5.1. Riesz reprezent´ aci´ os t´ etele
P´elda folytonos line´aris funkcion´alra Hilbert-t´erben.Hay∈H r¨ogz´ıtett vek-tor, akkor a
φy:H →C, φyx:=hx, yi
lek´epez´es a skal´arszorz´as defin´ıci´oja miatt line´aris, ´es korl´atos is, ugyanis
|φyx|=|hx, yi| ≤ kxk kyk (∀x∈H).
Ebb˝ol az is k¨ovetkezik, hogykφyk ≤ kyk.
5.1. ´All´ıt´as. kφyk=kyk (∀y∈H).
Bizony´ıt´as. Azy= 0 eset trivi´alis, am´ugy pedig kφyk= sup{|φy(x)|: kxk= 1} ≥φy
y kyk
= 1
kykhy, yi=kyk. Az al´abbi nevezetes t´etel azt mondja ki, hogy a fenti p´eld´aval, vagyis adott vektorral t¨ort´en˝o skal´arszorz´assal minden lehets´eges folytonos line´aris funk-cion´alt le´ırtunk. (Teh´at ugyanaz a jellemz´es igaz, mint v´eges dimenzi´oban.)
65
66 5. Folytonos line´aris funkcion´alok Hilbert-t´erben
5.2. T´etel (Riesz reprezent´aci´os t´etele). Legyen H Hilbert-t´er. Ekkor minden φ : H → C folytonos line´aris funkcion´alhoz l´etezik egyetlen olyan y∈H, hogyφ=φy, azaz
φx=hx, yi (∀x∈H). (5.1) Bizony´ıt´as. Ha φ ≡ 0, akkor y = 0 j´o lesz. Ha φ nem azonosan nulla, akkor a 3.3. ´all´ıt´as szerint kerφval´odi (1 kodimenzi´os) z´art alt´er, ´ıgy a 2.16.
t´etel szerint (kerφ)⊥ 6= {0}. Legyen z 6= 0, melyre z ∈ (kerφ)⊥, ´es legyen x0 = (φx)z−(φz)x. Ekkor φx0 = 0, azazx0∈kerφ, teh´at hx0, zi= 0. Ezt r´eszletesen ki´ırva
0 =hx0, zi=h(φx)z−(φz)x, zi=φxkzk2−φzhx, zi, vagyis
φx=φzhx, zi kzk2 =D
x, φz kzk2zE
, ahonnany= φz
kzk2zv´alaszt´assal ad´odik (5.1).
Az egy´ertelm˝us´eghez tegy¨uk fel, hogy y1, y2 a φ-hez tartoz´o reprezent´ans vektorok. Ekkorφx=hx, y1i=hx, y2i, vagyishx, y1−y2i= 0 mindenx∈H
eset´en, ´ıgyy1=y2.
Az 5.1. ´all´ıt´as ´es 5.2. t´etel alapj´an a
T :H →H∗, y7→φy
lek´epez´es normatart´o (teh´at izometria), valamint bijekci´o. A linearit´as azon-ban csak
”majdnem” teljes¨ul, mivel a (5.1)-beli skal´arszorzatban y a h´ats´o helyen ´all, ´ıgy hac1, c2∈C´esy1, y2∈H, akkor az
hx, c1y1+c2y2i=c1hx, y1i+c2hx, y2i (∀x∈H) egyenl˝os´eg alapj´an
T(c1y1+c2y2) =φc1y1+c2y2 =c1φy1+c2φy2 =c1T(y1) +c2T(y2), azazT konjug´altan line´aris lek´epez´es. Ez alapj´an azt mondjuk, hogy egy H Hilbert-t´erkonjug´altan izometrikusaH∗ du´alis´aval, ´es ´ugy jel¨olj¨uk, hogy
H∗≡∗H.
B´ar ez nem teljesen a megszokott izometria, a kapott y 7→φy megfeleltet´es r´ev´en a Hilbert-tereket azonos´ıthatjuk a du´alisukkal.
A kapott eredm´enyb˝ol k¨ovetkezik, hogy minden Hilbert-t´er reflex´ıv. K¨onnyen l´athat´o ugyanis, hogy a H → H∗ ´es H∗ → H∗∗ k¨ozti konjug´altan line´aris izometri´ak kompoz´ıci´oja m´ar line´aris izometria, ´ıgyH izometrikusH∗∗-gal.
5.2. Gyenge konvergencia Hilbert-t´erben 67
5.2. Gyenge konvergencia Hilbert-t´ erben
Gyenge konvergenci´aval a 3.3. szakasz (b) r´esz´eben foglalkoztunk. A 3.14.
defin´ıci´o a Riesz-f´ele reprezent´aci´os t´etel alapj´an skal´arszorzattal ´ırhat´o fel:
5.3. K¨ovetkezm´eny. LegyenH Hilbert-t´er. Egy(xn)⊂H sorozat pontosan akkor tart gyeng´en azx∈H vektorhoz, ha
hxn, yi → hx, yi (∀y∈H).
L´attuk, hogy az er˝os konvergenci´ab´ol k¨ovetkezik a gyenge konvergencia, azaz haxn →x er˝os ´ertelemben (vagyis norm´aban), akkor a folytonoss´ag miatt φxn→φx mindenφ∈X∗ eset´en. A megford´ıt´as azonban nem igaz:
5.4. ´All´ıt´as. Ha {en}n∈N teljes ortonorm´alt rendszer H-ban, akkor en
−→w
0. Norm´aban azonban en90, s˝ot nem is konvergens.
Bizony´ıt´as. A Parseval-egyenl˝os´eg (2.29. ´all´ıt´as) szerint tetsz˝oleges x∈ X eset´en
∞
P
n=1
|hx, eni|2 <∞, ´ıgyhx, eni →0. Ez azt jelenti, hogyen −→w 0. Az viszont vil´agos, hogy kenk = 1 miatt en 90 norm´aban. S˝ot, mivel n 6=m eset´enken−emk2=kenk2+kemk2= 2, ez´ert (en) nem Cauchy-sorozat, ´ıgy
nem is konvergens.
