Alaptulajdons´ agok

6.35. Defin´ıci´o. Egy A ∈ B(X) oper´atornak a λ ∈ C sz´am saj´at´ert´eke, ha l´etezik 0 6= u ∈ X, hogy Au = λu; ekkor az uvektort (λ-hoz tartoz´o) saj´atvektornak nevezz¨uk. Az A ∈ B(X) oper´ator saj´at´ert´ekeinek halmaz´at Eig(A)-val jel¨olj¨uk.

6.36. Megjegyz´es. (i) Hau λ-hoz tartoz´o saj´atvektor, akkor b´armelyc∈C eset´encuisλ-hoz tartoz´o saj´atvektor. Adottλ-hoz tartozhat t¨obb, line´arisan f¨uggetlen saj´atvektor is, ekkor ezek line´aris kombin´aci´oi is λ-hoz tartoz´o sa-j´atvektorok. Az ¨osszesλ-hoz tartoz´o saj´atvektor ´un.λ-hoz tartoz´osaj´atalteret alkot. A saj´atalt´erre megszor´ıtva azAoper´ator hat´asa aλ-val val´o szorz´as.

80 6. Folytonos line´aris oper´atorok Hilbert-t´erben

(ii) Egy λ ∈ C sz´am pontosan akkor saj´at´ert´ek, ha A−λI nem injekt´ıv.

Ekkor ker(A−λI) aλ-hoz tartoz´o saj´atalt´er.

6.37. ´All´ıt´as. Hilbert-t´eren ´ertelmezett speci´alis oper´atorok saj´at´ert´ekeire az al´abbiak teljes¨ulnek.

(1) ¨Onadjung´alt oper´ator saj´at´ert´ekei val´osak, a k¨ul¨onb¨oz˝o saj´at´ert´ekekhez tartoz´o saj´atvektorok ortogon´alisak.

(2) Pozit´ıv (szigor´uan pozit´ıv) oper´ator saj´at´ert´ekei nemnegat´ıvak (pozit´ı-vak).

(3) Unit´er oper´ator saj´at´ert´ekeire|λ|= 1.

(4) Ha egyAnorm´alis oper´atorraλ∈Eig(A), akkorλ∈Eig(A^∗)´es ugyan-azok a saj´atvektorai.

Bizony´ıt´as. (1)-(2) LegyenAu=λu,u6= 0. Ekkor λkuk²=hλu, ui=hAu, ui.

Ittkuk²>0, ´ıgy haA¨onadjung´alt/pozit´ıv/szigor´uan pozit´ıv oper´ator, akkor hAu, ui´es ´ıgyλis val´os/nemnegat´ıv/pozit´ıv. Legyen mostAv =µv,v 6= 0.

HaA ¨onadjung´alt, akkor

λhu, vi=hλu, vi=hAu, vi=hu, Avi=µhu, vi=µhu, vi, teh´at haλ6=µ, akkorhu, vi= 0.

(3) HaA unit´er, akkorkuk=kAuk=|λ| kuk, teh´at|λ|= 1.

(4) Mivel A norm´alis, azaz AA^∗ = A^∗A, ´ıgy kAxk = hA^∗Ax, xi^1/2 = hAA^∗x, xi^1/2=kA^∗xk(∀x∈H). Ebb˝olk(A−λI)uk=

(A^∗−λI)u (∀λ∈ C, u∈H), ´ıgy (A−λI)u= 0⇔(A^∗−λI)u= 0.

6.38. Defin´ıci´o. LegyenA∈B(X) adott oper´ator.

(1) Egy λ∈Csz´amA-nak

(i) regul´aris ´ert´eke, haA−λI :X →X bijekci´o;

(ii) szingul´aris ´ert´eke, ha nem regul´aris.

AzAoper´ator regul´aris ´ert´ekeinek halmaz´at jel¨olje%(A), a szingul´aris

´

ert´ekek´et pedigσ(A).

(2) Aσ(A)⊂Chalmazt azAoper´atorspektrum´anaknevezz¨uk.

6.5. Saj´at´ert´ek ´es spektrum 81

6.39. Megjegyz´es. (i) Ha λ regul´aris ´ert´eke A-nak, akkor (A−λI)⁻¹ ∈ B(X), mert a 4.14. k¨ovetkezm´eny szerint korl´atos line´aris bijekci´o inverze is korl´atos line´aris oper´ator.

(ii) Haλ∈%(A), akkor az azt jelenti, hogy az Ax−λx =y un. m´´ asodfaj´u egyenlet minden y ∈ X eset´en egy´ertelm˝uen megoldhat´o, tov´abb´a a meg-old´as folytonosan f¨ugg y-t´ol, vagyis az egyenlet korrekt kit˝uz´es˝u (l´asd 4.16.

defin´ıci´o).

Ez azt is jelenti, hogy a regul´aris ´ert´ekek kedvez˝oek a m´asodfaj´u egyenletek viselked´ese szempontj´ab´ol; ennek ellen´ere, mint a bevezet˝oben is eml´ıtett¨uk, a spektrum bizonyul fontosabb fogalomnak az oper´atorok tov´abbi vizsg´ ala-t´aban.

