megoldhat´ os´ aga korl´ atos oper´ ator eset´ en
7.1. Egyenletek koercivit´ asi felt´ etelek mellett
7.1.2. N´ eh´ any k¨ ovetkezm´ eny
A megoldhat´os´agi t´etelek seg´ıts´eg´evel igazoljuk a spektrum n´eh´any kor´abban eml´ıtett tulajdons´ag´at.
7.7. ´All´ıt´as. Legyen A∈B(H). HaA¨onadjung´alt oper´ator, akkor spektru-ma val´os, ´es haApozit´ıv oper´ator, akkor spektruma nemnegat´ıv.
Bizony´ıt´as. (i) Legyen A¨onadjung´alt ´esλ=α+iβ ∈C\R, azazβ 6= 0.
Ekkor b´armely u ∈ H eset´en h(A−λI)u, ui = hAu, ui −αkuk2−iβkuk2, ebb˝ol kapjuk, hogy |h(A−λI)u, ui| ≥ |Imh(A−λI)u, ui| =|β|kuk2, ´ıgy a 7.3. t´etel szerintA−λI bijekci´o, de akkorλ∈%(A).
(ii) Legyen A pozit´ıv oper´ator. A fentiek szerint spektruma val´os, ´ıgy el´eg igazolni, hogy haλ <0, akkorλ∈%(A). A fentiek mint´aj´ara b´armelyu∈H eset´enh(A−λI)u, ui=hAu, ui −λkuk2≥ −λkuk2=|λ|kuk2, ´ıgy most a 7.1.
t´etel szerintA−λI bijekci´o.
116 7. Oper´atoregyenletek megoldhat´os´aga
7.8. ´All´ıt´as. Legyen A ∈ B(H) norm´alis. Ha λ ∈ σ(A) nem saj´at´ert´ek, akkor van olyan (un)⊂ H sorozat, melyre kunk = 1 (∀n ∈N+) ´es Aun − λun→0.
Bizony´ıt´as. Legyenλ∈σ(A), azazA−λI nem bijekci´o. Ekkor a 7.4. t´etel (i) vagy (ii) tulajdons´aga nem teljes¨ulhet (A−λI)-re. Haλnem saj´at´ert´eke A-nak, akkor a 6.37. ´all´ıt´as (iv) pontja szerintλnem saj´at´ert´ekeA∗-nak, azaz A∗−λI = (A−λI)∗ injekt´ıv, vagyis a (ii) tulajdons´ag teljes¨ul (A−λI)-re.
Ez´ert az (i) tulajdons´ag s´er¨ul (A−λI)-re, ami azt jelenti, hogy inf
kuk=1k(A− λI)uk = 0. Ez az infimum fogalma alapj´an ´epp azt jelenti, hogy l´etezik a
k´ıv´ant (un) sorozat.
Most egy hasznos ´all´ıt´ast igazolunk koerc´ıv oper´atorokra.
7.9. ´All´ıt´as. Ha egy A ∈ B(H) oper´ator koerc´ıv m > 0 konstanssal, azaz RehAx, xi ≥mkxk2 (∀x∈H), akkorkA−1k ≤ m1.
Bizony´ıt´as. Ittmkxk2≤RehAx, xi ≤ kxk kAxk, ´ıgykxk ≤ m1 kAxk(∀x∈ H), ´es mivel Abijekci´o, ´ıgy v:=Axhelyettes´ıt´essel
A−1v
≤ m1 kvk (∀v∈
H), azazkA−1k ≤ m1.
Ennek megfelel˝oje ¨onadjung´alt esetben kvadratikus alakokra is ´erv´enyes, mind-k´et ir´anyb´ol:
7.10. ´All´ıt´as. Egyenletesen pozit´ıv oper´ator inverze is egyenletesen pozit´ıv.
