Modern algebrai m

Modern algebrai m´ odszerek fizikai alkalmaz´ asai

Makai Mih´ aly

Budapesti M˝ uszaki Egyetem Nukle´ aris Technikai Int´ ezet KFKI Atomenergiakutat´ o Int´ ezet

2007

Tartalomjegyz´ ek

1. Csoportelm´elet a fizik´aban 14

1.1. Jel¨ol´esek . . . 17

2. Csoportelm´eleti ´es geometriai alapok 19 2.1. Jel¨ol´es . . . 20

2.2. Diszkr´et csoportok . . . 21

2.2.1. Szorzat´abr´azol´as . . . 34

2.2.2. Abr´´ azol´asok direkt szorzata, tenzorok felbont´asa, Clebsch-Gordan egy¨utthat´ok . . . 35

2.3. Folytonos csoportok. . . 36

2.3.1. Lie-csoportok . . . 37

2.3.2. Lie-B¨acklund csoport . . . 45

2.4. Cayley-diagram . . . 47

2.5. Forg´ascsoport, Lorentz-csoport. . . 53

2.5.1. Forg´ascsoport . . . 53

2.5.2. Lorentz-csoport . . . 58

2.5.3. Irodalom . . . 66

3. Seg´edeszk¨oz¨ok a csoportelm´eleti sz´am´ıt´asokhoz 67 3.1. MAGMA . . . 69

3.2. GAP . . . 74

3.3. MAPLE 7 . . . 79

3.4. Seg´edeszk¨oz¨ok az interneten . . . 80

4. A v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´anak m´odszere 81 4.1. Jel¨ol´esek . . . 82

4.2. A m´odszer . . . 82

4.3. A v´altoz´ok szepar´al´as´anak felhaszn´al´asa . . . 92

4.3.1. Az S=M²-hez tartoz´o p´alya . . . 94

4.3.2. Az S=P²₂-hez tartoz´o p´alya . . . 95

4.3.3. Az S={M,P₂}-hez tartoz´o p´alya . . . 95

4.3.4. Az S=M²+d²P²₁-hez tartoz´o p´alya . . . 98

5. Egyenletek szimmetri´ainak meghat´aroz´asa 100 5.1. Egyenletek szimmetri´aja . . . 101

5.2. Differenci´alegyenletek szimmetri´aja . . . 105

5.3. Kvadrat´ur´aval megoldhat´o differenci´alegyenletek . . . 115

5.4. Algoritmusok . . . 118

5.4.1. A Lie-szimmetri´akat meghat´aroz´o egyenlet kisz´am´ıt´asa . . . 119

5.4.2. Az egyenlet kanonikus alakra hoz´asa . . . 120

5.4.3. A Lie-csoport meghat´aroz´asa . . . 120

5.4.4. Szimbolikus algoritmusok . . . 120

5.5. Szimmetri´ak ´es megmarad´asi t´etelek . . . 123

5.5.1. Vari´aci´os feladat . . . 123

6. Krist´alyr´acsok oszt´alyoz´asa 128 6.1. A krist´alyok szerkezete . . . 129

6.1.1. A s´ık ´es a t´er szimmetri´ai . . . 130

6.2. V´eges csoportok oszt´alyoz´asa . . . 139

6.2.1. Pontcsoportok oszt´alyoz´asa . . . 139

6.2.2. Altal´´ anos v´eges csoportok oszt´alyoz´asa . . . 147

6.3. Bloch-f¨uggv´enyek . . . 150

7. Algebra ´es geometria 159 7.1. Jel¨ol´es . . . 160

7.2. Sk´al´ak . . . 164

7.3. Turbulencia . . . 167

7.4. K´aosz ´es szimmetri´ak . . . 171

7.5. ¨Osszetett tartom´any . . . 186

7.5.1. Green-f¨uggv´eny el˝o´all´ıt´asa . . . 192

7.6. Lorentz-transzform´aci´o . . . 195

7.6.1. Geometriai viszonyok . . . 195

7.6.2. A geometriai viszonyok kiv´alaszt´asa . . . 205

7.7. A fizikai probl´ema. . . 206

7.7.1. T´erid˝o transzform´aci´o, komponensek transzform´aci´oja . . . 206

7.7.2. Sorozattranszform´aci´o . . . 215

8. A perem´ert´ek-feladat 222 8.1. A perem´ert´ek-feladat szimmetri´aja . . . 230

8.2. A fed˝ocsoport haszn´alata . . . 235

8.3. Irreducibilis komponensek el˝o´all´ıt´asa . . . 240

8.4. A reszponz m´atrix n´eh´any tulajdons´aga. . . 242

8.5. Nem egyenletes anyageloszl´as . . . 244

9. Numerikus m´odszerek 247 9.1. Gyenge megold´as . . . 249

9.2. Az iter´aci´o . . . 252

9.3. A pr´obaf¨uggv´enyek ´es a s´ulyf¨uggv´enyek kiv´alaszt´asa . . . 254

9.3.1. V´egesdifferencia-m´odszer . . . 254

9.3.2. V´egeselem-m´odszer . . . 256

9.3.3. Nod´alis m´odszer. . . 262

9.4. Az egyenletrendszer megold´asa. . . 263

9.4.1. V´eges differencia m´odszer . . . 263

9.4.2. V´egeselem-m´odszer . . . 265

9.4.3. Nod´alis m´odszer. . . 267

9.5. Diszkretiz´aci´o, invari´ans megold´as, a szimmetri´ak kihaszn´al´asa . . . 271

9.5.1. Mimetikus diszkretiz´aci´o . . . 271

9.5.2. A div,grad ´es rot oper´atorok diszkretiz´alt alakja . . . 275

9.5.3. Diszkretiz´alt, invari´ans megold´as . . . 279

9.5.4. Iter´aci´o ´es szimmetri´ak . . . 290

10.Speci´alis f¨uggv´enyek 293 10.1. A v´altoz´ok sz´atv´alaszt´as´ahoz kapcsol´od´o f¨uggv´enyek. . . 294

10.1.1. Legendre-polinomok . . . 295

10.1.2. Bessel-f¨uggv´enyek . . . 297

10.1.3. Mathieu-f¨uggv´enyek . . . 301

10.1.4. Parabolikus hengerf¨uggv´enyek . . . 303

10.2. G¨ombf¨uggv´enyek . . . 303

10.3. Elliptikus f¨uggv´enyek . . . 307

10.4. Hermite-polinomok . . . 308

11.A Galois elm´elet 309 11.1. Gy¨ok¨ok ´es egy¨utthat´ok . . . 313

11.1.1. A Galois-elm´elet . . . 314

11.2. Differenci´al-egyenletek invarianci´aja . . . 317

11.3. Differenci´alegyenletek Galois elm´elete . . . 321

11.3.1. Elj´ar´asok a megold´as meghat´aroz´as´ara . . . 325

11.3.2. Algoritmusok . . . 329

11.4. G´epi elj´ar´asok . . . 333

11.5. Irodalom . . . 334

12.Algebra ´es val´osz´ın˝us´eg 335 12.1. El´agaz´o folyamatok . . . 336 12.2. Neutrondetektorok hat´ekonys´aga . . . 342

13.Appendix 347

13.1. Defin´ıci´ok . . . 347 13.2. P´eld´ak . . . 350

Irodalom 355

El˝ osz´ o

Fizika el˝oad´asokon rendszeresen elhangzanak algebrai konstrukci´ok megnevez´esei:

vektort´er, csoport, algebra. Ezek megismer´es´ere a di´akok els˝osorban matematikai kurzu- sokat hallgatnak, ahol a fenti fogalmak elm´elete ker¨ul el˝ot´erbe. Jelen el˝oad´as c´elja fizikai alkalmaz´asok keret´eben bemutatni a modern algebrai fogalmak haszn´alat´at.

Egy fizikus h´etk¨oznapjaiban l´epten-nyomon alkalmazni k´enyszer¨ul algebrai eszk¨oz¨o- ket. Leggyakrabban tal´an a nem-line´aris egyenlet megold´asa, line´aris egyenletrendszerek megold´asa bukkan fel. Ezek trivi´alis p´eld´ak. De amikor egy k¨oz¨ons´eges differenci´alegyen- let integr´al´as´ar´ol van sz´o, vagy egy bonyolult fizikai rendszerben megmarad´o mennyis´e- geket kell megkeresni, kevesen gondolnak algebrai eszk¨oz¨ok alkalmaz´as´ara. Ennek egyik oka, hogy ezek az eszk¨oz¨ok kev´ess´e ismertek. A fizika egyes ter¨uletein (ld. al´abb) elker¨ul- hetetlen modern algebrai eszk¨oz¨ok (els˝osorban csoportelm´elet) alkalmaz´asa. A legt¨obb fizikai probl´ema megold´as´at nem tudjuk megadni z´art alakban, gyakran k´enyszer¨ul¨unk k¨ozel´ıt˝o-, vagy numerikus megold´as haszn´alat´ara. Egy f´elvezet˝oben az elektronok Fermi- fel¨ulet´enek meghat´aroz´asa, amire egy nanotechnol´ogiai eszk¨oz fejleszt´es´ehez sz¨uks´eg van;

egy kis¨ul´esi cs˝oben az elektrons˝ur˝us´eg meghat´aroz´as´ahoz, egy plazma t¨olt´es- ´es s˝ur˝u- s´egeloszl´as´anak meghat´aroz´as´ahoz, egy atomer˝om˝u z´on´aj´aban a neutrong´az eloszl´as´anak meghat´aroz´as´ahoz, egy gyorsan ´araml´o folyad´ek vagy g´az le´ır´as´ahoz ilyen k¨ozel´ıt˝o megol- d´asok ´allnak rendelkez´esre. A p´eld´akat lehet folytatni csillag´aszati, ´urhaj´oz´asi, geofizikai, optikai probl´em´ak sor´aval.

A modern algebra absztrakt fogalmait nem k¨onny˝u megszokni ´es alkalmazni. Ez´ert a jegyzetben gyakran tal´al az olvas´o p´eld´akat (ezek ´altal´aban nagyon egyszer˝uek) azzal a c´ellal, hogy a jel¨ol´eseket, az ´uj fogalmakat legyen mihez kapcsolni.

A numerikus m´odszerek egy analitikusan (differenci´al-, vagy integr´alegyenlet form´aj´a- ban) megfogalmazott feladatot leegyszer˝us´ıtenek ´es ´atalak´ıtanak v´egs˝o soron egy algebrai feladatt´a, t¨obbnyire line´aris egyenletrendszerr´e. Ezt az egyszer˝ubb, algebrai feladatot kell megoldani. Ilyen eszk¨oz¨ok fejleszt´ese ´es haszn´alata sor´an az al´abbi szempontok j´atszanak d¨ont˝o szerepet:

• Mi az ´ara a numerikus m´odszer haszn´alat´anak? Ne legyen az Olvas´onak ill´uzi´oja, a tetszet˝os, sz´ınes ´abr´akat produk´al´o CFD k´od¹ is jelent˝os egyszer˝us´ıt´es´eket tartal- maz. Az a felhaszn´al´o, aki ennek nincs tudat´aban, alaposan p´orul j´arhat, esetleg olyan jelens´eg vizsg´alat´ara akarja a programot felhaszn´alni, amit az nem is tud modellezni.

