Ortogonalit´ asi tulajdons´ agok Hilbert-t´ erben

• A fentihez hasonl´oan, b´armely N ∈ N⁺ eset´en H^N(I) := W^N,2(I) Hilbert-t´er az

hf, gi_HN :=

Z b a

N

X

k=0

f^(k)g^(k) skal´arszorz´assal.

2.2. Ortogonalit´ asi tulajdons´ agok Hilbert-t´ erben

2.8. Defin´ıci´o. Azt mondjuk, hogy azx, y∈Hvektorokortogon´alisak(vagy mer˝olegesek) egym´asra, hahx, yi= 0. Ennek jel¨ol´ese: x⊥y.

Ugyanez halmazokkal is ´ertelmezhet˝o:

2.9. Defin´ıci´o. Legyenx∈H vektor, K, M⊂H halmazok.

(i)x⊥K, hax⊥kmindenk∈Keset´en.

(ii)K⊥M, hak⊥mminden k∈K´esm∈M eset´en.

2.10. Defin´ıci´o. LegyenK⊂H tetsz˝oleges r´eszhalmaz. AK^⊥:={y∈H : y⊥K} halmaztK ortokomplementum´anakvagy ortogon´alis kieg´esz´ıt˝oj´enek nevezz¨uk.

M´ıgKb´armilyen r´eszhalmaza lehetH-nak, az ortokomplementuma m´ar nem lehet ak´armilyen.

2.11. ´All´ıt´as. B´armely K⊂H eset´en K^⊥ z´art alt´erH-ban.

Bizony´ıt´as. Egyr´eszt K^⊥ alt´er, mert ha y1, y2 ⊥ K, akkor b´armely c1, c2

konstansokkal c1y1+c2y2 ⊥ K. M´asr´eszt ha (yn) ⊂ K^⊥ ´es yn → y ∈ H, akkor a skal´arszorz´as folytonoss´aga miatt 0 =hyn, ki → hy, kimindenk∈K eset´en, ´ıgyy∈K^⊥ szint´en teljes¨ul. ´IgyK^⊥ z´art.

2.12. Megjegyz´es. Ugyanezen megfontol´assal ad´odik, hogy b´armely K ⊂ H halmaz eset´enK^⊥ = [K]^⊥ (ahol ut´obbi aK line´aris burk´anak lez´artj´at jel¨oli). Azaz, x ⊥ K pontosan akkor, ha x ⊥ [K]. Itt ugyanis a m´asodik form´alisan er˝osebb tulajdons´ag, viszont ha x ⊥ K, akkor x ortogon´alis a K-beliek line´aris kombin´aci´oira, ill. ezek limeszeire is, azaz minden [K]-beli vektorra is.

Most n´eh´any nevezetes sz´amol´asi szab´alyt mondunk ki.

2.13. ´All´ıt´as. LegyenH Hilbert-t´er. Ekkor

1. (Pitagorasz-t´etel) Hax, y∈H ´esx⊥y, akkorkx+yk²=kxk²+kyk².

34 2. Hilbert-terek

2. (Paralelogramma-szab´aly) Mindenx, y∈H eset´en kx+yk²+kx−yk²= 2

kxk²+kyk² . 3. (Polariz´aci´os egyenl˝os´eg) Mindenx, y∈H eset´en

hx, yi=1 4

kx+yk²− kx−yk²+ikx+iyk²−ikx−iyk²

=1 4

3

X

k=0

i^kkx+i^kyk².

Bizony´ıt´as. A norma-n´egyzetek kifejt´ese ut´an egyszer˝u sz´amol´assal ad´

od-nak.

2.14. Megjegyz´es. (i) Val´os Hilbert-t´erben a polariz´aci´os egyenl˝os´eg egy-szer˝ubb:

hx, yi= 1 4

kx+yk²− kx−yk² .

(ii) A polariz´aci´os egyenl˝os´eg jelent˝os´ege, hogy a skal´arszorzat kifejezhet˝o a norma seg´ıts´eg´evel (amit a defin´ıci´oban ford´ıtva tett¨unk). Ekkor, a metri-kus terekhez hasonl´oan, felmer¨ul a k´erd´es: ha adott egy norm´alt t´er, akkor a norma sz´armaztathat´o-e valamilyen skal´arszorzatb´ol, vagyis bevezethet˝o-e olyan skal´arszorzat, hogy az ´altala induk´alt norma megegyezik a t´er erede-ti norm´aj´aval? A v´alasz ´altal´aban itt is tagad´o: igazolhat´o, hogy egy nor-m´alt t´er norm´aja pontosan akkor sz´armazik skal´arszorzatb´ol, ha teljes¨ul a parallelogramma-szab´aly az adott norm´ara. Ilyenkor a skal´arszorzatot (ter-m´eszetesen) a polariz´aci´os egyenl˝os´eg adja meg.

A k¨ovetkez˝o t´etel az 1.18. ´all´ıt´as ´altal´anos´ıt´asa. Seg´ıts´eg´evel lehet ezut´an igazolni a Riesz-f´ele ortogon´alis felbont´asi t´etelt, amely bizonyos ´ertelemben a Hilbert-tereknek a v´eges dimenzi´oshoz hasonl´o geometri´aj´at fejezi ki.

2.15. T´etel. Legyen H Hilbert-t´er, K⊂H nem ¨ures, konvex, z´art halmaz.

Ekkor b´armely x∈H eset´en van egyetlen olyany ∈K, melyre kx−yk = dist(x, K) (ahol dist(x, K) := inf{kx−zk : z ∈ K} az x-nek K-t´ol vett t´avols´aga).

