Osszetett tartom´ ¨ any

A jelen fejezet az algebra ´es a geometria kapcsolat´anak egyes k´erd´eseivel foglalkozik. A 2. fejezetben m´ar l´attunk p´eld´at a geometria ´es az algebra egyfajta kapcsolat´ara, ami-kor bemutattuk, hogy minden v´eges csoport ´abr´azolhat´o egy Cayley-diagrammal, ami nem m´as mint egy geometriai strukt´ura, egy gr´af. A Lorentz-transzform´aci´o vizsg´alata sor´an l´attuk, hogy a t´erid˝o strukt´ur´aj´at vizsg´alhatjuk algebrai m´odszerekkel is. L´etezik a geometri´anak egy ´aga, az algebrai geometria, amelynek t´argya alakzatok viselked´es´ e-nek tanulm´anyoz´asa folytonos ´es diszkr´et transzform´aci´ok alatt. Kor´abban is vizsg´altuk, milyen transzform´aci´ok viszik ´at pl. a n´egyzetet ¨onmag´aban, ezek a transzform´aci´ok azonban merev ´es diszkr´et mozg´asok voltak. Amennyiben egy geometriai ´abr´at, amilyen a n´egyzet, vagy a k¨or, pontok tetsz˝oleges halmaz´anak tekint¨unk, a k´erd´es t´ul ´altal´anos.

Ez´ert csak a v´egesen le´ırhat´o geometriai ´abr´akkal foglalkozunk. Azokat az ´abr´akat, ame-lyeket egy folytonos transzform´aci´o egym´asba visz ´at, homeomorfnak nevezz¨uk. P´eld´aul a t´eglalap ´es a t´orusz homeomorf ´abr´ak, mert ha a t´eglalapot ”¨osszesodorjuk” ´ugy, hogy k´et szemben l´ev˝o oldal´at ¨osszeragasztjuk, megkapjuk a t´oruszt. Az elj´ar´as sor´an eml´ıtett transzform´aci´ok folytonosak. A t´orusz ´es a t´eglalap lek´epez´ese k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u.

L´eteznek azonban egy-t¨obb´ert´ek˝u lek´epez´esek is. Tekints¨uk az egys´egsugar´u k¨or´ıvet (S¹)

´

es a val´os sz´amegyenest (R¹). Az f :R¹ →S¹ lek´epez´est megval´os´ıtja az f(x) =x mod 2π

f¨uggv´eny, hiszen 0 ≤ y = f(x) < 2π, ´es x = y + 2nπ valamely n eg´eszre. Ezt a fajta lek´epez´est fed´esnek nevezz¨uk. K´et geometriai ´abra (eset¨unkben a k¨orvonal ´es a sz´amegyenes) k¨oz¨ott hoztunk l´etre lek´epez´est. Mivel az eg´esz sz´amok csoportot alkotnak az ¨osszead´as m˝uvelet´ere n´ezve, ez´ert azt is mondhatjuk, a sz´amegyenest el˝o´all´ıtottuk az egys´egk¨orb˝ol arra alkalmazva egy csoport (eset¨unkben az eg´esz sz´amok csopotj´anak) elemeit.

Legyen ´ertelmezve a G csoport hat´asa az X halmazon. Ekkor minden x ∈ X pont-hoz ´es g ∈ G csoportelemhez hozz´arendelhet˝o egy g(x) pont, ami az x pont k´epe a g csoportelem hat´asa alatt. Ha a G csoport X automorfizmusaib´ol ´all, akkor x, g(x) ∈X, minden g ∈ G-re. Tekints¨uk az y =g(x) rel´aci´ot, ami szimmetrikus, tranzit´ıv ´es refle-x´ıv, teh´at ekvivalenciarel´aci´ok´ent haszn´alhat´o. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen X orbitok diszjunkt uni´oj´ara bonthat´o, egy orbithoz a g(x) pontok tartoznak, r¨ogz´ıtett x-szel. Ekkor l´etezik olyan X0 ⊂X tartom´any, amely minden orbitot metsz. X0-t az X halmaz fundament´alis tartom´any´anak nevezz¨uk.