• Milyen kompromisszukat kellett k¨otni az egyszer˝us´ıt´esek ´erdek´eben? K¨ul¨on meg kell vizsg´alni, nem ´aldoztuk-e fel a v´egrehajthat´os´ag olt´ar´an a fizikai folyamat l´enyeges elemeit?

A jelen jegyzetben le´ırt m´odszerek ismerete a szerz˝onek sokat seg´ıtett abban, hogy a

1A CFD a computational fluid dynamics szavak r¨ovid´ıt´ese, a Navier-Stokes egyenletek megold´as´ara kidolgozott numerikus m´odszer ´es program.

gyakorlatban is haszn´alhat´o, szil´ard elm´eleti alapokon ´all´o algoritmusokat dolgozzon ki a geofizik´aban ´es a reaktorfizik´aban.

Ismeretes, hogy a csoportelm´elet a fizika t¨obb ter¨ulet´en is fontos szerepet j´atszik, mint pl. r´eszecskefizika, relativit´aselm´elet, atom- ´es magfizika, szil´ardtestfizika. A fizi- kus ´es tan´arszakos hallgat´ok k´epz´es´eben szerepel csoportelm´eleti el˝oad´as is, ez azonban sz¨uks´egszer˝uen elm´eleti jelleg˝u.

Jelen munka az ELTE TTK-n ´es a BME-n megtartott speci´alis koll´egium anyag´at tar- talmazza ´es els˝osorban az alkalmaz´asokra koncentr´al. R¨ovid csoportelm´eleti bevezet´es ut´an a perem´ert´ek-feladatok szimmetri´ait t´argyalja, majd a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´anak m´odszer´et, egy adott egyenlet szimmetri´ainak rendszerezett megkeres´es´et vizsg´alja. A csoportelm´elet gyakran ¨osszefon´odik m´as algebrai strukt´ur´ak (testek, vektorterek, al- gebr´ak) haszn´alat´aval. K¨ul¨on kit´er¨unk a geometria ´es a csoportelm´elet kapcsolat´anak n´eh´any k´erd´es´ere (gr´afok, fed˝ocsoportok), ezek ugyanis el˝ony¨osen haszn´alhat´oak p´eld´aul egy egyenlet Green-f¨uggv´eny´enek megkonstru´al´as´ara. De, a geometria ´es a csoport kap- csolata el˝oker¨ul a speci´alis relativit´aselm´eletben is. Wagner Istv´an azon felismer´ese, hogy a sebess´eg¨osszead´as relativit´aselm´eletben alkalmazand´o m´odja azt is jelenti, hogy a se- bess´egeket m´as geometri´aban c´elszer˝u t´argyalni, mint a t´avols´agokat lehet˝ov´e tette a Lorentz-transzform´aci´o egyes hi´anyoss´againak kik¨usz¨ob¨ol´es´et.

A bemutatand´o m´odszer k´et pill´ere az algebra ´es az anal´ızis. A szerz˝o megd¨obbenve tapasztalta, hogy egy sikeres, fiatal amerikai koll´ega, aki eredm´enyeket ´ert el a perem-

´

ert´ekfeladatok ter´en, a kilencvenes ´evek k¨ozep´en elk´epzelhetetlennek tartotta algebrai m´odszerek alkalmaz´as´at. Szerinte az algebra ´es az anal´ızis k´et k¨ul¨on vil´ag. Id˝ok¨ozben kider¨ult, hogy a t´ema m˝uvel˝oi–els˝osorban orosz ´es ukr´an kutat´ok–nem ´ıgy gondolkoz- tak. Ma m´ar elfogadott az algebra ´es az anal´ızis egy¨uttes alkalmaz´asa az eg´esz vil´agon.

Ugyanakkor a magyar kutat´ok figyelm´et ez a k´erd´esk¨or elker¨ulte.

Egy algebrai vagy differenci´alegyenlet szimmetriacsoportj´anak ismerete megk¨onny´ıti a megold´as megkeres´es´et. A v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´anak m´odszere, alkalmas sk´al´ak v´a- laszt´asa, a geometria algebrai m´odszerekkel t¨ort´en˝o le´ır´asa– ezek a kiv´alasztott t´em´ak kaptak helyt jelen munk´aban. Mindezen eredm´enyek gyakorlati alkalmaz´asa nem lenne lehets´eges az algebra numerikus m´odszereinek l´atv´anyos fejl˝od´ese n´elk¨ul. Az ut´obbi

´

evtizedben ezek az eredm´enyek az interneten is el´erhet˝o programokban, ´es a benn¨uk megtestes¨ul˝o modern numerikus m´odszerekben is megtal´alhat´oak.

R¨oviden kit´er¨unk a (nem csoportelm´eleti) numerikus m´odszerekre is. A vizsg´alat c´elja, hogy a kezelhet˝onek ´ıt´elt esetek egy r´esz´enek t´argyal´as´ara is legyen m´od. A gya- korlatban el˝ofordul´o perem´ert´ek-feladatok (ilyenek a szil´ardtest fizik´aban ¨osszetett elemi cell´ak elektronn´ıv´oinak sz´am´ıt´asa, vagy a DNS szerkezet´ehez kapcsol´od´o vizsg´alatok) t¨obbnyire csak numerikus m´odszerekkel t´argyalhat´oak. Ha a probl´ema m´erete k´ets´e- gess´e teszi a szok´asos numerikus m´odszerek siker´et, akkor is lehet alkalom a megold´as egyes tulajdons´againak meghat´aroz´as´ara, vagy ´eppen a numerikus m´odszer olyan megfo- galmaz´as´ara, ami m´ar sikerrel kecsegtet. V´eg¨ul a csoportelm´elet k´et, a perem´ert´ekekhez nem kapcsol´od´o feladatban el´ert siker´et mutatom be. Az els˝o a polinomok gy¨okk´eplet´evel

kapcsolatos, a m´asodik pedig egy val´osz´ın˝us´egsz´am´ıt´asi feladat megold´asa. Terjedelmi okokb´ol a bizony´ıt´asokat mell˝oztem, azok megtal´alhat´oak egy csoportelm´eleti tank¨onyv- ben vagy el˝oad´asban, esetleg k´ezik¨onyvekben. Az alkalmazott ´ervel´es n´eha matematikai jelleg˝u, de ha az bizonyul egyszer˝ubbnek, a fizikai ´ervel´est k¨ovetem. Rem´elem, siker¨ul eloszlatni azt az els˝osorban matematikus k¨or¨okben elterjedt n´ezetet, miszerint a csoport- elm´elet egy absztrakt, de meglehet˝osen haszontalan tudom´any.

A t´argyal´asm´od nem a csoportelm´eleti k¨onyvek t¨obbs´eg´eben megszokott szigor´u ren- det k¨oveti. Ennek egyik oka a terjedelem korl´atja. A 1.-11. fejezetek mindegyike meg- t¨oltene egy teljes k¨otetet, ha a prec´ız kifejt´est k¨ovetn´em. Rem´elhet˝oen az olvas´o k¨ovetni tudja a gondolatmenetet ´es megismeri az alkalmazott eszk¨oz¨oket. Ha pedig ´erdekl˝odik egy t´ema ir´ant, az irodalomjegyz´ekben tal´al monogr´afi´akat, amelyek r´eszletesen t´argyal- j´ak az adott k´erd´esk¨ort.

A vizsg´alatok sor´an gyakran esik sz´o matematikai objektumokr´ol (halmaz, sokas´ag, euklideszi t´er, Hilbert-t´er, csoport, Lie-algebra, stb.). Ezek le´ır´as´ara k´et m´od is k´ın´al- kozott. Az els˝o le´ır´asi m´odot lok´alisnak lehet nevezni, mert benne a le´ırt objektumot koordin´at´akkal adjuk meg, a koordin´at´akhoz pedig ismert m´odon kapcsolhat´o t´avols´ag ´es topol´ogia. Erre a le´ır´asm´odra k¨ozismert p´elda egy ortonorm´alt b´azissal ell´atott Hilbert- t´er. Seg´ıts´eg´evel a Hilbert-t´eren hat´o oper´atorokat v´egtelen m´atrixokkal lehet le´ırni. A m´asik le´ır´asi m´od arra helyezi a hangs´ulyt, hogy sz´amos objektum kezelhet˝o azonos m´o- don, ez´ert az objektumot glob´alis m´odon jellemezz¨uk, p´eld´aul eltekint¨unk a koordin´at´ak haszn´alat´at´ol. Ezt a t´argyal´asm´odot az teszi lehet˝ov´e, hogy egyes objektumok k¨oz¨ott k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u, invert´alhat´o, ”sima” lek´epez´es teremt kapcsolatot, ´es a le´ır´as egyar´ant vonatkozhat b´armelyik objektumra. Erre p´eld´anak felhozhat´o az n dimenzi´os Rⁿ t´er k´et ny´ılt r´eszhalmaza, amelyeknek pontjai k¨olcs¨on¨osen megfeleltethet˝oek. Meg- eml´ıtem, hogy ennek a n´ez˝opontnak egyik ”term´eke” a topol´ogi´aban alkalmazott sokas´ag fogalma, ld. Alexandrov[1] munk´aj´at.

Term´eszetesen c´elszer˝u ´altal´anos megfogalmaz´ast haszn´alni, de alkalomadt´an el˝ony¨os a koordin´at´ak adta lehet˝os´egeket kihaszn´alni. Ez´ert a k´et n´ezet sz¨uks´egszer˝uen keveredik.

Amikor lok´alis koordin´at´akr´ol besz´el¨unk, arra k´ıv´anjuk felh´ıvni a figyelmet, hogy az adott objektum adott koordin´ata-rendszer´er˝ol van sz´o.

A 11 fejezet a fizik´aban gyakran sz¨uks´eges differenci´alegyenletek megold´as´aval fog- lalkozik. Meg´ert´ese komoly algebrai ismereteket t´etelez fel, ez´ert az Olvas´o ezt a r´eszt

´atugorhatja, a t¨obbi fejezet meg´ert´es´ehez nem sz¨uks´egesek az itteni ismeretek.

K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as

Az anyag gy˝ujt´es´eben nagy szeret kapott az internet. Gyakran felhaszn´altam a GAP [10], a MATHEMATICA ´es a Maple programokban tal´alhat´o inform´aci´ot. Ezen fel¨ul, az egyes r´eszek anyagai k¨ozismert k¨onyvekre ´ep¨ulnek, ezek list´aj´at a jegyzet v´eg´en tal´alja az olvas´o. M´egis k¨ul¨on k¨osz¨onet illeti az al´abbi m˝uvek szerz˝oit: A 4. fejezet Wil- lard Miller k¨onyv´enek[28] anyag´ara (azon bel¨ul is els˝osorban annak 1. fejezetre) ´ep¨ul.

