Hilbert-terek
2.1. Hilbert-terek ´ ertelmez´ ese
A k¨ovetkez˝okben a norm´alt tereken bel¨ul egy speci´alisabb t´erfogalommal fog-lalkozunk, melyekben skal´arszorz´ast ´ertelmez¨unk a t´er elemei k¨oz¨ott. Ez´altal e terek jobban hasonl´ıtanak a v´eges dimenzi´os euklideszi terekhez, mint ´ alta-l´aban egy norm´alt t´er; ´ertelmezhet˝o lesz benn¨uk a mer˝olegess´eg, valamint a vektorok ortonorm´alt b´azissal val´o el˝o´all´ıt´as´anak megfelel˝oje sor alakj´aban.
A skal´arszorz´assal ell´atott terek norm´alt terek is lesznek (az euklideszi hossz megfelel˝ojek´ent term´eszetesen ´ertelmezett norm´aval), ´es az erre n´ezve teljes tereket nevezikHilbert-t´ernek.
A Hilbert-tereket alap´ertelmez´esben a komplex sz´amtest f¨ol¨ott szok´as tekin-teni. Itt is ´ıgy tesz¨unk, ´es csak megeml´ıtj¨uk a val´os anal´ogi´at; a k¨onyv k´es˝obbi r´eszeiben viszont t¨obb szerep jut majd a val´os Hilbert-tereknek is.
2.1. Defin´ıci´o. LegyenH vektort´erCfelett. Egyh·,·i:H×H →Clek´ epe-z´est skal´arszorzatnaknevez¨unk, ha b´armelyx, y∈H eset´en
(i) azx7→ hx, yilek´epez´es line´aris funkcion´al, (ii) hy, xi=hx, yi,
(iii) hx, xi>0, kiv´eve hax= 0.
2.2. Megjegyz´es. (a) Az (i) ´es (ii) tulajdons´agokb´ol ad´odik, hogy minden x∈H eset´en azy7→ hx, yihozz´arendel´essel ´ertelmezett funkcion´al konjug´ al-tan line´aris, azaz
hx, c1y1+c2y2i=c1hx, y1i+c2hx, y2i (∀x, y1, y2∈H, c1, c2∈C).
29
30 2. Hilbert-terek
A skal´arszorz´as teh´at egy pozit´ıv definit, konjug´altan biline´aris lek´epez´es.
(Ut´obbit n´eha szeszkviline´arisnak is mondj´ak.)
(b) Mivel egy line´aris funkcion´al 0-hoz 0-t rendel, ´ıgy az (i) tulajdons´ag miatt h0, yi= 0 (∀y∈H). Speci´alisanh0,0i= 0, ez´ert kellett kiz´arni azx= 0 esetet a (iii) pontban.
(c) A fenti megford´ıt´asa is ´erv´enyes, azaz ha egyx elemnek mindeny ∈ H vektorral vett skal´arszorzata 0, akkorx= 0. Ekkor ugyanis ¨onmag´aval vett skal´arszorzata is 0, ´ıgy a (iii) tulajdons´ag miattx= 0.
Ha H vektort´er C felett egy h·,·i skal´arszorzattal, akkor a (H,h·,·i) p´art skal´arszorzatt´ernek h´ıvjuk. HaH az R val´os test felett vektort´er, akkor va-l´os skal´arszorzatt´err˝ol besz´el¨unk, ekkor a skal´arszorz´as defin´ıci´oj´aban ´ erte-lemszer˝uen a konjug´al´as elhagyhat´o. Val´os esetben teh´at a skal´arszorzat egy pozit´ıv definit biline´aris funkcion´al H×H-n. A skal´arszorzattereket szok´as pre-Hilbert-t´ernek vagy (els˝osorban a val´os esetben) euklideszi t´ernek is ne-vezni.
Norma ´ertelmez´eseskal´arszorzatt´erben: hax∈H, akkor legyen kxk:=p
hx, xi,
ennek neve a skal´arszorzat ´altal induk´alt norma. Ez az euklideszi hossz meg-felel˝oje. A normatulajdons´agok igazol´as´an´al csak a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg nem lesz trivi´alis; ennek bizony´ıt´as´ahoz olyan seg´ed´all´ıt´asra van sz¨uks´eg¨unk, amely ¨onmag´aban is a Hilbert-terek egyik technikai alapeszk¨oze.
2.3. ´All´ıt´as (Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenl˝otlens´eg). Min-denx, y∈H eset´en
|hx, yi| ≤ kxk kyk. Bizony´ıt´as. Legyenλ∈Ctetsz˝oleges. Ekkor
0≤ kx−λyk2=hx−λy, x−λyi=kxk2−λhx, yi −λhy, xi+|λ|2kyk2. Hay= 0, akkor trivi´alisan igaz az egyenl˝otlens´eg, ez´ert feltehet˝o, hogyy6= 0.
Ekkor megv´alaszthatjukλ-t ´ugy, hogy hx, yi=λkyk2 legyen. Ekkorhy, xi= λkyk2´esλλ=|λ|2, ´ıgy, folytatva az egyenl˝otlens´eget,
0≤ kxk2−|λ|2kyk2−|λ|2kyk2+|λ|2kyk2=kxk2−|λ|2kyk2=kxk2−|hx, yi|2 kyk2 . Ezt ´atrendezve a k´ıv´ant egyenl˝otlens´eghez jutunk.