7.1. Feladat (Szab´alyos soksz¨og fundament´alis tartom´anya) A n´egyzet fundamen-t´alis tartom´anya egy der´eksz¨og˝u h´aromsz¨og, amelynek k¨oz´epponti sz¨oge π/4. Szab´alyos n-sz¨og fundement´alis tartom´anya egy der´eksz¨og˝u h´aromsz¨og, amelynek k¨oz´epponti sz¨oge

7.4. ´abra. N´egyzet fundament´alis tartom´anya

π/n, ld. 7.4. ´abra t tartom´anya. Az ´abra α ´es γ oldalaira t¨ort´en˝o t¨ukr¨oz´esekkel el˝o´all az eg´esz n´egyzet, ugyanakkor a γ oldal v´egig ”k¨uls˝o” oldal marad. A soksz¨og szimmetri´ai a fundament´alis tartom´anyt m´as h´aromsz¨ogekbe viszik ´at, ezek ¨osszess´ege ´eppen kiadja a sz´obanforg´o soksz¨oget.

Az X⁰ fundament´alis tartom´any p´aly´aja a G automorfizmuscsoport alatt ´eppen X. Az x₀ ∈X0 pontok p´aly´aja aGcsoport alatt lefediX-et, amennyibenxv´egig futX0pontjain.

Amennyiben X-en t´avols´ag van defini´alva,X-et topologikus t´ernek nevezz¨uk.

7.2. Feladat (A g¨ombfel¨ulet topologikus t´er) A g¨ombfel¨ulet param´eterezhet˝o k´et pa-ram´eterrel: 0≤ϑ≤π ´es 0≤ϕ≤2π. Az egys´egsugar´u g¨ombfele¨ulet egy pontj´anak koor-din´at´ait megadjax= sinϑcosϕ,y= sinϑsinϕ,z = cosϑ. Ads t´avols´agot defini´alhatjuk ds² =dx²+dy²+dz² alapj´an: ds² = sin²ϕdϕ²+dϑ².

Vizsg´aljuk meg egyV tartom´anyt az ¨osszef¨ugg˝os´eg szepontj´ab´ol. Azt mondjuk, hogy V tartalmazza az F p´aly´at, ha l´etezik olyan f : t ∈ [0,1] → P ∈ V f¨uggv´eny, amely-nek minden pontja V-be esik. Ekkor az F p´alya ¨osszek¨oti az f(0) ´es az f(1) pontokat.

Amennyiben f(t) ´alland´o f¨uggv´eny, akkor a hozz´a tartoz´oF p´aly´at nullap´aly´anak nevez-z¨uk. K´etV-ben halad´o p´aly´at homotopnak nevez¨unk, ha l´etezik olyan folytonos transz-form´aci´o, amely az egyik p´aly´at, f₁(t)-t, folytonosan ´attranszform´alja a m´asik p´aly´aba, f2(t)-be. Ez a transzform´aci´o le´ırhat´o egy k´etv´altoz´osφ(t, s) f¨uggv´ennyel, ahol 0≤s≤1 tov´abb´aφ(t,0) = f₁(t) ´esφ(t,1) =f₂(t).AzF p´aly´aval homotop p´aly´ak halmaz´at [F]-el jel¨olj¨uk. A p´aly´ak k¨oz¨ott defini´alunk egy m˝uveletet, a kompoz´ıci´ot, az al´abbi m´odon.

Ha egy F p´alya v´egpontja egybe esik egy m´asik G p´alya kezd˝opontj´aval, akkor a k´et p´alya kompoz´ıci´oj´an a h(t) f¨uggv´enyt ´ertj¨uk, amelynek argumentuma 0 ≤ t ≤ 2 ´es h(t) = f₁(2t), ha 0 ≤ t ≤ 1/2 ´es h(t) = f₂(2t), ha 1/2 ≤ t ≤ 1. Defini´alhatjuk az inverz p´aly´at is: tartozzon az F⁻¹ p´aly´ahoz az f(1−t) f¨uggv´eny, amennyiben F-hez az f(t) tartozik. Egy p´aly´anak ´es inverz´enek szorzata ugyanazzal a ponttal kezd˝odik ´es

v´egz˝odik, a hozz´a tartoz´o f¨uggv´eny n(t) = f(2t), ha 0 ≤ t ≤ 1/2 ´es n(t) = f(2−2t), ha 1/2 ≤ t ≤ 1. Mivel a φ(t, s) = f(2st) ha 0 ≤ t ≤ 1/2 ´es φ(t, s) = f(2s−2st) ha 1/2 ≤ t ≤ 1 s = 0 eset´en ´atmegy a nullap´aly´aba, s = 1 eset´en pedig n(t)-be, ez´ert n(t) homotop a nullap´aly´aval. Defini´aljuk az [F] ´es [G] halmazok szorzat´at az al´abbi m´odon: [F][G] = [F G]. Ekkor nyilv´an [F][F⁻¹] = [1], ahol a nullap´aly´at [1] jel¨oli. Az