Az 5. fejezet nagyr´eszt Peter J. Olver [31] ´es N. H. Ibragimov [15] k¨onyv´enek anyag´ara

´ep¨ul, de felhaszn´altam W. Hereman anyag´at is a CRC Handbook-b´ol [13]. A 6. fejezet- ben t¨obbek k¨oz¨ott Charles Kittel [21], a Landau-Lifsic V. k¨otete [25], S. L. Altman [2]

k¨onyve szolg´alt kiindul´asul. A 5. fejezetben David Sattinger [37], A 7.5.1. fejezet tel- jes eg´esz´eben Wagner Istv´an munk´aj´ara ´ep¨ul. K¨ul¨on k¨osz¨onet az´ert, hogy a t¨obbnyire publik´alatlan eredm´enyeit Wagner Istv´an rendelkez´esemre bocs´atotta. A 9. fejezetben Richard S. Varga[48] k¨onyve volt seg´ıts´egemre, a10. fejezetben Farkas Mikl´os [8] ´es [48], a 11. fejezetben Artin jegyzete[3], ´es egy sor internetr˝ol hozz´af´erhet˝o k´ezirat seg´ıtett. A 12. fejezet P´al L´en´ard [34],[33] k´ezirataira ´es Nifenecker [30] cikk´ere ´ep¨ul.

Bevezet´ es

Aki fizikai feladatok megold´as´ara adja a fej´et, annak gyakran lesz sz¨uks´ege matema- tikai eszk¨oz¨okre. Ha egy kifejez´esb˝ol ki kell fejezni egy abban szerepl˝o param´etert, egy (gyakran nemline´aris) egyenletet kell megoldani. Ha a fizikai folyamat le´ır´as´ara differen- ci´alegyenlet (vagy integr´alegyenlet) szolg´al, a megold´as ism´et matematikai eszk¨oz¨okkel t¨ort´enik. Egy fizikai feladat megold´as´aban gyakran nem elegend˝o kiv´alasztani egy ma- tematikai m´odszert, figyelembe kell venni a fizikai feladat tulajdons´agait is. Ez´ert a fizika egyes ´agaiban haszn´alt matematikai m´odszerek egyediek is, ´altal´anosak is. Vegy¨uk p´eldaul a differenci´alegyenletek megold´as´at.

A k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek ´altal´anos megold´as´aban az egyenlet ´altal´anos megold´as´aban a hat´arozatlan ´alland´ok sz´ama megegyezik a differenci´alegyenlet rend- j´evel. Az egyenlet megold´asa ´ıgy k´et l´ep´esb˝ol ´all, az els˝oben meghat´arozzuk az ´altal´anos megold´ast, a m´asodikban pedig r¨ogz´ıtj¨uk az ´altal´anos megold´as szabad egy¨utthat´oit.

A parci´alis differenci´alegyenletekn´el m´ar m´as a helyzet. Az egyenletek megold´asa sokkal gazdagabb, minthogy n´eh´any konstanssal le lehetne ´ırni. A megold´asok halmaza sz˝uk´ıthet˝o, egyes esetekben egy´ertelm˝uv´e is tehet˝o, ha a megold´ast csak egy tartom´anyon vizsg´aljuk ´es a tartom´any hat´ar´an alkalmas felt´eteleket szabunk meg. Ismeretes, hogy a komplex s´ıkon ´ertelmezett s´ıma f¨uggv´enyek kiel´eg´ıtik a Laplace-egyenletet. Ha azonban a f¨uggv´eny ´ert´ek´et r¨ogz´ıtj¨uk egy z´art g¨orbe ment´en, a g¨orbe bels˝o pontjaiban a f¨uggv´eny

´

ert´eke egy´ertelm˝uen meghat´arozott. A parci´alis differenci´al-egyenletek elm´elete nem ad

´

utmutat´ast arra n´ezve, milyen peremf´elteleket lehet egy adott egyenlethez megszabni

´

ugy, hogy a megold´as egy´ertelm˝u legyen. A tank¨onyvek nagyr´eszt az elm´eleti fizika ´altal felvetett probl´em´akat t´argyalj´ak, teh´at az egyenletek is, a peremfelt´etelek is adottak.

Azonban k¨onnyen bel´athat´o, hogy a fizika egyenleteihez nem felt´etlen¨ul egy peremfelt´etel adhat´o meg. P´eld´anak felhozhat´o a rugalmas rezg´es, ami megoldhat´o ak´ar r¨ogz´ıtett peremmel (ez fizikailag ´ugy val´os´ıthat´o meg, hogy a peremet szil´ardan r¨ogz´ıtj¨uk), ekkor a rezg´es amplitud´oja nulla a peremen. De megoldhat´o szabad v´egek mellett is, vagy ak´ar r´eszben r¨ogz´ıtett peremmel is, amikor a perem bizonyos megk¨ot´esekkel rezeghet.

A fizikai probl´em´ak kapcs´an felvet˝odik a k´erd´es: Honnan tudjuk, hogy egy adott fizikai feladatnak egy vagy t¨obb megold´asa l´etezik? A fizikai feladatot kev´es kiv´etelt˝ol eltekintve akkor tekintj¨uk korrekt kit˝uz´es˝unek, ha a megold´as l´etezik ´es egy´ertelm˝u. M´eg ha igazolhat´o is, hogy egy adott fizikai jelens´egnek egyetlen megold´asa l´etezik, nem biz- tos, hogy a jelens´eg le´ır´as´ara alkalmazott matematikai modellnek is csak egy megold´asa l´etezik. Jelent˝os er˝ok dolgoznak azon, hogy sz´amos fizikai modellre igazolj´ak: a fizikai modellhez tartoz´o matematikai modellnek is csak egy megold´asa van. Ha t¨obb megol- d´as is l´etezik, akkor a lehets´eges megold´asok k¨oz¨ul azt v´alasztjuk ki, amelyik ”fizikailag

´

esszer˝u”, azaz, kell˝oen sima, esetleg pozit´ıv stb. Ez m´ar biztos´ıtja a megold´as egy´ertel- m˝us´eg´et. Mindenesetre ´ebernek kell lenn¨unk, nem szabad mag´at´ol ´ertet˝od˝onek venni, hogy egy adott feladathoz csak egy megold´as tartozik.

Az el˝oad´as c´elja bemutatni a modern algebrai m´odszerek egyes fizikai alkalmaz´asait.

Az algebra annyira h´etk¨oznapi eszk¨oz a fizik´aban, hogy gyakran nem is gondolunk r´a.

Egy nemline´aris egyenlet, egy line´aris egyenletrendszer megold´asa a h´etk¨oznapi munka

r´esze. A fizika egyes ter¨uletein (relativit´aselm´elet, kvantumelm´elet, szil´ardtestfizika) a csoportok alkalmaz´asa term´eszetesnek sz´am´ıt. A v´eletlen folyamatok tanulm´anyoz´as´aban egy speci´alis gr´af, a fa, mint algebrai strukt´ura bizonyult hasznosnak.

Az ut´obbi ´evtizedben jelent˝os lend¨uletet kapott a Lie-csoportok (ill. Lie-B¨acklund- csoportok) alkalmaz´asa a differenci´alegyenletek vizsg´alat´aban. Ma m´ar programokat ta- l´alunk az interneten, amelyekkel differenci´al- ´es integro-differenci´alegyenletek szimmetri-

´

ait lehet vizsg´alni. Ezek haszn´alata els˝osorban a numerikus m´odszerek kidolgoz´as´aban ´es ellen˝orz´es´eben lehet el˝ony¨os, de egyes ter¨uleteken, mint a turbulens ´araml´asok vizsg´alata, szerep¨uk meghat´aroz´ov´a v´alt. A ”computational group theory” (csoportelm´eleti sz´am´ı- t´og´epes programok) mellett ez is egy olyan gyakorlati alkalmaz´asa a csoportelm´eletnek, amely a nem csoportelm´eleti szakemberek sz´am´ara k¨ul¨on¨osen hasznosnak bizonyulhat.

Fizikai feladatok sz´eles k¨ore kapcsol´odik perem´ert´ek-feladatokhoz. Ezen a ter¨uleten azonban a modern algebrai eszk¨oz¨os alkalmaz´asa m´eg t´avolr´ol sem ´altal´anos. Be k´ıv´anjuk mutatni, hogy a modern algebrai m´odszerek (csoportok, fed˝ocsoport, gr´af) el˝ony¨osen alkalmazhat´ok a feladat megold´as´aban.

R´eszletesen foglalkozunk azzal, hogyan lehet egy differenci´alegyenlet megold´as´at meg- adni csoportelm´eleti m´odszerekkel. Els˝ok´ent a Fourier-m´odszert, azaz, a v´altoz´ok sz´et- v´alaszt´as´at vizsg´aljuk, de sz´o lesz a differenci´alegyenlet rendj´enek cs¨okkent´es´er˝ol ´es az integr´al´o t´enyez˝o meghat´aroz´as´ar´ol is. Ezek a technik´ak sz´eles k¨orben haszn´alhat´oak a fizik´aban.

A krist´alyok szerkezet´enek t´argyal´asa kapcs´an ¨osszefoglaljuk a v´eges csoportok tulaj- dons´agait, megadjuk a leggyakoribb pontcsoportok karaktert´abl´ait is. A speci´alis relati- vit´aselm´elet kapcs´an pedig ´erintj¨uk az algebra ´es a geometria kapcsolat´at.

Nem t´er ki az el˝oad´as p´eld´aul a sz´ınk´epvonalak finomszerkezet´enek k´erd´eseire, noha az is algebrai eszk¨oz¨okkel t´argyalhat´o. Ennek egyik oka, hogy a k´erd´esk¨or t´argyal´asa magyar nyelven hozz´af´erhet˝o (ld. Wigner k¨onyv´et az irodalomjegyz´ekben).

A t´argyal´as egyhang´us´ag´at p´eld´ak teszik v´altozatosabb´a. Ezzel az volt a c´elom, hogy bemutassan a bevezetett fogalmak, eszk¨oz¨ok alkalmaz´as´at. A jegyzet v´eg´en p´eld´ak tal´alhat´oak ¨on´all´o megold´asra, ezek seg´ıts´eg´evel az olvas´o ellen˝orizheti tud´as´at.