A”Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij” helyett majd gyakran a CSB r¨ovid´ıt´est haszn´aljuk. Itt ´erdemel eml´ıt´est a CSB-egyenl˝otlens´eg els˝o k´et egyszer˝u al-kalmaz´asa:
2.1. Hilbert-terek ´ertelmez´ese 31
2.4. ´All´ıt´as. (i) B´armelyx∈H eset´en kxk= sup{ | hx, yi |: y∈H, kyk= 1}.
(ii) A skal´arszorz´as mindk´et v´altoz´oj´aban folytonos, azaz ha xn → x, akkor b´armelyy∈H eset´enhxn, yi → hx, yi´es hy, xni → hy, xi.
Bizony´ıt´as. (i) A CSB-egyenl˝otlens´eg szerinthx, yi ≤ kxk (∀y∈H, kyk = 1), ´esy:=kxkx eset´en egyenl˝os´eg ´all fenn.
(ii) Ha xn → x ´es y ∈ H, akkor |hxn, yi − hx, yi| = |hxn −x, yi| ≤ kxn − xkkyk →0. Ugyanez igaz a ford´ıtott sorrendre is.
2.5. Megjegyz´es. A (ii) pont szerint teh´at limhxn, yi = hlimxn, yi, azaz a limeszk´epz´es ´es skal´arszorz´as felcser´elhet˝o. Ugyanezt egy konvergens sor r´eszlet¨osszegeire alkalmazva ad´odik, hogy
∞
P
n=1
hxn, yi=h
∞
P
n=1
xn, yi.
T´erj¨unk most vissza az induk´alt norm´ahoz:
2.6. ´All´ıt´as. A kxk:=p
hx, xik´eplet val´oban norm´at defini´al H-n.
Bizony´ıt´as.A (iii) skal´arszorzat-axi´oma miatt b´armelyx∈H eset´enkxk ≥ 0, ´es csakx= 0 eset´en lehet 0. A konstansok kiemel´es´evelkcxk=p
hcx, cxi= pcchx, xi=|c|kxk b´armely c∈C, x∈H eset´en. A CSB-egyenl˝otlens´egb˝ol pedig k¨onnyen ellen˝orizhet˝o a h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg:
kx+yk2=hx+y, x+yi=kxk2+hx, yi+hy, xi+kyk2
=kxk2+kyk2+ 2Re hx, yi
≤ kxk2+kyk2+ 2|hx, yi| ≤ kxk2+kyk2+ 2kxk kyk= (kxk+kyk)2. 2.7. Defin´ıci´o. A (H,h·,·i) skal´arszorzatteretHilbert-t´erneknevezz¨uk, haH az induk´alt norm´aval teljes.
P´eld´ak Hilbert-t´erre.
• Rn mintRfeletti vektort´er val´os Hilbert-t´er a szok´asos hx, yi
Rn:=
n
X
i=1
xiyi
skal´arszorz´assal. Az induk´alt norma ui. ´eppen az euklideszi t´avols´ag lesz, ezzel a t´er val´oban teljes. (A val´os Hilbert-t´er fogalma ennek ´ alta-l´anos´ıt´asa.)
32 2. Hilbert-terek
• Cn mintCfeletti vektort´er (komplex) Hilbert-t´er a hz, wiCn:=
n
X
i=1
ziwi
skal´arszorz´assal. (Ennek teljess´ege ekvivalensR2n teljess´eg´evel.)
• `2 = n
, azaz a n´egyzetesen ¨osszegezhet˝o komplex sorozatok tere Hilbert-t´er az
h(xn),(yn)i`
skal´arszorz´assal. A teljess´eg az 1.3.2. szakaszb´ol k¨ovetkezik.
• L2(Ω) = {f : Ω → CLebesgue-m´erhet˝o: R
Ω
|f|2 dλ < ∞}, azaz egy Ω ⊂ Rn tartom´anyon n´egyzetesen Lebesgue-integr´alhat´o f¨uggv´enyek tere Hilbert-t´er az
hf, giL2:=
Z
Ω
f g dλ
skal´arszorz´assal. A teljess´eg az 1.3.1. szakaszb´ol k¨ovetkezik. Megeml´ıt-j¨uk, hogy a skal´arszorz´as (iii) axi´om´aja megfelel az induk´alt norm´ara vonatkoz´o els˝o axi´om´anak, ´es most ez (mint az 1.3.1. szakaszban l´attuk) kihaszn´alja azL2(Ω)-beli egyenl˝os´eg majdnem minden¨utt val´o ´ ertelme-z´es´et. Azaz, ha f ∈ L2(Ω) ´es hf, fiL2 = 0, akkor f = 0 majdnem minden¨utt.
• A 2-es index˝u Szoboljev-terek: W1,2(I) ={f : I → Cabszol´ut foly-tonos, f0 ∈L2(I)}. A W1,2(I) jel¨ol´es helyett gyakran a H1(I) jel¨ol´es haszn´alatos, itt ugyanis csak a deriv´al´as rendje sz´am´ıt, a kitev˝o viszont csak p = 2 lehet, ez´ert nem jel¨olj¨uk. Ekkor teh´at H1(I) := W1,2(I) skal´arszorz´assal. Itt a skal´arszorzat ´altal induk´alt norma
kfkH1:=
q
kfk2L2+kf0k2L2,
ami visszaadja az 1.3.3. r´eszben bevezetett norm´at, ´ıgy a teljess´eg az 1.33. k¨ovetkezm´enynek k¨osz¨onhet˝o.