´ıgy bevezetett szorzatr´ol bel´athat´o, hogy asszociat´ıv, teh´at az egy adottP ∈V pontban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´aly´ak a fenti szorz´asra n´ezve csoportot alkotnak. Ezt a csoportot V fundament´alis csoportj´anak nevezz¨uk ´esπ(V)-vel jel¨olj¨uk. Egyszeresen ¨osszef¨ugg˝onek nevezz¨uk az olyan halmazt, amelynek fundament´alis csoportja egyetlen elemb˝ol [1]-b˝ol

´ all.

7.3. Feladat (A fundament´alis csoport nem f¨ugg a P ∈ V pontt´ol.) Legyen ugyanis Q∈V, ´es k¨osse ¨ossze aQ´es P pontokat egyH p´alya. AP-ben kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝oF p´ a-ly´anak egy´ertelm˝uen megfeletethet˝o egyQ-ban kezd˝od˝o, ´es ott v´egz˝od˝o p´alya: (H⁻¹F)H.

A P-ben kezd˝od˝o ´es ott v´egz˝od˝oF Gp´aly´anak megfeleltethet˝o a(H⁻¹F G)H p´alya, ´es mi-vel (H⁻¹F G)H = (H⁻¹F HH⁻¹G)H, ez k´et, Q-ban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´alya szorzata.

7.4. Feladat (A g¨ombfelsz´ın egyszeresen ¨osszef¨ugg˝o) A g¨ombfelsz´ın egy r¨ogz´ıtett pontj´aban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´alya folytonosan ´attraszform´alhat´o egy m´asik, ugyanabban a pontban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´aly´aba. Ez´ert fundament´alis csoportj´anak egyetlen eleme [1]. Ez´ert a g¨omb egyszeresen ¨osszef¨ugg˝o.

7.5. ´abra. A t´orusz mint ”¨osszesodort” henger

7.5. Feladat (A t´orusz nem egyszeresen ¨osszef¨ugg˝o) Illessz¨uk ¨ossze egy2rsugar´u, 2πR magass´ag´u hengert k´et v´eg´en. ´Igy kapunk egy t´oruszt, amelynek egy k¨or alak´u met-szete van, ennek sugara r. Kaphatunk egy k¨orgy˝ur˝u alak´u metszetet is, amelynek k¨uls˝o sugara R, bels˝o sugara R−2r. A t´orusz fel¨ulet´ere rajzolhat´o legal´abb k´et olyan k¨or (pl.

r sug´arral ´es R sug´arral, ld. ´abra), amelyek folytonosan nem deform´alhat´oak egym´asba.

Hasonl´o a helyzet, ha a s´ıkb´ol kiv´agunk egyetlen pontot, mert a pont k¨or´e rajzolt k¨or nem zsugor´ıthat´o a megmarad´o ponthalmaz egyik pontj´ara sem. Ez´ert sem a t´orusz, sem a kiv´agott s´ık nem egyszeresen ¨osszef¨ugg˝oek.

Jel¨oljeGorbitjainak halmaz´atG\X. Ha mindenx∈G\Xpontnak van olyan k¨ornyezete, amelynek az f :X →G\Xlek´epez´esn´el a teljes inverze azf f¨uggv´eny ´altal homeomorfan lek´epezett, p´aronk´ent diszjunkt, ny´ılt halmazoknak az egyes´ıt´ese, akkor X nem el´agaz´o fed´ese G\X-nek.

Kor´abban l´attuk, hogy amennyiben egy f¨uggv´eny viselked´es´et vizsg´aljuk egy tarto-m´anyon, el˝ony¨os ismerni a tartom´any automorfizmusait. Gyakran azt tal´aljuk, hogy az automorfizmusok csoportja csak az egys´egelemb˝ol ´all. Amennyiben egy teljesen asszi-metrikus t´erfogatot vizsg´alunk, azt hihetn´enk, rem´enytelen az automorfizmus csoportb´ol ad´od´o egyszer˝us´ıt´esekre sz´am´ıtani, ez azonban nincs mindig ´ıgy, a fenti gondolatmenet gyakran alkalmazhat´o.