Espedig, ha´ A ¨onadjung´alt ´es
mkuk2≤ hAu, ui ≤Mkuk2 (∀u∈H), akkor
1
M kuk2≤
A−1u, u
≤ 1
mkuk2 (∀u∈H). (7.2) Bizony´ıt´as. A 6.99. ´all´ıt´ast haszn´alvaA1/2¨onadjung´alt ´es
mkuk2≤ kA1/2uk2≤Mkuk2 (∀u∈H),
amib˝ol a 7.4. t´etel alapj´anA1/2 bijekci´o, ´ıgyv:=A1/2uhelyettes´ıt´essel 1
M kvk2≤ kA−1/2vk2≤ 1
mkvk2 (∀v∈H),
ez ´eppen (7.2).
7.2. Biline´aris form´ak, Lax–Milgram-t´etelk¨or 117
7.2. Biline´ aris form´ ak, Lax–Milgram-t´ etelk¨ or
Ebben a szakaszban szorzatt´eren ´ertelmezett lek´epez´esekkel foglalkozunk, ´es
´atvissz¨uk r´ajuk az el˝oz˝o szakaszbeli megoldhat´os´agi t´eteleket. Itt a komplex mellett a val´os eset is fontos (´es n´emileg k¨ul¨onb¨oz˝o) lesz, ´ıgy ´altal´aban p´ ar-huzamosan megfogalmazott ´ertelemszer˝u ´all´ıt´asokkal vizsg´aljuk a k´et esetet.
7.11. Defin´ıci´o. EgyB:H×H→K (aholK=CvagyR) lek´epez´es (a)biline´aris, ha mindk´et v´altoz´oj´aban line´aris;
(b)konjug´altan biline´aris, ha els˝o v´altoz´oj´aban line´aris, m´asodik v´altoz´oj´aban konjug´altan line´aris;
(c)szimmetrikus, ha B(x, y) =B(y, x) (∀x, y∈H);
(d)konjug´altan szimmetrikus, ha B(x, y) =B(y, x) (∀x, y∈H);
(e)korl´atos, ha l´etezikM >0, hogy |B(x, y)| ≤Mkxk kyk (∀x, y∈H);
(f)koerc´ıv, ha l´etezikm >0, hogy Re B(x, x)≥mkxk2 (∀x∈H).
7.12. Megjegyz´es. (i) A (konjug´altan) biline´aris lek´epez´eseket gyakran (konjug´altan) biline´aris form´anak, a konjug´altan biline´aris lek´epez´eseket pe-dig n´eha szeszkviline´arisnak is h´ıvj´ak.
(ii) A biline´aris/szimmetrikus lek´epez´esek ´ertelemszer˝uen ink´abb a K =R, m´ıg a konjug´altan biline´aris/szimmetrikus lek´epez´esek ink´abb aK=C eset-ben fordulnak el˝o. Tipikus p´elda a skal´arszorzat.
(iii) AK=Resetben, azaz val´os Hilbert-t´erben a koercivit´as ´ertelemszer˝uen aB(x, x)≥mkxk2 felt´etell´e egyszer˝us¨odik.
7.13. T´etel (korl´atos form´ak Riesz-reprezent´aci´oja). Legyen H val´os (komplex) Hilbert-t´er, ´es B :H ×H →K korl´atos, (konjug´altan) biline´aris forma. Ekkor l´etezik egyetlen olyan A ∈ B(H) korl´atos line´aris oper´ator, melyre
B(x, y) =hAx, yi (∀x, y∈H).
Bizony´ıt´as. R¨ogz´ıtetty∈H eset´en legyenψy:H→K,ψyx:=B(x, y). Ez nyilv´an line´aris ´es folytonos is, mert
|ψyx|=|B(x, y)| ≤Mkxk kyk= (Mkyk)kxk (∀x∈H).
