2.5. Forg´ ascsoport, Lorentz-csoport
2.5.1. Forg´ ascsoport
es
η(x, y) = d
dϑ(xsinϑ−ycosϑ) ϑ=0
=x. (2.106)
Ez´ert az infinitezim´alis gener´ator v=−y∂x+x∂y.
2.6. Feladat (Faktorcsoport) Tekints¨uk a n´egy elem˝u ciklikus csoportot: C4 =a, a2, a3, a4 =e.
Ebben E = e, a2 egy r´eszcsoport, ´es a G\A faktorcsoportnak k´et eleme van (mert A in-dexe G-ben 2), ennek elemei halmazok: E =e, a2 ´es A =a, a3, teljes¨ul tov´abb´a A2 =E
´
es E2 = E; azaz a k´et halmaz z´art a szorz´asra n´ezve teh´at csoportot alkotnak, ez a C4
csoport faktorcsoportja.
2.7. Feladat . [Permut´aci´ocsoportok] AzSnpermut´aci´ocsoport egy konjug´alt elemoszt´ a-ly´aba tartoz´o elemek ciklusszerkezete azonos. A ciklusok sz´am´at megszorozva a ciklusban l´ev˝o elemekkel, a kapott szorzatokat minden ciklushosszra ¨osszegezve Sn rendj´et kapjuk meg. A ciklusok hossz´at z´ar´ojelben szokt´ak megadni, pl. (313) jelent´ese: egy darab h´ ar-mas ciklus, h´arom darab (ez a sz´am szerepel a kitev˝oben) egyes ciklus az S6 csoportban;
vagy (221) jelent´ese: k´et darab kettes ciklus, egy darab egyes ciklus az S5 csoportban. Az S4 csoportban 5 konjug´alt oszt´aly tal´alhat´o, ezek:
C1 = ();
C2 = (12),(13),(23),(24),(34);
C3 = (12)(34),(13)(24),(14)(23);
C4 = (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243);
C5 = (1234),(1243),(1324),(1324),(1342),(1423),(1432) .
Ezek az elemek az al´abbi m´odon rendezhet˝oek csoportokba: C1 ⊂(C1S
C3)⊂(C1S C3S
C4)
⊂ (C1S C2S
C3S C4S
C5) = S4. Ez´ert az S4 csoport feloldhat´o. Megjegyezz¨uk, hogy Sn nem feloldhat´o ha n ≥5.
2.5. Forg´ ascsoport, Lorentz-csoport
2.5.1. Forg´ ascsoport
A s´ıkbeli forgat´asokat azSO2 csoport ´ırja le, a csoportelemeket a forgat´as sz¨og´evel lehet param´eterezni. Az al´abbiakban alkalmazni fogjuk a 2.3.1. fejezetben elmondottakat.
A param´etervektor most egyetlen skal´ar, a m´atrixban szerepl˝o ϑ argumentum, a for-g´ascsoport m´atrixainak szorz´as´anak pedig az argumentumok ¨osszead´asa felel meg. Az
egys´egelemnek a param´eter θ = 0 ´ert´eke felel meg. K´epezz¨uk a (2.55) deriv´altat (mivel egyetlen argumentum van, a deriv´altm´atrix index´et elhagyjuk) a θ = 0-pontban:
B= dA
Vagyis, a param´eter szerinti deriv´alt tetsz˝oleges param´eter´ert´ekn´el el˝o´all´ıthat´o aB m´ at-rix seg´ıts´eg´evel. (Megjegyezz¨uk, hogy ez egy ´altal´anos t´etel alkalmaz´asa a forg´ ascso-portra.)
A forg´ascsoport ´Abel-csoport, minden m´atrix egy konjug´alt elemoszt´alyt alkot. A forgat´ast le´ır´o m´atrixok egy unit´er m´atrixszal diagonaliz´alhat´oak. Saj´at´ert´ekei eiθ = cosθ+isinθ.
