oper´ atorok norm´ alt t´ erben
4.1. A Banach–Steinhaus-t´ etelk¨ or
4.1.3. A Banach–Steinhaus-t´ etel alkalmaz´ asai
1
rAn (x0+rz)−x0 ≤ 1
r kAn(x0+rz)k+kAnx0k
≤2 rj0, hiszenx0´esx0+rz∈B(x0, r)⊂Kj0, ´ıgy mindenAn-k´ep¨uk norm´aja legfel-jebbj0. EszerintkAnk ≤ 2jr0, teh´at (kAnk) korl´atos.
4.1.3. A Banach–Steinhaus-t´ etel alkalmaz´ asai
4.5. K¨ovetkezm´eny. Banach-t´eren ´ertelmezett folytonos line´aris oper´ ator-sorozat pontonk´enti limesze is folytonos line´aris. Azaz, ha X Banach-t´er,Y norm´alt t´er ´es (An) ⊂B(X, Y), melyre Anx→ Ax minden x∈ X eset´en, akkorA∈B(X, Y).
Bizony´ıt´as. A a limeszk´epz´es miatt line´aris. Mivel (An) pontonk´ent (kon-vergens ´es ´ıgy) korl´atos is, a 4.2. t´etel szerint egyenletesen is korl´atos. Ebb˝ol
kAxk= lim
n→∞kAnxk ≤ sup
n
kAnk
kxk ≤Kkxk (∀x∈X),
vagyisAfolytonos is.
Gyakran a 4.2. t´etelt egyenletes korl´atoss´ag t´etel´enek nevezik, olyankor az al´abbi k¨ovetkezm´eny´et szokt´ak Banach–Steinhaus-t´etelnek h´ıvni.
4.6. T´etel. LegyenX Banach-t´er,Y norm´alt t´er, valamintAn,A∈B(X, Y) (n∈N+). Ekkor
An→A pontonk´entX-en⇔
a)van olyan M ⊂X tot´alis rendszer, hogy Anx→Ax(∀x∈M);
b) (An) egyenletesen korl´atos.
Bizony´ıt´as.Ha (An) pontonk´ent konvergens, akkor nyilv´an pontonk´ent kor-l´atos, ´ıgy az 4.2. t´etel szerint egyenletesen is korl´atos, a k´ıv´ant tulajdons´ag´u tot´alis rendszernek pedig azM :=X v´alaszt´as j´o lesz.
A ford´ıtott ir´anyhoz el˝osz¨or vegy¨uk ´eszre, hogy ha An →A M-en, akkor a linearit´as miatt az [M] burkon is ´erv´enyes a konvergencia. Legyen x ∈ X
56 4. Folytonos line´aris oper´atorok norm´alt t´erben
tetsz˝oleges elem. Mivel [M] =X, ez´ert minden ε >0 eset´en l´eteziky∈[M], hogy
kx−yk ≤ ε 2 (K+kAk),
aholK:= supnkAnk<∞az egyenletes korl´atoss´ag miatt. Ekkor kAnx−Axk ≤ kAnx−Anyk+kAny−Ayk+kAy−Axk ≤
≤ kAny−Ayk+ (kAnk+kAk)kx−yk,
ahol alkalmas k¨usz¨obindex ut´an az els˝o tag ε/2-vel becs¨ulhet˝o (hiszen y ∈ [M]), ´es ilyenkor
kAnx−Axk ≤ ε
2 + (kAnk+kAk) ε
2 (K+kAk) ≤ ε 2+ε
2 =ε.
P´eld´ak.
1. A Fej´er-k¨ozepek egyenletes konvergenci´aja.A 4.6. t´etel alapj´an iga-zolhat´o a 2.39. t´etel. Legyen teh´atf ∈C[0,2π], melyref(0) =f(2π), ´es
σn(f) := 1 n+ 1
s0(f) +s1(f) +· · ·+sn(f)
(n∈N) a Fej´er-k¨ozepek. Megmutatjuk, hogyσn(f)→f egyenletesen.
