. Tekints¨uk azon f : Ω→RLebesgue-m´erhet˝o f¨uggv´enyeket, melyekre kfk_Lp v´eges, ahol

kfk_Lp:=









 Z

Ω

|f|^p 1/p

, ha 1≤p <+∞,

inf{sup

Ω\N

|f|: N ⊂Ω nullm´ert´ek˝u}, ha p= +∞.

Gyakrankfk_Lp helyett csakkfk_p-t ´ırunk, ha nem okoz f´elre´ert´est, mint pl. e szakasz sz´amol´asaiban. Emellett eml´ekeztet¨unk az al´abbi fogalomra, ill. jel¨o-

1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨uggv´enyterek 15

l´esre: a Lebesgue-elm´eletben egy tulajdons´agotmajdnem minden¨utt(m. m.)

´erv´enyesnek nevez¨unk, ha nullm´ert´ek˝u halmaz kiv´etel´evel teljes¨ul.

1.19. Defin´ıci´o. Az L^p(Ω) t´er azon Lebesgue-m´erhet˝o f¨uggv´enyekb˝ol ´all, melyekre kfk_Lp < ∞, bele´ertve, hogy k´et f¨uggv´enyt azonosnak tekint¨unk, ha m. m. egyenl˝oek. (Pontosabban teh´at, a t´er elemei ekvivalencia-oszt´alyok, aholf ∼g, haf =g m. m. )

A m. m. azonos´ıt´as ¨onmag´aban is term´eszetes amiatt, hogy a Lebesgue-integr´al

´erz´eketlen a nullm´ert´ek˝u halmazon val´o v´altoztat´asra, f˝o oka azonban az, hogy csak ´ıgy lesz igaz az els˝o normaaxi´oma.

AzL^∞(Ω) t´er norm´aj´ar´ol eml´ıt´est ´erdemel, hogy b´armely f ∈L^∞(Ω) f¨ugg- v´enyhez megadhat´o olyan Nf nullm´ert´ek˝u halmaz, hogy kfk_L∞ = sup

Ω\Nf

|f|.

(Ha ugyanis a defin´ıci´obeli infimumot sorozattal k¨ozel´ıtj¨uk, akkor a megfe- lel˝o nullm´ert´ek˝u halmazok uni´oja j´o lesz Nf-nek.) Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy

|f| ≤ kfk_∞ m.m. , ez´ert n´eha az L^∞-norm´at a f¨uggv´eny l´enyeges supremu- m´anak is nevezik ´es ess sup

Ω

|f|-fel jel¨olik.

Most bel´atjuk, hogyL^p(Ω) norm´alt t´er. Az els˝o k´et normaaxi´oma trivi´alisan teljes¨ul, az els˝on´el kihaszn´alva a m. m. azonos´ıt´ast (ugyaniskfk_Lp= 0 eset´en f = 0 m. m., azaz f azL^p(Ω) t´er 0-eleme). A h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eget a k¨ovetkez˝o t´etel mondja ki.

1.20. T´etel (Minkowski-egyenl˝otlens´eg). Legyen1≤p≤ ∞adott,f, g: Ω→Rm´erhet˝o f¨uggv´enyek. Ekkor

kf+gk_p≤ kfk_p+kgk_p.

Bizony´ıt´as. Hap=∞, akkor|f| ≤ kfk_∞ ´es|g| ≤ kgk_∞ m.m., ez´ert

|f+g| ≤ |f|+|g| ≤ kfk_∞+kgk_∞ m.m., ami egy l´enyeg´eben fels˝o korl´at, azazkf+gk_∞≤ kfk_∞+kgk_∞.

Legyen mostpv´eges. Ha a jobb oldal∞vagy valamelyik f¨uggv´eny a 0, akkor az ´all´ıt´as trivi´alis. Tegy¨uk fel teh´at, hogy kfk_p 6= 0 ´es kgk_p 6= 0. A t 7→ t^p f¨uggv´eny konvex, ´ıgy a Jensen-egyenl˝otlens´eg szerint

1

kfk_p+kgk_p^p(|f|+|g|)^p= kfk_p kfk_p+kgk_p

|f|

kfk_p + kgk_p kfk_p+kgk_p

|g|

kgk_p

!^p

≤

≤ kfk_p kfk_p+kgk_p

|f| kfk_p

!p

+ kgk_p kfk_p+kgk_p

|g|

kgk_p

!p

.