A forgat´ast le´ır´o m´atrixok egydimenzi´os ´abr´azol´ast fesz´ıtenek ki,azaz, a csoport egy
´
es csak egy eleme feleltethet˝o meg egy adott θ ´ert´eknek.
A t´erbeli forgat´ast is egy m´atrixszal lehet le´ırni, a t´erbeli forgat´asok csoportja az SO3 csoport. A t´erbeli forgat´asok eset´eben meg kell adni a forg´astengely ir´any´at, erre a Θ,Φ sz¨ogeket haszn´aljuk. A forgat´as harmadik param´etere pedig a forgat´as nagys´aga, ezt φ-vel jel¨olj¨uk. Vegy¨uk ´eszre, hogy a (Θ,Φ, φ) param´eterek tartom´anya 0 ≤ Θ≤ π, 0≤Φ≤2π´es 0≤φ≤π. Meg´allapod´as szerint a φ= 0 ´ert´ekhez nem tartozik forgat´as, ez a csoport egys´egeleme. Emiatt a param´eterek (Θ,Φ,0) halmaz´ahoz ugyanaz a cso-portelem tartozik. Ezt elker¨ulend˝o, a param´eterek, amelyek egy g¨ombben helyezkednek el, a (Θ,Φ, φ) elemekhez tartoz´o pontx, y, z Descartes-koordin´at´ait fogjuk haszn´alni:
x = φ
Amennyiben Φ-t π egys´egekben m´erj¨uk, az (x, y, z) pontok az egys´egg¨omb egy pontj´at adj´ak meg, aφ = 0-hoz az egys´egelem tartozik, aminek az egys´egg¨omb orig´oja felel meg.
Gyakran c´elszer˝u a forgat´as param´etereit m´ask´ent megv´alasztani. A mechanik´aban is haszn´alatos Euler-sz¨ogeket fogjuk haszn´alni. Jel¨olje a koordin´ata-rendszer tengelyeit (X, Y, Z). A forgat´as ut´an el˝o´allt tengelyeket pedig (X0, Y0, Z0). A ϑ, ϕ, ψ Euler-sz¨ogek seg´ıts´eg´evel a koordin´atatengelyek k¨oz¨otti sz¨ogeket az al´abbi t´abl´azat seg´ıts´eg´evel lehet fel´ırni.
X’ Y’ Z’
X cosϕcosψ−sinϕsinψcosϑ sinϕcosψ−cosϕsinψcosϑ sinψsinϑ Y cosϕsinψ+ sinϕcosψcosϑ −sinϕsinψ+ cosϕcosψcosϑ −cosψsinϑ
Z sinϕsinϑ cosϕsinϑ cosϑ
A Θ,Φ ir´any´u tengely k¨or¨uli φ sz¨og˝u forgat´ast megad´o m´atrixot h´arom m´atrix szor-zatak´ent lehet fel´ırni: el˝osz¨or Θ sz¨oggel forgatunk az OZ tengely k¨or¨ul, azut´an Φ sz¨oggel az OY tengely k¨or¨ul, majd φ sz¨oggel az OZ tengely k¨or¨ul. A forgat´asok egy- ´es k´etdimenzi´os ´abr´azol´asokkal rendelkeznek. Ezek az ´abr´azol´asok k¨ozismert eszk¨oz¨okkel el˝o´all´ıthat´oak (ld. Wigner k¨onyv´et).
A forgat´asokhoz 2×2-es m´atrixot is rendelhet¨unk az al´abbi m´odon. Az ´altal´anos k´etdimenzi´os egys´egnyi determin´ans´u, unit´er m´atrix ´altal´anos alakja
U=
a b
−b∗ a∗
,|a|2+|b|2 = 1. (2.113) Legyen a H 2×2-es m´atrix diagon´alis elemeinek ¨osszege (spurja) nulla, akkor H-ban h´arom szabadon v´alaszthat´o elem van. Ezt ´ugy haszn´aljuk ki, hogy Hparam´eterez´es´ere a Pauli-m´atrixokat v´alasztjuk:
UHU ´es (2.114)-(2.116) alapj´an a komponensek k¨oz¨otti megfeleltet´es:
a b
17A Pauli-m´atrixok algebr´at alkotnak a kommut´al´as m˝uvelet´ere n´ezve.
