megoldhat´ os´ aga korl´ atos oper´ ator eset´ en
7.1. Egyenletek koercivit´ asi felt´ etelek mellett
7.3.1. Oper´ atorokkal megadott nyeregpont-feladatok
Sz´amos alkalmaz´asban tal´alkozhatunk az al´abbi speci´alis alak´u rendszerrel:
( Au +Bp=f
B∗u−Cp=g. (7.5)
(Ilyen p´eld´aul a Stokes-feladat, l´asd 10.3 fejezet, vagy elliptikus feladatok els˝orend˝u rendszerr´e val´o ´at´ır´asa.) Itt feltessz¨uk, hogy H, K val´os Hilbert-terek, f ∈ H, g ∈ K, A : H → H, B : K → H ´es C : K → K korl´atos line´aris oper´atorok, valamintA´esC ¨onadjung´alt, ´es van olyanm >0, hogy hAu, ui ≥mkuk2, hCp, pi ≥0 (∀u∈H, p∈K). (7.6) A (7.5) rendszer l´enyeg´eben egy oper´atorm´atrixra vonatkoz´o egyenlet aH×K szorzatt´eren.
A”nyeregpont-feladat” elnevez´es abb´ol sz´armazik, hogy a fenti rendszer meg-old´asa egy alkalmas kvadratikus t´ıpus´u funkcion´al nyeregpontjak´ent ´all el˝o, ezt a 14.1 fejezet v´eg´en t´argyaljuk.
HaC is egyenletesen pozit´ıv:
hCp, pi ≥σkuk2 (∀p∈K)
(aholσ >0), akkor ´erdemes beszorozni a m´asodik egyenletet (-1)-gyel. ´Igy a kapott oper´atorm´atrix ugyanis (b´ar m´ar nem szimmetrikus) koerc´ıv aH×K szorzatt´eren:
A B
−B∗ C u p
, u
p
=hAu, ui+hBp, ui − hB∗u, pi+hCp, pi
=hAu, ui+hCp, pi ≥ min{m, σ}(kuk2+kpk2) ∀(u, p)∈H×K,
7.3. Nyeregpont-feladatok megoldhat´os´aga, inf-sup-felt´etel 121
a 7.2. t´etel szerint teh´at b´armely (f, g) ∈H ×K eset´en a (7.5) feladatnak l´etezik egyetlen (u, p)∈H×K megold´asa.
A tov´abbiakban azt az esetet vizsg´aljuk, amikorC= 0, azaz ( Au +Bp=f
B∗u =g (7.7)
(mint p´eld´aul az eml´ıtett Stokes-feladat). Ekkor nem m˝uk¨odik az el˝obbi elj´ a-r´as; ehelyettAbijekci´o volt´at kihaszn´alva ´atrendezz¨uk az egyenletet. Fejezz¨uk ki az els˝o egyenl˝os´egb˝olu-t:
u=A−1(f−Bp), (7.8)
´es helyettes´ıts¨uk a m´asodikba:
B∗A−1(f −Bp) =g, azaz B∗A−1Bp=B∗A−1f−g=: ˜g. (7.9) Legyen
S:=B∗A−1B, (7.10)
ez az ´un. Schur-f´ele komplementer-oper´ator. Itt a 6.8. megjegyz´es alapj´an B∗:H →K, ´ıgyS:K→K. Ha meg tudjuk oldani a (7.9)-ben kapott
Sp= ˜g (7.11)
egyenletet aKt´eren, akkor (7.8)-b˝olu-t is megkapjuk, ´ıgy k´esz vagyunk.
