Egyv´ altoz´ os Szoboljev-terek

Ebben a szakaszban bevezetj¨uk a Szoboljev-t´er fogalm´at az egyv´altoz´os eset-ben. A Szoboljev-terek els˝osorban t¨obbv´altoz´oban, a parci´alis differenci´ al-egyenletek elm´elet´eben rendk´ıv¨ul fontosak, erre a 10.2.2. szakaszban utalunk majd; a t¨obbdimenzi´os Szoboljev-terek r´eszletes t´argyal´asa a [67] k¨onyvben olvashat´o. A most adott egyv´altoz´os defin´ıci´o speci´alis ´es j´oval konstrukt´ı-vabb, mivel megadhat´o, milyen f¨uggv´enyekb˝ol ´all a t´er, szemben a t¨ obbdimen-zi´os esettel, ahol absztrakt teljess´e t´etelk´ent defini´aljuk a Szoboljev-tereket.

Az egyv´altoz´os eset nagyobb szeml´eletess´ege r´ev´en k¨onnyebben l´athat´o e te-rek jelent˝os´ege, els˝osorban majd a gyenge megold´asra val´o alkalmaz´asukn´al a 10.2.1. szakaszban.

A tov´abbiakban legyenI= [a, b] korl´atos, z´art intervallum.

(a) Els˝orend˝u Szoboljev-terek

20 1. Norm´alt terek

1.28. Defin´ıci´o. Legyen 1≤p≤ ∞adott sz´am. Ekkor

W^1,p(I) :={f :I→Rabszol´ut folytonos f¨uggv´enyek, melyre f⁰∈L^p(I)}. 1.29. Megjegyz´es. (i) Eml´ekeztet¨unk az al´abbi jellemz´esekre (az abszol´ut folytonoss´ag defin´ıci´oja helyett ezeket haszn´aljuk fel), l´asd [38, 18. fejezet]).

Egyf :I→Rf¨uggv´eny pontosan akkor abszol´ut folytonos, ha egyL¹(I)-beli f¨uggv´eny integr´alf¨uggv´enye, ez pedig ekvivalens az al´abbi h´arom tulajdons´ag egy¨uttes´evel :

• f m. m. differenci´alhat´o,

• f⁰∈L¹(I),

• f integr´alf¨uggv´enyef⁰-nek (azaz ´erv´enyes a Newton–Leibniz t´etel).

Itt az f⁰ ∈ L¹(I) kit´etel ´ertelmes, mert el´eg hozz´a, hogy az f⁰ f¨uggv´enyt m. m. ´ertelmezt¨uk.

(ii) A fentiek alapj´an: f ∈W^1,p(I) ⇔ f egyL^p(I)-beli f¨uggv´eny integr´ al-f¨uggv´enye.

T¨obb norm´at is bevezet¨unk aW^1,p(I) t´eren: az alap´ertelmezett norma kfk_W1,p :=

kfk^p_Lp+kf⁰k^p_Lp

^1/p

=Z

Ω

(|f|^p+|f⁰|^p)^1/p

(ha 1≤p <∞), kfk_W1,∞ := max{kfk_L∞, kf⁰k_L∞},

emellett k´et

”seg´ednorma”

kfk₊:=kfk_Lp+kf⁰k_Lp ´es kfk_∗:=kfk_max+kf⁰k_Lp. C´elunk bel´atni, hogyW^1,p(I) teljes, azaz Banach-t´er aW^1,p-norm´aval. Ehhez az 1.10. ´all´ıt´as alapj´an azt fogjuk bel´atni, hogy a fenti norm´ak ekvivalensek

´es a t´er teljes a∗-norm´aval.

1.30. Lemma. A W^1,p(I)t´erenk·k_W1,p∼ k·k₊.

Bizony´ıt´as.MivelR²-ben azk(x1, x2)k_p= (|x1|^p+|x2|^p)^1/pvagyk(x1, x2)k_∞

= max{|x1|, |x2|}norma ekvivalens a k(x1, x₂)k₁=|x1|+|x2|norm´aval, ez

¨or¨okl˝odik arra az esetre, ha argumentumukba az kfk_Lp ´eskf⁰k_Lp sz´amokat

´ırjuk, ami ´eppenkfk_W1,p ´eskfk₊.