Tekints¨unk egy olyanV t´erfogatot, amely egybev´ag´ot t´egl´ak egym´ashoz illeszt´es´evel j¨on l´etre. Amennyiben t-nek a V-t alkot´o p´eld´anyai eltol´assal fed´esbe hozhat´oak, m´aris el˝o´all´ıthajukV-t mint tk´ep´et transzform´aci´ok egy sorozata alatt. Ebben az esetbenV-t lefedt¨uk t p´eld´anyaival. A legegyszer˝ubb p´elda s´ık lefed´ese t´eglalapokkal. Legyen t = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ a,0≤ y ≤ b} a lefed´eshez haszn´alt t´egla. Az eltol´ast jel¨olje T(i, j) = i∗x+j ∗y, ahol 0≤ x≤a´es 0≤y ≤b, tov´abb´ai, j eg´esz sz´amok. Mivel az eltol´asok csoportot alkotnak, ez a transzl´aci´ocsoport, a s´ıkot lefedt¨uk a t t´eglalap orbitj´aval a transzl´aci´ocsoport alatt. A s´ıkon ´ertelmezett f¨uggv´enyeket fel lehet bontani a csoport irreducibilis ´abr´azol´asai szerint. K´erd´es, lehets´eges-e a fenti m´odszert ´altal´anos´ıtani v´eges t´erfogatokra. A v´alasz pozit´ıv.

El˝osz¨or vegy¨uk ´eszre, hogy aT(i, j) oper´atorok egy r´eszcsoportj´at alkotj´ak az (i(modN), j(modM)) transzl´aci´ok, ez a r´eszcsoport biztos´ıtja a 0 ≤ x ≤ N ∗a,0 ≤ y ≤ M ∗b lefed´es´et. A

fed˝ocsoport egy r´eszcsoportja teh´at biztos´ıtja a s´ık egy r´esz´enek lefed´es´et.

Amennyiben a vizsg´alt V t´erfogat szab´alytalan, m´as technik´at kell alkalmaznunk.

Tegy¨uk fel, hogy V el˝o´all´ıthat´o egybev´ag´o t t´egl´akb´ol ´ugy, hogy a t t´egl´ak p´eld´anyai mindig ´erintkeznek, mindig vantp´eld´anyainak legal´abb egy olyan ´ele, amely k´et p´eld´any k¨oz¨os ´ele. Legyenek a t t´egla ´elei a, b, c, . . .. Sz´amozzuk meg a V-t alkot´o t´egl´akat 1-t˝ol N-ig. Ezt a geometriai konstrukci´ot szeretn´enk le´ırni algebrai eszk¨oz¨okkel. Buser javaslata nyom´an az al´abbi m´odon j´arhatunk el. ´All´ıts´ak el˝o aG_V csoportot azα, β, γ, . . . gener´atorok. Amennyiben V-bent ia, ja, ka, la, . . . sorsz´am´u p´eld´anyait a t´ıpus´u ´el k¨oti

¨ossze, akkor legyen

α= (i_a, j_a)(k_a, l_a). . . . (7.83)

Amennyiben V-ben t i_b, j_b, k_b, l_b, . . . sorsz´am´u p´eld´anyait b t´ıpus´u ´el k¨oti ¨ossze, akkor legyen

β = (i_b, j_b)(k_b, l_b). . . . (7.84) Amennyiben V-ben t i_c, j_c, k_c, l_c, . . . sorsz´am´u p´eld´anyait c t´ıpus´u ´el k¨oti ¨ossze, akkor legyen

γ = (ic, jc)(kc, lc). . . . (7.85) Ezek a gener´atorok el˝o´all´ıtanak egy v´egesen prezent´alt G_V csoportot, amely benne fog-laltatik (vagy egyenl˝o vele) az S_N csoportban. Ez a csoport rendelkezik az al´abbi tulaj-dons´agokkal.

