Hilbert-terek
2.3. Fourier-sorok Hilbert-t´ erben
E t´emak¨or arr´ol sz´ol, hogyan lehet ´altal´anos´ıtani a v´eges dimenzi´os terek vektorainak ortonorm´alt b´azissal val´o el˝o´all´ıt´as´at v´egtelen dimenzi´os esetre.
A f˝o eredm´eny ilyen el˝o´all´ıt´ast ad megfelel˝o sor alakj´aban, ´ıgy egy vektor megsz´aml´alhat´oan v´egtelen sok koordin´at´aval ´ırhat´o le. El˝osz¨or azon fogal-makkal foglalkozunk, amelyek a b´azis, ill. ortonorm´alt b´azis fogalma hely´ere l´ephetnek.
2.18. Defin´ıci´o. Egy{en}n∈N⊂Hvektorsorozatteljes rendszer, ha minden x∈H eset´en fenn´all az al´abbi tulajdons´ag: hax⊥en(∀n∈N), akkorx= 0.
2.19. Defin´ıci´o. Egy{en}n∈N⊂H vektorsorozattot´alis rendszer, ha line´ a-ris burka s˝ur˝u.
2.20. ´All´ıt´as. Hilbert-t´erben egy vektorrendszer pontosan akkor teljes, ha to-t´alis.
Bizony´ıt´as. Az M pontosan akkor teljes rendszer, ha M⊥ = {0}, ami a 2.12. megjegyz´es szerint pontosan akkor teljes¨ul, ha [M]⊥ ={0}. Ez viszont a 2.16. t´etel szerint ekvivalens azzal, hogy [M] =H, azazM tot´alis rendszer.
2.3. Fourier-sorok Hilbert-t´erben 37
A tot´alis rendszer fogalm´at Banach-t´erben is lehet majd haszn´alni, mert nem haszn´al ortogonalit´ast. Hilbert-t´erben viszont egyszer˝ubben alkalmazhat´o a teljes rendszer fogalma, ´ıgy most ezzel dolgozunk.
2.21. Defin´ıci´o. Egy{en}n∈N⊂H vektorsorozatortonorm´alt rendszer, ha elemei p´aronk´ent ortogon´alisak ´es norm´altak, vagyis ha hei, eji= δij := 1, hai=j ´es 0, hai6=j.
Ezek alapj´an ´ertelemszer˝u a f˝o fogalom:
2.22. Defin´ıci´o. Egy{en}n∈N ⊂H vektorsorozatteljes ortonorm´alt rend-szer (TONR), ha teljes ´es ortonorm´alt.
2.23. ´All´ıt´as. Szepar´abilis Hilbert-t´erben mindig l´etezik teljes ortonorm´alt rendszer.
Bizony´ıt´as. A t´er szepar´abilis volta azt jelenti, hogy l´etezik s˝ur˝u megsz´ am-l´alhat´o halmaz. Ha ennek elemeit rekurz´ıvan megritk´ıtjuk ´ugy, hogy l´ep´ e-senk´ent kidobjuk az el˝oz˝oekt˝ol line´arisan f¨ugg˝o elemeket, akkor egy olyan x1, x2, . . .line´arisan f¨uggetlen rendszert kapunk, melynek line´aris burka azo-nos az eredeti´evel, teh´at s˝ur˝u. Ebb˝ol Gram–Schmidt-f´ele ortogonaliz´aci´os elj´ a-r´assal ortonorm´alt e1, e2, . . . sorozatot kapunk, melyre teljes¨ul, hogy span{e1, . . . , en} = span{x1, . . . , xn} minden n ∈ N eset´en. Emiatt span{e1, e2, . . .} = span{x1, x2, . . .} is s˝ur˝u H-ban, teh´at {en}n∈N tot´alis
rendszer, vagyis teljes rendszer.
2.24. Megjegyz´es. A fenti bizony´ıt´as csak az utols´o l´ep´esben haszn´alja ki, hogy van skal´arszorzat (ortogonalit´as). Ha ezt elhagyjuk, akkor a bizony´ıt´as tetsz˝oleges szepar´abilis norm´alt t´erben garant´alja megsz´aml´alhat´o ´es line´ ari-san f¨uggetlen tot´alis rendszer l´etez´es´et.
2.25. Megjegyz´es. (i) A 2.23. ´all´ıt´as megford´ıt´asa is igaz, vagyis ha van megsz´aml´alhat´o teljes ortonorm´alt rendszer egy Hilbert-t´erben, akkor az sze-par´abilis. A rendszer elemeinek racion´alis egy¨utthat´okkal vett line´aris kom-bin´aci´oi ugyanis megsz´aml´alhat´o s˝ur˝u halmazt alkotnak.
