oper´ atorok Hilbert-t´ erben
6.6. Kompakt oper´ atorok
6.6.4. Kompakt ¨ onadjung´ alt oper´ atorok spektruma
Ha egy ¨onadjung´alt oper´ator kompakt, akkor ´erv´enyes a szimmetrikus m´ at-rixokra ismert f˝otengelyt´etel [24, II. 6.3] v´egtelen dimenzi´os ´altal´anos´ıt´asa.
Ezt az al´abbi t´etel ´es a 6.85. k¨ovetkezm´eny mondja ki. (Ehhez kapcsol´odik ut´ana a 6.92 el˝o´all´ıt´asi t´etel is.)
6.83. T´etel (kompakt ¨onadjung´alt oper´atorok f˝ot´etele). Legyen H Hilbert-t´er,A∈B(H)kompakt ¨onadjung´alt oper´ator. Ekkor σ(A) megsz´ am-l´alhat´o, ´esσ(A)\ {0}csak saj´at´ert´ekekb˝ol ´all, melyek csak a 0-ban torl´ odhat-nak. Aλ6= 0saj´at´ert´ekek rangja (azaz aker(A−λI)saj´atalterek dimenzi´oja) v´eges.
Ha H szepar´abilis, akkor a saj´atvektorokb´ol teljes ortonorm´alt rendszer v´ a-laszthat´oH-ban.
Bizony´ıt´as. Feltehetj¨uk, hogy H v´egtelen dimenzi´os, hiszen v´eges
dimenzi-´
oban ´all´ıt´asunk a m´ar eml´ıtett f˝otengelyt´etel.
1. l´ep´es. Igazoljuk, hogy σ(A)\ {0} csak saj´at´ert´ekekb˝ol ´all. Mivel a 6.40.
megjegyz´es (iii) pontja szerint σ(A) ⊂ R, ´ıgy ezt el´eg val´os λ-ra. Legyen teh´atλ∈R,λ6= 0, ´es tegy¨uk fel, hogyλnem saj´at´ert´ek. Megmutatjuk, hogy ekkorλ∈%(A), azaz regul´aris ´ert´ek.
Mivel λ nem saj´at´ert´ek, ´ıgy A−λI injekt´ıv; c´elunk, hogy szuperjekt´ıv is legyen. Mivel ker(A−λI) = {0} ´es A−λI ¨onadjung´alt is, a 6.5. t´etelb˝ol H=R(A−λI), azaz R(A−λI) s˝ur˝u.
Legyeny∈Htetsz˝oleges; c´elunk, hogyy∈R(A−λI). Mivel ut´obbi s˝ur˝u, ´ıgy annyit m´ar ´all´ıthatunk, hogy van olyan (xn)⊂H sorozat, hogyAxn−λxn→ y.
(i) Tegy¨uk fel el˝osz¨or, hogy (xn) korl´atos, vagy legal´abbis van korl´atos r´ esz-sorozata. MivelAkompakt, ´ıgy (Axn)-nek van konvergens r´eszsorozata, azaz melyreAxnk → z valamely z ∈ H eset´en. Mivel y = lim(Axnk−λxnk) ´es limAxnk=z, ´ıgy (xnk) is konvergens ´esy=z−λlimxnk, felhaszn´alva, hogy λ6= 0. Hax:= limxnk, akkor y =z−λx. M´asr´eszt A folytonoss´aga miatt Ax= limAxnk=z, ´ıgyy=Ax−λx. ´Igy teh´aty∈R(A−λI).
(ii) N´ezz¨uk most a m´asik esetet, amikor (xn)-nek nincs korl´atos r´eszsorozata, azazkxnk → ∞. Igazoljuk, hogy ez lehetetlen. Legyen ugyanis ekkorun :=
xn
kxnk, ez korl´atos, ´ıgy a fentiek miatt Aunk → z valamely z ∈ H eset´en ´es alkalmas r´eszsorozatra. Most y = lim(Axnk −λxnk) = limkxnkk(Aunk − λunk), ami csak akkor lehet, ha lim(Aunk−λunk) = 0, k¨ul¨onben a szorzat nem lehetne konvergenskxnkk → ∞miatt. Mint az el˝obb, ekkor l´eteziku:=
limunk ´es fenn´all z =λu, m´asr´esztz = limAunk =Au, ezekb˝olAu =λu.
Itt u 6= 0, mivel kuk = limkunkk = 1, ´ıgy λ saj´at´ert´ek, ami ellentmond a feltev´esnek.