1. Induljunk ki t-nek az 1-gyel jel¨olt p´eld´any´ab´ol. Annak legal´abb egy bels˝o ´ele van, legyen az a t´ıpus´u, az ´el melletti t p´eld´any sorsz´ama pedig legyen i₁. Ha N > 2, akkor vagy i₁-nek, vagy 1-nek van bels˝o ´ele. Legyen ez b t´ıpus´u, az ´el melletti t p´eld´any sorsz´ama legyen i₂. ´Igy V-t alkot´o b´armely t p´eld´anyb´ol a, b vagy c

¨osszek¨ot˝o oldalakon ´at eljuthatunk b´armely m´as p´eld´anyhoz. Amennyibeni-b˝ol az a, b, a, c hat´arokon ´at jutunk el a j p´eld´anyig, akkorG_V hat´as´at az al´abbi m´od´on adjuk meg: i^αβαγ−→ j.

2. Defin´ıci´o szerint ha i-nek k¨uls˝o oldala a, akkor i→^α i.

Ezzel a G_V csoport elemei a V alakzatot ¨onmag´ara k´epezik le, mivel minden elem el˝

o-´

all´ıthat´o a csoport gener´atoraib´ol. N´emi sz´eps´eghiba ugyan, hogy ´altal´aban t¨obb cso-portelem van, mint ah´any t´egla V-ben, emiatt t¨obbsz¨or¨os fed´es is el˝o´allhat. Ezt c´elszer˝u kik¨usz¨ob¨olni.

Egy lehets´eges megold´as a fed˝ocsoport felbont´asa egy alcsoport szerint mell´ekoszt´ a-lyokra. Ez az al´abbi m´odon t¨ort´enhet. G_V-nek teh´at annyi s_i gener´atora van, ah´any oldala van t-nek. Legyen G₁ ⊂ G_V egy r´eszcsoport G_V-ben, G_V felbont´asa G₁ szerinti mell´ekoszt´alyokra pedig legyenH₁, . . . , H_m, aholm G₁ rendje G_V-ben. Minden H_i mel-l´ekoszt´alyhoz rendelhet¨unk egy a_i ∈ G elemet, amellyel minden h_i ∈ H_i elem fel´ırhat´o h_i = a_ig₁ alakban, ahol g₁ ∈ G₁. V´alasszuk G₁-et ´ugy, hogy m legyen egyenl˝o a V-t alkot´o t´egl´ak sz´am´aval. ² Ekkor elk´esz´ıthet˝o az al´abbi t´abl´azat. Az s_ia_j ∈ H_k eset´en t j-ik k´ep´et ´es t k-ik k´ep´et az s_i ´el k¨oti ¨ossze. Meg´allapodunk abban, hogy amennyiben j = k, akkor az s_i ´es t j-ik k´ep´eben k¨uls˝o ´el. Tekintettel arra, hogy a v´eges csoportok t¨obbs´eg´et k´et gener´ator elemmel el˝o lehet ´all´ıtani, ez a m´odszer mindig m˝uk¨odik. Az ´ıgy kapott alakzat a Gcsoport Cayley-gr´afja (v.¨o. 2.4. fejezet).

7.6. Feladat Amennyiben t-nek p´aros sz´am´u, p´aronk´ent p´arhuzamos ´ele van, elegend˝o a p´arhuzamos ´elp´arokhoz egy elemet rendelni (Robert Brooks, 1988). Legyen t egy h´ a-romsz¨og, V pedig a 7.6 ´abr´an l´athat´o alakzat. Sz´amozzuk meg a h´aromsz¨ogeket 1-t˝ol

2Ilyen r´eszcsoportG_V-ben valamely kiv´alasztott p´eld´any stabiliz´atora.

7.6. ´abra. Szab´alytalan alakzat h´aromsz¨ogekre bont´asa

7-ig, a h´aromsz¨og ´elei legyenek a, b´esc, ´es vizsg´aljuk meg az ´elekre vett t¨ukr¨oz´es hat´as´at!

Amennyiben egy ´el, mondjuk a,k¨uls˝o ´el, azaz, nincs mellette szomsz´edos h´aromsz¨og, ´ugy tekintj¨uk, hogy a h´aromsz¨oget az a ´el ment´en ¨onmag´ara k´epezz¨uk le. ´Igy a bels˝o ´elek k´et-k´et h´aromsz¨oget egym´asba visznek, a t¨obbi h´aromsz¨oget pedig ¨onmag´aba. Az ´el menti t¨ukr¨oz´est a h´aromsz¨ogek sorsz´amainak transzform´aci´oj´aval, azaz, egy permut´aci´oval lehet jellemezni:

a = (73)(62) (7.86)

b = (53)(42) (7.87)

c = (65)(21). (7.88)