6.40. Megjegyz´es. (A saj´at´ert´ekek ´es spektrum kapcsolata.)

(i) Egy A ∈ B(X) oper´ator saj´at´ert´ekei – amennyiben egy´altal´an vannak neki – mind a spektrumban is vannak, azaz Eig(A)⊂σ(A). Egyλ∈Csz´am saj´at´ert´ek volta ugyanis azt jelenti, hogy A−λI nem injekt´ıv, akkor pedig bijekci´o sem lehet, azazλszingul´aris ´ert´ek.

Megford´ıtva ´altal´aban csak v´eges dimenzi´os t´erben igaz, vagyis ha dimX v´eges, akkor azA ∈B(X) oper´atorra (l´enyeg´eben a m´atrixokra) Eig(A) = σ(A). HaX v´egtelen dimenzi´os, akkor viszontλlehet szingul´aris ´ert´ek ´ugy is, hogy nem saj´at´ert´ek, hiszen haA−λInem bijekci´o, att´ol m´eg lehet injekt´ıv, felt´eve, ha nem szuperjekt´ıv. Erre a 6.88. megjegyz´esben is mutatunk p´eld´at.

Az al´abbi p´elda azt a sz´els˝o helyzetet illusztr´alja, amikor egy´altal´an nincs saj´at´ert´ek.

(ii) (P´elda arra, hogy Eig(A) = ∅.) Legyen J := [a, b] intervallum, X = H := L²(J) ´es A : H → H, (Af)(x) := x f(x). K¨onnyen l´athat´o, hogy A∈B(H). Ha λ∈Cadott sz´am, akkor azAf =λf egyenlet megold´as´ara (x−λ)f(x) = 0 m.m.x∈J, de mivelx6=λeset´en a bal t´enyez˝o nem 0, ´ıgy f(x) = 0 kell m.m. x∈ J eset´en, teh´at f az L²(J) t´er 0 eleme, ´ıgyλ nem saj´at´ert´ek.

A fenti oper´ator spektruma viszont nem ¨ures, hanem σ(A) =J. Ha ugyanis λ ∈ J, akkor A−λI nem lehet bijekci´o, mert nem szuperjekt´ıv: pl. g ≡ 1 ∈ L²(J), de az (A−λI)f = g egyenlet megold´asa f(x) = _x−λ¹ (m.m.

x∈J), ami nemL²(J)-beli, mert n´egyzetintegr´alja v´egtelen. ´Igyλ∈σ(A).

Haλ /∈J, akkor a fentif korl´atos, ´ıgyL²(J)-beli is, teh´atA−λI bijekci´o ´es

´ıgyλ∈%(A). A spektrum nem ¨ures volt´at a k¨ovetkez˝o szakaszban ´altal´aban is bizony´ıtjuk.

(iii) Hilbert-t´erben a spektrumra is igazolhat´ok a 6.37. ´all´ıt´as saj´at´ert´ekre ki-mondott tulajdons´agai. Ezeket legegyszer˝ubben a megoldhat´os´agi t´etelekb˝ol kaphatjuk meg, ´ıgy a 7.1. szakaszban igazoljuk a 7.7. ´all´ıt´asban.

82 6. Folytonos line´aris oper´atorok Hilbert-t´erben

HaA norm´alis, akkor igazolhat´o, hogy ha λ∈ σ(A) nem saj´at´ert´ek, akkor van olyan (un)⊂H sorozat, melyrekunk= 1 (∀n∈N⁺) ´esAun−λun→0;

l´asd szint´en a 7.1. szakaszban a 7.8. ´all´ıt´asban. Ilyenkor a λsz´amot szok´as

´

altal´anos´ıtott saj´at´ert´eknek h´ıvni.

(iv) Hilbert-t´erben a spektrum szorosan kapcsol´odik a 6.15. megjegyz´esben defini´alt W(A) halmazhoz, hiszen mindkett˝o tartalmazza a saj´at´ert´ekeket,

´es norm´alis oper´ator eset´en mindkett˝otkAksugar´u k¨orlap tartalmazza. Iga-zolhat´o [8], hogy ha A norm´alis, akkor W(A) lez´artja azonos σ(A) konvex burk´aval.

6.41. Defin´ıci´o. EgyA∈B(X) oper´atorregul´aris, haA:X→X bijekci´o.

A regul´aris oper´atorok halmaz´atB(X)-ban jel¨olje Reg(X).

Ism´et hivatkozva a 4.14. k¨ovetkezm´enyre, ha A ∈ Reg(X), akkor nemcsak A, hanem A⁻¹ is folytonos line´aris oper´ator. A

”regul´aris” kifejez´est k´etf´ e-le ´ertelemben is bevezett¨uk; a defin´ıci´okb´ol vil´agos, hogy λpontosan akkor regul´aris ´ert´ekeA-nak, haA−λI regul´aris, azaz:

6.42. ´All´ıt´as. λ∈%(A) ⇐⇒ A−λI ∈Reg(X).

A tov´abbiakban igazolni fogjuk, hogy b´armelyA∈B(X) oper´ator spektruma kompakt, nem ¨ures halmaz.

´ıgy a Weierstrass-krit´erium (1.12. ´all´ıt´as) szerint az oper´atorsor is konvergens.

LegyenS ∈B(X) az ¨osszege. Ekkor