Bizony´ıt´as. Legyen d = dist(x, K). Az infimum defin´ıci´oja miatt l´etezik (yn)⊂K, melyre dn :=kx−ynk →d. ´Irjuk fel a paralelogramma-szab´alyt azx−yn ´esx−ymvektorokra:

k2x−(y_n+y_m)k²+kyn−y_mk²= 2

kx−y_nk²

| {z }

dn2

+kx−y_mk²

| {z }

dm2

.

2.2. Ortogonalit´asi tulajdons´agok Hilbert-t´erben 35

Itt k2x−(yn+ym)k = 2

x− ^yn+y₂ ^m

≥ 2d, mert K konvexit´asa miatt

y_n+y_m

2 ∈K. ´Igy

ky_n−y_mk²≤2(d_n²+d_m²)−4d²= 2(d²_n−d²) + 2(d²_m−d²).

Ha n, m → ∞, akkor a jobb oldal 0-hoz tart, ´ıgy b´armely ε > 0 eset´en kyn−y_mk² < ε, ha n, mel´eg nagy, azaz (y_n) Cauchy-sorozat. Legyen y :=

limy_n. MivelK z´art, ´ıgyy∈K, emellettkx−yk= limkx−y_nk= limd_n = d.

V´eg¨ul bel´atjuk, hogy ez az y egy´ertelm˝u. Azt kaptuk ugyanis, hogy b´ ar-mely t´avols´ag-minimaliz´al´o sorozat (azaz olyan (y_n) ⊂ K sorozat, amely-re kx−y_nk → d) konvergens. Ha lenne egy m´asik z ∈ K vektor, melyre kx−zk = d, akkor vegy¨unk egy (z_n) ⊂ K sorozatot, melyre z_n → z, ez szint´en t´avols´ag-minimaliz´al´o. Ekkor (y_n) ´es (z_n) ¨osszef´es¨ul´ese is t´avols´ ag-minimaliz´al´o, ´ıgy konvergens, de ez csaky=z eset´en lehet.

2.16. T´etel (Riesz-f´ele ortogon´alis felbont´as). LegyenH Hilbert-t´er,M

⊂H z´art alt´er. EkkorH =M⊕M^⊥, azaz b´armelyx∈Hvektor egy´ertelm˝uen el˝o´allx=x1+x2 alakban, aholx1∈M ´esx2∈M^⊥.

Bizony´ıt´as.Legyenx∈H tetsz˝oleges. Mivel azM z´art alt´er egyben konvex z´art halmaz is, az el˝oz˝o t´etel szerint l´etezik egyetlen olyan x1 ∈ M vektor, amelyrekx−x1k=d:= dist(x, M). Legyen x2=x−x1, ekkor a felbont´as fenn´all, ´ıgy azt kell csak bel´atni, hogyx2∈M^⊥, azaz hx2, yi= 0 (∀y ∈M).

Ez trivi´alis, hay= 0, ´ıgy legyeny∈M, y6= 0 tetsz˝oleges.

Legyenλ∈Cis tetsz˝oleges. Ekkorx1+λy∈M, ez´ert

d²≤ kx−(x1+λy)k²=kx2−λyk²=kx2k²−λhx2, yi−λhy, x2i+|λ|²kyk². Mivelkx₂k=d, ´ıgy

0≤ |λ|²kyk²−λhx2, yi −λhy, x2i=|λ|²kyk²−λhx2, yi −λhx2, yi.

A CSB-egyenl˝otlens´eg bizony´ıt´as´anak mint´aj´ara megv´alaszthatjuk λ-t ´ugy, hogyhx₂, yi=λkyk² legyen, ´es ekkor

0≤ |λ|²kyk²− |λ|²kyk²− |λ|²kyk²=− |λ|²kyk², ami csak akkor lehet, haλ= 0, azaz hahx₂, yi= 0.

A felbont´as egy´ertelm˝u, ugyanis hax=x1+x2=y1+y2, aholx1, y1∈M

´esx2, y2 ∈M^⊥, akkor M 3 (x1−y1) = (y2−x2)∈ M^⊥, azaz x1 = y1 ´es

x2=y2.

36 2. Hilbert-terek

2.17. Megjegyz´es. A t´etelbelix1vektort azxvektorM-re vett (mer˝oleges) vet¨ulet´enekh´ıvjuk, ´esxM-mel jel¨olj¨uk. Erre az al´abbiak igazak:

(i) x−xM⊥xM ´es dist(x, M) = kx−xMk, ez a t´etel bizony´ıt´as´aban szerepel.

(ii) A vet¨ulet egy´ertelm˝us´ege miatt egyy∈M vektor pontosan akkor esik egybexM-mel, hax−y⊥M.

(iii) kxMk ≤ kxk, hiszenx−xM⊥x_M miattkxk²=kx−xMk²+kxMk²≥ kxMk².

(iv) HaM v´eges dimenzi´os alt´er ´es benne{e1, e2, . . . , en}ortonorm´alt b´azis, akkor

xM =

n

X

i=1

hx, eiiei.

Ugyanis, a jobb oldali vektort y-nal jel¨olve y ∈ M, ´es minden e_j b´azisvektorra hy, e_ji = Pn

i=1hx, e_iiδ_ij = hx, e_ji, ez´ert x−y ⊥ e_j (∀j= 1, . . . , n) ´es ´ıgyx−y⊥M. Ekkor a (ii) pont alapj´any=xM.

In document Numerikus funkcionálanalízis (Pldal 41-44)