(ii) Az ortonorm´alt rendszer defin´ıci´oj´aban feltett¨uk, hogy az megsz´aml´alhat´o sok elemb˝ol ´all, c´elunk ugyanis TONR-ek szerinti sorfejt´es. Elvileg tetsz˝oleges sz´amoss´ag´u ortonorm´alt rendszer is megengedhet˝o, ebben az ´ertelemben n´ ez-ve bebizony´ıthat´o, hogy minden (nemcsak szepar´abilis) Hilbert-t´erben l´etezik teljes ortonorm´alt rendszer, szepar´abilis t´erben viszont egy ilyen rendszer is csak megsz´aml´alhat´o lehet.
Mivel a TONR-eket eleve sorozatnak ´ertelmezt¨uk, a tov´abbiakban csak azt
´ırjuk: (en)⊂H TONR. C´elunk az ilyenek szerinti sorfejt´es, ehhez el˝osz¨or a Weierstrass-krit´eriumot (1.12. ´all´ıt´as) ´eles´ıtj¨uk ortogon´alis sorozat eset´en.
38 2. Hilbert-terek
eszlet-¨osszegek. Az ortogonalit´as miattn≥meset´en ksn−smk2=
´ıgy az egyik sorozat pontosan akkor Cauchy-sorozat, ha a m´asik is az. Innen m´ar H ´esRteljess´ege miatt k¨ovetkezik, hogy a k´et sorozat ekvikonvergens.
sz´amokat Fourier-egy¨utthat´oknak h´ıvjuk.
2.28. T´etel (Fourier-sorok f˝ot´etele). Legyen H Hilbert-t´er, (en) ⊂ H TONR. Ekkor tetsz˝oleges x ∈ H elem Fourier-sora konvergens ´es ¨osszege x.
Bizony´ıt´as. (i) (Konvergencia.) Vezess¨uk be az xi := hx, eiiei jel¨ol´eseket.
Mivel{xi}ortogon´alis sorozat, ez´ert a 2.26. ´all´ıt´as alapj´an aP
xiortogon´alis sor pontosan akkor konvergens, haPkxik2konvergens. Legyensn:=
n pozit´ıv tag´u sor szeletei fel¨ulr˝ol korl´atosak, teh´at konvergens. ´Igy teh´atP
xi
2.3. Fourier-sorok Hilbert-t´erben 39
0 minden j-re. Ez igaz, mert a skal´arszorz´as folytonoss´aga miatt ad´odik (l.
2.5. megjegyz´es), hogy
Bizony´ıt´as. A skal´arszorz´as folytonoss´aga miatt hx, yi=
2.30. K¨ovetkezm´eny (Parseval-egyenl˝os´eg). LegyenH Hilbert-t´er,(en)
⊂H TONR,x∈H. Ekkor
Ebb˝ol az is k¨ovetkezik, hogy ONR eset´en csak
∞
P
i=1
|hx, eii|2 ≤ kxk2 teljes¨ul, ez az ´un. Bessel-egyenl˝otlens´eg.
2.32. T´etel. Minden szepar´abilis H Hilbert-t´er izometrikusan izomorf `2 -vel.
40 2. Hilbert-terek
megfeleltet´est. Ez line´aris, ´esH →`2 lek´epez´es, mert haxsora konvergens, akkor a 2.26. ´all´ıt´as alapj´an (ci)∈`2. EmellettT k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u: in-jekt´ıv, mivelxegy´ertelm˝uen meghat´arozza Fourier-egy¨utthat´oit aci=hx, eii k´eplet r´ev´en, ´es szuperjekt´ıv, mivel b´armely (ci)∈`2 el˝o´all azx:=
2.33. Megjegyz´es. A fenti t´etelnek sz´amos hasznos k¨ovetkezm´enye van.
(i) Ha H szepar´abilis Hilbert-t´er ´es (en) ⊂H TONR, akkor a t´etelt ´ at-fogalmazva, azx∈H vektorokat megfeleltethetj¨uk a (c1, c2, . . .) koor-din´atasorozatnak. Ez k¨ozvetlen¨ul ´altal´anos´ıtja a v´eges dimenzi´os terek vektorainak koordin´at´akkal val´o le´ır´as´at.
(ii) B´armely k´et szepar´abilis Hilbert-t´er izometrikusan izomorf egym´assal.
(iii) Ha H szepar´abilis Hilbert-t´er ´es (en) ⊂ H TONR, akkor nemcsak a vektorok ´ırhat´ok le v´egtelen sok koordin´at´aval, hanem az A:H →H oper´atorok is (∞ × ∞)-es m´atrixszal.
