Saj´ at´ ert´ ekek, kompakt inverz˝ u oper´ atorok

es mindenv ∈ H²(I)∩H₀¹(I)-re teljes¨ul (8.4) (ahol pf¨ol¨ott nem kell konjug´alt), ´ıgyL^∗v =−(pv⁰)⁰ (∀v ∈H²(I)∩H₀¹(I)). Ez azt jelenti, hogyL(L^∗, azaz Lszimmetrikus, de nem ¨onadjung´alt.

Teljesen hasonl´ok igazolhat´oak magasabb dimenzi´oban:

2. p´elda: parci´alis differenci´aloper´atorok. Legyen mindv´egig Ω ⊂Rⁿ kor-l´atos tartom´any, amely egy konvex tartom´any C²-diffeomorf k´epe, ´es H = L²(Ω). Legyen Lu:=−div(p∇u).

(i) Hap∈ C¹(Ω,R), p(x)≥m > 0 ´esD(L) =H²(Ω)∩H₀¹(Ω), akkor L szimmetrikus ´es szuperjekt´ıv, ´ıgy ¨onadjung´alt is.

(ii) Hap∈C¹(Ω,C) ´esD(L) =H²(Ω)∩H₀¹(Ω), akkorL^∗v=−div(p· ∇v).

(iii) Ha pedigp∈C¹(Ω,R),p(x)≥m >0,D(L) ={u∈C²(Ω)∩C¹(Ω) : u_|∂Ω= 0}, akkor Lszimmetrikus, de nem ¨onadjung´alt.

8.1.3. Saj´ at´ ert´ ekek, kompakt inverz˝ u oper´ atorok

8.18. Defin´ıci´o. Legyen A : H ⊃→ H line´aris oper´ator. A λ ∈ C sz´am saj´at´ert´ekeA-nak, ha l´etezik 06=u∈D(A), hogyAu=λu.

A korl´atos ¨onadjung´alt esetre vonatkoz´o t´etel bizony´ıt´as´anak megism´etl´es´evel kapjuk:

134 8. Nem korl´atos oper´atorok

8.19. ´All´ıt´as. Ha A : H ⊃→ H szimmetrikus line´aris oper´ator, akkor a saj´at´ert´ekei val´osak ´es a k¨ul¨onb¨oz˝o saj´at´ert´ekekhez tartoz´o saj´atvektorok or-togon´alisak.

8.20. ´All´ıt´as. LegyenA:H ⊃→H line´aris oper´ator, amely injekt´ıv. Ekkor λ ∈ Eig(A) ⇐⇒ 1/λ ∈ Eig(A⁻¹), ´es ugyanazon saj´atvektorok tartoznak hozz´ajuk.

Bizony´ıt´as. Az injektivit´as miattλ6= 0. Ekkor Au=λu ⇐⇒ 1

λu=A⁻¹u.

A k¨ovetkez˝o t´etel a kompakt ¨onadjung´alt oper´atorok f˝ot´etel´eb˝ol ´es a fenti

´

all´ıt´asb´ol k¨ovetkezik.

8.21. T´etel. LegyenH szepar´abilis ´esA:H⊃→H line´aris oper´ator, amely injekt´ıv, szimmetrikus ´es R(A) =H. Ezenk´ıv¨ul legyen A⁻¹ :H →H kom-pakt. Ekkor A-nak megsz´aml´alhat´oan sok saj´at´ert´eke van, melyek val´osak, +∞-hez tartanak ´es a norm´alt saj´atvektorokb´ol teljes ortonorm´alt rendszer (TONR) alkothat´o.