Legyen
X :={f ∈C[0,2π] : f(0) =f(2π)}
a maximum-norm´aval. Ez C[0,2π] z´art altere, ´ıgy maga is Banach-t´er. Te-kints¨uk az
An:X→X, Anf :=σn(f) (n∈N)
oper´atorsorozatot. A k´ıv´ant ´all´ıt´as ´epp azt jelenti, hogyAn →Ipontonk´ent X-en, ahol Iaz identit´as. Ehhez a 4.6. t´etel k´et felt´etel´et kell ellen˝orizn¨unk.
(a) Legyen M a trigonometrikus polinomok halmaza. Az erre vonatkoz´o Weierstrass-f´ele approxim´aci´os t´etel miatt b´armelyf ∈X egyenletesen k¨ oze-l´ıthet˝o M-beli f¨uggv´enyekkel, ´ıgyM s˝ur˝u, azaz tot´alis rendszer is. M´asr´eszt egyptrigonometrikus polinom Fourier-szelete ¨onmaga, ha a szelet foka leg-al´abb p foka, ´ıgy sn(p)→ p egyenletesen b´armely p∈ M eset´en. Ekkor az sn(p) szeletek sz´amtanik¨oz´ep-sorozata, ami ´eppen σn(p), szint´en p-hez tart egyenletesen, azazX norm´aj´aban. Teh´atAn→I M-en.
(b) A Fej´er-k¨ozepek z´art alakra hozhat´ok alkalmas trigonometrikus ¨ osszeg-z´esekkel, l´asd pl. [70]: hax∈[0,2π], akkor
σn(f)(x) = 2 (n+ 1)π
Z π/2 0
f(x+ 2t) +f(x−2t) 2
sin(n+ 1)t sint
2 dt .
4.1. A Banach–Steinhaus-t´etelk¨or 57
felhaszn´alva, hogy az 1 konstansf¨uggv´eny 0-dfok´u trigonometrikus polinom,
´ıgy (mint l´attuk) minden sn ´es ´ıgy σn is helybenhagyja, vagyis σn(1) = 1.
Ebb˝olkAnk ≤1 mindenn-re, azaz (An) egyenletesen korl´atos.
2. Kvadrat´ur´ak konvergenci´aja. Legyen [a, b] adott intervallum. Azf ∈ C[a, b] f¨uggv´enyek numerikus integr´al´as´ara ´altal´aban az
I(f) := szok´as defini´alni (alkalmas interpol´aci´os m´odszerek alapj´an), hogy azn-edik k´eplet pontos legyen a legfeljebb n-edfok´u polinomokra, azaz Qn(p) =I(p) (∀p∈Pn,∀n∈N). Ekkor a 4.6. t´etel alapj´an k¨onnyen igazolhat´o, hogy
Qn(f)→I(f) ∀f ∈C[a, b], ha n→ ∞.
Legyen ugyanisAnf :=Qn(f) (n∈N) ´esAf:=I(f). EkkorAn ´esA:X → Rline´aris funkcion´alok azX :=C[a, b] t´eren (a szok´asos maximum-norm´aval ell´atva), melyek korl´atosak is, ugyanis
|Anf| ≤
(∀f ∈C[a, b]). HaM a polinomok halmaza, akkor az erre vonatkoz´o Weier-strass-f´ele approxim´aci´os t´etel miattM s˝ur˝u, azaz tot´alis rendszer isX-ben,
´es felt´etel¨unk szerintAn → A az M halmazon, ´ıgy teljes¨ul a 4.6. t´etel (a) felt´etele. Emellett a fenti becsl´esb˝ol
kAnk ≤
n
X
i=1
αi=Qn(1) = 1 (∀n∈N),
mivelQn pontos ap≡1 nulladfok´u polinomon, ´ıgy (An) egyenletesen korl´ a-tos.
( ´Altal´anosabban az is megengedhet˝o, hogy az αi s´ulyok k¨ozt negat´ıv ´ert´ e-kek is szerepeljenek, ekkor viszont (An) egyenletes korl´atoss´ag´anak igazol´ a-s´ahoz k¨ul¨on fel kell tenni, hogyPn
i=1|αi|n-t˝ol f¨uggetlen korl´at alatt marad.