Tekintettel arra, hogy azok a transzform´aci´ok, amelyekkel szemben egy egyenlet in- vari´ans egy algebrai strukt´ur´at (csoportot) alkotnak, az algebrai m´odszerek alkalmaz´asa indokolt. Hasonl´ok´eppen, ha a vizsg´alt t´err´esz egyforma elemekb˝ol ´ep¨ul fel (pl. elemi cell´akb´ol), akkor a geometria le´ır´as´ara egy m´asik algebrai strukt´ur´at, gr´afot lehet alkal- mazni. Meg kell jegyezni, hogy napjainkban a csoport elvesz´ıtette titokzatoss´ag´at, m´ı- tosz´at, egyszer˝u h´etk¨oznapi eszk¨oz lett bel˝ole, mint mondjuk a sz¨ogf¨uggv´enyekb˝ol. Ha valaki a Rubik kocka le´ır´as´ara k´ıv´ancsi, tal´al olyan k¨onyvt´arakat, ahonnan let¨olthet˝o egy programcsomag, ami percek alatt el˝o´all´ıtja a Rubik-kocka szimmetriacsoportj´at, elk´esz´ıti a kocka k´et ´allapot´at ¨osszek¨ot˝o forgat´as-sorozatot. Mindez a ”computational group the- ory”, azaz a csoportelm´eleti sz´am´ıt´asok gyors fejl˝od´es´enek k¨ovetkezm´enye. Ugyanakkor ezen eszk¨oz¨ok felhaszn´al´asa m´eg v´arat mag´ara.

Felt´eteleztem, hogy az olvas´o m´ar hallgatott csoportelm´eletet. A felhaszn´alt fogal-

makat a 13. fejezet foglalja ¨ossze, itt felfriss´ıtheti az olvas´o defin´ıci´okat.

Az1. fejezet egy r¨ovid ´attekint´est ad az algebrai m´odszerek k¨oz¨ul a csoportelm´elet fi- zikai alkalmaz´asair´ol, ´es megadja a felhaszn´alt jel¨ol´eseket. A2. fejezetben ¨osszefoglaljuk a felhaszn´alni k´ıv´ant algebrai ´es geometriai fogalmakat. A3. fejezetben olyan eszk¨oz¨okr˝ol (sz´am´ıt´og´epi programokr´ol) van sz´o, amelyek j´ol haszn´alhat´oak csoport- vagy gr´afelm´e- leti k´erd´esek vizsg´alat´aban. A 4. fejezetben megvizsg´aljuk, milyen koordin´at´ak haszn´a- lata el˝ony¨os adott szimmetri´ak eset´eben, amely v´alaszt´as mellett a megold´as a v´altoz´ok- ban szepar´alhat´o. Az 5. fejezetben megvizsg´aljuk, hogyan lehet meghat´arozni egy adott egyenlet szimmetri´ait. A 6. fejezetben r¨oviden ´attekintj¨uk a krist´alyr´acsok oszt´alyoz´a- s´at, a7. fejezetben az algebra ´es geometria kapcsolat´at vizsg´aljuk n´eh´any speci´alis t´ema (sk´al´ak kiv´alaszt´asa, turbulencia vizsg´alta, a k´aoszhoz kapcsol´od´o n´eh´any jelens´eg, a diszkretiz´alt t´erfogatok ´es a Lorentz-transzform´aci´o) megvizsg´aljuk a perem´ert´ek-feladat szimmetri´ait, bemutatjuk a fed˝ocsoport kihaszn´al´as´anak egyik m´odj´at. A 8. fejezetben bemutatjuk algebrai m´odszerek alkalmaz´as´at perem´ert´ek-feladatokban. A 9. fejezetben a perem´ert´ek-feladatokban alkalmazott numerikus m´odszerekben haszn´alhat´o algebrai m´odszereket t´argyaljuk. A 10. fejezetben a fizik´aban legfontosabb speci´alis f¨uggv´enye- ket ismertetj¨uk. A 11. fejezetben egy egyv´altoz´os egyenlet szimmetri´ait vizsg´aljuk, az eredm´enyek alkalmaz´asak´ent bemutatjuk egy klasszikus probl´ema (a polinomok gy¨okk´ep- let´enek) csoportelm´eleti megold´as´at. A gy¨ok¨ok keres´es´ere kidolgozott m´odszer ´atvihet˝o a differenci´alegyenletek t´argyal´as´ara is. Ezt a k´erd´esk¨ort is t´argyaljuk. A 12. fejezet- ben bemutatunk egy p´eld´at, ahol a csoportelm´elet j´ol alkalmazhat´o egy r´eszecskefizikai feladatban. A F¨uggel´ekben a felhaszn´alt matematikai fogalmak defin´ıci´oit ´es ¨on´all´o meg- old´asra sz´ant p´eld´akat tal´al az olvas´o.

Jelen jegyzetet haszonnal forgathatj´ak m´ern¨ok, fizikus ´es tan´arszakos hallgat´ok is. A jegyzetben ismertetett ´altal´anos technik´ak (polinomok gy¨okk´eplete, egyenlet szimmetri-

´

ainak meghat´aroz´asa, differenci´alegyenletek integr´al´asa, v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa, azaz a Fourier-m´odszer, k¨ozel´ıt˝o m´odszerek, numerikus megold´as) j´ol haszn´alhat´o a gyakorlati munka sz´amos ter¨ulet´en. Ez´ert lehet hasznos fizikusoknak, m´ern¨ok¨oknek, kutat´oknak

´

es tan´aroknak. Egy jegyzet c´elja persze els˝osorban ¨otleteket adni, milyen eszk¨oz¨okkel

´

erdemes alkalmazni egy feladat megold´asa sor´an. K¨ul¨on kiemelem a numerikus m´odsze- rekbeli alkalmaz´asokat, amelyek a jegyzet ´ır´asa idej´en m´eg kev´ess´e voltak ismertek, noha m´ar akkor is l´eteztek k´odok, amelyekkel egy-egy adott feladat megold´as´at meg lehetett hat´arozni.

Budapest, 2006 m´ajus.

1. fejezet

Csoportelm´ elet a fizik´ aban

A fizika t´erben ´es id˝oben v´egbemen˝o folyamatokat vizsg´al, amely folyamatokban fi- zikai k¨olcs¨onhat´asok is szerepet j´atszanak. A t´erben ´es id˝oben egy koordin´ata-rendszer seg´ıts´eg´evel t´aj´ekoz´odunk, minden ponthoz koordin´at´akat rendel¨unk, ezek seg´ıts´eg´evel

´

ertelmezhet˝o a k¨ozel ´es a t´avol (metrika). A k¨olcs¨onhat´asokat matematikai egyenletek seg´ıts´eg´evel fogalmazzuk meg, pl. a kvantummechanika a k¨ovetkez˝o megfeleltet´est hasz- n´alja a fizikai mennyis´egek le´ır´as´ara, ld. 1.1. t´abl´azat.

1.1. t´abl´azat. Fizikai ´es matematikai v´altoz´ok megfeleltet´ese a kvantummechanik´aban Fizikai v´altoz´o Matematikai v´altoz´o

´allapotf¨uggv´eny Pont azL² f¨uggv´enyt´erben Skal´ar fizikai mennyis´eg Onadjung´¨ alt oper´ator

Fizikai mennyis´eg Oper´ator V´altoz´o ´ert´eke Oper´ator saj´at´ert´eke Atmeneti val´´ osz´ın˝us´eg Skal´arszorzat abszol´ut ´ert´eke Egyszerre m´erhet˝o mennyis´egek Kommut´al´o oper´atorok

Az egyenleteknek meg kell felelni¨uk a megfigyel´eseknek. A megfigyel´esek k¨ozvetlenek (amilyen pl. egy k¨olcs¨onhat´ast le´ır´o potenci´al alakja) vagy elviek lehetnek. Elvi meg- figyel´es pl. az, hogy azonos fizikai rendszereket azonos matematikai strukt´ur´akkal (pl.

egyenlettel) kell le´ırni. Az elvi megfigyel´esek egy r´esze azt a k¨ovetelm´enyt t´amasztja a matematikai strukt´ur´aval szemben, hogy annak v´altozatlannak (invari´ansnak) kell lennie olyan v´altoz´asokkal szemben, amelyek a fizikai jelens´eget nem ´erintik. Ilyen invariancia elvek:

• Hasonl´os´agi elv: a fizikai k´ıs´erlet ar´anyosan zsugor´ıthat´o. Ez a k´ezenfekv˝o felte- v´es Fourier-t˝ol sz´armazik, az atomok felfedez´ese ´ota a feltev´est elvetett´ek, noha a m´ern¨oki gyakorlatban egy meghat´arozott tartom´anyon bel¨ul az elv alkalmazhat´o.

• Egy jelens´eg le´ır´asa f¨uggetlen a koordin´ata-rendszer kezd˝opontj´anak megv´alaszt´a- s´at´ol, valamint a t=0 pont megv´alaszt´as´at´ol. M´as sz´oval, minden k´ıs´erlet megis- m´etelhet˝o m´ashol ´es m´askor.

• Ha egy fizikai rendszerben az azonos r´eszecsk´eket felcser´elj¨uk, ugyanazt az ´allapotot kell kapnunk.

Az invarianci´ahoz kapcsol´od´o matematikai konstrukci´o a (v´altoz´ok) transzform´aci´oja.

Azok a transzform´aci´ok, amelyek egy egyenletet v´altozatlanul hagynak egy algebrai strukt´ur´at (csoportot) alkotnak. A csoport strukt´ur´aj´ab´ol hasznos k¨ovetkeztet´est le- het levonni az egyenlet megold´as´anak tulajdons´agait illet˝oen. Ezzel a megold´asokat csoportos´ıtani lehet, aminek sok praktikus k¨ovetkezm´enye van. A k¨ozel´ıt˝o m´odszerek meg´ıt´el´es´eben is fontos szempont, hogy a k¨ozel´ıt˝o m´odszer meg˝orzi-e az eredeti egyenlet

szimmetri´ait, vagy hoz-e be ´ujabbakat. Nehezen megoldhat´o feladatok est´en (ilyen p´el- d´aul a t¨obbf´azis´u ´araml´as) ennek alapj´an meg´ıt´elhet˝o egy k¨ozel´ıt˝o m´odszer pontoss´aga.

A fizika ´es matematika n´eh´any ter¨ulete, ahol a csoportelm´elet hasznosnak bizonyult:

• Elemi r´eszek oszt´alyoz´asa. A Lie-csoportok reprezent´aci´oi alkalmas keretet bizto- s´ıtanak az elemi r´eszecsk´ek oszt´alyoz´as´ara. Egyes esetekben egyszer˝u de l´atv´anyos szimmetriamegfontol´ason alapul´o ¨osszef¨ugg´eseket (ilyen pl. a fermionokra kimon- dott bet¨olt´esi korl´at) lehet megfogalmazni.

• Atomi sz´ınk´epek ´ertelmez´ese. Az atomi sz´ınk´epek az elektronh´ejban tal´alhat´o elektronok ´allapotai k¨oz¨otti energiak¨ul¨onbs´eggel kapcsolatosak. Az energiaszin- teket pedig saj´at´ert´ekfeladatok megold´as´aval lehet meghat´arozni.

• Szil´ard testek szerkezet´enek oszt´alyoz´asa. Az eg´esz teret nem lehet tetsz˝oleges alak´u egys´egek ism´etl´es´evel kit¨olteni. A lehets´eges egys´egek ´es a krist´aly megfigyelt tulajdons´agai k¨oz¨ott szoros kapcsolat van. Ezek a tulajdons´agok a szimmetri´akkal is kapcsolatba hozhat´oak.