16 1. Norm´alt terek

Mindk´et oldalt integr´alva kapjuk, hogy 1

kfk_p+kgk_p^p Z

Ω

(|f|+|g|)^p ≤1,

ebb˝ol

kf+gk_p≤

|f|+|g|

_p≤ kfk_p+kgk_p. A k¨ovetkez˝o t´etel azL^p-terekbeli sz´am´ıt´asok igen gyakran haszn´alt seg´edesz- k¨oze.

1.21. Defin´ıci´o. Ap, q∈[1,∞] sz´amokat(egym´ashoz) konjug´alt ´ert´ekeknek h´ıvjuk, ha ¹_p + ¹_q = 1. Ha p (vagy q) ´ert´eke 1, akkor az egyenl˝os´eget ´ugy

´ertj¨uk, hogy q(vagyp) ´ert´eke∞.

1.22. T´etel (H¨older-egyenl˝otlens´eg). Ha 1 ≤ p ≤ ∞ ´es 1 ≤ q ≤ ∞ egym´ashoz konjug´alt ´ert´ekek ´es f, g m´erhet˝o f¨uggv´enyek, akkor

kf gk₁≤ kfk_pkgk_q.

Bizony´ıt´as. Ha a jobb oldal 0 vagy v´egtelen, akkor az ´all´ıt´as trivi´alis. Ha p= 1 ´esq=∞(vagy ford´ıtva), akkor|f g|=|f| |g| ≤ |f| kgk_∞ m.m., emiatt kf gk₁≤ kfk₁kgk_∞. Legyenek most 1< p, q <+∞, ´es

F := |f|

kfk_p, G:= |g|

kgk_q. At7→logt f¨uggv´eny konk´avit´as´at felhaszn´alva

F G= exp 1

plnF^p+1 qlnG^p

≤exp ln 1

pF^p+1 qG^p

= 1 pF^p+1

qG^p. Ezt integr´alva

1 kfk_p kgk_q

Z

|f g|= Z

Ω

|f|

kfk_p · |g|

kgk_q ≤ 1 p Z

Ω

|f|^p kfk^p_p +1

q Z

Ω

|g|^q kgk^q_q =1

p+1 q = 1, ahonnan ´atszorz´assal ad´odik a k´ıv´ant egyenl˝otlens´eg.

1.23. Megjegyz´es. (i) A H¨older-egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ovetkezik, hogy haf ∈ L^p(Ω)´esg∈L^q(Ω), akkor f g∈L¹(Ω).

(ii) Ap=q= 2speci´alis esetben a f¨uggv´enyekre vonatkoz´o Cauchy–Schwarz–

Bunyakovszkij-egyenl˝otlens´eget kapjuk.

1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨uggv´enyterek 17

(iii) A H¨older-egyenl˝otlens´eg t¨obbf´elek´eppen ´altal´anos´ıthat´o.

Indukci´oval igazolhat´o, hogy ha az 1≤p₁, . . . , p_n ≤ ∞ sz´amokra _p¹

1 +

· · ·+_p¹

n = 1, akkor

kf1· · ·fnk₁≤ kf1k_p

1· · · kfnk_p

n. Ebb˝ol, ha az1≤s1, . . . , sn≤ ∞´es1≤r≤ ∞sz´amokra_s¹

1+· · ·+_s¹

n =

1

r, akkor api:=^s_rⁱ ´esfi:=|hi|^r helyettes´ıt´essel kh1· · ·hnk_r≤ kh1k_s

1· · · khnk_s

n. (1.4)