A Qn(p) = I(p), ∀p ∈ Pn, ∀n ∈ N felt´etel is gyeng´ıthet˝o, elegend˝o, ha limn→∞Qn(p) =I(p) b´armelyppolinom eset´en.)
58 4. Folytonos line´aris oper´atorok norm´alt t´erben
4.2. A Banach-f´ ele ny´ıltlek´ epez´ es-t´ etelk¨ or
4.2.1. A ny´ılt lek´ epez´ es t´ etele ´ es a homeomorfizmus-t´ etel
E k´et t´etel k¨oz¨ul k¨ul¨on¨osen a m´asodik nevezetes, ´es sok hely¨utt alkalmazhat´o:
a Banach-f´ele homeomorfizmus-t´etel azt mondja ki, hogy Banach-terek k¨ozti folytonos line´aris bijekci´o inverze is folytonos. Ez ´ugy is fogalmazhat´o, hogy Banach-terek k¨ozti folytonos izomorfizmus homeomorfizmus is (ut´obbi olyan lek´epez´est jelent, amely maga is ´es inverze is folytonos); innen ered a t´etel neve. A homeomorfizmus-t´etel k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye lesz a ny´ılt lek´epez´es t´etel´enek, melyhez viszont t¨obb technikai eredm´enyen kereszt¨ul juthatunk el.
Ebben a fejezetbenB(a, R) jel¨oli azak¨ozep˝u ´esRsugar´u ny´ılt g¨omb¨ot.
4.7. Defin´ıci´o. LegyenekX, Y norm´alt terek. Azt mondjuk, hogyA:X → Y ny´ılt lek´epez´es, ha b´armely ny´ılt halmazA-k´epe ny´ılt.
4.8. Megjegyz´es. K¨onnyen l´athat´o, hogy egy lek´epez´es pontosan akkor ny´ılt, ha b´armely ny´ılt g¨ombA-k´epe tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot a k¨oz´eppont k´epe k¨ o-r¨ul, azaz ha b´armelyB(x, R)⊂X ny´ılt g¨ombh¨oz tal´alhat´o olyanB(Ax, r)⊂ Y ny´ılt g¨omb, melyreA(B(x, R))⊃B(Ax, r).
Val´oban: egyr´eszt, ha A ny´ılt lek´epez´es, akkor a B(x, R) ny´ılt halmaz k´epe is ny´ılt, ´ıgy tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot az Ax pont k¨or¨ul. Megford´ıtva, legyen G⊂X ny´ılt halmaz. Hax∈ G, akkor G tartalmaz valamelyB(x, R) ny´ılt g¨omb¨ot, ´ıgyA(G) tartalmazza azA(B(x, R)) halmazt, ut´obbi pedig a feltev´es miatt tartalmaz egyB(Ax, r) ny´ılt g¨omb¨ot. ´IgyA(G) tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot mindenAxeleme k¨or¨ul, azazA(G) ny´ılt halmaz.
4.9. Lemma. LegyenX Banach-t´er, Y norm´alt t´er, A∈B(X, Y). Ha van olyany0∈Y ´esk, r >0, hogyB(y0, r)⊂A(B(0, k)), akkor megadhat´o olyan m > 0, hogy minden y ∈ Y eset´en van olyan x ∈ X, melyre Ax = y ´es kxk ≤mkyk.
Bizony´ıt´as. HaB(y0, r)⊂A(B(0, k)), akkor az is igaz, hogy B(−y0, r) ⊂ A(B(0, k)). Ha ugyanis z ∈ B(−y0, r), akkor −z ∈ B(y0, r) ⊂ A(B(0, k)), vagyis l´etezik (xn)⊂B(0, k) alkalmas sorozat, hogyAxn → −z. Ekkor
z=− lim
n→∞Axn = lim
n→∞A(−xn),
´es mivel−xn ∈B(0, k), ez´ert z∈A(B(0, k)). Most ezekb˝ol azt is bel´atjuk, hogy
B(0, r)⊂A(B(0, k))
szint´en teljes¨ul. Legyen ugyanis z ∈B(0, r), ekkor nyilv´anz+y ∈ B(y0, r)
´esz−y0∈B(−y0, r). Az eddigiek szerintz±y0∈A(B(0, k)), ´ıgy alkalmas
4.2. A Banach-f´ele ny´ıltlek´epez´es-t´etelk¨or 59
Ekkor azt is bel´athatjuk, hogy minden% >0 eset´en
B(0, %)⊂A(B(0, t%)). (4.2)
Ha ugyanis z ∈ B(0, %), akkor zr/% ∈ B(0, r), ami az el˝oz˝oek szerint azt jelenti, hogyzr/%∈A(B(0, k)), vagyisz∈A(B(0, k%/r)) =A(B(0, t%)).