P´eld´ak.(a) Ha I = [0, b], H =L²(I), Lu=−u⁰⁰, D(L) ={u∈C²(I) : u(0) =u(b) = 0}, akkorL inverze a Green-f¨uggv´enyt tartalmaz´o folytonos mag´u integr´aloper´ator, amely a 6.75. ´all´ıt´as szerint kompakt. ´IgyL-re igaz a 8.21. t´etel. Val´oj´aban ittLsaj´at´ert´ekei ´es (norm´alt) saj´atvektorai expliciten is ismertek:

λk =kπ b

2

, uk(x) = r2

b ·sinkπ b x

(k∈N⁺). (8.5) (b) Legyen Ω ⊂ Rⁿ korl´atos tartom´any, amely egy konvex tartom´any C² -diffeomorf k´epe, ´esH =L²(Ω). LegyenLu:=−div(p∇u), D(L) =H²(Ω)∩

H₀¹(Ω). Az el˝oz˝o szakaszban l´attuk, hogy L szimmetrikus, injekt´ıv (hiszen szigor´uan pozit´ıv), R(L) = L²(Ω) =H. Ezenk´ıv¨ul az is teljes¨ul, hogy L⁻¹ kompakt. (Ez k¨ovetkezik [67, 9.3.]-b´ol, mert az ottaniGoper´ator eset¨unkben

´eppenL⁻¹.) ´IgyL-re igaz a 8.21. t´etel.

Ha speci´alisanL=−∆ ´es Ω = [0, a]×[0, b], akkorLsaj´at´ert´ekei ´es (norm´alt) saj´atvektorai ismertek:

λkl =π²k² a²+l²

b²

, ukl(x, y) = 2

√absinkπ a x

coslπ b y

(k, l∈N⁺).

8.1. Nem korl´atos oper´atorok alaptulajdons´agai 135

Alkalmaz´asok.

(a) Hilbert–Schmidt sorfejt´es.A saj´atvektorok TONR volta seg´ıts´eg´evel azAu=f egyenlet megold´asa fel´ırhat´o a saj´atvektorok szerinti sorfejt´essel.

Espedig, ha (e´ k) a norm´alt saj´atvektorok rendszere, akkor f =

Ekkor azuismeretlen f¨uggv´eny ξk egy¨utthat´okra a

c_k=hf, e_ki=hAu, e_ki=hu, Ae_ki=λ_khu, e_ki=λ_kξ_k

Bizony´ıt´as. A felt´etel szerint A norm´alt {en}_n∈N saj´atvektorai TONR-t alkotnak. Az el˝oz˝o bizony´ıt´asban l´attuk, hogyhAu, eki=λkξk, ebb˝ol

136 8. Nem korl´atos oper´atorok

A%(u) kifejez´est azu-hoz tartoz´o Rayleigh-h´anyadosnak nevezz¨uk.

(c) Oper´atorf¨uggv´enyek

Kompakt inverz˝u oper´ator eset´en adapt´alhat´o az oper´atorf¨uggv´enyek 6.100.

defin´ıci´oja: (Azf(A) teh´at lehet b˝ovebben ´ertelmezve, mintA.)

A korl´atos esethez hasonl´oan a f¨uggv´enym˝uveletek meg˝orz˝odnek a megfelel˝o oper´atorokra (most a megfelel˝o ´ertelmez´esi tartom´any erej´eig). P´eld´aul, ha α, β >0 sz´amok, akkor (8.7) alapj´an

e^−(α+β)A=e^−αAe^−βA.

8.2. Energiat´ er ´ es gyenge megold´ as szimmetri-kus oper´ ator eset´ en

8.24. Defin´ıci´o. LegyenA:H ⊃→Hszigor´uan pozit´ıv oper´ator. Azhu, vi_A :=hAu, viform´at azA-hoz tartoz´oenergia-skal´arszorzatnaknevezz¨uk, az A-hoz tartoz´o energiat´er pedig H_A := [D(A),h·,·i_A], azaz D(A) teljess´e t´etele az energia-skal´arszorzattal.

8.2. Energiat´er ´es gyenge megold´as 137

Ha speci´alisan Aegyenletesen pozit´ıv, azazAszimmetrikus ´esA≥p I vala-milyenp >0 sz´amra, akkor

kuk²_A=hu, ui_A=hAu, ui ≥pkuk² ∀u∈D(A).

8.25. ´All´ıt´as. HaAegyenletesen pozit´ıv, akkorHA⊂H, azazHA azonos´ı-t´as erej´eig be´agyazhat´oH-ba.