A (7.11) egyenlet megoldhat´os´aga nem nyilv´anval´o, mivelB, ill.B∗´altal´aban nem bijekci´ok. AzS speci´alis alakj´ara t´amaszkodva a megoldhat´os´ag kulcsa az al´abbi felt´etel:
van olyanγ >0, hogy kBpk ≥γkpk (∀p∈K). (7.12) Ezt az al´abbi alakban szok´as fel´ırni:
7.21. Defin´ıci´o. A (7.7) feladathoz tartoz´o inf-sup-felt´etel:
inf
p∈K\{0} sup
u∈H\{0}
hBp, ui
kpkkuk =:γ >0. (7.13) K¨onnyen l´athat´o, hogy (7.12) ´es (7.13) ekvivalens: a 2.4. ´all´ıt´as alapj´an
kBpk
kpk = sup
v∈H kvk=1
hBp, vi
kpk = sup
u∈H\{0}
hBp, ui kpkkuk,
122 7. Oper´atoregyenletek megoldhat´os´aga
teh´at (7.12) ´es (7.13) is azt jelenti, hogy a fenti ´ert´ek valamely k¨oz¨os γ >0 korl´at f¨ol¨ott van b´armely p eset´en. (A p = 0 eset ´erdektelen, ekkor (7.12) trivi´alis.)
Megjegyezz¨uk, hogy itt ak.k jel¨ol´est aH ´esK terekben k´et k¨ul¨onb¨oz˝o nor-m´ara haszn´aljuk; b´ar lehetne a prec´ızs´eg kedv´e´ertk.kH ´esk.kK jel¨ol´eseket is
´ırni, ezt – a kevesebb index ´erdek´eben – nem tessz¨uk, mivel a k¨ornyezetb˝ol egy´ertelm˝u, melyik norm´ar´ol van sz´o.
7.22. ´All´ıt´as. HaB∗:H →K szuperjekt´ıv, akkor teljes¨ul a (7.13) inf-sup-felt´etel.
Bizony´ıt´as.A k´ıv´ant inf-sup-felt´etel ´ugy is ´ırhat´o, hogy l´etezikγ >0, melyre sup
u∈H\{0}
hBp, ui
kuk ≥γkpk (∀p∈K). (7.14)
Legyen mostp∈Ktetsz˝oleges adott vektor. A feltev´es szerint l´etezikw∈H, melyreB∗w=p, emellett a 4.13. k¨ovetkezm´eny alapj´an megadhat´o olyan p-t˝ol f¨uggetlenγ >0, melyre
kpk ≥γkwk.
Ebb˝ol
sup
u∈H\{0}
hBp, ui
kuk ≥hBp, wi
kwk = hp, B∗wi
kwk = kpk2
kwk ≥γkpk.
7.23. T´etel. (Nyeregpont-feladat megoldhat´os´agi t´etele.) LegyenekH, K va-l´os Hilbert-terek, A∈B(H)´es B ∈B(K, H), ahol A¨onadjung´alt ´es teljes¨ul (7.6). Ha fenn´all a (7.13) inf-sup-felt´etel, akkor b´armely (f, g) ∈ H ×K eset´en a (7.7) feladatnak l´etezik egyetlen(u, p)∈H×K megold´asa.
Bizony´ıt´as. El˝osz¨or megmutatjuk, hogy a (7.10)-ben defini´alt S :K →K Schur-f´ele komplementer-oper´ator bijekci´o. Ehhez a 7.1. t´etel szerint el´eg S egyenletes pozitivit´asa. Felhaszn´aljuk, hogyA egyenletes (´ıgy szigor´u) pozi-tivit´asa miatt A−1 is szigor´uan pozit´ıv: val´oban, hA−1y, yi = hx, Axi > 0 (∀y∈H, y=Axhelyettes´ıt´essel). Emiatt ´ertelmes azk.kA−1 energianorma,
´es teljes´ıti a 6.21. ´all´ıt´ast. Ezekb˝ol
hSp, pi=hB∗A−1Bp, pi=hA−1Bp, Bpi=kBpk2A−1= sup
khkA−1=1
hBp, hi2A−1=
= sup
khkA−1=1
hBp, A−1hi2= sup
kzkA=1
hBp, zi2= sup
u∈H\{0}
hBp, ui2 kuk2A ≥
7.3. Nyeregpont-feladatok megoldhat´os´aga, inf-sup-felt´etel 123
≥ sup
u∈H\{0}
hBp, ui2
kuk2kAk2 ≥ γ2
kAk2 kpk2,
ahol el˝obb a h=Az (´es megfelel˝o khk2A−1 =hA−1h, hi =hz, Azi=kzk2A), majd a z = kuku
A helyettes´ıt´esseket haszn´altuk, ´es az inf-sup-felt´etel (7.14) alakj´at tekintett¨uk. ´Igy teh´atS egyenletesen pozit´ıv, azaz bijekci´o.