1.31. T´etel. AW^1,p(I)t´erenk·k₊∼ k·k_∗.

1.3. Nevezetes Banach-terek, f¨uggv´enyterek 21

Bizony´ıt´as. Ap=∞esetben az ´all´ıt´as trivi´alis, hiszen azf f¨uggv´eny foly-tonoss´aga miatt kfk_L∞ = ess sup|f| = kfk_max, ´ıgy kfk₊ = kfk_∗. Legyen teh´at p <∞.

(i) Az egyik ir´any´u becsl´eshez szint´enf folytonoss´aga miatt kfk_Lp≤Z b

a

max|f|^p1/p

=

(b−a) max|f|^p1/p

=c· kfk_max (aholc= (b−a)^1/p), ´ıgy

kfk₊=kfk_Lp+kf⁰k_Lp≤ckfk_max+kf⁰k_Lp ≤max{1, c} · kfk_∗. (ii) A m´asik ir´any´u becsl´eshez felhaszn´aljuk, hogy ha f ∈ W^1,p(I), akkor teljes¨ul r´a a Newton–Leibniz t´etel, azaz

f(y) =f(x) + Z y

x

f⁰ (∀x, y∈I).

Ebb˝ol, ism´et az 1.26. ´all´ıt´ast is haszn´alva

|f(y)| ≤ |f(x)|+ Z y

x

|f⁰| ≤ |f(x)|+ Z b

a

|f⁰|=|f(x)|+kf⁰k_L1 ≤

≤ |f(x)|+c₁· kf⁰k_Lp

alkalmasc1>0 mellett. Az egyenl˝otlens´eg k´et v´eg´et integr´alvaxszerint (b−a)|f(y)| ≤

Z b a

|f|+c1(b−a)kf⁰k_Lp≤c1· kfk_Lp+c1(b−a)kf⁰k_Lp, majd leosztva az intervallum hossz´aval

|f(y)| ≤ c₁

b−akfk_Lp+c₁kf⁰k_Lp (∀y∈I).

Ebb˝ol,f folytonoss´aga r´ev´en kfk_max= max

y∈I |f(y)| ≤ c

b−akfk_Lp+ckf⁰k_Lp,

´ıgy

kfk_∗≤ c

b−akfk_Lp+ (c+ 1)kf⁰k_Lp≤max{_b−a^c , c+ 1} kfk₊. 1.32. T´etel. W^1,p(I)teljes a k·k_∗ norm´aval.

22 1. Norm´alt terek

Bizony´ıt´as. Legyen (fn) Cauchy-sorozat a k·k_∗ norma szerint, ekkor (fn) Cauchy-sorozat ak·k_maxnorm´aban ´es (f_n⁰) Cauchy-sorozat ak·k_Lpnorm´aban.

Mivel C(I) teljes a k·k_max-norm´aval, ez´ert l´etezik f ∈ C(I), hogy fn → f

Tekints¨uk az n→ ∞ hat´ar´atmenetet. Mivel fn → f egyenletesen, ´ıgy pon-tonk´ent is, azazfn(x)→f(x). Mivelf_n⁰ →g L^p-norm´aban, ´ıgy

1.33. K¨ovetkezm´eny. W^1,p(I)teljes a k·k_W1,p norma szerint is.

1.34. Megjegyz´es. (i) A W^1,p(I) Szoboljev-t´er ´altal´anos´ıtja aC¹(I) teret abban az ´ertelemben, hogy csak m. m. deriv´alhat´os´agot k¨ovetel¨unk. A teljes-s´eget ekkor ´ugy lehetett garant´alni, ha a deriv´altaknak csak az L^p-norm´aj´at (l´enyeg´eben s´ulyozott ´atlag´at) m´erj¨uk.