• Altal´´ anos- ´es speci´alis relativit´aselm´elet. A relativit´aselm´elet alapgondolata: a fizikai egyenletek szerkezet´enek azonosnak kell lennie minden inerciarendszerben.

Ebb˝ol a megfogalmaz´asb´ol is kit˝unik a szimmetri´ak fontoss´aga.

• Gy¨okk´epletek magasabb fok´u egyenletek megold´as´ara. Ha van gy¨okk´eplet, akkor az egyenlet foksz´ama minden gy¨ok meghat´aroz´asa ut´an cs¨okkenthet˝o eggyel. A k¨ul¨onb¨oz˝o foksz´am´u egyenletek szimmetri´aja k¨oz¨otti kapcsolat lehet˝os´eget ad a megoldhat´os´ag felt´eteleinek kimond´as´ara.

• K¨orz˝ovel vonalz´oval elv´egezhet˝o szerkeszt´esek. A szerkeszthet˝o pontok halmaza megfeleltethet˝o egy algebrai egyenlet gy¨okeinek. Az el˝oz˝o pont eredm´enyeinek felhaszn´al´as´aval megadhat´o az elv´egezhet˝o szerkeszt´esek k¨ore.

• Geometriai szerkezetek tanulm´anyoz´asa. Ahogyan egy v´eges krist´alyt fel´ep´ıthet¨unk egy elemi cella ism´etl´es´evel, egy szab´alytalannak t˝un˝o alakzatot gyakran felbont- hatunk elemi cell´akra. A felbont´as k´ın´alja az algebrai m´odszerek el˝onyeit.

• Perem´ert´ekfeladatok. Amennyiben vannak olyan transzform´aci´ok, amelyek a fel- adatot v´altozatlan form´aban hagyj´ak, az invarianci´at ki lehet haszn´alni.

• Numerikus m´odszerek (speci´alis f¨uggv´enyek, numerikus m´odszerek). A legt¨obb speci´alis f¨uggv´eny egy egyenlethez ´es egy megfelel˝o geometri´ahoz tartozik. Ez´ert vizsg´alatukban a szimmetri´ak fontos szerepet kaphatnak. Egy egyenlet megold´as´at csak adott felt´etelek mellett lehet egyv´altoz´os f¨uggv´enyek szorzatak´ent fel´ırni. E felt´etelek megfogalmaz´as´aban is seg´ıt az algebra.

A csoportelm´elet haszn´at r¨oviden a k¨ovetkez˝oekben lehet ¨osszefoglalni. Ha a csoportot alkot´o transzform´aci´ok felcser´elhet˝oek egy oper´atorral, akkor l´etezik k¨oz¨os saj´atf¨uggv´eny rendszer. K¨ovetkez´esk´eppen, az oper´ator saj´atf¨uggv´enyeit csoportos´ıtani lehet a transz- form´aci´ok saj´atf¨uggv´enyei seg´ıts´eg´evel. Ahhoz, hogy a saj´atf¨uggv´enyeket csoportos´ıtani lehessen, meg kell ismerni a csoport szerkezet´et. Egy szimmetriacsoporthoz rendelhet˝o egy invari´ans mennyis´eg, ennek ismeret´eben hat´ekony m´odszereket lehet kidolgozni pl.

az egyenlet megold´as´ara.

1.1. Jel¨ ol´ esek

A jel¨ol´esekben igyekeztem a hagyom´anyokat k¨ovetni, ez azonban gyakran vezetett konf- liktushoz. Ez´ert a jel¨ol´eseknek csak egy r´esze egys´eges, egy-egy adott probl´ema vizsg´a- lata sor´an igyekeztem az ott szok´asos jel¨ol´est k¨ovetni, ez´ert minden fejezet elej´en van jel¨ol´esjegyz´ek.

Altal´´ aban az oper´atorokat ´es m´atrixokatk¨ov´erlatin nagybet˝ukkel jel¨olj¨uk (A,B,C).

Egy vektort´er, ponthalmaz, vagy f¨uggv´enyt´er jel¨ol´es´ere a mathbb bet˝ut´ıpust haszn´aljuk:

X,Z,P,Q. A helyv´altoz´ora az x jel¨ol´est haszn´aljuk, ha a v´altoz´onak az a tulajdons´aga l´enyeges, hogy egy halmaz r´esze, m´ıg azxjel¨ol´es a helyv´altoz´o komponenseinek szerep´et k´ıv´anja hangs´ulyozni (pl. a transzform´aci´os szab´alyok eset´eben).

Halmazok AS

B–az A ´es B halmazok egyes´ıt´ese AT

B–az A ´es B halmazok k¨oz¨os r´esze A\B–az A ´es B halmazok k¨ul¨onbs´ege B ⊂A–a B halmaz az A halmaz r´esze A ∈a–az a elem r´esze azA halmaznak

a∗b–a halmaz k´et elem´enek szorzata (amennyiben a szorz´as m˝uvelete defini´alt) a+b–a halmaz k´et elem´enek ¨osszege (amennyiben az ¨osszaad´as m˝uvelete defini´alt) S ={x:F(x) = 0}–egy adott felt´etelnek (itt F(x) = 0 gy¨okei) eleget tev˝o halmaz M´atrixok, oper´atorok

A–m´atrix vagy oper´ator A⁻¹–inverz m´atrix A⁺–adjung´alt m´atrix

||A||- m´atrix(oper´ator) norma E_m–m×m egys´egm´atrix (oper´ator) P–projektor oper´ator

F¨uggv´enyek

f(x)–az x v´altoz´o skal´ar f¨uggv´enye

f :A→B–f¨uggv´eny, amely az A halmaz elemeit aB halmaz elemeibe viszi ´at x= (x¹, . . . , xⁿ)–n elem˝u vektor

f(x) = (f¹(x), . . . , fⁿ(x))–az x v´altoz´o vektorf¨uggv´enye, n komponenssel

∂/∂x–x szerinti parci´alis deriv´alt

∂_x1–∂/∂x₁ F_x–∂F/∂x Fxx–∂²F/∂x²

D_xΦ–a Φ f¨uggv´eny xszerinti teljes differenci´alja prⁿ-n-ik prolong´aci´o

g ∗F–a g csoportelem hat´asa az F f¨uggv´enyre

[A,B]–az A´es B mennyis´egek kommut´atora (= AB−BA) {A,B}–az A ´es B mennyis´egek antikommut´atora (= AB+BA)

G_V(x, x₀)–a V alakzat Green-f¨uggv´enye L^g–az L oper´ator k´epe a g csopoertelem alatt Csoportok

ha1, . . . , an;−in gener´ator ´altal el˝o´all´ıtott szabad csoport

ha₁, . . . , a_n;r₁, . . . , r_mi n gener´ator ´es m rel´aci´o ´altal el˝o´all´ıtott csoport

|G|-a Gcsoport rendje e–a csoport egys´egeleme g₁g₂–csoportelemek szorzata g⁻¹–ag csoportelem inverze

Gx–a Gcsoport hat´asa azx elemre

gx–ag csoportelem hat´asa az x pontra (vektorra) gf(x)–a g csoportelem hat´asa az f(x) f¨uggv´enyre G\N–az N r´eszcsoport Gfaktorcsoportja

G\X–a Gcsoport orbitja az Xhalmazon

[G:H]–a H r´eszcsoport indexe a G csoportban [s]–az s elemmel ekvivalens elemek oszt´alya Perem´ert´ek-feladat

V–ponthalmaz, sokas´ag, t´erfogat, amelyen a megold´ast keress¨uk

∂V–V hat´ara

x–´altal´anos pont a V t´erfogatban

x0–r¨ogz´ıtett pont (pl. forr´as helye) a V t´erfogatban

2. fejezet

Csoportelm´ eleti ´ es geometriai

alapok

2.1. Jel¨ ol´ es

Jelen fejezetben az al´abbi jel¨ol´est haszn´aljuk.

A csoportot t¨obbf´ele matematikai strukt´urak´ent is vizsg´aljuk. Egy vektort´er, ponthal- maz, vagy f¨uggv´enyt´er jel¨ol´es´ere amathbb bet˝ut´ıpust haszn´aljuk: X,Z,P,Q. A csoport- elemeket kisbet˝ukkel (g, h, x) jel¨olj¨uk, a csoportokat pedig nagybet˝ukkel (G, H, X). A csoportok alkalmaz´asa sor´an halmazok (t¨obbnyire geometriai objektumok) elemein vizs- g´aljuk a csoportelemek hat´as´at. Halmazok

AS

B–az A ´es B halmazok egyes´ıt´ese AT

B–az A ´es B halmazok k¨oz¨os r´esze A\B–az A ´es B halmazok k¨ul¨onbs´ege B ⊂A–a B halmaz az A halmaz r´esze A ∈a–az a elem r´esze azA halmaznak

a∗b–a halmaz k´et elem´enek szorzata (amennyiben a szorz´as m˝uvelete defini´alt) a+b–a halmaz k´et elem´enek ¨osszege (amennyiben az ¨osszead´as m˝uvelete defini´alt) S ={x:F(x) = 0}–egy adott felt´etelnek (itt F(x) = 0 gy¨okei) eleget tev˝o halmaz M´atrixok, oper´atorok

A–m´atrix vagy oper´ator A⁻¹–inverz m´atrix A⁺–adjung´alt m´atrix

||A||- m´atrix(oper´ator) norma Em–m×m egys´egm´atrix (oper´ator) P–projektor oper´ator

F¨uggv´enyek

f(x)–az x v´altoz´o skal´ar f¨uggv´enye

f :A→B–f¨uggv´eny, amely az A halmaz elemeit aB halmaz elemeibe viszi ´at x= (x¹, . . . , xⁿ)–n elem˝u vektor

f(x) = (f¹(x), . . . , fⁿ(x))–az x v´altoz´o vektorf¨uggv´enye, n komponenssel

∂/∂x–x szerinti parci´alis deriv´alt

∂_x1–∂/∂x₁ F_x–∂F/∂x Fxx–∂²F/∂x²

D_xΦ–a Φ f¨uggv´eny xszerinti teljes differenci´alja prⁿ-n-ik prolong´aci´o

g ∗F–a g csoportelem hat´asa az F f¨uggv´enyre

[A,B]–az A´es B mennyis´egek kommut´atora (= AB−BA) {A,B}–az A ´es B mennyis´egek antikommut´atora (= AB+BA) G_V(x, x₀)–a V alakzat Green-f¨uggv´enye

L^g–az L oper´ator k´epe a g csopoertelem alatt Csoportok

ha₁, . . . , a_n;−in gener´ator ´altal el˝o´all´ıtott szabad csoport

ha₁, . . . , a_n;r₁, . . . , r_mi n gener´ator ´es m rel´aci´o ´altal el˝o´all´ıtott csoport

|G|-a Gcsoport rendje e–a csoport egys´egeleme g₁g₂–csoportelemek szorzata C1, C2, . . .–konjug´alt oszt´alyok n_c–a konjug´alt oszt´alyok sz´ama g⁻¹–ag csoportelem inverze

