Oper´ atorf¨ uggv´ enyek

AdottA ∈ B(H) oper´ator eset´en ´ertelmes A-nak azAⁿ hatv´anya b´armely n ∈N eset´en: Aⁿx:= A(A(. . .(Ax)..)) (ha n ≥1) ´esA⁰ := I (az identi-t´as). Ezekre ´erv´enyesek a szok´asos sz´amol´asi szab´alyok, pl. AⁿA^m=A^n+m. Term´eszetes m´odon nyerhetj¨uk ezekb˝olApolinomjait is. K´erd´es, hogy ´altal´ a-nosabbf val´os f¨uggv´eny eset´en hogyan ´ertelmezhetj¨uk egy oper´atorf(A)∈ B(H) f¨uggv´eny´et ´ugy, hogy ez kiterjessze a fentieket ´es ´erv´enyben maradja-nak a sz´amol´asi szab´alyok. A gyakorlatban fontos esetek k¨oz¨ott eml´ıthetj¨uk egy pozit´ıv oper´ator n´egyzetgy¨ok´et, vagy egy oper´ator exponenci´alis f¨ ugg-v´eny´et. M´atrixokra az ut´obbi line´aris differenci´alegyenletekn´el bukkan fel, aminek v´egtelen dimenzi´os megfelel˝oje is ´ertelmes, l´asd a 9. fejezetben.

Ebben a szakaszban k´etf´ele megk¨ozel´ıt´est v´azolunk.

(a) Oper´atorf¨uggv´enyek hatv´anysorral

Az oper´atorpolinomok term´eszetes ´altal´anos´ıt´asai az oper´atorhatv´anysorok, ezzel egy oper´ator analitikus f¨uggv´enyeit defini´alhatjuk. A 6.5.3. szakasz-ban l´attunk ilyen p´eld´at a Neumann-sorn´al. A (6.6) defin´ıci´ohoz k´epest vi-szont m´as helyzetben vagyunk, mert ott sz´amot hatv´anyoztunk oper´ ator-egy¨utthat´okkal, most pedig adott oper´atort hatv´anyozunk ´es az egy¨utthat´ok sz´amok.

cnAⁿ sor konvergensB(H)-norm´aban.

Bizony´ıt´as.Az oper´atorsor abszol´ut konvergens:

∞

∞azkAk< Rfelt´etel ´es a hatv´anysor abszol´ut konvergenci´aja miatt, ´ıgy az 1.12. ´all´ıt´as szerint az oper´atorsor konvergens is.

6.97. Defin´ıci´o. LegyenR >0,f :C→C, melyref(z) =

1. Oper´ator exponenci´alisa.Tetsz˝olegesA∈B(H) eset´en legyen e^A:=

104 6. Folytonos line´aris oper´atorok Hilbert-t´erben

Mivel a megfelel˝o sz´amsor minden¨utt konvergens, a 6.96. ´all´ıt´as szerint a fenti oper´atorsor ´ertelmes.

Bizony´ıt´as. Ugyan´ugy, mint a m´atrixokn´al. Az (i)-hez ´ırjuk fel hatv´ anyso-rokkal az e^a+b = e^ae^b (a, b ∈ R) azonoss´agot, majd cser´elj¨uk ki a-t ´es b-t A-ra ´esB-re. A (ii) pont a defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik. Az (i)-benB =−A he-lyettes´ıt´essel kapjuk (iii)-at. A (iv) pont abb´ol k¨ovetkezik, hogy ke^Ak fels˝o becsl´esek´ent bevihetj¨uk a norm´akat a szumma m¨og´e, majd a hatv´anyok al´a.

2. Egyenletesen pozit´ıv oper´ator n´egyzetgy¨oke.

El˝osz¨or az identit´asoper´ator perturb´aci´oinak n´egyzetgy¨ok´et ´ertelmezz¨uk: az (1 +x)^α=

Legyen mostA∈B(H) egyenletesen pozit´ıv oper´ator. Ekkor teh´atA ¨ onad-jung´alt ´es l´eteznek olyan M ≥m >0 ´alland´ok, hogy

(A levezet´est l´asd a 16. fejezetben, a (16.5) formul´an´al, ahol erre ´altal´anosabb helyzetben van sz¨uks´eg.) Ha teh´at

C:= 2

6.7. Oper´atorok spektr´alis el˝o´all´ıt´asa, oper´atorf¨uggv´enyek 105

6.99. ´All´ıt´as. HaA∈B(H)egyenletesen pozit´ıv oper´ator, akkor (A^1/2)²= A, ´esA^1/2 is ¨onadjung´alt.

Bizony´ıt´as. Az (A^1/2)² = A tulajdons´aghoz ´ırjuk fel hatv´anysorokkal a (√

1 +c)²= 1+cazonoss´agot (c∈R,|c|<1), majd cser´elj¨uk kic-t a fenti C-re ´es szorozzuk meg az egyenl˝os´eget ^m+M₂ -vel. A^1/2 ¨onadjung´alt volta abb´ol k¨ovetkezik, hogy hatv´anysor´anak minden tagja ¨onadjung´alt.