(ii) Mint kor´abban eml´ıtett¨uk, a (C(I),k·k_Lp) t´er nem teljes, ´es teljess´e t´etele azL^p(I) t´er. Eg´eszen hasonl´oan (C¹(I),k·k_W1,p) sem teljes, ´es teljess´e t´etele aW^1,p(I) t´er.

(b) Magasabbrend˝u Szoboljev-terek

Err˝ol az esetr˝ol csak v´azlatosan ejt¨unk sz´ot, mivel teljesen hasonl´o az els˝ o-rend˝u esethez. Legyen 1≤p≤ ∞,N ∈N⁺ ´es

W^N,p(I) :=n

f ∈C^N−1(I) : f^(N−1) abszol´ut folytonos, ´esf^(N)∈L^p(I)o ,

1.4. Line´aris lek´epez´esek alaptulajdons´agai. AB(X, Y) t´er 23

norm´aja pedig

kfk_WN,p :=X^N

k=0

f^(k)

p L^p

^1/p .

Itt is bevezethetj¨uk a megfelel˝o k.k₊ ´esk.k_∗ norm´akat, ´es seg´ıts´eg¨ukkel iga-zolhat´o:

1.35. T´etel. W^N,p(I),k·k_WN,p

teljes, azaz Banach-t´er.

AW^N,p(I) Szoboljev-t´er ´altal´anos´ıtja aC^N(I) teret ´ugy, hogyf^(N)l´etez´es´et csak m. m. k¨ovetelj¨uk meg. A (C^N(I),k·k_WN,p) t´er nem teljes, ´es teljess´e t´etele a W^N,p(I) t´er.

1.4. Line´ aris lek´ epez´ esek alaptulajdons´ agai. A B(X, Y ) t´ er

Legyenek el˝osz¨orX ´esY vektorterek. A line´aris lek´epez´esek vizsg´alatakor az al´abbi jel¨ol´eseket haszn´aljuk majd: azt ´ırjuk, hogyA:X →Y, haD(A) =X

´es azt, hogyA:X ⊃→Y, haD(A)⊂X alt´er. El˝osz¨or id´ezz¨uk fel a line´aris lek´epez´es fogalm´at.

1.36. Defin´ıci´o. LegyenekX ´esY vektorterek aKsz´amtest felett. Egy A: X⊃→Y lek´epez´esline´aris, ha b´armelyx, z∈D(A) ´esc∈Keset´en

(i) A(x+z) =A(x) +A(z), (ii) A(cx) =cA(x).

Ezzel ekvivalens defin´ıci´o: b´armely x, z∈X´esc, d∈Keset´en A(cx+dz) = cA(x) +dA(z).

A line´aris lek´epez´eseket gyakran line´arisoper´atoroknakh´ıvjuk. HaAline´aris, akkor nem okoz f´elre´ert´est az argumentum z´ar´ojel n´elk¨uli jel¨ol´ese, mivel A val´oban ´ugy viselkedik, mint egy szorz´as: a tov´abbiakban

Ax:=A(x).

Az al´abbi tulajdons´agok trivi´alis k¨ovetkezm´enyek.

1.37. ´All´ıt´as. LegyenA:X ⊃→Y line´aris lek´epez´es. Ekkor

(i)A0 = 0, azaz Aa(zX-beli) nullvektort a(zY-beli) nullvektorba viszi.

(ii)R(A)⊂Y is alt´er.

(iii)Apontosan akkor injekt´ıv, ha csak x= 0eset´en lehetAx= 0.

A line´aris lek´epez´esek gyakori speci´alis t´ıpus´at alkotj´ak a sz´am´ert´ek˝u lek´ epe-z´esek, ezeket k´es˝obb k¨ul¨on is vizsg´aljuk majd.

24 1. Norm´alt terek

1.38. Defin´ıci´o. AzA:X→Kline´aris lek´epez´eseket line´arisfunkcion´ alok-naknevezz¨uk.

A tov´abbiakban legyenek X ´es Y norm´alt terek, ugyanis a folytonoss´aggal foglalkozunk. El˝osz¨or egy fontos fogalom:

1.39. Defin´ıci´o. EgyA:X ⊃→Y line´aris lek´epez´estkorl´atosnaknevez¨unk, ha van olyanM ≥0 ´alland´o, hogy

kAxk ≤Mkxk (∀x∈D(A)).