1.24. T´etel (Riesz–Fischer). L^p(Ω)a bevezetett norm´aval teljes, azaz Ba- nach-t´er.

Bizony´ıt´as. Csak 1 ≤ p < ∞ eset´ere bizony´ıtjuk, a p= ∞ eset anal´og a korl´atos f¨uggv´enyek ter´enek kor´abban eml´ıtett teljess´eg´evel. Legyen (fn) egy L^p(Ω)-beli Cauchy-sorozat. Ekkor van olyank0 ∈N, hogy minden m > k0

eset´enkfm−fk0k_p <1/2. Ehhez van olyank1 > k0, hogy minden m > k1

eset´enkfm−f_k1k_p <1/4. Hasonl´oan folytatva az elj´ar´ast, mindenn-re van olyankn > kn−1index, hogy minden m > kn eset´enkfm−fk_nk_p<1/2ⁿ⁺¹. Legyen most

gn :=|fk0|+

n

X

i=1

fki−fki−1

. Mivelg_n monoton n¨ov˝o f¨uggv´enysorozat, l´etezikg:= lim

n→∞g_n. Mivel kgnk_p≤ kfk0k_p+

n

X

i=1

f_ki−f_ki−1

_p≤ kfk0k_p+

n

X

i=1

1

2ⁱ ≤ kfk0k_p+ 1 =K, ez´ert agn sorozat monotonit´asa miatt a Beppo Levi-t´etelb˝ol kapjuk, hogy

Z

Ω

g^p = Z

Ω

n→∞lim g_n^p = lim

n→∞

Z

Ω

g_n^p≤K^p, teh´at g∈L^p(Ω). Ekkorg m. m. v´eges, ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy az

f_k0+

∞

X

n=1

f_kn−f_kn−1

f¨uggv´enysor m. m. pontban abszol´ut konvergens. Emiatt konvergens is, je- l¨olj¨uk a sor ¨osszeg´et f-fel. Mivel f ´es g konstrukci´oja miatt |f| ≤ g, ´ıgy

18 1. Norm´alt terek

f ∈L^p(Ω). A sor n-edik r´eszlet¨osszege ´eppenfk_n, teh´at fk_n → f m. m. ´es

´ıgy|fk_n−f|^p→0 m. m. Emellett

|fkn−f|=

∞

X

i=n+1

f_ki−f_ki−1

≤

∞

X

i=1

f_ki−f_ki−1

+|fk0|=g,

´ıgy |fkn−f|^p ≤ g^p ∈ L¹(Ω), azaz |fkn−f|^p → 0 m. m. ´es van L¹(Ω)-beli major´ansa. Lebesgue domin´alt konvergencia-t´etele szerintR

Ω|fkn−f|^p→0, azazkfkn−fk^p_p→0. Ezzel bel´attuk, hogy egy tetsz˝olegesL^p(Ω)-beli Cauchy- sorozatnak van olyan r´eszsorozata, amely konvergens. Ebb˝ol az ismert elemi

´

all´ıt´as szerint k¨ovetkezik, hogy az eg´esz sorozat is konvergens.

1.25. Megjegyz´es. Ismeretes, hogyC[a, b] azL¹-norm´aval ell´atva nem tel- jes t´er. Hasonl´oan,

C[a, b],k·k_p

sem az. Igazolhat´o viszont, hogy C[a, b]

s˝ur˝u altereL^p(a, b)-nek ap-norm´aval, ´ıgy

C[a, b],k·k_p

teljess´e t´etele ´eppen L^p(a, b).

A kitev˝o n¨ovel´es´evel egyre sz˝ukebb tereket kapunk, ez egyszer˝u sz´amol´assal igazolhat´o az (1.4) ´altal´anos´ıtott H¨older-egyenl˝otlens´eg alapj´an,h₁ := f ´es h2≡1 v´alaszt´assal:

1.26. ´All´ıt´as. (L^p(Ω) f¨ugg´ese a kitev˝ot˝ol). Legyen Ω ⊂ Rⁿ korl´atos tarto- m´any,1≤r < s≤ ∞. EkkorL^s(Ω)⊂L^r(Ω), s˝ot l´etezik c >0, hogy

kfk_Lr ≤ckfk_Ls (∀f ∈L^s(Ω)).