Legyen el˝osz¨or A korl´atos line´aris oper´ator. Ha x =
sz´amok. Ez egy ´altal´anos´ıtott m´atrix-vektor-szorz´as, vagyis tetsz˝oleges ilyen oper´ator megfeleltethet˝o egy alkalmas (aij)i,j∈N+(∞×∞)-es m´ at-rixnak.
Ez a megfeleltet´es megfelel˝o m´odos´ıt´asokkal ´atvihet˝o arra az esetre is, haD(A)⊂H ´es Anem korl´atos. Ez fizikai jelent´ese miatt nevezetes.
A kvantummechanika egyik egzakt megfogalmaz´as´at ugyanis Heisen-berg ´un. m´atrixmechanikak´ent dolgozta ki, ami az oper´atorok v´egtelen m´atrixszal val´o reprezent´aci´oj´at tartalmazza, a m´asik megfogalmaz´ast Schr¨odinger hull´ammechanikak´ent ´ırta le, amely L2(Rn)-ben ´ ertelme-zett (nem korl´atos) oper´atorokat haszn´al. Schr¨odinger azt is megmu-tatta, hogy a k´et megfogalmaz´as ekvivalens [65], majd Neumann J´anos
2.3. Fourier-sorok Hilbert-t´erben 41
ugyanezt az L2(Rn) ´es `2 terek izometri´aj´ab´ol vezette le [50]. Ez az ekvivalencia megfelel az oper´atorok el˝obb le´ırt megfeleltet´es´enek.
Most n´eh´any nevezetes p´eld´at mutatunk teljes ortonorm´alt rendszerre.
• H :=L2(0, π),
en(x) :=
r2
πsinnx (n∈N+).
(szinuszrendszer). Itt integr´al´assal ad´odik, hogy ez ortonorm´alt rend-szer, tov´abb´a az anal´ızis egy t´etele szerint ha f ∈ L2(0, π) minde-n¨utt [70]. Ez ´epp azt jelenti, hogy a szinuszrendszer TONR-t alkot.
A f˝ot´etel szerint teh´at b´armelyf ∈L2(0, π) eset´en f =
A tov´abbi p´eld´akban csak fel´ırjuk a rendszer tagjait. (Ortonorm´ alt-s´aguk elemien l´athat´o, teljess´eg¨uk r´eszben visszavezethet˝o a fenti sin-rendszer teljess´eg´ere.)
42 2. Hilbert-terek ska-l´arszorzat mellett ortogon´alis polinomokb´ol TONR alkothat´o. A poli-nomok ugyanis tot´alis rendszert alkotnak, ´ıgy a 2.23. ´all´ıt´as mint´aj´ara Gram–Schmidt-ortogonaliz´aci´oval TONR konstru´alhat´o, ezek aws´ uly-f¨uggv´enyre n´ezve ortogon´alis polinomok. Itt w >0 m´erhet˝o, ´es konk-r´et v´alaszt´as´at´ol f¨ugg˝oen t¨obbf´ele nevezetes rendszer ad´odik, p´eld´aul a (−1,1) intervallumonw≡1 eset´en a Legendre-, w(x) = (1−x2)−1/2 eset´en a Csebisev-polinomokat kapjuk, m´ıg azI =Rintervallumon a w(x) =e−x2 s´ulyf¨uggv´eny az Hermite-polinomokat adja. (E rendszerek numerikus integr´al´as sor´an hasznosak.) L´asd [45, 69].
• H := L2(0,1) eset´en a Haar-rendszer olyan l´epcs˝osf¨uggv´enyekb˝ol ´all, melyek csak 0 vagy±1 ´ert´eket vesznek fel 1/2nhossz´u r´ eszintervallumo-kon, ´espedige0,0(x) := 1, ha 0≤x <1/2 ´es−1, ha 1/2≤x <1, illetve n∈N+´es 0≤k <2n eset´enen,k(x) :=e0,0(2nx−k), ha 2kn ≤x < k+12n
´es 0 k¨ul¨onben. (Ennek k¨ozeli rokona a Walsh–Rademacher-rendszer, a
±1 konstansok m´as eloszt´as´aval [45].) Ez teljes ortogon´alis rendszer, melyb˝ol norm´alva TONR-t kapunk.
2.34. Megjegyz´es. A Fourier-sorfejt´es ´altal´anos´ıthat´o Banach-t´erre az or-togonalit´as n´elk¨ul: egy (en) ⊂ X rendszert Schauder-b´azisnak h´ıvunk, ha minden x ∈ X egy´ertelm˝uen el˝o´all x = P∞
n=1cnen alakban. A fenti en = (0,0, . . . ,0,1,0,0. . .) sorozatok p´eld´aul az `p t´erben Schauder-b´azist alkot-nak, ha 1< p <∞.