Gx–a Gcsoport hat´asa azx elemre

gx–ag csoportelem hat´asa az x pontra (vektorra) gf(x)–a g csoportelem hat´asa az f(x) f¨uggv´enyre G\N–az N r´eszcsoport Gfaktorcsoportja

G\X–a Gcsoport orbitja az Xhalmazon

[G:H]–a H r´eszcsoport indexe a G csoportban [s]–az s elemmel ekvivalens elemek oszt´alya

2.2. Diszkr´ et csoportok

Legyen adott az a₁, . . . , a_n elemek (m´asn´even bet˝uk) v´eges halmaza, amelyek k¨oz¨ott elv´egezhet˝o a szorz´as m˝uvelete, az i-ik ´es j-ik elemek szorzat´ata_ia_j-vel jel¨olj¨uk. Legyen minden elemnek defini´alt az inverze, az ai elem inverz´et jel¨olje a⁻¹_i . Egy sz´o bet˝uk egy v´eges sorozat´at jelenti:

a^τ_i1¹a^τ_i2². . . a^τ_i^k

k (2.1)

ahol a kitev˝ok csak a +1 vagy −1 ´ert´eket vehetik fel, az els˝o hatv´anyon pedig mag´at a bet˝ut ´ertj¨uk. K´et sz´o, s1 ´es s2 szorzat´an , amit s1s2-k´ent ´ırunk, a szavak egym´asut´an

´ır´as´aval kapott sz´ot ´ertj¨uk, el˝osz¨or le´ırjuk s₁-et, azut´an pedig s₂-t. Ez nyilv´anval´oan asszociat´ıv m˝uvelet. A hossz´u szavakban el˝ofordulhat, hogy ugyanaz a bet˝u t¨obbsz¨or szerepel egym´as ut´an. A szavak r¨ovid´ıt´ese c´elj´ab´ol bevezetj¨uk az aⁿ_i jel¨ol´est azaiai. . . ai

(n t´enyez˝ot tartalmaz´o) szorzatra. Az ¨ures sz´ora az 1 jel¨ol´est haszn´aljuk, ezzel nyilv´an s1=1s b´armely s sz´ora.

Rel´aci´o alatt egyr= 1 alak´u egyenletet ´ert¨unk, aholregy sz´o (ebben a kontextusban rel´atornak szok´as nevezni). Azs₁´ess₂ szavakat ekvivalensnek nevezz¨uk az r_j = 1 rel´aci´o

szerint, ha s₁ ´atalak´ıthat´o s₂-v´e az al´abbi m˝uveletek v´eges sz´am´u alkalmaz´as´aval:

1. Az r_j bet˝usorozat besz´ur´asa vagy t¨orl´ese.

2. Az a⁻¹_i a_i ill. a_ia⁻¹_i bet˝usorozatok besz´ur´asa vagy t¨orl´ese.

Az s-sel (adott rel´aci´ok szerint) ekvivalens szavak oszt´aly´at (r¨oviden ekvivalenciaoszt´a- lyokat vagy oszt´alyokat) [s] -sel jel¨olj¨uk. Az ekvivalenciaoszt´alyok k¨oz¨otti szorz´as az al´abbi defin´ıci´o szerint t¨ort´enik: [s₁][s₂] = [s₁s₂]. Ez a kifejez´es j´ol defini´alt, hiszen ha 0s ekvivalens s-sel, akkor0ss₂ ekvivalensss₂-vel, minthogy az a m˝uvelet, ami s-t 0s-v´e ala- k´ıtja f¨uggetlens₂jelenl´et´et˝ol. s-et az [s] ekvivalenciaoszt´aly gener´al´o elem´enek nevezz¨uk.

´Igy bel´athat´o, hogy a szorzat f¨uggetlen az oszt´alyokat reprezent´al´o oszt´alyelemt˝ol.

Az a strukt´ura, ami az a_i bet˝ukb˝ol k´epzett v´eges szavak r_j rel´aci´ok szerinti ekviva- lenciaoszt´alyait jel¨oli, egy G csoport . AG csoportban l´ev˝o elemek sz´am´atG rendj´enek nevezz¨uk ´es|G|-vel jel¨olj¨uk. Ha |G|v´eges, G-t v´eges csoportnak nevezz¨uk. Az elnevez´es jogoss´ag´ahoz azt kell megmutatni, hogy a n´egy csoportaxi´oma (ld. 13. fejezet) teljes¨ul.

Az elemek k¨oz¨ott l´etezik m˝uvelet, ez a szavak egym´as ut´an ´ır´asa. Ez a m˝uvelet asszociat´ıv , ami a szorz´ot´enyez˝ok egym´as ut´an ´ır´as´ab´ol, ´es a t´enyez˝ok asszociativit´as´ab´ol k¨ovetke- zik. Van egys´egelem, az [1], tov´abb´a l´etezik inverz, hiszen [s][s⁻¹] = [ss⁻¹] = [1], amib˝ol [s]⁻¹ = [s⁻¹]. Rendszerint az ekvivalencia oszt´alyokb´ol a z´ar´ojelet elhagyjuk, ahogyan a t¨ortekn´el is 1/2-t ´ırunk, noha az val´oj´aban az 1/2,2/4,3/6 stb. halmaz minden elem´et jelenti. A csoportot megadhatjuk az elemek ´es rel´aci´ok felsorol´as´aval. Ezt a megad´asi m´odot ´ugy haszn´aljuk, hogy <> k¨oz¨ott felsoroljuk az elemeket, ezeket egy pontosvessz˝o z´arja, majd felsoroljuk a rel´aci´okat pl. ha₁, a₂, . . .;r₁, r₂, . . .i. Mind az elemek, mind a rel´aci´ok lehetnek v´eges vagy v´egtelen sz´am´uak.

Azha₁, a₂, . . .;r₁, r₂, . . .istrukt´ur´at aGcsoport prezent´aci´oj´anak nevezz¨uk. Egy cso- portnak t¨obb prezent´aci´oja l´etezhet. AGcsoport v´egesen prezent´alt, ha a prezent´aci´oban szerepl˝o bet˝uk ´es a rel´aci´ok halmaza v´eges sok elemb˝ol ´all.

Altal´´ aban a csoportelemek szorzata f¨ugg a t´enyez˝ok sorrendj´et˝ol, vagyis, a₁a₂ 6=

a₂a₁. Azokat a csoportokat, amelyek minden a₁, a₂ elem´ere fenn´all a₁a₂ = a₂a₁, Abel- csoportoknak nevezik¹.

LegyenH egy (nem ¨ures) csoport, amelynek elemei megtal´alhat´oak a G csoportban.

Ekkor H-t G r´eszcsoportj´anak nevezz¨uk, jel¨ol´esben: H ⊂ G. Az al´abbi halmazokat G-nek H szerinti jobboldali mell´ekoszt´alyainak nevezz¨uk:

Hg ={hg:h∈H} (2.2)

mindeng ∈G-re. Ezek a halmazok vagy diszjunktak, vagy azonosak. A mell´ekoszt´alyok G egy felbont´as´at alkotj´ak. AH ⊂Gr´eszcsoport mell´ekoszt´alyainak sz´ama (v´eges vagy v´egtelen) H indexe ´es ezt |G : H|-val jel¨olj¨uk. Ha G v´eges csoport, akkor az elemek

1Niels Henrik Abel (1802-1829) norv´eg matematikus tisztelet´ere.

sz´ama mindegyik H szerinti mell´ekoszt´alyban v´eges ´es egyenl˝o H rendj´evel. A baloldali mell´ekoszt´alyokat az al´abbi halmazok adj´ak meg:

gH ={gh:h∈H}. (2.3)

Amennyiben a baloldali ´es jobboldali mell´ekoszt´alyok megegyeznek, a H r´eszcsoportot a G csoport norm´aloszt´oj´anak vagy norm´alis r´eszcsoportj´anak nevezz¨uk. A norm´aloszt´ora nyilv´anval´oan fenn´all

H =gHg⁻¹. (2.4)

Egy adott h elemhez tartoz´o, valamely g csoportelem seg´ıts´eg´evel (mik¨ozben g v´egigfut a csoport ¨osszes elem´en) aghg⁻¹ m˝uvelettel, a konjug´al´assal el˝o´all´ıthat´o elemekhkonju- g´alt oszt´aly´at (vagy egyszer˝uen oszt´aly´at) alkotj´ak. Az oszt´alyok a csoport szerkezet´ere jellemz˝oek. Az Abel-csoport minden eleme egy konjug´alt oszt´alyt alkot. Legyen N a G csoport egy norm´aloszt´oja. G-nek az N szerinti mell´ekoszt´alyai a szorz´as m˝uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, ezt a csoportot nevezik a G csoport N szerinti faktorcsoport- j´anak, jel¨ol´eseG\N. Az egys´egelem ´esGtrivi´alisan faktorcsoportok. Ha aGcsoportnak csak az egys´egelem ´es magaGfaktorcsoportja, akkorG-t egyszer˝u csoportnak nevezz¨uk.

Azt a g → G\N homomorfizmust, amely minden g ∈ G elemet a gN mell´ekoszt´alyba visz, term´eszetes vagy kanonikus homomorfizmusnak nevezz¨uk. A norm´aloszt´ok megha- t´aroz´as´ahoz j´ol haszn´alhat´o az al´abbi megfigyel´es. AzN ⊂Gcsoport akkor ´es csak akkor norm´alis r´eszcsoport, ha N-benGelemei oszt´alyonk´ent fordulnak el˝o, azaz, amennyiben adott g ∈ G eleme N-nek, akkor minden hg⁰h⁻¹ ∈ N, ahol a g ´es g⁰ elemek G azonos konjug´alt oszt´aly´ahoz tartoz´o elemek.

AGcsoportot feloldhat´onak nevezz¨uk, ha egym´asba ´agyazott norm´alis r´eszcsoportok sorozatak´ent (ezt szok´as norm´all´ancnak nevezni) adhatjuk meg, a k¨ovetkez˝o m´odon:

G=G₀ ⊂G₁ ⊂ · · · ⊂G_s =e´es a Gi−1\G_i csoport minden tagja kommut´al.

A G = ha₁, a₂, . . .;r₁, r₂, . . .i csoport az F = ha₁, a₂, . . .;−i ² csoport ´es az N = hr1, r2, . . .i r´eszcsoport h´anyadosa.

EgyGcsoportG⁰ csoportba men˝o homomorfizmus´an egy olyanf :G→G⁰ lek´epez´est

´ert¨unk, amelyre f(g₁g₂) = f(g₁)f(g₂). Egy X halmaz transzform´aci´oj´an egy olyan f : X → X lek´epez´est ´ert¨unk, amely X-et k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝uek k´epezi le ¨onmag´ara.