A fenti ´all´ıt´as b´armely {en}n∈Nortonorm´alt rendszerre is igaz, mivel ut´obbi teljes aspan{en}n∈Nt´erben, ´ıgy az ´all´ıt´ast ut´obbiban haszn´aljuk fel.
Hilbert-t´erben az er˝os ´es a gyenge konvergencia kapcsolat´at az al´abbi t´etel jellemzi.
5.5. T´etel. Legyen (xn)⊂H,x∈H. Ekkor kxn−xk →0 ⇐⇒
i) kxnk → kxk ii) xn−→w x.
Bizony´ıt´as. (⇒) Ezt m´ar tudjuk (a norma ´es a skal´arszorz´as folytonoss´ag´ a-b´ol).
(⇐) Tegy¨uk fel, hogyi) ´esii) teljes¨ul, ekkor
kxn−xk2=hxn−x, xn−xi=kxnk2+kxk2− hxn, xi − hx, xni →0, ugyanis a gyenge konvergencia miatthxn, xi → hx, xi=kxk2. Az el˝oz˝oek szerint v´egtelen dimenzi´os t´erben a z´art egys´egg¨omb korl´atos ugyan, de nem sorozatkompakt, mert egy ortonorm´alt rendszerb˝ol nem lehet
68 5. Folytonos line´aris funkcion´alok Hilbert-t´erben
kiv´alasztani konvergens r´eszsorozatot. Vagyis a Bolzano–Weierstrass t´etel ´ al-tal´aban nem marad ´erv´enyben. Ez a tulajdons´ag m´egis megmenthet˝o, mert gyenge ´ertelemben m´ar igaz.
5.6. T´etel. Hilbert-t´erben minden korl´atos sorozatnak van gyeng´en konver-gens r´eszsorozata.
Bizony´ıt´as. Legyen (xn) ⊂ H korl´atos sorozat, melyre teh´at kxnk ≤ C valamilyen C > 0 sz´amra. Legyen H0 := [(xn)] az (xn) ´altal gener´alt z´art alt´er. LegyenH1=H0⊥, ´ıgy a 2.16. t´etel szerintH =H0⊕H1.
Az (hx1, xni) sz´amsorozat a CSB-egyenl˝otlens´eg szerint korl´atos, van teh´at olyan (x1n)⊂(xn) r´eszsorozat, hogy l´etezik lim
n→∞
x1, x1n .
Az
x2, x1n
sz´amsorozat szint´en korl´atos, van teh´at olyan (x2n) ⊂ (x1n) r´eszsorozat, hogy l´etezik lim
n→∞
x2, x2n .
Az elj´ar´ast folytatva egy olyan (xn)⊃(x1n)⊃(x2n)⊃. . . r´eszsorozat-l´ancot kapunk, melyre l´etezik lim
n→∞
xk, xkn
minden r¨ogz´ıtettk= 1,2, . . .eset´en.
Legyenzn:=xnn. A (zn) sorozat r´eszsorozata (xn)-nek ´es a konstrukci´o szerint (zn) minden r¨ogz´ıtett k-ra az els˝o n´eh´any (legfeljebb k) tagt´ol eltekintve r´eszsorozata (xkn)-nak, ´ıgy l´etezik lim
n→∞hxk, zni minden k-ra. A hat´ar´ert´ek nyilv´an a sorozat tagjainak tetsz˝oleges v´eges line´aris kombin´aci´oj´ara is l´etezik.
Legyen φny := hy, zni a [(xn)] line´aris burkon ´ertelmezett line´aris funkcio-n´al, melyre kφnk ≤ C, teh´at korl´atos is n-t˝ol f¨uggetlen korl´attal. A φy :=
n→∞lim φny egyenl˝os´eggel defini´alt φ funkcion´al szint´en line´aris ´es folytonos.
Terjessz¨uk ki ˝oket a 3.4. ´all´ıt´as seg´ıts´eg´evel Φn,Φ :H0→Cfolytonos line´aris funkcion´alokk´a normatart´o m´odon.
Ekkor a Φn ∈H0∗ funkcion´alok egyenletesen korl´atosak ´es Φn →Φ ponton-k´ent [(xn)]-en, ´ıgy az 4.6. t´etel szerint Φn → Φ pontonk´ent eg´esz H0-on, speci´alisan mindeny ∈ H0 eset´en l´etezik lim
n→∞hy, zni= Φy. A Φ :H0 →C funkcion´al line´aris ´es folytonos is aH0Hilbert-t´eren, ez´ert Riesz reprezent´ a-ci´os t´etele szerint l´etezik ˜z ∈H0, hogy lim
n→∞hy, zni=hy,zi˜ minden y ∈H0
eset´en, azazzn −→w z H˜ 0-on. M´ar csak az kell, hogy ezH-n is igaz. Legyen teh´at y ∈ H tetsz˝oleges, y = y0+y1, ahol y0 ∈ H0 ´es y1 ∈ H1. Ekkor y1=y−y0⊥H0 miatthzn−˜z, y−y0i= 0. Ezt kifejtve
0 =hzn, yi − hzn, y0i − h˜z, yi+h˜z, y0i,
´es felhaszn´alva, hogy hy0, zni → hy0,zi, k¨˜ ovetkezik, hogy hzn, yi → h˜z, yi mindeny∈H eset´en, azaz zn=xnn −→w z.˜