Mivel a fenti elemek ism´etelt alkalmaz´asa az eredeti ´allapotot ´all´ıtja vissza, amely a (), azaz egys´egpermut´aci´onak felel meg, ez´ert a ∗a = (), b∗b = () ´es c∗ c = (). Ha a permut´aci´ot ´ugy ´ertelmezz¨uk, hogy az ¨osszek¨ot¨ott t´erfogatokon hat, akkor az ´ıgy gener´alt G csoportban tudunkN-edrend˝u alcsoportot tal´alni: b´armely elem stabiliz´ator´anak (S_i = Stabilizer(i)) rendje pontosan N. Ezek az alcsoportok j´ol haszn´alhat´oak a V t´erfogat automorfizmusainak mell´ekoszt´alyokkal t¨ort´en˝o el˝o´all´ıt´asa sor´an.

Csoportelm´eleti terminol´ogi´aval a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as fogalmazhat´o meg. Legyen G egy adott csoport, amelyben adott a G₁ ⊂ G r´eszcsoport. A G₁ r´eszcsoport jobboldali mell´ekoszt´alyait a G₁g, g ∈ G elemek alkotj´ak. K´esz´ıts¨unk egy gr´afot ´ugy, hogy a gr´af n´odusai a jobboldali mell´ekoszt´alyok legyenek, a G1g ´es G1g⁰ mell´ekoszt´alyokat egy si

t´ıpus´u ´el k¨oti ¨ossze, amennyiben g⁰ = g₁gs_i, ahol g₁ ∈ G₁ ´es s_i a G csoport gener´atora.

Ezt a gr´aft´ıpust P. Berard vezette be 1991-ben diszkretiz´alt tartom´anyok csoportelm´eleti t´argyal´asa c´elj´ab´ol.

7.7. Feladat Az el˝oz˝o p´eld´aban gener´alt G csoportot a k¨ovetkez´o m´odon haszn´aljuk fel.

Nyilv´an S_i ⊂ G. Legyen H =G/S_i, G el˝o´all´ıthat´o az xH t´ıpus´u diszjunkt halmazok (a

H szerinti mell´ekoszt´alyok) uni´ojak´ent. Itt x legfeljebb |G|/|H| k¨ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket vehet fel, legyenek ezek r₁, . . . , r_m, m = |G|/|H|. A g ∈ G csoportelem hat´asa legyen a balr´ol t¨ort´en˝o szorz´as. A g∗x∗H szorzatot pedig cimk´ezhetj¨uk azzal az r_j-vel, amelyre teljes¨ul g ∗x∗H ∈ r_j ∗H. Ilym´odon a G csoport mell´ekoszt´alyokkal t¨ort´en˝o reprezent´aci´oj´at kapjuk, amelyben a G csoport minden gener´ator´ahoz a 1 ≤ j ≤ m = |G|/|H| indexszet rendelt¨unk.

7.7. ´abra. ¨Osszef¨ugg´esek a tartom´anyok megfelel˝o pontjaiban

7.8. Feladat Alljon a vizsg´´ alt V r´egi´o n´egy egybev´ag´o tartom´anyb´ol a 7.7. ´abr´anak megfelel˝oen. Ekkor V el˝o´all´ıthat´o az al´abbi csoport seg´ıts´eg´evel. Vizsg´aljuk meg V-n a Laplace egyenlet saj´atf¨uggv´eny´et:

∆Φ(x, y) =λΦ(x, y),(x, y)∈V. (7.89) Jel¨olje a megold´as ´ert´ek´et a n´egy tartom´anyon φi, i= 1, . . . ,4. Ekkor vagy fenn´all

4

X

i=1

Φ(x_i, y_i) = 0

, itt az (x_i, y_i) pontokat a V-t el˝o´all´ıt´o csoport elemei egym´asba viszik ´at, vagy b´armely tartom´anyra fenn´all

∆Φ(x, y) =λΦ(x, y),(x, y)∈V_i,

vagyis, a Laplace-oper´ator saj´at´ert´eke azonosV-n ´es mind a n´egyVi-n. (Hersch, 1965).