S˝ot, kψyk ≤Mkyk. A Riesz-f´ele reprezent´aci´os t´etel szerint egy´ertelm˝uen l´etezik egyetlen y∗ ∈ H, melyre ψyx = hx, y∗i minden x ∈ H-ra, ami a Cy := y∗ jel¨ol´essel B(x, y) = hx, Cyi. Igazoljuk, hogy C ∈ B(H). Nyilv´an Cline´aris, mivelB ´es a skal´arszorz´as is (konjug´altan) biline´aris. Emellett az 5.1. ´all´ıt´asb´ol
kCyk=ky∗k=kψyk ≤Mkyk (∀y∈H),
118 7. Oper´atoregyenletek megoldhat´os´aga
azazCkorl´atos is. V´eg¨ulA:=C∗eset´enB(x, y) =hx, Cyi=hAx, yi (∀x, y∈
H).
Az A oper´atort gyakran a B forma Riesz-reprezent´ans´anakh´ıvjuk. A t´etel megford´ıtva is trivi´alisan igaz: adottA∈B(H) eset´en a fenti B forma kor-l´atos ´es (konjug´altan) biline´aris.
7.14. ´All´ıt´as. Legyen H val´os (komplex) Hilbert-t´er, B : H ×H → K korl´atos, (konjug´altan) biline´aris forma, ´es A ∈ B(H) a B forma Riesz-reprezent´ansa.
(1)B pontosan akkor (konjug´altan) szimmetrikus, haA ¨onadjung´alt.
(2)B pontosan akkor koerc´ıv, ha Akoerc´ıv.
Bizony´ıt´as. Mindkett˝o a defin´ıci´ok k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye.
7.15. Megjegyz´es. A 7.13. t´etel akkor is igaz, ha k´et k¨ul¨onb¨oz˝o Hilbert-t´eren ´ertelmezz¨uk aB form´at, azazB:H×K→Kkorl´atos, (konjug´altan) biline´aris forma. Ekkor l´etezik egyetlen olyan A∈B(H, K) korl´atos line´aris oper´ator, melyre
B(x, y) =hAx, yi (∀x∈H, y∈K).
A bizony´ıt´as ugyanis sz´o szerint ´atvihet˝o erre az esetre. Term´eszetesen ekkor nincs ´ertelme a 7.14. ´all´ıt´asnak.
A k¨ovetkez˝o t´etel alapvet˝o fontoss´ag´u sz´amos alkalmaz´asban. Els˝osorban va-l´os t´erben haszn´alatos, ez´ert erre k¨ul¨on fogalmazzuk meg. B´ar alapt´etelr˝ol van sz´o, a szakirodalomban szok´asos hagyom´any szerint a
”lemma” elneve-z´est viseli.
7.16. T´etel (Lax–Milgram-lemma, koerc´ıv v´altozat). (1) Legyen H val´os Hilbert-t´er, B : H ×H → R korl´atos, koerc´ıv biline´aris forma. Ek-kor b´armelyφ:H →Rkorl´atos line´aris funkcion´alhoz l´etezik egyetlen olyan u∈H, melyre
B(u, v) =φv (∀v∈H). (7.3) (2) HaH komplex Hilbert-t´er, akkor Rhelyett C-be k´epez˝o, biline´aris helyett konjug´altan biline´aris form´ara ´esB(u, v)helyettB(v, u)-ra igaz a fenti ´all´ıt´as.
Bizony´ıt´as. (1) A 7.13. t´etel alapj´an legyenA ∈ B(H) a B forma Riesz-reprezent´ansa: B(u, v) = hAu, vi (∀u, v ∈ H). Legyen tov´abb´a b ∈ H a φ funkcion´al Riesz-reprezent´ansa: φv = hv, bi = hb, vi (∀v ∈ H). Azt kell teh´at igazolnunk, hogy l´etezik egyetlen olyanu∈H, melyrehAu, vi=hb, vi (∀v∈H), azaz melyreAu=b. MivelAkoerc´ıv, ez a 7.2. t´etel szerint teljes¨ul.
7.2. Biline´aris form´ak, Lax–Milgram-t´etelk¨or 119
(2) Hasonl´o, most a (7.3) egyenl˝os´eg azA∗u=begyenletre vezethet˝o vissza.