Egy G csoport f homomorfizmusa egy X halmaz transzform´aci´ocsoportj´aba G-nek egy hat´as´at adja meg X-en. A csoporthat´as megad´as´an´al meg kell mondani, hogy adott g ∈ G-hez milyen X-nek milyen f(g) transzform´aci´oja tartozik³, azaz, meg kell adnunk f(g)(x)-et minden x∈X-re. Egyx∈X elem orbitja a Gtranszform´aci´ocsoportra n´ezve az a Gx halmaz, amely a g(x) alak´u elemekb˝ol ´all, itt g v´egigfut G elemein. Az x elem stabiliz´atora, Gx = {g :g(x) =x}, G-nek azon elemeib˝ol ´all, amelyek helyben hagyj´ak

2A rel´aci´ot nem tartalmaz´o,ngener´ator ´altal gener´alt csoportotnelemmel genar´alt szabad csoport- nak nevezik ´esF_n-nel jel¨olik.

3ez a jel¨ol´es arra utal, hogy az f lek´epez´es minden csoportelem eset´en m´as ´es m´as lehet, f(g) a g csoportelemhet tartoz´o lek´epez´es

x-et. Tekints¨uk azt a rel´aci´ot az x, y ∈X elemek k¨oz¨ott, amikor x-hez van olyang ∈G, amelyre g(x) = y. Ez egy ekvivalenciarel´aci´ot ad meg, azaz, reflex´ıv, szimmetrikus ´es tranzit´ıv. Az X halmaz orbitok diszjunkt uni´oj´ara bonthat´o; az orbitok halmaza az orbitt´er, amit G\X-szel jel¨ol¨unk. Ha csak egy orbit van, akkor azt mondjuk, hogy G tranzit´ıv.

Legyen X topologikus t´er. X automorfizmusai k´epezhetnek folytonos vagy diszkr´et csoportot. Xautomorfizmusainak egyGcsoportj´at diszkr´etnek (itt a diszkr´et a folytonos ellent´etek´ent ´ertend˝o) nevezz¨uk, ha mindenK ⊂X kompakt r´eszhalmazra csup´an v´eges sok olyan g ∈ G elem l´etezik, amelyre KT

gK nem ¨ures. Ha minden x ∈ X pont sta- biliz´atora csakg egys´egelem´eb˝ol ´all, akkor azt mondjuk aG csoport szabadon hat az X halmazon. G orbitjainak G\X halmaz´an a k¨ovetkez˝o m´odon defini´alhatunk topologi´at.

Amennyiben G szabadon hat X-en, akkor minden x₀ ∈G\X pontnak van olyan k¨ornye- zete, amelynek az f : X → G\X lek´epez´esn´el a teljes inverze az f ´altal homeomorfan lek´epezett, p´aronk´ent diszjunkt ny´ılt halmazoknak az egyes´ıt´ese. Ez defin´ıci´o szerint azt jelenti, hogy X nem el´agaz´o fed´ese G\X-nek.

Term´eszetesen a Gcsoport hat´asaGelemein is defini´alhat´o. A h´arom leggyakrabban alkalmazott defin´ıci´o: g · x = gx (itt x ∈ G, az egyenl˝os´eg baloldala a csoporthat´as defin´ıci´oja, jobboldala pedig G-beli szorz´as); g · x = xg⁻¹; g · x = gxg⁻¹. A fenti m˝uveleteket balregul´aris, jobbregul´aris, ill. adjung´alt csoporthat´asnak nevezz¨uk.

Adott G csoport hat´as´at egy X halmazon t¨obbf´elek´eppen is megadhatjuk. P´eld´aul legyen G egy csoport, amelynek minden g ∈ G elem´enek hat´asa, defini´alt, azaz gx

´

ertelmezve van, az x∈Xpontokra. Ekkor ag csoportelem hat´asak´ent tekinthetj¨uk pl. a gx vagy agxg⁻¹ transzform´aci´ot is. Gyakran nem adhat´o meg trivi´alis csoporthat´as. Az el˝oz˝o p´eld´aban term´eszetesnek t˝unhet agxdefin´ıci´o v´alaszt´asa, azonban ez nincs mindig

´ıgy. P´eld´aul legyen G az egys´egnyi determin´ans´u 2×2-es m´atrixok csoportja, amit a z >0 komplex f´els´ıkra alkalmazhatunk az al´abbi k´eplettel

gz = az+d

cz+d. (2.5)

Hozz´arendelhetj¨uk a g csoportelemhez az al´abbi invert´alhat´o m´atrixot:

g = a b

c d

. (2.6)

Itt teh´at k´et def´ın´ıci´o is k´ın´alkozik, egyiknek sincs kiemelt szerepe.

2.1. Feladat A (2.5) vagy (2.6) csoporthat´as az X = C komplex sz´amtest ill. az R² (s´ık pontjai) halmazokon van ´ertelmezve. A tov´abbiakban sz¨uks´eg¨unk lesz a polinomokb´ol

´

all´o testre, amit C(x)-szel jel¨ol¨unk, ha a polinom v´altoz´oja x, egy¨utthat´oi pedig komplex sz´amok. C(x)-en ´ertelmezett az ¨osszead´as (a polinomokban az azonos hatv´anyok egy¨utt- hat´oit kell ¨osszeadni), ´es a szorz´as. Ha a legfeljebb n-edfok´u polinomok k¨or´eben k´ıv´anunk maradni, akkor a szorz´ast modul´o (n + 1) ´ertj¨uk, azaz, a szorzatnak csak a legfeljebb

n-ed fok´u tagjait tekintj¨uk. Ha az oszt´ast is megengedj¨uk, akkor a K(x) testr˝ol besz´el¨unk, amelynek elemei

a₀+a₁x+· · ·+a_nxⁿ

b₀+b₁x+· · ·+b_nxⁿ. (2.7) Itt nem minden bi nulla, az egy¨utthat´ok pedig a ai, bi ∈K testb˝ol val´ok.

EgyGcsoport hat´as´at azXhalmazon primit´ıvnek nevezz¨uk, ha a csoporthat´as tranzi- t´ıv, ´es nem engedi meg azXhalmaz nemtrivi´alis blokkokra bont´as´at. Egy blokkrendszer ( imprimitivit´as rendszer) a G csoport egy X-en ´ertelmezett hat´asa, amely nem m´as, mint X egy part´ıci´oja, amely v´altozatlan maradG hat´asa alatt.

R¨oviden megeml´ıtj¨uk m´eg azXhalmazban v´alasztand´o b´azis k´erd´es´ere. Amennyiben a csoporthat´ast szeretn´enk hangs´ulyozni, megfelel˝o b´azis v´alaszt´as´ara van sz¨uks´eg. Gon- doljunk pl. arra, hogy a polinomok le´ır´as´ara a v´altoz´ok hatv´anyait szoktuk alkalmazni, ezek bizony a csoportelemek hat´asa alatt ¨osszekeverednek. Lehet˝os´eg van szimmetriz´alt b´azisok v´alaszt´as´ara, azaz, olyan polinomokat v´alaszthatunk, amelyek a csoportelemek hat´asa alatt egyszer˝u m´odon transzform´al´odnak. Csoportelm´eleti munk´akban sz´o esik a Gr¨obner-b´azisr´ol is, ennek defin´ıci´oj´ara itt nem t´er¨unk ki, mivel ´altalunk nem t´argyalt strukt´ur´akat (ide´al, polinomgy˝ur˝u, monomi´alis rendez´es) haszn´al. Ez´ert az ´erdekl˝od˝o Olvas´onak a GAP le´ır´ast aj´anlom. A GAP-ben haszn´alhat´o a GroebnerBasis f¨uggv´eny, amely el˝o´all´ıtja a k´ıv´ant b´azist.

Gyakran sz¨uks´eg¨unk van a csoporthat´asra egy f¨uggv´enyt´er elemein. Erre az al´abbi defin´ıci´ot szok´as haszn´alni. Legyen adott az f(r) f¨uggv´eny, ´es a vizsg´alt csoport egy g →M_g ´abr´azol´as ´ugy, hogyM_g(r) ´ertelmezve van. Ekkor a csoporthat´as defin´ıci´oja

g·f(x) =f M⁻¹_g x

. (2.8)

Minden v´eges csoport reprezent´alhat´o permut´aci´okkal. Az 1, ..., nelemek permut´aci´oj´an az elemek al´abbi ´atrendez´es´et ´ertj¨uk:

1 2 3 . . . n i₁ i₂ i₃ . . . i_n

(2.9) Nyilv´anval´o, hogy a permut´aci´ok egym´asut´ani alkalnaz´asa is permut´aci´o, azaz a permu- t´aci´ok z´artak az egym´asut´ani alkalmaz´as m˝uvelet´ere n´ezve. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a csoportaxi´om´ak teljes¨ulnek, a permut´aci´ok csoportot alkotnak. Minden v´eges csoport izomorf egy permut´aci´ocsoporttal vagy annak r´eszcsoportj´aval. A permut´aci´ok ´abr´a- zol´asakor csak az als´o sort szok´as fel´ırni, azokat az elemeket, amelyek egym´as k¨oz¨ott permut´alunk egy z´ar´ojelbe. ´Igy pl.

1 2 3 4 5 6 2 4 5 1 3 6

= (124)(35)(6) (2.10)

mert az (124) elemek egy h´aromelem˝u, (35) egy k´etelem˝u, (6) pedig egy egyelem˝u ciklust alkot. ⁴ Az egys´egelem n egyelem˝u ciklusb´ol ´all, de ennek jel¨ol´es´ere az ¨ures z´ar´ojelet () szok´as haszn´alni. A ciklus invari´ans a ciklus elemeinek ciklikus permut´aci´oj´ara, pl.

(124) = (241) = (412), de (124) 6= (142). A k¨oz¨os elemet nem tartalmaz´o ciklusok sorrendje felcser´elhet˝o, pl. (124)(35) = (35)(124). A ciklusban szerepl˝o elemek sz´ama a ciklus hossza ´es

(i₁ i₂ i₃ . . . i_k)^k = ().

(2.11) B´armely ciklus fel´ırhat´o transzpoz´ıci´ok szorzatak´ent:

(ijk . . . l) = (ij)(jk)...(kl). (2.12) Ez a felbont´as nem egy´ertelm˝u. V´eg¨ul k´et hasznos azonoss´ag:

(ik . . . lmi) = (k . . . lm) (2.13) (ik . . . lm)(mn . . . p) = (ik . . . lmn . . . p). (2.14) A fenti ¨osszef¨ugg´esek seg´ıts´eg´evel bel´athat´o, hogy tetsz˝oleges permut´aci´o el˝o´all´ıthat´o k´etelem˝u ciklusokb´ol, amelyeket transzpoz´ıci´onak neveznek. Azokat a permut´aci´okat, amelyeket p´aros transzpoz´ıci´oval ´all´ıthatunk el˝o, p´aros permut´aci´onak nevezik. A p´aros permut´aci´ok alcsoportot alkotnak, az altern´al´o csoportot. Az altern´al´o csoport indexe 2, mivel a p´aros ´es p´aratlan permut´aci´ok k¨oz¨ott egy-egy´ertelm˝u megfeleltet´es l´etes´ıthet˝o.