7.5.1. Green-f¨ uggv´ eny el˝ o´ all´ıt´ asa

Amennyiben is mert egy V t´erfogat Green-f¨uggv´enye, ´es a V t´erfogat el˝o´all´ıthat´o egy t t´egla p´aly´ajak´ent, ´ugy hogy V = G\t, ´es a G csoport elemei felcser´elhet˝oek a vizs-g´alt egyenletben szerepl˝o m˝uveletekkel, akkor ¨osszef¨ugg´es ´all fenn V ´es t tartom´anyok Green-f¨uggv´enyei k¨oz¨ott. Ennek alapj´an V (a ”nagyobbik” tartom´any) Green-f¨uggv´enye ismeret´eben meghat´arozhat´ot(a kisebbik tartom´any) Green-f¨uggv´enye. Tekintettel arra,

hogy a legt¨obb egyenlet Green-f¨uggv´enye ismert a s´ık, vagy a v´egtelen h´aromdimenzi´os t´er eset´eben, a fenti ¨osszef¨ugg´essel meghat´arozhatjuk v´eges alakzatok Green-f¨uggv´enyeit.

Egy tartom´any lek´epez´ese egy m´asik tartom´anyra folytonos f¨uggv´enyekkel t¨ort´enik, hiszen a szomsz´edos pontokat szomsz´edos pontokba k´ıv´anjuk lek´epezni. Ezek a lek´ e-pez´esek Lie-csoportot alkotnak, v¨o. 2.3. fejezet. Ha az x⁰ = φ(x, y), y⁰ = ψ(x, y) transzform´aci´ot alkalmazzuk az (x, y) koordin´at´aj´u pontra, akkor

dx⁰ = φ(x, y)_xdx+φ(x, y)_ydy (7.90) dy⁰ = ψ(x, y)_xdx+ψ(x, y)_ydy. (7.91) A fenti lek´epez´est izometrikusnak nevezz¨uk, ha dx⁰² +dy⁰² = dx² + dy². A csoport-elemek akkor hatnak izometrikusan egy X halmazon, ha a halmaz minden pontj´an a csoportelemhez tartoz´o lek´epez´es izometrikus, azaz, fenn´all a (7.90)-(7.91) ¨osszef¨ugg´es.

K´et halmaz Green-f¨uggv´enye k¨oz¨ott ´allap´ıt meg ¨osszef¨ugg´est a k¨ovetkez˝o t´etel.

7.13. T´etel (Sunada-t´etele) Tegy¨uk fel, hogy azA oper´ator kommut´al a Gcsoporttal

´

es a G csoport szabadon hat a V tartom´anyon. Ekkor az AG(x − x₀) = δ(x− x₀) egyenlet V-re ´es t-re vonatkoz´o G_t(x, y) ´es G_V(x, y) Green-f¨uggv´enyei k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi kapcsolat: G_t(x, y) = P

g∈GG_V(x, gy), ahol G = π₁(t)/π₁(V), amennyiben a G csoport izometrikusan hat V-n.

C´elszer˝u bevezetni k´et koordin´at´at, egy lok´alisat t-ben ´es egy glob´alisat V-ben. El˝obbit jel¨oljeξ, ut´obbit x. Egy pont egy´ertelm˝u megad´as´ahoz elegend˝o megadni x-t, vagy, ξ-t

´

es g-t, amennyiben x∈ V_g =gt. A fed˝ocsoport seg´ıts´eg´evel t a fed˝ocsoport elemei alatt transzform´alt p´eld´anyai seg´ıts´eg´evel ´all´ıtjuk el˝o V-t. A tov´abbiakban csak ¨osszef¨ugg˝o V t´erfogatokat vizsg´alunk. Ezekben t-nek mindeng ∈G-vel kapottgtk´ep´ehez tartozik leg-al´abb egy olyan szomsz´ed, amelyik szint´en el˝o´all´ıthat´ot-b˝ol egy h ∈G csoportelemmel.

V teh´at hasonl´ıt egy t´erk´ephez, annyi elt´er´essel, hogy itt a t´erk´epen szerepl˝o orsz´agok egybev´ag´oak, de ugyan˝ugy kisz´ınezhet˝ok ´ugy, hogy k´et szomsz´edos orsz´ag mindig elt´er˝o sz´ın˝u legyen. A sz´ınez´eshez sz¨uks´eges minim´alis sz´ınek sz´am´atV sz´ınsz´am´anak nevezik.