Bizony´ıt´as. Legyen u ∈ H_A, ekkor H_A defin´ıci´oja szerint l´etezik (u_n) ⊂ D(A) sorozat, melyre ku−unk_A→0. Ekkor (un) Cauchy-sorozatk·k_A-ban.

Az egyenletes pozitivit´as miatt ku_n−u_mk ≤ 1

√pku_n−u_mk_A,

azaz (u_n) Cauchy-sorozatk·k-ban is, azaz l´etezik ˜u∈H, hogy u_n →u˜ k·k-ban. Megmutatjuk, hogy aψ:u7→u˜hozz´arendel´es injekt´ıv. Mivelψline´aris,

´ıgy el´eg bel´atni, hogy ha ˜u= 0, akkoru= 0. Tekints¨uk ˜u= 0 eset´en a fenti (un) sorozatot. Ekkor, felhaszn´alva, hogy un → u˜ k·k-ban ´esun →uk·k_A -ban,

0 =h˜u, Avi= limhun, Avi= limhun, viA=hu, viA (∀v∈D(A)), azaz u mer˝oleges a HA-ban s˝ur˝u D(A) halmazra, ´ıgy u = 0. ´Igy teh´at ψ injekt´ıv, azaz bijekci´ot l´etes´ıtHA´esH egy r´eszhalmaza k¨oz¨ott.

8.26. K¨ovetkezm´eny. HaA≥p I, akkor az

kuk²_A≥pkuk² (8.8)

becsl´es mindenu∈HA eset´en is fenn´all.

Bizony´ıt´as. Vegy¨unk egyun →u D(A)-beli sorozatot, ahol a konvergencia k·k_A szerint ´ertend˝o. Az el˝oz˝oek szerint k·k szerint is igaz a konvergencia.

Azkunk²_A ≥pkunk² egyenl˝otlens´egb˝ol hat´ar´atmenettel k¨ovetkezik a k´ıv´ant kuk²_A≥pkuk² egyenl˝otlens´eg. (Ezt a gondolatmenetet s˝ur˝us´egi ´ervnek szok-tuk h´ıvni, ´es a k´es˝obbiekben is t¨obbsz¨or haszn´aljuk.)

8.27. ´All´ıt´as. HaAegyenletesen pozit´ıv,R(A) =H ´esA⁻¹kompakt, akkor a (8.8) becsl´esben az ´elesphat´ar azAoper´atorλ1legkisebb saj´at´ert´eke. Azaz, kuk²_A≥λ₁kuk² (∀u∈H_A) (8.9)

´es ez a konstans nem jav´ıthat´o.

138 8. Nem korl´atos oper´atorok

Bizony´ıt´as. A 8.22. ´all´ıt´as ´es (8.6) szerint a fenti igazu∈D(A) eset´en, ´es

´ıgy (a 8.26. k¨ovetkezm´enybeli s˝ur˝us´egi ´ervet megism´etelve)u∈HAeset´en is.

P´elda. Legyen Ω ⊂ Rⁿ korl´atos tartom´any, H = L²(Ω), A = −∆, ahol D(A) =H²(Ω)∩H₀¹(Ω). Ekkor

hu, vi_A=− Z

Ω

(∆u)v= Z

Ω

∇u· ∇v=hu, vi_H1 0(Ω), vagyis a Laplace-oper´ator energiatereH₀¹(Ω).

Emellett a 8.27. ´all´ıt´as alapj´an kapjuk az ´un. Poincar´e–Friedrichs-egyenl˝ ot-lens´eget:

k∇uk²_L2(Ω)≥λ₁kuk²_L2(Ω) (∀u∈H₀¹(Ω)), (8.10) aholλ1a−∆ oper´ator legkisebb saj´at´ert´eke Ω-n Dirichlet-peremfelt´etel mel-lett. Itt eml´ıt´est ´erdemelλ1 egyszer˝u becsl´ese:

λ1≥ nπ²

diam(Ω)², (8.11)

aholna t´er dimenzi´oja ´esdiam(Ω) a tartom´any ´atm´er˝oje, l´asd [67].