2.2. Feladat (A szab´alyos hatsz¨og szimmetriacsoportja C_6v) A csoport permut´a- ci´okkal az al´abbi m´odon ´all´ıthat´o el˝o. Sz´amozzuk meg a hatsz¨og cs´ucsait az ´oramutat´o j´ar´as´aval megegyez˝o ir´anyban. A csoport gener´atorak´ent egy forgat´ast ´es egy t¨ukr¨oz´est lehet v´alasztani. Legyenα = (123456), ami egy π/3 sz¨og˝u forgat´as, ´es β = (26)(35), ami az 1,4 cs´ucsokon ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ukr¨oz´est jelenti. Az olvas´o k¨onnyen ellen˝orizheti, hogy β² = (), α⁶ = (), ´es a k´et gener´ator seg´ıts´eg´evel a C_6v csoport minden eleme el˝o´al- l´ıthat´o. A csoport elemei hat konjug´alt oszt´alyt alkotnak. Az els˝oben az egys´egelem van:

(); a m´asodikban h´arom elem van, h´arom t¨ukr¨oz´es a hatsz¨og cs´ucsain ´atmen˝o s´ıkokra, ezek egyike (26)(35); a harmadikban h´arom elem tal´alhat´o, a h´arom lapk¨oz´epen ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ukr¨oz´es, az egyik elem (12)(36)(45); a negyedikben k´et, 2π/3 sz¨og˝u forgat´as ta- l´alhat´o, az egyik (135)(246); az ¨ot¨odikben k´et darabπ/3 sz¨og˝u forgat´as van, egyik k¨oz¨ul¨uk (123456); a hatodikban csak az inverzi´o (14)(25)(36) van. A C_6v csoport karaktert´abl´aja a 6.9. t´abl´azatban, a 6. fejezetben tal´alhat´o.

Egy G csoport felbonthat´o a csoportelemek konjug´altoszt´alyainak halmaz´ara. Vegy¨unk egy h₁ ∈ G elemet ´es k´epezz¨uk az ¨osszes h₁-gyel konjug´alt elem halmaz´at, amit gh₁g⁻¹ elemek ¨osszess´ege ad meg, ittg v´egigfut Gminden elem´en. Jel¨olje ezt a halmaztC₁. Ez- ut´an vegy¨unk egyh₂ elemetG− C₁-b˝ol, ´es k´epezz¨uk ah₂-h¨oz konjug´alt elemek halmaz´at:

4Az egyelem˝u ciklust csak akkor ´erdemes ki´ırni, ha jelezni k´ıv´anjuk a permut´aci´o hossz´at.

C₂ = {gh₂g⁻¹, g ∈G}. Az elj´ar´ast folytatva, a kapott C₁,C₂, . . . elemoszt´alyok lefedik a G csoportot. Egy v´eges G csoportot alkot´o konjug´alt elemoszt´alyok sz´ama v´eges. A C₁,C₂, . . . elemoszt´alyokat konjug´alt elemoszt´alyoknak is nevezik. A konjug´alt elemosz- t´alyok sz´am´at n_c-vel fogjuk jel¨olni. Egy G csoport ´abr´azol´asa (´abr´azol´asa) alatt G egy homomorfizmus´at ´ertj¨uk, egy L vektort´er automorfizmus csoportj´aba. A leggyakoribb m´atrix´abr´azol´as eset´enLautomorfizmusai m´atrixok,Ghomomorfizmusa alatt pedig a g csoportelemhez egy olyang →Dg m´atrix hozz´arendel´est ´ert¨unk, amire teljes¨ul, hogy De

az egys´egm´atrix, amennyiben e az egys´egelem G-ben, tov´abb´a g₁g₂ →D_g1g2 =D_g1D_g2. Ha g → D_g egy ´abr´azol´as, akkor g → CD_gC⁻¹ is az (itt C nemszingul´aris m´atrix).

A hasonl´os´agi transzform´aci´oban elt´er˝o ´abr´azol´asokat ekvivalensnek nevezz¨uk. A nem ekvivalens ´abr´azol´asok jellemz´es´ere a m´atrix spurj´at haszn´aljuk, amit az ´abr´azol´as ka- rakter´enek nevez¨unk. Ismeretes az algebr´ab´ol, hogy ekvivalens m´atrixok spurja azonos.

Amennyiben egy ´abr´azol´as minden m´atrixa egyidej˝uleg az al´abbi alakra hozhat´o:

M1 M2

0 M₃

(2.15) az ´abr´azol´ast reducibilisnek, egy´ebk´ent irreducibilisnek nevezz¨uk. A nem ekvivalens ir- reducibilis ´abr´azol´asok sz´ama megegyezik a konjug´alt elemoszt´alyok n_c sz´am´aval. Az

´

abr´azol´ast h˝unek nevezz¨uk, amennyiben elt´er˝o csoportelemekhez elt´er˝o m´atrixok tartoz- nak.

Legyens egy homomorf lek´epez´ese a Gcsoportnak az F sz´amtestbe. A homorfizmus azt jelenti, hogy s(g₁ ∗g₂) = s(g₁)∗s(g₂), b´armely k´et g₁, g₂ ∈ G-re. s-t a G csoport karakter´enek nevezz¨uk. Amennyiben G-t m´atrixokkal reprezent´aljuk, a m´atrix spurja egy alkalmas karakter.

Egy v´eges G csoport χ karakter´et monomi´alisnak nevezz¨uk, ha χ el˝o´all´ıthat´o G egy r´eszcsoportj´anak line´aris karakter´eb˝ol. A v´eges G csoportot monomi´alisnak, vagy M- csoportnak nevezz¨uk, ha minden k¨oz¨ons´eges irreducibilis karaktere monomi´alis.

Az irredicibilis ´abr´azol´asok karaktereit egy karaktert´abla tartalmazza. A karakte- rek egy elemoszt´alyon bel¨ul egyenl˝oek, az elt´er˝o karakterek sz´ama teh´at nem haladhatja meg az elemoszt´alyok sz´am´at. A karaktert´abl´aban a nem ekvivalens irreducibilis ´abr´a- zol´asok karakterei vannak felsorolva. Az irreducibilis ´abr´azol´as m´atrix´anak rendj´et az

´

abr´azol´as dimenzi´oj´anak nevezz¨uk. A v´eges csoportok irreducibilis ´abr´azol´asai 1, 2 vagy 3 dimenzi´osak. A karaktert´abl´aban azt is megadj´ak, hogyan transzform´al´odik az adott irreducibilis komponens (irrep). Erre utal az irrep jel¨ol´ese is, de fel szokt´ak t¨untetni az adott irrep szerint transzform´al´od´o egyszer˝u komponenseket is. Ez lehet egy vektor valamely komponense (pl. x, y vagy z), vagy egyRaxi´alvektorx, y vagy z komponense.

Az egydimenzi´os, szimmetrikus irreducibilis alt´er jel¨ol´ese A, amennyiben t¨obb ilyen is van, akkor azokat egy indexszel k¨ul¨onb¨oztetj¨uk meg. Az egydimenzi´os, aszimmetrikus

´

abr´azol´asok szok´asos jele B, a k´etdimenzi´os ´abr´azol´as jele E, a h´aromdiemnzi´os´e pedig F. Az irrepek alkotj´ak a karaktert´abla sorait. Az els˝o irrep maxim´alis szimmetri´aval

rendelkezik, azaz a karaktert´abla els˝o sor´aban csupa egyes ´all. A karaktert´abla oszlo- pait a csoportot alkot´o elemek alkotj´ak. Mivel az egy konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o csoportelemek karaktere azonos, az oszlopok konjug´alt elemoszt´alyokat tartalmaznak.

Szok´as szerint az els˝o oszlop tartozik az egys´egelemhez, ebb˝ol teh´at leolvashat´o az adott irrep dimenzi´oja.

A karaktert´abla seg´ıts´eg´evel egy tetsz˝oleges reducibilis ´abr´azol´ast felbonthatunk irre- ducibilis ´abr´azol´asok ¨osszeg´ere. Az ekvivalens irreducibilis ´abr´azol´asok sz´ama megegyezik az ´abr´azol´as dimenzi´oj´aval. A karaktert´abla rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal:

1. A t´abl´azat n´egyzet alak´u, minden sora megfelel egy nemekvivalens irreducibilis

´

abr´azol´asnak.

2. A t´abl´azat els˝o oszlopa az ´abr´azol´as dimenzi´oj´at adja meg. Ez oszt´oja a csoport rendj´enek. Az els˝o oszlop az egys´egelem konjug´alt elemoszt´aly´ahoz tartozik.

3. Az els˝o oszlopban ´all´o sz´amok n´egyzeteinek ¨osszege megegyezik a csoport rendj´evel.

4. Az els˝o sorban minden oszlopban 1 ´all.

5. A sorok ortogon´alisak, ha az adott oszlopban ´all´o sz´amot megszorozzuk az adott konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o csoportelemek sz´am´aval.

6. Az oszlopok ortogon´alisak.

7. Amennyiben az ´abr´azol´as |G| rend˝u m´atrixokkal t¨ort´enik, az i-ik irreducibilis ´ab- r´azol´ashoz annyi ekvivalens ´abr´azol´as tartozik, amennyi az ´abr´azol´as dimenzi´oja.

8. A t´abl´azat seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges f¨uggv´eny felbonthat´o irreducibilis komponen- sekre.

9. A t´abl´azat seg´ıts´eg´evel egy tetsz˝oleges ´abr´azol´as felbonthat´o irreducibilis ´abr´azo- l´asok ¨osszeg´ere.

Az irreducibilis ´abr´azol´asok a k¨ovetkez˝ot jelentik. Amennyiben a csoportot N-rend˝u m´atrixok egy halmaz´aval ´abr´azoljuk, akkor elk´epzelhet˝o, hogy van olyan hasonl´os´agi transzform´aci´o, ami a csoportelemekhez rendelt m´atrixok mindegyik´et diagonaliz´alja.

Ennek felt´etele, hogy G Abel-csoport legyen. A diagon´alishoz legk¨ozelebb ´all´o alakot a karaktert´abla megadja, u.i. a m´atrixok egyidej˝uleg blokkdiagon´alis alakra hozhat´oak, a blokkok m´erete az irreducibilis ´abr´azol´asok dimenzi´oival egyeznek meg, a blokkok sz´ama pedig egyenl˝o az irreducibilis ´abr´azol´asok sz´am´aval. A diagon´alisban ´all´o m´atrixokat spurjuk (karakter¨uk) szerint lehet oszt´alyozni, a diagon´alisban legfeljebb n_c elt´er˝o blokk fog ´allni, mindegyik blokk megfelel egy irreducibilis ´abr´azol´asnak. A diagon´alisban ´all´o m´atrix rendje megegyezik az ´abr´azol´as dimenzi´oj´aval. Azonos ´abr´azol´ashoz tartoz´onak