1.27. Megjegyz´es. Igazolhat´o az is, hogy ez visszafel´e nem ´all fenn, azaz k¨ul¨onb¨oz˝o kitev˝oj˝u L^p-norm´ak nem ekvivalensek: alkalmasan v´alasztott α >

0 eset´en el´erhet˝o, hogy azf(x) :=|x−x0|^−αf¨uggv´enyre (aholx0∈Ω r¨ogz´ıtett pont)f ∈L^r(Ω)\L^s(Ω), vagyf ∈L^s(Ω) ugyan, de a k´et norma h´anyadosa el˝o´ırt korl´at f¨ol¨ott lesz.

1.3.2. Sorozatterek ´ es C

-terek

Tov´abbi fontos p´eld´ak Banach-terekre az`p-terek:

`_p:= n

(x_n)⊂Ksz´amsorozatok, melyre

∞

X

n=1

|x_n|^p <∞o

, ha 1≤p <+∞,

`_∞:={(x_n)⊂Kkorl´atos sz´amsorozatok}, ha p= +∞.

1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨uggv´enyterek 19

A norma ´ertelmez´ese hasonl´o a kor´abbi esethez:

k(xn)k_p:=









 X^∞

n=1

|xn|^p1/p

, ha 1≤p <+∞, sup

n

|xn|, ha p= +∞.

Az `p-terek val´oj´aban felfoghat´ok L^p-tereknek is, mivel ut´obbiak defin´ıci´o- j´aban nem kellett volna a Lebesgue-m´ert´ekre szor´ıtkoznunk: ´altal´aban egy (X,A, µ) m´ert´ekt´erb˝ol kiindulva egyµ-m´erhet˝o f¨uggv´enynek ugyan´ugy defi- ni´alhat´o a p-norm´aja ´es ´ıgy az L^p-belis´ege, ahogyan el˝obb l´attuk. Ekkor az

`<sub>p</sub>terek a (N,P(N), µ) kiindul´asi m´ert´ekt´erhez tartoznak, aholµa sz´aml´al´o- m´ert´ek. A fentiek alapj´an a Riesz–Fischer t´etel ´atvihet˝o az`_pterekre is, ezek teh´at Banach-terek.

Vezess¨unk m´eg be k´et ´ujabb sorozatteret: legyen c a konvergens sorozatok tere,c₀pedig a nullsorozatok tere, a norma mindk´et esetben legyenk(x_n)k:=

sup|xn|. K¨onnyen l´athat´o, hogy ezek teljes terek, mivel z´art alterei`_∞-nek.

V´eg¨ul legyenI= [a, b],n∈N⁺ ´es

Cⁿ(I) ={f :I→Rn-szer folytonosan differenci´alhat´o}, ahol a norma

kfk_Cn:=

n

X

k=0

f^(k)

_max=

n

X

k=0

max

I

f^(k)

. Ezek a m´ar l´atott n= 0 esethez hasonl´oan Banach-terek.

1.3.3. Egyv´ altoz´ os Szoboljev-terek

Ebben a szakaszban bevezetj¨uk a Szoboljev-t´er fogalm´at az egyv´altoz´os eset- ben. A Szoboljev-terek els˝osorban t¨obbv´altoz´oban, a parci´alis differenci´al- egyenletek elm´elet´eben rendk´ıv¨ul fontosak, erre a 10.2.2. szakaszban utalunk majd; a t¨obbdimenzi´os Szoboljev-terek r´eszletes t´argyal´asa a [67] k¨onyvben olvashat´o. A most adott egyv´altoz´os defin´ıci´o speci´alis ´es j´oval konstrukt´ı- vabb, mivel megadhat´o, milyen f¨uggv´enyekb˝ol ´all a t´er, szemben a t¨obbdimen- zi´os esettel, ahol absztrakt teljess´e t´etelk´ent defini´aljuk a Szoboljev-tereket.