Ez az egyenlet megadja (x0, y0, z0)-t mint (x, y, z) f¨uggv´eny´et:
x0 = 1/2(a2+a∗2−b2−b∗2)x+i/2(a2−a∗2+b2−b∗2)y+ (a∗b∗+ab)z(2.118) y0 = i/2(a∗2−a2+b2−b∗2)x+ (a2+a∗2+b2+b∗2)y+ (a∗b∗−ab)z (2.119) z0 = −(a∗b+ab∗)x+i(a∗b−ab∗)y+ (aa∗−bb∗)z. (2.120) V´alasszuk az U init´er m´atrixot az al´abbi m´odon: a = exp(−iα/2), b = 0. Behelyette-s´ıt´essel igazolhat´o, hogy ezzel a v´alaszt´assal (2.113) egy z-tengely k¨or¨uli α-sz¨og˝u forga-t´asnak felel meg. Hasonl´ok´eppen az a= cosβ/2,b =−sinβ/2 v´alaszt´assal Uy-tengely k¨or¨uli β-sz¨og˝u forgat´asnak felel meg. Tov´abb´a, a kor´abban elmondottaknak megfelel˝oen, azα, β, γ sz¨og˝u forgat´ast h´arom m´atrix szorzat´aval ´all´ıthatjuk el˝o. A harmadik m´atrixot a = expγ/2,b = 0 v´alaszt´assal megkapjuk meg (2.113)-b´ol.
A (2.5.1) transzform´aci´o egy megfeleltet´est l´etes´ıt a forgat´asok ´es a 2×2-es unit´er m´atrixok k¨oz¨ott. Ez ut´obbiak az (2.113)-ban szerepl˝oa, bparam´eterekkel jellemezhet˝oek.
Az (α, β, γ) Euler-sz¨ogekkel le´ırt forgat´asokhoz az
a = expiα/2 cos(β/2) exp−iγ/2, (2.121) b = expiα/2 sin(β/2) exp−iγ/2 (2.122) param´eterek tartoznak. Az ´abr´azol´asok meghat´aroz´asa az al´abbi m´odon t¨ort´enik.
A forg´ascsoport ´abr´azol´as´ahoz az invari´ans alteret kifesz´ıt˝o b´azisokat ´es a b´azisok transzform´aci´oit le´ır´o m´atrixokat kell megadni. Kor´abban m´ar megmutattuk, hogy a forgat´ast le´ır´o m´atrixok ekvivalensek a k´etdimenzi´os unit´er m´atrixokkal. Az eml´ıtett unit´er m´atrixot gener´al´oa´esbelem kapcsolat´at is megadtuk a forgat´as{α, β, γ}sz¨og´evel.
A forgat´ast le´ır´o m´atrixok alakja teh´at ismert.
A b´azis v´alaszt´as´an´al kihaszn´aljuk, hogy a 2j fok´u homog´en polinomokat a k´ etdi-menzi´os, unit´er m´atrix 2j fok´u homog´en polinomokba transzform´alja18. C´elszer˝u teh´at a b´azist nem a h´aromdimenzi´os vektorok k¨oz¨ul, hanem egy absztrakt t´erb˝ol v´alasztani.
A 2j-ed fok´u homog´en polinomok: x2j, x2j−1y, . . . , xy2j−1, y2j, ezek sz´ama 2j+ 1. Ezen polinomok seg´ıts´eg´evel hasznos speci´alis f¨uggv´enyeket vezethet¨unk be, ezek t´argyal´asa a 10. fejezetben tal´alhat´o. Ebben a fejezetben a b´azis indexel´es´ere az i indexet haszn´ al-juk a kor´abban haszn´alt α indexet fenntartjuk az x tengely k¨or¨uli forgat´asok sz¨og´enek.