2.35. Megjegyz´es. A Fourier-sorok gyakorlati jelent´ese az, hogy egy adott jel felbonthat´o megsz´aml´alhat´o sok adott frekvenci´aj´u jel szuperpoz´ıci´oj´ara.
Tekints¨uk pl. aH =L2(0,2π) t´erben azen(x) = √1
Megeml´ıtj¨uk, hogy ha az intervallum R, akkor nincsenek ilyen kit¨untetett frekvenci´ak, azaz b´armelyy∈Reset´en azey(x) =√1
2π eiyx f¨uggv´enyek k¨ozt nem tehet˝o k¨ul¨onbs´eg. Ilyenkor a jelek felbont´as´an´al a fenti sor hely´et az
¨osszesy-ra vonatkoz´o integr´al veszi ´at, acn egy¨utthat´ok sorozat´anak hely´et pedig a Fourier-transzform´alt (l´asd 6.4. szakasz).
A Fourier-sorok klasszikus elm´elet´er˝ol.A Fourier-sorok fejl˝od´ese sor´an eredetileg a pontonk´enti konvergencia szempontj´ab´ol vizsg´alt´ak a sorokat, f˝oleg a 3. p´eld´aban szerepl˝o sin-cos-rendszer eset´en ´es folytonos f¨uggv´enyre.
Ennek igen kiterjedt elm´elet´eb˝ol (l´asd pl. [45, 70]) id´ez¨unk n´eh´any alapt´etelt.
2.3. Fourier-sorok Hilbert-t´erben 43
A sin-cos-rendszer periodikus volta miatt f(0) = f(2π) sz¨uks´eges felt´etel.
Legyen teh´at
sn(x) = a0
2 +
n
X
k=1
(akcoskx+bksinkx) (n∈N+),
ahol ak:= 1 π
Z 2π 0
f(x) coskxdx, bk := 1 π
Z 2π 0
f(x) sinkxdx.
Ha f ∈ C[0,2π], melyre f(0) = f(2π), igaz-e, hogy sn → f pontonk´ent [0,2π]-ben?
2.36. T´etel (Steinhaus). L´etezik f ∈ C[0,2π], f(0) = f(2π), melynek Fourier-sora mindenπ·rhelyen divergens, ahol r racion´alis.
Az egy pontban val´o divergenci´ara Fej´er adott el˝osz¨or bizony´ıt´ast, ennek m´odos´ıt´as´aval ad´odott a fenti t´etel.
Ha a folytonoss´ag felt´etel´et n´emileg er˝os´ıtj¨uk, akkor m´ar igaz a pontonk´enti konvergencia, s˝ot az egyenletes is. Egy f : I → R f¨uggv´enyre fenn´all az α-kitev˝os Lipschitz-folytonoss´ag (0 < α ≤ 1), ha van olyan C > 0, hogy
|f(x)−f(y)| ≤ C|x−y|α (∀x, y ∈ I). Ekkor azt ´ırjuk, hogy f ∈ Lipα(I).
Azα= 1 esetnek felel meg a szok´asos Lipschitz-folytonoss´ag, m´ıg az α <1 esetet H¨older-folytonoss´agnak is szok´as nevezni.
2.37. T´etel (Lipschitz-krit´erium). Legyen 0 < α ≤ 1 adott sz´am. Min-denf ∈Lipα[0,2π],f(0) =f(2π) eset´en sn→f egyenletesen.
Speci´alisan, ha f ∈C1(I), akkor f ∈ Lip1(I) is, ez´ert ekkor is igaz a fenti t´etel.
Altal´´ anosabb f¨uggv´enyoszt´alyra a pontonk´entin´el gyeng´ebb, de ´erdemi kon-vergenciat´etel ´all fenn:
2.38. T´etel (Carleson). Mindenf ∈L2(0, π)f¨uggv´eny Fourier-sora majd-nem minden¨utt konverg´al f-hez.
A pontonk´enti konvergencia is el´erhet˝o folytonos f¨uggv´enyre is, ha nem a r´eszlet¨osszegek konvergenci´aj´at vizsg´aljuk, hanem azok sz´amtani k¨ozepeit.
Vezess¨uk be az ´ugynevezett Fej´er-k¨ozepeket:
σn:= 1
n+ 1(s0+s1+· · ·+sn).
2.39. T´etel (Fej´er). Minden f ∈ C[0,2π], f(0) = f(2π) eset´en σn → f egyenletesen.