6.6. Kompakt oper´atorok 95
2. l´ep´es.Sorbarendezz¨uk a saj´at´ert´ekeket.
(i) Legyen el˝osz¨or λ1 a legnagyobb abszol´ut ´ert´ek˝u saj´at´ert´ek. MivelA ¨ on-adjung´alt, a 6.62. ´all´ıt´as szerint teh´at
|λ1|= max{|λ|: λ∈σ(A)}=kAk.
Legyene1λ1-hez tartoz´o norm´alt saj´atvektor ´esH1:=span{e1}(1-dimenzi´os alt´er). Ekkor A|H⊥
1 :H1⊥→H1⊥, azazA invari´ansan hagyjaH1⊥-et, mert ha x∈ H1⊥, azaz hx, e1i= 0, akkor hAx, e1i= hx, Ae1i= λ1hx, e1i = 0, azaz Ax∈H1⊥.
(ii) Legyenλ2 az a saj´at´ert´ek, melyre
|λ2|= max{|λ|: λ∈σ(A|H⊥
1 )}=kA|H⊥ 1k.
(Ut´obbi az´ert igaz, mert A|H⊥
1 is ¨onadjung´alt.) Mivel λ2 A-nak is saj´
at-´ert´eke, ´ıgy |λ1| ≥ |λ2|. Legyen e2 λ2-hez tartoz´o norm´alt saj´atvektor ´es H2 := span{e1, e2}. Ekkor A|H⊥
2 : H2⊥ → H2⊥, mert ha x ∈ H2⊥, azaz hx, eii = 0 (i = 1,2), akkor hAx, eii = hx, Aeii = λihx, eii = 0 (i = 1,2), azazAx∈H2⊥.
(iii) Az elj´ar´ast folytatva, nyer¨unk egyλ1, λ2, . . . saj´at´ert´ek-sorozatot, melyre
|λ1| ≥ |λ2| ≥. . . ,
´es egy megfelel˝oe1, e2, . . . saj´atvektor-sorozatot, amely ortonorm´alt rendszert alkot. A megfelel˝oHn:=span{e1, . . . , en}alterekre
|λn+1|= max{|λ|: λ∈σ(A|H⊥
n)}=kA|H⊥
nk. (6.9)
3. l´ep´es.Igazoljuk, hogy a fenti elj´ar´assal kapott λn-ek csak a 0-ban torl´ od-hatnak, ´es az ¨osszes saj´atvektorb´ol TONR-t alkothat´o ker(A)⊥-ben.
(i) Ha minden l´ep´esben|λn|>0 marad, akkor λ0:= inf|λn|= 0, ugyanis b´armelyn6=keset´en
kAen−Aekk2=kλnen−λkekk2=λ2n+λ2k ≥2λ20,
´ıgy λ0 >0 eset´en A nem lehetne kompakt a 6.72. k¨ovetkezm´eny miatt. ´Igy λn →0, ´es az ¨osszes nem 0 saj´at´ert´eket megkaptuk.
Emellett az en saj´atvektor-sorozat teljes ortonorm´alt rendszert (TONR-t) alkot∪Hn-ban. Mi a helyzet ut´obbi ortokomplemetum´aban? Itt
A|(∪Hn)⊥
=
A|∩(H⊥ n)
= inf
A|H⊥ n
= inf|λn+1|= 0,
96 6. Folytonos line´aris oper´atorok Hilbert-t´erben
teh´at (∪Hn)⊥= ker(A). Megford´ıtva,
∪Hn= ker(A)⊥,
teh´at az en saj´atvektor-sorozat TONR-t alkot ker(A)⊥-ben.
(ii) Ha az elj´ar´as v´eges sok λ1, . . . , λn 6= 0 saj´at´ert´eket produk´al (azazλn+1
m´ar nulla; ez akkor lehet, ha A v´eges rang´u), akkor a megfelel˝o e1, . . . , en
vektorok ortonorm´alt b´azist (ONB-t) alkotnak ker(A)⊥-ben.
4. l´ep´es. A fentiekb˝ol k¨ovetkezik, hogy σ(A) megsz´aml´alhat´o, ´es csak a 0 lehet torl´od´asi pontja. Emellett egyλ´ert´ek csak v´eges sokszor ism´etl˝odhet,
´ıgy v´eges sok f¨uggetlen saj´atvektora van, teh´at a λ6= 0 saj´at´ert´ekek rangja v´eges.