(b) Oper´atorf¨uggv´enyek spektr´alis el˝o´all´ıt´assal

Legyen most H szepar´abilis ´es A ∈ B(H) olyan oper´ator, melynek l´etezik (en)_n∈

EkkorA hatv´anyai ´es ´ıgy polinomjai is invari´ansak a saj´atir´anyokban, azaz hap(x) =

Ez az egyenl˝os´eg motiv´alja a k¨ovetkez˝o defin´ıci´ot:

6.100. Defin´ıci´o. Ha H szepar´abilis ´es az A ∈ B(H) oper´atornak l´etezik am-sorozat korl´atoss´aga garant´alja.

(ii) A defin´ıci´ob´ol k¨ovetkezik, hogy a f¨uggv´enym˝uveletek meg˝orz˝odnek a meg-felel˝o oper´atorokra, pl. (f·g)(A) =f(A)g(A) vagy (f ◦g)(A) =f(g(A)).

(iii) K¨onnyen l´athat´o, hogy ha az A oper´atorra ´ertelmes a 6.97. defin´ıci´o is, akkor a k´etf´elek´epp defini´alt f(A) oper´ator ugyanaz (a hatv´anysort po-linomok limeszek´ent ´ırjuk fel), ´ıgy jogos, hogy mindk´etszer az f(A) jel¨ol´est

106 6. Folytonos line´aris oper´atorok Hilbert-t´erben

haszn´altuk. Egyik defin´ıci´o sem speci´alis esete a m´asiknak, azaz el˝ofordul, hogy csak az egyik vagy csak a m´asik haszn´alhat´o.

Mi mondhat´o ´altal´anosabban, ha A olyan oper´ator, melynek nincs teljes saj´atvektorrendszere? Erre norm´alis oper´ator eset´en a 6.95. spektr´alt´etel, ill. a benne szerepl˝o P projektor´ert´ek˝u m´ert´ek haszn´alhat´o. ´Espedig, ha A∈B(H) norm´alis oper´ator ´esP a spektr´alfelbont´asa, azaz ´erv´enyes (6.16),

ahol az integr´alt a (6.17)-nek megfelel˝o hat´ar´atmenettel ´ertelmezz¨uk (λ_k he-lyettf(λk) szerepel). Ez a defin´ıci´o kiterjeszt´ese a fenti, teljes saj´ atvektorrend-szerrel bevezetett fogalomnak, ´es a f¨uggv´enym˝uveletek itt is meg˝orz˝odnek a megfelel˝o oper´atorokra.

Azf(A) oper´ator ´es azf f¨uggv´eny (maximum)-norm´aja szorosan kapcsol´odik egym´ashoz:

6.102. ´All´ıt´as. HaA∈B(H) norm´alis oper´ator ´es f :σ(A)→C korl´atos, m´erhet˝o f¨uggv´eny, akkorkf(A)k ≤ sup

σ(A)

|f|.

Bizony´ıt´as. Tegy¨uk fel el˝osz¨or, hogyA-nak van (e_n) teljes saj´ atvektorrend-szere. Hax=

|f|. Ha A-nak nincs teljes saj´atvektorrendszere, akkor a fentebb eml´ıtett hat´ar´atmenetet alkalmazzuk, ´es a k¨ozel´ıt˝o ¨osszegekn´el az el˝obbi gondolatmenet megfelel˝oj´et haszn´aljuk, a r´eszleteket l´asd [62]-ben.

Az (6.20) integr´allal ´ertelmezett oper´atorf¨uggv´enyek alaposabb t´argyal´asa szint´en [62]-ben olvashat´o. Megeml´ıtj¨uk innen, hogy a fenti ´all´ıt´asban folyto-nosf eset´en egyenl˝os´eg ´all fenn. (Ez teljes saj´atvektorrendszer eset´en r¨ogt¨on l´atszik, s˝ot itt el´eg f korl´atoss´aga is; ha ugyanis λ_kn a saj´at´ert´ekek olyan r´eszsorozata, melyre|f(λ_kn)| → sup_λ∈Eig(A)|f(λ)|, ´ese_kn jel¨oli a megfelel˝o norm´alt saj´atvektorokat, akkorkf(A)e_knk=|f(λ_kn)| →sup_λ∈Eig(A)|f(λ)|.)

6.7. Oper´atorok spektr´alis el˝o´all´ıt´asa, oper´atorf¨uggv´enyek 107

A fenti defin´ıci´oval p´eld´aul tetsz˝oleges (nemcsak egyenletesen) pozit´ıv oper´ a-tor n´egyzetgy¨oke is ´ertelmezhet˝o:

A^1/2:=

Z

σ(A)

√

λ dP(λ), ill. speci´alisan, TSVR mellett

A^1/2x:=

∞

X

n=1

√

λncnen.

Ekkor is igaz, hogy (A^1/2)²=A.

II. r´ esz