Ebb˝ol m´ar k¨onnyen k´esz vagyunk: adott f ´es g eset´en a (7.9), azaz (7.11) egyenletnek pontosan egy p ∈ K megold´asa van, ebb˝ol (7.8) alapj´an u-t is egy´ertelm˝uen megkapjuk, ´es a kapott (u, p) p´ar az eredeti (7.7) feladat
megold´asa.
Vegy¨uk ´eszre, hogyB∗:H →Kszuperjekt´ıv volta sz¨uks´eges a (7.7) rendszer megoldhat´os´ag´ahoz a 2. egyenlet miatt. Ebb˝ol, a 7.22. ´all´ıt´asb´ol ´es a 7.23.
t´etelb˝ol k¨ovetkezik az al´abbi jellemz´es:
7.24. T´etel. LegyenekH, K val´os Hilbert-terek,A∈B(H)´esB ∈B(K, H), aholA¨onadjung´alt ´es teljes¨ul (7.6). Ekkor az al´abbi h´arom ´all´ıt´as ekvivalens:
(1) B´armely(f, g)∈H×K eset´en a (7.7) feladatnak l´etezik egyetlen(u, p)∈ H×K megold´asa.
(2)B∗:H →K szuperjekt´ıv.
(3) Teljes¨ul a (7.13) inf-sup-felt´etel.
Most kiterjesztj¨uk a 7.23. t´etelt arra az esetre, haAnem ¨onadjung´alt. Ehhez sz¨uks´eges az al´abbi
7.25. Lemma. HaA∈B(H)koerc´ıv oper´ator, akkorA−1 is koerc´ıv.
Bizony´ıt´as. A 7.2. t´etel szerint Abijekci´o, ´ıgyA−1 val´oban l´etezik, ´esx= A−1y helyettes´ıt´essel
hA−1y, yi=hx, Axi ≥mkxk2≥ m
kAk2kAxk2= m
kAk2kyk2 (y∈H).
7.26. T´etel. LegyenekH, K val´os Hilbert-terek,A∈B(H)´esB ∈B(K, H), ahol A koerc´ıv. Ha fenn´all a (7.13) inf-sup-felt´etel, akkor b´armely (f, g) ∈ H×K eset´en a (7.7) feladatnak l´etezik egyetlen(u, p)∈H×K megold´asa.
Bizony´ıt´as. Hasonl´o a 7.23. t´etel bizony´ıt´as´ahoz. Most is el´eg megmutat-nunk, hogy a (7.10)-ban defini´alt S : K → K Schur-f´ele komplementer-oper´ator bijekci´o. Ehhez most a 7.2 t´etelt haszn´aljuk, amihezS koercivit´asa kell. A 7.25. lemma ´es 6.21. ´all´ıt´as alapj´an
hSp, pi=hB∗A−1Bp, pi=hA−1Bp, Bpi ≥ m
kAk2kBpk2= m kAk2 sup
kzk=1
hBp, zi2
124 7. Oper´atoregyenletek megoldhat´os´aga
= m
kAk2 sup
u∈H\{0}
hBp, ui2
kuk2 ≥ mγ2
kAk2 kpk2 (p∈K).
7.27. Megjegyz´es. A 7.5. t´etel miatt a (7.7) feladat megold´asa folytonosan f¨ugg a jobboldalakt´ol, hiszen megoldhat´os´ag´at azS Schur-oper´ator koercivi-t´as´ara vezett¨uk vissza. Ut´obbi miatt teh´atp, majd (7.8) r´ev´enuis folytonosan f¨ugg a jobboldalakt´ol.