Ha ugyanitt az oper´ator a 8.1.2. szakasz elej´en bevezetettAu:=−div (p∇u), akkor az energiat´er szint´enH₀¹(Ω), most a s´ulyozott

hu, vi_A= Z

Ω

p∇u· ∇v

skal´arszorzattal.

HaAegyenletesen pozit´ıv, akkor ´ertelmezhet˝o oper´atoregyenlet gyenge meg-old´as´anak fogalma az elliptikus feladatokn´al megszokottak anal´ogi´aj´ara:

8.28. Defin´ıci´o. Legyenf ∈H adott vektor. Azu∈HA vektor azAu=f feladatgyenge megold´asa, ha

hu, vi_A=hf, vi (∀ v∈HA). (8.12) Vil´agos, hogyu∈D(A) eset´en a gyenge megold´as teljes´ıti azAu=f egyen-l˝os´eget, ´ıgy ennek ´altal´anos´ıt´as´ar´ol van sz´o azf /∈R(A) esetre.

8.29. T´etel. HaAegyenletesen pozit´ıv, akkor mindenf ∈H eset´en azAu= f egyenletnek egy´ertelm˝uen l´etezik u∈H_A gyenge megold´asa.

8.2. Energiat´er ´es gyenge megold´as 139

Bizony´ıt´as. Legyenφ:HA→C, φv:=hv, filine´aris funkcion´al. Ekkor a

|φv|=|hv, fi| ≤ 1

√pkfk kvk_A (∀ v∈HA)

becsl´es miattφkorl´atos isHA-ban. Riesz reprezent´aci´os t´etele szerint egy´ er-telm˝uen l´eteziku∈HA, hogyφv=hv, fi=hv, ui_A, ezt konjug´alva

megkap-juk (8.12)-t.

8.30. Megjegyz´es. AzAu=f egyenlet gyenge megold´as´ara az kukA≤ 1

√pkfk

folytonos f¨ugg´es teljes¨ul, hiszen (8.12)-benv=uhelyettes´ıt´essel, majd a (8.8) becsl´es alapj´an

kuk²_A=hu, ui_A=hf, ui ≤ kfkkuk ≤ 1

√pkfkkuk_A.

Fontos p´eldak´ent szolg´al ism´et a Laplace-oper´ator. Erre a fenti t´etel aH₀¹(Ω) t´erben szok´asos ´ertelemben vett gyenge megold´ast adja, mellyel a 10.2.2 sza-kaszban foglalkozunk.

A gyenge megold´as egy sz´ep elm´eleti alkalmaz´asak´ent kapjuk az ´un. Friedrichs-f´ele kiterjeszt´est. Itt az alapprobl´ema az, hogy egy szimmetrikus oper´atornak van-e ¨onadjung´alt kiterjeszt´ese. Ez ´altal´aban nem igaz, de egyenletesen pozi-t´ıv esetre igen, ´es egyszer˝uen k¨ovetkezik a fentiekb˝ol:

8.31. ´All´ıt´as. Ha az A szimmetrikus oper´ator egyenletesen pozit´ıv, akkor vanA˜¨onadjung´alt kiterjeszt´ese. ErreR( ˜A) =H.

Bizony´ıt´as.A 8.12. lemma alapj´an el´eg igazolnunk, hogyA-nak van szuper-jekt´ıv, szint´en szimmetrikus kiterjeszt´ese. Legyen ˜A:H ⊃→H a k¨ovetkez˝o:

D( ˜A) := {u ∈ H_A ⊂ H : ∃f ∈ H, hogy u az Au = f egyenlet gyenge megold´asa, ˜Au:=f. Ekkor a 8.29. t´etel szerint ˜A szuperjekt´ıv. M´asr´eszt a gyenge megold´as fogalma alapj´anhAu, vi˜ =hf, vi=hu, vi_A (∀u, v ∈D( ˜A)),

´ıgyhAu, vi˜ =hu, vi_A =hv, ui_A=hAv, ui˜ =hu,Avi, azaz ˜˜ A is szimmetrikus.

140 8. Nem korl´atos oper´atorok

8.3. Gyenge megold´ as nem szimmetrikus

In document Numerikus funkcionálanalízis (Pldal 141-148)