Most megmutatjuk azt, hogy a fentiekhez hasonl´o tartalmaz´as lez´art n´elk¨ul is adhat´o, ez a bizony´ıt´as kulcsl´ep´ese: minden% >0 eset´en
B(0, %)⊂A(B(0,2t%)). (4.3) Ehhez fogjuk kihaszn´alni, hogy X Banach-t´er. Legyen teh´at y ∈ B(0, %), megmutatjuk, hogy tal´alhat´o hozz´a olyan x ∈ B(0,2t%), hogy y = Ax. A
Az elj´ar´ast folytatva egy olyan (yn) sorozatot kapunk, hogy minden n ∈N eset´en Cauchy-sor azX Banach-t´erben. Legyenm≥n, ekkor
60 4. Folytonos line´aris oper´atorok norm´alt t´erben
vagyis teljes¨ul a Cauchy-krit´erium a P(xn) sorra. Legyen a sor ¨osszegex.
Ekkor
Teh´at minden y ∈ B(0, %) vektorhoz tal´altunk olyanx∈ B(0,2t%) vektort, hogyAx=y, amivel (4.3)-t bel´attuk.
Legyen v´eg¨ul m := 4t. Tetsz˝oleges y ∈ Y eset´en legyen ˜y = 2kyky . Ekkor valamely orig´o k¨ozep˝u ny´ılt g¨ombA-k´ep´enek lez´artja tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot, akkor b´armely ny´ılt g¨ombA-k´epe maga is tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot a k¨oz´eppont k´epe k¨or¨ul.
Bizony´ıt´as. A feltev´es ´epp azt jelenti, hogy alkalmazhat´o az el˝oz˝o lemma, ez´ert megadhat´o olyanm >0, hogy minden y∈Y eset´en van olyan x∈X, melyreAx=y´eskxk ≤mkyk. Legyen teh´atB(x, R)⊂X adott ny´ılt g¨omb, tal´alnunk kell hozz´a olyan B(Ax, r)⊂Y ny´ılt g¨omb¨ot, melyre
A(B(x, R))⊃B(Ax, r).
Megmutatjuk, hogyr:=mR eset´en ez fenn´all. Legyeny:=Ax´es ˜y∈B(y, r), alkalmazzuk az el˝oz˝o lemma eredm´eny´et az ˜y−yvektorra! Eszerint van olyan
˜
4.11. T´etel (Banach-f´ele ny´ıltlek´epez´es-t´etel). LegyenekX, Y Banach-terek,A∈B(X, Y) szuperjekt´ıv. EkkorA ny´ılt lek´epez´es, azaz b´armely ny´ılt halmazA-k´epe ny´ılt.
4.2. A Banach-f´ele ny´ıltlek´epez´es-t´etelk¨or 61
Bizony´ıt´as.MivelAszuperjekt´ıv, tekinthetj¨uk a k´ept´erY =∪∞n=1A(B(0, n)) felbont´as´at. A 4.4. t´etel miattY m´asodik kateg´ori´aj´u, ´ıgy az uni´o valamelyik tagja tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot. A 4.10. lemma szerint ekkor b´armely ny´ılt g¨omb A-k´epe maga is tartalmaz ny´ılt g¨omb¨ot a k¨oz´eppont k´epe k¨or¨ul. Ez pedig, mint a 4.8. megjegyz´esben l´attuk, ´epp azt jelenti, hogyA ny´ılt lek´epez´es.