Az egyv´altoz´os eset nagyobb szeml´eletess´ege r´ev´en k¨onnyebben l´athat´o e te- rek jelent˝os´ege, els˝osorban majd a gyenge megold´asra val´o alkalmaz´asukn´al a 10.2.1. szakaszban.

A tov´abbiakban legyenI= [a, b] korl´atos, z´art intervallum.

(a) Els˝orend˝u Szoboljev-terek

20 1. Norm´alt terek

1.28. Defin´ıci´o. Legyen 1≤p≤ ∞adott sz´am. Ekkor

W^1,p(I) :={f :I→Rabszol´ut folytonos f¨uggv´enyek, melyre f⁰∈L^p(I)}. 1.29. Megjegyz´es. (i) Eml´ekeztet¨unk az al´abbi jellemz´esekre (az abszol´ut folytonoss´ag defin´ıci´oja helyett ezeket haszn´aljuk fel), l´asd [38, 18. fejezet]).

Egyf :I→Rf¨uggv´eny pontosan akkor abszol´ut folytonos, ha egyL¹(I)-beli f¨uggv´eny integr´alf¨uggv´enye, ez pedig ekvivalens az al´abbi h´arom tulajdons´ag egy¨uttes´evel :

• f m. m. differenci´alhat´o,

• f⁰∈L¹(I),

• f integr´alf¨uggv´enyef⁰-nek (azaz ´erv´enyes a Newton–Leibniz t´etel).

Itt az f⁰ ∈ L¹(I) kit´etel ´ertelmes, mert el´eg hozz´a, hogy az f⁰ f¨uggv´enyt m. m. ´ertelmezt¨uk.

(ii) A fentiek alapj´an: f ∈W^1,p(I) ⇔ f egyL^p(I)-beli f¨uggv´eny integr´al- f¨uggv´enye.

T¨obb norm´at is bevezet¨unk aW^1,p(I) t´eren: az alap´ertelmezett norma kfk_W1,p :=

kfk^p_Lp+kf⁰k^p_Lp

^1/p

=Z

Ω

(|f|^p+|f⁰|^p)^1/p

(ha 1≤p <∞), kfk_W1,∞ := max{kfk_L∞, kf⁰k_L∞},

emellett k´et

”seg´ednorma”

kfk₊:=kfk_Lp+kf⁰k_Lp ´es kfk_∗:=kfk_max+kf⁰k_Lp. C´elunk bel´atni, hogyW^1,p(I) teljes, azaz Banach-t´er aW^1,p-norm´aval. Ehhez az 1.10. ´all´ıt´as alapj´an azt fogjuk bel´atni, hogy a fenti norm´ak ekvivalensek

´es a t´er teljes a∗-norm´aval.

1.30. Lemma. A W^1,p(I)t´erenk·k_W1,p∼ k·k₊.

Bizony´ıt´as.MivelR²-ben azk(x1, x2)k_p= (|x1|^p+|x2|^p)^1/pvagyk(x1, x2)k_∞

= max{|x1|, |x2|}norma ekvivalens a k(x1, x₂)k₁=|x1|+|x2|norm´aval, ez

¨or¨okl˝odik arra az esetre, ha argumentumukba az kfk_Lp ´eskf⁰k_Lp sz´amokat

´ırjuk, ami ´eppenkfk_W1,p ´eskfk₊.

1.31. T´etel. AW^1,p(I)t´erenk·k₊∼ k·k_∗.

1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨uggv´enyterek 21

Bizony´ıt´as. Ap=∞esetben az ´all´ıt´as trivi´alis, hiszen azf f¨uggv´eny foly- tonoss´aga miatt kfk_L∞ = ess sup|f| = kfk_max, ´ıgy kfk₊ = kfk_∗. Legyen teh´at p <∞.