Minden t´erk´ep kisz´ınezhet˝o legfeljebb n´egy sz´ınnel. A sz´ınsz´am seg´ıts´eg´evel az al´abbi hasznos ´all´ıt´ast kapjuk. Amennyiben egy alakzat sz´ınsz´ama kett˝o, az alakzat alkot´or´ e-szeit k´et diszjunkt halmazra lehet bontani, legyen a k´et halmaz sz´ıne a feh´er ´es a fekete.

7.14. T´etel (R´eszhalmaz Green-f¨uggv´enye) Legyen V = G\t, legyen minden g ∈ G-re V_g = gt. Legyen V sz´ınsz´ama kett˝o. Amennyiben a V t´erfogat GV(x) Green-f¨uggv´enye ismert, ´es aGfed˝ocsoport felcser´elhet˝o a vizsg´alt egyenletben l´ev˝o m˝uveletekkel, akkor a t t´egla Green-f¨uggv´enye az al´abbi m´odon hat´arozhat´o meg:

G_t(ξ) = X

g∈G

G_V(gξ)(−1)^f(g), (7.92)

ahol gξ ∈ Vg a ξ ∈ t pont k´epe g ∈G alatt, f(g) pedig +1 vagy −1 att´ol f¨ugg˝oen, hogy V_g a feh´er vagy a fekete halmazba esik.

Tekintettel arra, hogy az elm´eleti fizika legfontosabb egyenleteihez k´ezik¨onyvekben meg-adott csoportok tartoznak, amelyek kommut´alnak az egyenlet m˝uveleteivel, a fenti t´ e-tel sz´elesk¨or˝uen alkalmazhat´o. A 6. fejezetben ismertetett m´odszerekkel pedig minden egyenlethez megtal´alhat´o az alkalmasGcsoport. Fed˝ocsoportot pedig a s´ıkhoz, a k¨orh¨oz lehet tal´alni, amelyek Green-f¨uggv´enyei k´ezik¨onyvekben (pl. Korn ´es Korn) megtal´ alha-t´oak.

7.9. Feladat (60^o-os k¨orcikk Green-f¨uggv´enye) Tekints¨uk egyK k¨orlap60^o-os szek-torait. Egy kiv´alasztott t szektorra alkalmazva60^o-os forgat´asokat, amelyek a C₆ csoport elemei. Nyilv´an K = C₆/t. Legyen G(x, x₀) a k¨orlap Green-f¨uggv´enye, legyen a Green f¨uggv´eny t hat p´eld´any´an ϕ_i(x), x∈(R₆₀)ⁱ∗t, i= 1, . . . ,6. A t szektor Green-f¨uggv´eny´et megadja

Ψ(x) =

6

X

i=1

(−1)ⁱϕ_i(x). (7.93)

El˝osz¨or, (7.93) szingularit´ast mutat az x₀ pontban, kiel´eg´ıti a vizsg´alt egyenletet minden x 6= x₀ pontban. Tov´abb´a, elt˝unik a szektor perem´en, teh´at a Green-f¨uggv´eny minden tulajdons´ag´aval rendelkezik.

7.10. Feladat (A Helmholtz-egyenlet Green-f¨uggv´enye n´egyzeten) ´Irjuk a vizs-g´aland´o egyenletet

4u+k²u= 0 (7.94)

alakba. Az egyenlet Green-f¨uggv´enye a s´ıkon ismert: G(r, r₀) = K₀(r − r₀). Ebb˝ol meghat´arozzuk a [(0,1),(0,1)] n´egyzet Green-f¨uggv´eny´et. Jel¨olje a n´egyzeten bel¨uli koor-din´at´akat (ξ, η), 0≤ ξ ≤ 1 ´es 0 ≤η ≤1. Az (i, j) koordin´at´akkal jellemzett n´egyzetben nyilv´an fenn´all az al´abbi ¨osszef¨ugg´es az (x, y) glob´alis ´es a (ξ, η) lok´alis koordin´at´ak k¨ o-z¨ott: x=i+ξ, y=j+η. Alkalmazzuk (7.92)-et:

G₄(ξ, η) =X

i,j

K₀(p

(i+ξ−x₀)²+ (j+η−y₀)²). (7.95) Mivel a K0 Bessel-f¨uggv´eny (v.¨o. 10.1.2. fejezet) argumentum´anak gyorsan cs¨okken˝o f¨uggv´enye, a (7.95) sor gyorsan konverg´al.

In document Modern algebrai m (Pldal 187-196)