Az elnevez´es azt t¨ukr¨ozi, hogy a vektorok hossz´anak ny´ujt´asa korl´atos m´ er-t´ek˝u. Ez azt is jelenti, hogy ilyenkor Akorl´atos halmazt korl´atos halmazba visz. MagaA´ert´ekk´eszlete term´eszetesen nem korl´atos, hiszen alt´er.

Megjegyezz¨uk, hogy pontosabb lett volna azkAxk_Y ≤Mkxk_X jel¨ol´es, mivel a szerepl˝o k´et norma ´altal´aban k¨ul¨onb¨oz˝o lehet. A jel¨ol´esek egyszer˝ubb volta

´erdek´eben azonban itt ´es a k´es˝obbiekben sem t¨untetj¨uk fel ezt, ha nem okoz f´elre´ert´est.

A line´aris lek´epez´esek vizsg´alat´aban alapvet˝o lesz az al´abbi t´etel.

1.40. T´etel. Egy line´aris lek´epez´es pontosan akkor folytonos, ha korl´atos.

Bizony´ıt´as. HaAkorl´atos, akkor a linearit´as miatt

kAx−Azk=kA(x−z)k ≤Mkx−zk (∀x, z∈D(A)),

´ıgy A Lipschitz-folytonos, ´es ´ıgy folytonos is. (Ha x_n → x, akkor kAxn − Axk ≤Mkxn−xk →0.)

Ha A nem korl´atos, akkor van olyan (xn) ⊂ D(A)\ {0} sorozat, melyre kAxnk > nkxnk (∀n ∈ N⁺). Emiatt A nem lehet folytonos, mert a zn :=

xn/(nkxnk) vektorokra kz_nk= 1

n, ´ıgy z_n→0, de kAz_nk ≥1, ´ıgy Az_n6→0.

Megjegyezz¨uk azt (ami a fenti bizony´ıt´asb´ol is l´atszik), hogy egy A line´aris lek´epez´es pontosan akkor folytonos az eg´esz t´eren, ha egy pontban folyto-nos, hiszen az {xn → x0 ⇒ Axn → Ax0} krit´eriumot a linearit´assal egy pontb´ol b´arhova eltolhatjuk. Teh´at A vagy mindenhol, vagy sehol sem foly-tonos. Hasonl´oan, a korl´atoss´ag ekvivalens azzal, hogy A az egys´egg¨omb¨ot korl´atos halmazba viszi, ekkor ugyanis beszorz´as alapj´an minden orig´o k¨ oze-p˝u g¨omb¨ot, illetve ezek r´eszhalmazait, azaz minden korl´atos halmazt korl´atos halmazba visz.

1.4. Line´aris lek´epez´esek alaptulajdons´agai. AB(X, Y) t´er 25

A korl´atos line´aris lek´epez´esek eset´en kit¨untetett szerepet j´atszanak azeg´esz t´eren ´ertelmezettlek´epez´esek. Ha ugyanisD(A) s˝ur˝uX-ben, akkor azA foly-tonos line´aris lek´epez´es egy´ertelm˝uen kiterjeszthet˝o a folytonoss´ag ´es lineari-t´as megtart´as´aval az eg´esz t´erre azx7→ lim

n→∞Axnk´eplettel, ahol (xn)⊂D(A) olyan sorozat, melyrexn→x. HaD(A) nem s˝ur˝uX-ben, akkorD(A)-ra ter-jesztj¨uk ki ´es ezt tekinthetj¨uk ´uj alapt´ernek.

1.41. Defin´ıci´o. Jel¨oljeB(X, Y) azA:X →Y korl´atos line´aris lek´epez´esek halmaz´at.

AB(X, Y) halmaz term´eszetes m´odon vektorteret alkot a lek´epez´esek pon-tonk´enti ¨osszead´as´aval ´es sz´ammal val´o szorz´as´aval. Most norm´at is defini´ a-lunk ebben a t´erben.