(i) Az egyik ir´any´u becsl´eshez szint´enf folytonoss´aga miatt kfk_Lp≤Z b

a

max|f|^p1/p

=

(b−a) max|f|^p1/p

=c· kfk_max (aholc= (b−a)^1/p), ´ıgy

kfk₊=kfk_Lp+kf⁰k_Lp≤ckfk_max+kf⁰k_Lp ≤max{1, c} · kfk_∗. (ii) A m´asik ir´any´u becsl´eshez felhaszn´aljuk, hogy ha f ∈ W^1,p(I), akkor teljes¨ul r´a a Newton–Leibniz t´etel, azaz

f(y) =f(x) + Z y

x

f⁰ (∀x, y∈I).

Ebb˝ol, ism´et az 1.26. ´all´ıt´ast is haszn´alva

|f(y)| ≤ |f(x)|+ Z y

x

|f⁰| ≤ |f(x)|+ Z b

a

|f⁰|=|f(x)|+kf⁰k_L1 ≤

≤ |f(x)|+c₁· kf⁰k_Lp

alkalmasc1>0 mellett. Az egyenl˝otlens´eg k´et v´eg´et integr´alvaxszerint (b−a)|f(y)| ≤

Z b a

|f|+c1(b−a)kf⁰k_Lp≤c1· kfk_Lp+c1(b−a)kf⁰k_Lp, majd leosztva az intervallum hossz´aval

|f(y)| ≤ c₁

b−akfk_Lp+c₁kf⁰k_Lp (∀y∈I).

Ebb˝ol,f folytonoss´aga r´ev´en kfk_max= max

y∈I |f(y)| ≤ c

b−akfk_Lp+ckf⁰k_Lp,

´ıgy

kfk_∗≤ c

b−akfk_Lp+ (c+ 1)kf⁰k_Lp≤max{_b−a^c , c+ 1} kfk₊. 1.32. T´etel. W^1,p(I)teljes a k·k_∗ norm´aval.

22 1. Norm´alt terek

Bizony´ıt´as. Legyen (fn) Cauchy-sorozat a k·k_∗ norma szerint, ekkor (fn) Cauchy-sorozat ak·k_maxnorm´aban ´es (f_n⁰) Cauchy-sorozat ak·k_Lpnorm´aban.

Mivel C(I) teljes a k·k_max-norm´aval, ez´ert l´etezik f ∈ C(I), hogy fn → f egyenletesen. Mivel f_n⁰ ∈ L^p(I), ez´ert l´etezik g ∈ L^p(I), hogy f_n⁰ → g L^p- norm´aban. C´elunk bel´atni azt, hogyf ∈W^1,p(I) ´esfn→f k·k_∗-norm´aban.

Mivelf_n∈W^1,p(I), ez´ert f_n(x) =f_n(a) +

Z x a

f_n⁰ (∀x∈I, n∈N⁺).

Tekints¨uk az n→ ∞ hat´ar´atmenetet. Mivel fn → f egyenletesen, ´ıgy pon- tonk´ent is, azazfn(x)→f(x). Mivelf_n⁰ →g L^p-norm´aban, ´ıgy

Z x a

f_n⁰ − Z x

a

g ≤

Z x a

|f_n⁰ −g| ≤ Z b

a

|f_n⁰ −g|=

=kf_n⁰ −gk_L1 ≤c1kf_n⁰ −gk_Lp→0,

´ıgy

Z x a

f_n⁰ → Z x

a

g.

Ezekb˝ol

f(x) =f(a) + Z x

a

g (∀x∈I),

vagyisf integr´alf¨uggv´enye g-nek. Mivel g ∈ L^p(I), ez ´epp azt jelenti, hogy f ∈ W^1,p(I). Emellett a fenti k´epletet m. m. deriv´alva f⁰ = g m. m. ´Igy kf_n−fk_max→0 ´eskf_n⁰ −f⁰k_Lp=kf_n⁰ −gk_Lp→0, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy

kf_n−fk_∗→0.

1.33. K¨ovetkezm´eny. W^1,p(I)teljes a k·k_W1,p norma szerint is.

1.34. Megjegyz´es. (i) A W^1,p(I) Szoboljev-t´er ´altal´anos´ıtja aC¹(I) teret abban az ´ertelemben, hogy csak m. m. deriv´alhat´os´agot k¨ovetel¨unk. A teljes- s´eget ekkor ´ugy lehetett garant´alni, ha a deriv´altaknak csak az L^p-norm´aj´at (l´enyeg´eben s´ulyozott ´atlag´at) m´erj¨uk.