V´alasszuk teh´at az al´abbi b´azist:
fi(x, y) = xj+iyj−i
p(j+i)!(j−i)!,−j ≤i≤+j. (2.123) Az irreducibilis ´abr´azol´asok elk´esz´ıt´es´ehez (2.28) szerint azfi f¨uggv´enyek unit´er m´atrixok alatti transzform´aci´oit kell meghat´arozni. Mivel az unit´er transzform´aci´o:
x y
→
a∗x−by b∗x+ay
, (2.124)
18A hagyom´anyon k´ıv¨ul c´elszer˝u is a polinom sz´am´at 2j alakba ´ırni, noha ´ıgyj eg´esz, vagy f´el ´ert´ek˝u lehet, att´ol f¨ugg˝oen, hogy a vizsg´alt foksz´am p´aros vagy p´aratlan.
a f¨uggv´eny transzform´aci´oja pedig (2.1) szerint
PUfi(x, y) =fi(a∗x−by, b∗x+ay)
= (a∗x−by)j+i(b∗x+ay)j−i
p(j +i)!(j−i)! , (2.125) a binomi´alis t´etel alkalmaz´as´aval a transzform´altfi kifejezhet˝o a b´azisf¨uggv´enyek line´aris kombin´aci´ojak´ent. N´emi sz´amol´as ut´an az al´abbi eredm´enyt kapjuk:
PUfi(x, y) = Ide behelyettes´ıtve a ´es b forgat´asokkal kifejezett ´ert´ek´et (2.117)-b˝ol, megkapjuk a j indexszel jellemzett, 2j + 1 dimenzi´os alt´er transzform´aci´oj´at le´ır´o m´atrixot, azaz, egy {α, β, γ} sz¨ogekkel jellemzett forgat´ashoz hozz´arendelt¨unk egy 2j + 1 rend˝u m´atrixot, vagyis elk´esz´ıtett¨uk a forg´ascsoport egy ´abr´azol´as´at.
A j = m+ 1/2 (m eg´esz) index˝u ´abr´azol´as k´et´ert´ek˝u, mert az {α, β, γ} forgat´ashoz tartozik. Az egy´ert´ek˝u ´abr´azol´asok megadj´ak a vektorok, tenzorok stb. transzform´aci´os szab´alyait. ´Uj koordin´ata-rendszerben a vektor (tenzor) komponenseinek transzform´aci´oi a forg´ascsoport egy ´abr´azol´as´at alkotj´ak. A j = 0-val jellemzett ´abr´azol´asnak (ez az egys´eg´abr´azol´as) a skal´ar, a j = 1-nek a vektorok, a j = 2-nek a tenzorok felelnek meg.
Az els˝o h´arom ´abr´azol´as m´atrixait explicit alakban megadjuk. Az els˝o ´abr´azol´as j = 0-hoz tartozik, egy skal´ar: D0(α, β, γ) = 1, ez felel meg az egys´eg´abr´azol´asnak. A m´asodik ´abr´azol´asj = 1/2-hez tartozik, a megfelel˝o alt´er dimenzi´osz´ama kett˝o, ez´ert az
´
A harmadik ´abr´azol´as j = 1-hez tartozik, a megfelel˝o alt´er dimenzi´osz´ama h´arom, ez´ert:
2.1. Feladat (A tenzor´abr´azol´as reducibilis) Legyen u.i.
T=
T fel´ırhat´o egy szimmetrikus ´es egy asszimmetrikus tenzor ¨osszegek´ent. (Hogyan ´ırhat´o fel a szimmetrikus ´es az asszimmetrikus tenzor?) Az antiszimmetrikus tenzor ekvivalens a D1 ´abr´azol´assal ´es irreducibilis. A szimmetrikus r´esz viszont k´et r´eszre bonthat´o:
Az els˝o tenzor egy nulla spur´u szimmetrikus tenzor, ez ekvivalens a D2 irreducubilis
´
abr´azol´assal.