5. l´ep´es.L´attuk, hogy a kapott en saj´atvektor-sorozat TONR-t vagy ONB-t alkot ker(A)⊥-ben, annak dimenzi´oj´at´ol f¨ugg˝oen. Ha H szepar´abilis, akkor ker(A) is az, ´ıgy (ha ker(A) nem csak a 0 alt´er) v´alaszthat´o benne is TONR vagy ONB, most ker(A) dimenzi´oj´at´ol f¨ugg˝oen. Ezek is saj´atvektorok, a 0 saj´at´ert´ekhez tartoz´oak. Ezeket is hozz´av´eve a ker(A)⊥-beli en saj´
atvekto-rokhoz, a kapott sorozat TONR-t alkotH-ban.
6.84. Megjegyz´es. LegyenHtetsz˝oleges (nem felt´etlen¨ul szepar´abilis) Hilbert-t´er. Ekkor a fenti bizony´ıt´as 2. l´ep´es´enek elj´ar´as´aval a nem 0 saj´at´ert´ekekhez tartoz´o saj´atvektorokb´ol ker(A)⊥-ben alkothat´o teljes ortonorm´alt rendszer, ami a 6.83. t´etel befejez˝o ´all´ıt´as´anak ´altal´anosabb megfelel˝oje.
6.85. K¨ovetkezm´eny. Legyen H tetsz˝oleges (nem felt´etlen¨ul szepar´abilis) Hilbert-t´er, ´es (ek)k∈N+ azA oper´atorλk 6= 0 saj´at´ert´ekeihez tartoz´o orton-orm´alt saj´atvektorrendszer. Ekkor
Ax=
∞
X
k=1
λkhx, ekiek (x∈H). (6.10) Bizony´ıt´as.Mivel az (ek)k∈N+sorozat ker(A)⊥-beli TONR, azx∈Hvektor fel´ırhat´o x= x0+P∞
k=1hx, ekiek alakban, ahol x0 ∈ker(A) ´es a m´asodik tag a ker(A)⊥-beli komponens. Mivel Afolytonos line´aris ´esAx0 = 0, ez´ert ha alkalmazzuk erre a sorra, akkor megkapjuk (6.10)-et.
6.86. Megjegyz´es. A 6.83. t´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy Hilbert t´erben min-den A ∈ B(H) kompakt ¨onadjung´alt oper´ator el˝o´all v´eges rang´u oper´ ato-rok limeszek´ent, azaz a 6.82. k¨ovetkezm´eny speci´alis esete. Legyen ugyanis An∈B(H) a k¨ovetkez˝o v´eges rang´u oper´ator:
Anx:=
n
X
k=1
λkhx, ekiek (x∈H), (6.11)
6.6. Kompakt oper´atorok 97
ahol (ek)k∈
N+ aλk 6= 0 saj´at´ert´ekekhez tartoz´o ortonorm´alt saj´ atvektorrend-szer, amely ker(A)⊥-beli TONR. Ekkor (A−An)|Hn = 0 ´es (A−An)|H⊥
6.87. Megjegyz´es. (i) A 6.83. t´etel ´all´ıt´asai kompakt norm´alis oper´ator ese-t´en is igazak, l´asd [42, Chap. 28].
(ii) A 6.83. t´etel els˝o fele X Banach-t´erben is igaz tetsz˝oleges A ∈ B(X) kompakt oper´atorra, l´asd [38, 14. fejezet], ez a Riesz–Schauder-t´etel. Azaz, σ(A) megsz´aml´alhat´o, ´esσ(A)\ {0} csak saj´at´ert´ekekb˝ol ´all, melyek csak a 0-ban torl´odhatnak, ill. aλ6= 0 saj´at´ert´ekek rangja v´eges.
6.88. Megjegyz´es. (i) Ha A ∈ B(H) kompakt ´es H v´egtelen dimenzi´os, akkor 0∈ σ(A), ugyanis az A−0·I =A oper´atornak a 6.78. ´all´ıt´as miatt nem lehet korl´atos inverze.
(ii) A fentiek alapj´an egyszer˝u p´eld´ak adhat´ok olyan oper´atorokra v´egtelen dimenzi´os Hilbert-t´erben, hogy a spektrum megegyezik, ill. szigor´uan b˝ovebb a saj´at´ert´ekek halmaz´an´al. Ha ugyanis egy kompakt ¨onadjung´alt oper´ator nem injekt´ıv, akkor 0 is saj´at´ert´eke, ´ıgy Eig(A) =σ(A); ha viszont injekt´ıv, akkor 0 nem saj´at´ert´eke, de a fentiek szerint spektrumpontja, ´ıgy Eig(A)( σ(A).