4.12. Megjegyz´es. A ny´ıltlek´epez´es-t´etelhez el´eg feltenni, hogyR(A) m´ a-sodik kateg´ori´aj´u, hiszen a bizony´ıt´as ugyan´ugy halad; ekkor menet k¨ozben a felhaszn´alt 4.9. lemma alapj´an kij¨on, hogyA sz¨uks´egk´eppen szuperjekt´ıv is.
Megjegyezz¨uk azt is, hogy a szuperjektivit´asb´ol, szint´en a 4.11. t´etelhez fel-haszn´alt 4.9. lemma alapj´an, k¨ovetkezik e lemma ´all´ıt´asa:
4.13. K¨ovetkezm´eny. Legyenek X, Y Banach-terek, A ∈B(X, Y) szuper-jekt´ıv. Ekkor megadhat´o olyan m >0, hogy minden y ∈Y eset´en van olyan x∈X, melyre Ax=y ´eskxk ≤mkyk.
4.14. T´etel (Banach-f´ele homeomorfizmus-t´etel). Legyenek X, Y Ba-nach-terek,A∈B(X, Y)bijekci´o. EkkorA−1∈B(Y, X).
Bizony´ıt´as. MivelAszuperjekt´ıv is, a ny´ılt lek´epez´es-t´etel szerint ny´ılt hal-mazA-k´epe ny´ılt. Ez ugyanaz, mint hogy ny´ılt halmazA−1-˝osk´epe ny´ılt, azaz
A−1 folytonos.
4.15. Megjegyz´es. A homeomorfizmus-t´etel a 4.13. k¨ovetkezm´enyb˝ol is ki-j¨on: az ott szerepl˝oxazAbijekci´o volta miatt egy´ertelm˝u, ´espedigx=A−1y, ebb˝ol pedig
A−1y
≤mkyk.
A Banach-f´ele homeomorfizmus-t´etel fontos alkalmaz´asa oper´ atoregyenletek-kel kapcsolatos. Tekints¨unk egy
Ax=y (4.5)
oper´atoregyenletet.
4.16. Defin´ıci´o. LegyenekX, Y norm´alt terek ´esA:X ⊃→Y line´aris ope-r´ator. A (4.5) egyenletkorrekt kit˝uz´es˝u, ha
(i) mindeny∈Y eset´en egy´ertelm˝uen l´etezikxmegold´as, ´es (ii)xfolytonosan f¨ugg y-t´ol.
Azaz, a (4.5) egyenlet akkor korrekt kit˝uz´es˝u, ha (i)A:D(A)→Y bijekci´o,
´es (ii)A−1folytonos. MivelA−1line´aris, a (ii) pont ´ugy is ´ırhat´o, hogy l´etezik olyany-t´ol f¨uggetlenM >0 konstans, melyrekxk ≤Mkyk.
Ha mostX, Y Banach-terek ´esAfolytonos, akkor a 4.14. t´etel szerint a (ii) tulajdons´ag k¨ovetkezik (i)-b˝ol:
62 4. Folytonos line´aris oper´atorok norm´alt t´erben
4.17. K¨ovetkezm´eny. Ha X, Y Banach-terek ´es A ∈ B(X, Y), akkor a 4.16. defin´ıci´o (ii) pontja k¨ovetkezik (i)-b˝ol, ´ıgy elhagyhat´o.
A homeomorfizmus-t´etel tov´abbi alkalmaz´asa az 1.10. ´all´ıt´asnak (bizonyos
´ertelemben) megford´ıt´asa.
4.18. T´etel. Legyen X olyan norm´alt t´er, amely teljes az k·k1 ´es k·k2 nor-m´akra vonatkoz´oan. Tegy¨uk fel, hogy van olyan M > 0 konstans, amelyre kxk1≤Mkxk2 mindenx∈X eset´en. Ekkor a k´et norma ekvivalens.
Bizony´ıt´as. A felt´etel szerint az (X,k·k2) ´es (X,k·k1) Banach-terek k¨oz¨ ot-ti Ix := x identikus lek´epez´es folytonos line´aris ´es bijekt´ıv. A 4.14. k¨ ovet-kezm´eny szerint az inverz is folytonos line´aris, azaz l´etezik c2 > 0, hogy I−1x
2=kxk2≤c2kxk1.