1.42. Defin´ıci´o. HaA∈B(X, Y), akkor legyen

kAk:= sup{kAxk: x∈X, kxk ≤1}

azA´ugynevezett oper´atornorm´aja, vagy egyszer˝uen csak norm´aja.

Ez val´os sz´am, hiszenAkorl´atos, ´ıgy valamilyenM pozit´ıv sz´amrakAxk ≤M az egys´egg¨ombben. S˝ot, ebb˝ol l´atszik, hogy ha M a korl´atoss´ag defin´ıci´oj´ a-ban szerepl˝o alkalmas konstans, akkor kAk ≤M. Ha viszont a fenti norm´at tetsz˝oleges line´aris lek´epez´esre ´ertelmezn´enk, akkor Apontosan akkor lenne korl´atos, hakAkv´eges. Nyilv´anval´o az al´abbi

1.43. ´All´ıt´as. A fent defini´alt oper´atornorma val´oban norma.

Ha teh´at X ´esY norm´alt terek, akkorB(X, Y) is norm´alt t´er az oper´ ator-norm´aval.

A norma al´abbi ´atfogalmaz´asai a defin´ıci´ob´ol k¨ovetkeznek:

1.44. ´All´ıt´as. HaA∈B(X, Y), akkor kAk= sup

kAxk

kxk :x∈X, x6= 0

= sup{kAxk:x∈X,kxk= 1}

= min{M ≥0 :kAxk ≤Mkxk ∀x∈X}.

Az els˝o egyenl˝os´eg ´ugy is fogalmazhat´o, hogy kAka vektorok megny´ujt´as´ a-nak fels˝o hat´ara (ill. lehets´eges legnagyobb m´ert´eke, amikor sup helyett max

´ırhat´o).

26 1. Norm´alt terek

1.45. K¨ovetkezm´eny. (i) B´armelyA∈B(X, Y)´esx∈Xeset´en kAxk ≤ kAkkxk.

(ii) B´armely C ∈ B(X, Y)´es A ∈B(Y, Z) eset´en kACk ≤ kAk kCk (a norma szubmultiplikat´ıv).

1.46. T´etel. LegyenXnorm´alt t´er,Y Banach-t´er. EkkorB(X, Y)is Banach-t´er.

Bizony´ıt´as. Legyen (An) Cauchy-sorozat B(X, Y)-ban. R¨ogz´ıtett x ∈ X eset´en az

kAnx−A_mxk ≤ kAn−A_mk kxk

egyenl˝otlens´eg alapj´an (Anx) Cauchy-sorozat Y-ban. Mivel Y teljes, ez´ert (Anx) konvergens is. LegyenAaz az X-b˝olY-ba k´epez˝o oper´ator, amelyre

Ax:= lim

n→∞Anx.

Ekkor A line´aris a limeszk´epz´es linearit´asa miatt. Igazoljuk, hogy korl´atos is, azaz A ∈ B(X, Y). Mivel (An) Cauchy-sorozat ´es

kAnk − kAmk ≤ kAn−A_mk, ´ıgy (kAnk) is Cauchy-sorozat R-ben, ´ıgy konvergens is, de el´eg annyi, hogy korl´atos. ´Igy kAnxk ≤Mkxk teljes¨ul minden x∈ X ´esn ∈N eset´en ´es mivelAnx→Ax, ez´ertkAxk ≤Mkxk, azaz val´obanA∈B(X, Y).

M´eg azt kell bel´atnunk, hogy az (An) sorozat aB(X, Y) t´er norm´aj´aban, az-az oper´atornorm´aban konverg´al az A oper´atorhoz. Mivel Cauchy-sorozatr´ol van sz´o, ez´ert minden ε >0 sz´amhoz l´etezikN ∈N, hogy minden n, m≥N eset´enkAnx−Amxk ≤εkxk (∀x∈X). Legyenx´esnr¨ogz´ıtett, ´es tartsunk m-mel a v´egtelenbe, ekkork(An−A)xk ≤εkxk(∀n≥N), de ez mindenx-re elmondhat´o ´esN nem f¨ugg x-t˝ol. Azt kaptuk, hogy mindenε >0 sz´amhoz l´etezik N ∈ N, hogy minden n ≥ N eset´en kAn−Ak ≤ ε, teh´at A_n → A

oper´atornorm´aban.