(ii) Mint kor´abban eml´ıtett¨uk, a (C(I),k·k_Lp) t´er nem teljes, ´es teljess´e t´etele azL^p(I) t´er. Eg´eszen hasonl´oan (C¹(I),k·k_W1,p) sem teljes, ´es teljess´e t´etele aW^1,p(I) t´er.

(b) Magasabbrend˝u Szoboljev-terek

Err˝ol az esetr˝ol csak v´azlatosan ejt¨unk sz´ot, mivel teljesen hasonl´o az els˝o- rend˝u esethez. Legyen 1≤p≤ ∞,N ∈N⁺ ´es

W^N,p(I) :=n

f ∈C^N−1(I) : f^(N−1) abszol´ut folytonos, ´esf^(N)∈L^p(I)o ,

1.4. Line´aris lek´epez´esek alaptulajdons´agai. AB(X, Y) t´er 23

norm´aja pedig

kfk_WN,p :=X^N

k=0

f^(k)

p L^p

^1/p .

Itt is bevezethetj¨uk a megfelel˝o k.k₊ ´esk.k_∗ norm´akat, ´es seg´ıts´eg¨ukkel iga- zolhat´o:

1.35. T´etel. W^N,p(I),k·k_WN,p

teljes, azaz Banach-t´er.

AW^N,p(I) Szoboljev-t´er ´altal´anos´ıtja aC^N(I) teret ´ugy, hogyf^(N)l´etez´es´et csak m. m. k¨ovetelj¨uk meg. A (C^N(I),k·k_WN,p) t´er nem teljes, ´es teljess´e t´etele a W^N,p(I) t´er.

1.4. Line´ aris lek´ epez´ esek alaptulajdons´ agai. A B(X, Y ) t´ er

Legyenek el˝osz¨orX ´esY vektorterek. A line´aris lek´epez´esek vizsg´alatakor az al´abbi jel¨ol´eseket haszn´aljuk majd: azt ´ırjuk, hogyA:X →Y, haD(A) =X

´es azt, hogyA:X ⊃→Y, haD(A)⊂X alt´er. El˝osz¨or id´ezz¨uk fel a line´aris lek´epez´es fogalm´at.

1.36. Defin´ıci´o. LegyenekX ´esY vektorterek aKsz´amtest felett. Egy A: X⊃→Y lek´epez´esline´aris, ha b´armelyx, z∈D(A) ´esc∈Keset´en

(i) A(x+z) =A(x) +A(z), (ii) A(cx) =cA(x).

Ezzel ekvivalens defin´ıci´o: b´armely x, z∈X´esc, d∈Keset´en A(cx+dz) = cA(x) +dA(z).

A line´aris lek´epez´eseket gyakran line´arisoper´atoroknakh´ıvjuk. HaAline´aris, akkor nem okoz f´elre´ert´est az argumentum z´ar´ojel n´elk¨uli jel¨ol´ese, mivel A val´oban ´ugy viselkedik, mint egy szorz´as: a tov´abbiakban

Ax:=A(x).

Az al´abbi tulajdons´agok trivi´alis k¨ovetkezm´enyek.

1.37. ´All´ıt´as. LegyenA:X ⊃→Y line´aris lek´epez´es. Ekkor

(i)A0 = 0, azaz Aa(zX-beli) nullvektort a(zY-beli) nullvektorba viszi.

(ii)R(A)⊂Y is alt´er.

(iii)Apontosan akkor injekt´ıv, ha csak x= 0eset´en lehetAx= 0.

A line´aris lek´epez´esek gyakori speci´alis t´ıpus´at alkotj´ak a sz´am´ert´ek˝u lek´epe- z´esek, ezeket k´es˝obb k¨ul¨on is vizsg´aljuk majd.