A 6.83. t´etel eredm´enye lehet˝ov´e teszi m´asodfaj´u egyenletek konstrukt´ıv meg-old´as´at azAsaj´at´ert´ekei ´es saj´atvektorai ismeret´eben.
6.89. T´etel (Hilbert–Schmidt-sorfejt´es). LegyenH szepar´abilis Hilbert-t´er,A∈B(H) kompakt ¨onadjung´alt oper´ator, λ∈C regul´aris ´ert´ekeA-nak.
Ekkor az
Ax−λx=y m´asodfaj´u egyenlet az al´abbi m´odon oldhat´o meg.
Legyen (ek) a saj´atvektorokb´ol alkotott teljes ortonorm´alt rendszer, (λk) a megfelel˝o saj´at´ert´ekek sorozata multiplicit´assal sz´amolva. Ha
y=
98 6. Folytonos line´aris oper´atorok Hilbert-t´erben
6.90. Megjegyz´es. A m´odszer akkor is m˝uk¨odik, ha H nem szepar´abilis.
Ekkor ker(A)⊥-ben l´etezik TONR, ´ıgyy=x0+ Line´aris algebrai egyenletrendszerek ismert tulajdons´aga n´egyzetes m´atrix eset´en, hogy a rendszernek pontosan akkor l´etezik tetsz˝oleges jobboldal ese-t´en megold´asa, ha a homog´en rendszernek csak a 0 megold´asa. (A megfelel˝o line´aris lek´epez´es teh´at pontosan akkor szuperjekt´ıv, ha injekt´ıv: ez abb´ol k¨ovetkezik, hogy a k´ept´er ´es magt´er dimenzi´oja egy¨utt kiadja az eg´esz t´er – v´eges – dimenzi´oj´at.) A fenti tulajdons´ag nem igaz ´altal´aban v´egtelen di-menzi´os terekben, de kompakt oper´atorb´ol k´epzettA−λIoper´atorokra igen, amit az al´abbi nevezetes t´etel mond ki.
6.91. T´etel (Fredholm-f´ele alternat´ıvat´etel). LegyenXBanach-t´er,A∈ B(X)kompakt oper´ator, λ∈C,λ6= 0 adott sz´am. Ekkor az
Ax−λx=y
m´asodfaj´u egyenlet megoldhat´os´ag´ara n´ezve k´et eset lehets´eges:
(i) (ha λ nem saj´at´ert´eke A-nak:) b´armely y ∈ X eset´en az Ax−λx =y egyenletnek egy´ertelm˝uen l´etezik megold´asa;
(ii) (ha λ saj´at´ert´ekeA-nak:) az Ax−λx = 0 homog´en egyenletnek l´etezik x6= 0 megold´asa.
Ha H Hilbert-t´er ´es A ¨onadjung´alt, akkor a (ii) esetben az Ax−λx = y egyenletnek pontosan akkor l´etezik megold´asa, ha y ⊥ker(A−λI), azaz ha hy, vii= 0, aholv1, . . . , vn b´azis ker(A−λI)-ben.
Bizony´ıt´as. Ha λ 6= 0 nem saj´at´ert´ek, akkor 6.87. megjegyz´es (ii) r´esze alapj´an regul´aris ´ert´ek, ´ıgy a 6.39. megjegyz´es (ii) r´esze szerint b´armelyy∈X eset´en az Ax−λx = y egyenletnek egy´ertelm˝uen l´etezik megold´asa. Ha λ saj´at´ert´ek, akkor a (ii) tulajdons´ag defin´ıci´o szerint teljes¨ul.
HaH Hilbert-t´er,A ¨onadjung´alt ´esλ∈Eig(A), akkor igazolnunk kell: y ∈
6.7. Oper´atorok spektr´alis el˝o´all´ıt´asa, oper´atorf¨uggv´enyek 99
P
ek⊥Vj
|ck|2≤ δ12
P
ek⊥Vj
|dk|2=δ12kyk2<∞. Emellett (A−λjI)x= P
ek⊥Vj
(λk− λj)ckek = P
ek⊥Vj
dkek =y, ´ıgyy∈R(A−λI). HaH nem szepar´abilis, akkor a fentix´esy is kieg´esz´ıthet˝o alkalmas ker(A)-beli komponenssel, felhaszn´alva, hogy a ker(A) alt´erbenA−λjI megegyezik−λjI-vel.