1.47. K¨ovetkezm´eny. Ha X norm´alt t´er ´esK az alaptest, akkorB(X,K) Banach-t´er.

P´eld´ak folytonos, ill. nem folytonos line´aris lek´epez´esre. Az al´ ab-bi p´eld´aknak az a jelent˝os´ege, hogy ´altal´anos elvet t¨ukr¨oznek: az integr´al´as folytonos, m´ıg a deriv´al´as nem folytonos, ha adott t´erb˝ol ¨onmag´aba k´epez˝o oper´atork´ent vizsg´aljuk. ´Altal´aban is az integr´al´ast tartalmaz´o ´un. integr´ al-oper´atorok folytonosak, m´ıg a deriv´al´ast tartalmaz´o ´un. differenci´aloper´ ato-rok nem folytonosak adott t´erb˝ol ¨onmag´aba k´epez˝o oper´atork´ent.

Tekints¨uk az X := C[a, b] teret a maximum-norm´aval, ´es benne az al´abbi oper´atorokat:

1.4. Line´aris lek´epez´esek alaptulajdons´agai. AB(X, Y) t´er 27

1.LegyenD(A) =C[a, b] =X, ´esf ∈C[a, b] eset´en (Af)(x) :=

Z x a

f(t)dt.

EkkorA line´aris, ´es kAfk= max

x∈[a,b]

Z x a

f(t)dt ≤

Z b a

|f(t)|dt≤(b−a) max

t∈[a,b]|f(t)|= (b−a)kfk,

´ıgyAkorl´atos.

2.LegyenD(A) :=C¹[a, b]⊂X (azaz tov´abbra is a maximum-norm´aval), ´es f ∈D(A) eset´en

Af:=f⁰.

Ekkor azfn(x) :=e^nx sorozatraAfn =f_n⁰ =nfn, ´ıgy kAfnk

kfnk =n→ ∞, teh´at Anem korl´atos.

Altal´´ anosabb integr´aloper´atorokra a 6.2., differenci´aloper´atorokra t¨obbek k¨ o-z¨ott a 8.1. szakaszban l´atunk majd tov´abbi p´eld´akat, ezek a k¨ozel´ıt˝o m´ od-szerek vizsg´alat´anak is fontos t´argyai lesznek. Megeml´ıtj¨uk azt is, hogy ha az alapt´er ´es k´ept´er k¨ul¨onb¨oz˝o (a halmaz ugyanaz is lehet, de a norma m´as), akkor nem mondhat´o ilyen ´altal´anos elv arra, hogy mely oper´atorok korl´ ato-sak vagy nem azok. K´et sz´els˝os´eges p´elda: ha r < s´es az X =Y =L^s(Ω) alaphalmazonkfk_X:=kfk_Lr ´eskfk_Y :=kfk_Ls, akkor azAf :=f identit´ as-oper´ator nem korl´atos, mert ahhoz azkfk_Ls ≤Mkfk_Lr becsl´es kellene, ami az 1.27. megjegyz´es szerint nem igaz. M´asr´eszt tetsz˝oleges oper´ator korl´ atos-s´a tehet˝o megfelel˝o norm´aval: ha A line´aris lek´epez´es (X,k·k_X) ´es (Y,k·k_Y) norm´alt terek k¨ozt, akkor az kxk∗ := kxkX +kAxkY ´uj norm´at bevezetve az X t´erben, nyilv´anval´oan kAxkY ≤ kxk∗ (∀x ∈ X), azaz A korl´atos az (X,k·k_∗) ´es (Y,k·k_Y) terek k¨ozt.

2. fejezet

In document Numerikus funkcionálanalízis (Pldal 27-37)