A fenti t´etel ritk´abban haszn´alt, de enyh´ebb felt´etelre ´ep¨ul˝o v´altozata:
7.17. T´etel (Lax–Milgram-lemma, ´altal´anos v´altozat). Helyettes´ıts¨uk a 7.16. t´etel felt´eteleibenBkoercivit´as´at az al´abbi felt´etellel: van olyanm >0, hogy |B(x, x)| ≥mkxk2 (∀x∈H). Ekkor is igaz, hogy val´os t´er eset´en b´ ar-melyφ:H →Rkorl´atos line´aris funkcion´alhoz l´etezik egyetlen olyanu∈H, melyreB(u, v) =φv (∀v∈H). (Komplex t´er eset´en pedig a (2) ´all´ıt´as igaz.) Bizony´ıt´as. Ugyan´ugy kell, mint az el˝oz˝ot, de a 7.2 helyett a 7.3. t´etelt
haszn´aljuk.
7.18. Megjegyz´es. A 7.6. megjegyz´es gondolatmenete a Lax–Milgram-lem-ma eset´eben is, k¨ozvetlen¨ul is alkalmazhat´o, val´oj´aban ´ıgy is sz´ol az eredeti bizony´ıt´as [42, Chap. 6]. ´Altalunk adott bizony´ıt´asa a Riesz-f´ele reprezent´ a-ci´os t´etelre ´es az A∗Ax = A∗y norm´alegyenletre vezette vissza, hogy ezek sz´elesk¨or˝u haszn´alhat´os´ag´at illusztr´alja.
Leg´altal´anosabban az al´abbi sz¨uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel adhat´o, ez a ne-vezetes eredm´eny [7] a Lax–Milgram-lemma kiterjeszt´es´enek tekinthet˝o.
7.19. T´etel (Babuˇska-lemma). LegyenH val´os Hilbert-t´er,B:H×H → Rkorl´atos biline´aris forma. Ekkor az al´abbi k´et ´all´ıt´as ekvivalens:
(1) B´armelyφ:H→Rkorl´atos line´aris funkcion´alhoz l´etezik egyetlen olyan u∈H, melyre
B(u, v) =φv (∀v∈H). (7.4) (2) AB form´ara az al´abbi k´et tulajdons´ag teljes¨ul:
(i) l´etezikm >0, hogy inf
kuk=1 sup
kvk=1
B(u, v)≥m;
(ii) sup
kuk=1
B(u, v)>0 (∀v6= 0).
Bizony´ıt´as. Az el˝oz˝o t´etel bizony´ıt´asa szerint az (1) tulajdons´ag ekvivalens azAu=begyenlettel, aholA∈B(H) a B forma Riesz-reprezent´ansa ´esb∈ Haφfunkcion´al Riesz-reprezent´ansa. M´asr´eszt a (2)-b˝ol az (i) r´esz jelent´ese:
inf
kuk=1 sup
kvk=1
hAu, vi = inf
kuk=1kAuk ≥ m, azaz kAxk ≥mkxk ∀x∈ H, ami a 7.4. t´etel (i) r´esze. A (ii) r´esz jelent´ese pedig sup
kuk=1
hAu, vi= sup
kuk=1
hu, A∗vi=
120 7. Oper´atoregyenletek megoldhat´os´aga
kA∗vk >0 (∀v 6= 0), azaz A∗ injekt´ıv, ami a 7.4. t´etel (ii) r´esze. ´Igy a 7.4.
t´etel alapj´an (1) ´es (2) val´oban ekvivalens. . V´eg¨ul a 7.5. t´etelb˝ol ´es az 5.1. ´all´ıt´asb´ol ad´odik a folytonos f¨ugg´es:
7.20. K¨ovetkezm´eny. Ha teljes¨ulnek a 7.16. vagy 7.19. t´etel felt´etelei a (7.4) egyenletre, akkor kuk ≤ m1kφk.