Legyen adott az a1, . . . , an elemek (m´asn´even bet˝uk) v´eges halmaza, amelyek k¨oz¨ott elv´egezhet˝o a szorz´as m˝uvelete, az i-ik ´es j-ik elemek szorzat´ataiaj-vel jel¨olj¨uk. Legyen minden elemnek defini´alt az inverze, az ai elem inverz´et jel¨olje a−1i . Egy sz´o bet˝uk egy v´eges sorozat´at jelenti:
aτi11aτi22. . . aτik
k (2.1)
ahol a kitev˝ok csak a +1 vagy −1 ´ert´eket vehetik fel, az els˝o hatv´anyon pedig mag´at a bet˝ut ´ertj¨uk. K´et sz´o, s1 ´es s2 szorzat´an , amit s1s2-k´ent ´ırunk, a szavak egym´asut´an
´ır´as´aval kapott sz´ot ´ertj¨uk, el˝osz¨or le´ırjuk s1-et, azut´an pedig s2-t. Ez nyilv´anval´oan asszociat´ıv m˝uvelet. A hossz´u szavakban el˝ofordulhat, hogy ugyanaz a bet˝u t¨obbsz¨or szerepel egym´as ut´an. A szavak r¨ovid´ıt´ese c´elj´ab´ol bevezetj¨uk az ani jel¨ol´est azaiai. . . ai
(n t´enyez˝ot tartalmaz´o) szorzatra. Az ¨ures sz´ora az 1 jel¨ol´est haszn´aljuk, ezzel nyilv´an s1=1s b´armely s sz´ora.
Rel´aci´o alatt egyr= 1 alak´u egyenletet ´ert¨unk, aholregy sz´o (ebben a kontextusban rel´atornak szok´as nevezni). Azs1´ess2 szavakat ekvivalensnek nevezz¨uk az rj = 1 rel´aci´o
szerint, ha s1 ´atalak´ıthat´o s2-v´e az al´abbi m˝uveletek v´eges sz´am´u alkalmaz´as´aval:
1. Az rj bet˝usorozat besz´ur´asa vagy t¨orl´ese.
2. Az a−1i ai ill. aia−1i bet˝usorozatok besz´ur´asa vagy t¨orl´ese.
Az s-sel (adott rel´aci´ok szerint) ekvivalens szavak oszt´aly´at (r¨oviden ekvivalenciaoszt´ a-lyokat vagy oszt´alyokat) [s] -sel jel¨olj¨uk. Az ekvivalenciaoszt´alyok k¨oz¨otti szorz´as az al´abbi defin´ıci´o szerint t¨ort´enik: [s1][s2] = [s1s2]. Ez a kifejez´es j´ol defini´alt, hiszen ha 0s ekvivalens s-sel, akkor0ss2 ekvivalensss2-vel, minthogy az a m˝uvelet, ami s-t 0s-v´e ala-k´ıtja f¨uggetlens2jelenl´et´et˝ol. s-et az [s] ekvivalenciaoszt´aly gener´al´o elem´enek nevezz¨uk.
´Igy bel´athat´o, hogy a szorzat f¨uggetlen az oszt´alyokat reprezent´al´o oszt´alyelemt˝ol.
Az a strukt´ura, ami az ai bet˝ukb˝ol k´epzett v´eges szavak rj rel´aci´ok szerinti ekviva-lenciaoszt´alyait jel¨oli, egy G csoport . AG csoportban l´ev˝o elemek sz´am´atG rendj´enek nevezz¨uk ´es|G|-vel jel¨olj¨uk. Ha |G|v´eges, G-t v´eges csoportnak nevezz¨uk. Az elnevez´es jogoss´ag´ahoz azt kell megmutatni, hogy a n´egy csoportaxi´oma (ld. 13. fejezet) teljes¨ul.
Az elemek k¨oz¨ott l´etezik m˝uvelet, ez a szavak egym´as ut´an ´ır´asa. Ez a m˝uvelet asszociat´ıv , ami a szorz´ot´enyez˝ok egym´as ut´an ´ır´as´ab´ol, ´es a t´enyez˝ok asszociativit´as´ab´ol k¨ ovetke-zik. Van egys´egelem, az [1], tov´abb´a l´etezik inverz, hiszen [s][s−1] = [ss−1] = [1], amib˝ol [s]−1 = [s−1]. Rendszerint az ekvivalencia oszt´alyokb´ol a z´ar´ojelet elhagyjuk, ahogyan a t¨ortekn´el is 1/2-t ´ırunk, noha az val´oj´aban az 1/2,2/4,3/6 stb. halmaz minden elem´et jelenti. A csoportot megadhatjuk az elemek ´es rel´aci´ok felsorol´as´aval. Ezt a megad´asi m´odot ´ugy haszn´aljuk, hogy <> k¨oz¨ott felsoroljuk az elemeket, ezeket egy pontosvessz˝o z´arja, majd felsoroljuk a rel´aci´okat pl. ha1, a2, . . .;r1, r2, . . .i. Mind az elemek, mind a rel´aci´ok lehetnek v´eges vagy v´egtelen sz´am´uak.
Azha1, a2, . . .;r1, r2, . . .istrukt´ur´at aGcsoport prezent´aci´oj´anak nevezz¨uk. Egy cso-portnak t¨obb prezent´aci´oja l´etezhet. AGcsoport v´egesen prezent´alt, ha a prezent´aci´oban szerepl˝o bet˝uk ´es a rel´aci´ok halmaza v´eges sok elemb˝ol ´all.
Altal´´ aban a csoportelemek szorzata f¨ugg a t´enyez˝ok sorrendj´et˝ol, vagyis, a1a2 6=
a2a1. Azokat a csoportokat, amelyek minden a1, a2 elem´ere fenn´all a1a2 = a2a1, Abel-csoportoknak nevezik1.
LegyenH egy (nem ¨ures) csoport, amelynek elemei megtal´alhat´oak a G csoportban.
Ekkor H-t G r´eszcsoportj´anak nevezz¨uk, jel¨ol´esben: H ⊂ G. Az al´abbi halmazokat G-nek H szerinti jobboldali mell´ekoszt´alyainak nevezz¨uk:
Hg ={hg:h∈H} (2.2)
mindeng ∈G-re. Ezek a halmazok vagy diszjunktak, vagy azonosak. A mell´ekoszt´alyok G egy felbont´as´at alkotj´ak. AH ⊂Gr´eszcsoport mell´ekoszt´alyainak sz´ama (v´eges vagy v´egtelen) H indexe ´es ezt |G : H|-val jel¨olj¨uk. Ha G v´eges csoport, akkor az elemek
1Niels Henrik Abel (1802-1829) norv´eg matematikus tisztelet´ere.
sz´ama mindegyik H szerinti mell´ekoszt´alyban v´eges ´es egyenl˝o H rendj´evel. A baloldali mell´ekoszt´alyokat az al´abbi halmazok adj´ak meg:
gH ={gh:h∈H}. (2.3)
Amennyiben a baloldali ´es jobboldali mell´ekoszt´alyok megegyeznek, a H r´eszcsoportot a G csoport norm´aloszt´oj´anak vagy norm´alis r´eszcsoportj´anak nevezz¨uk. A norm´aloszt´ora nyilv´anval´oan fenn´all
H =gHg−1. (2.4)
Egy adott h elemhez tartoz´o, valamely g csoportelem seg´ıts´eg´evel (mik¨ozben g v´egigfut a csoport ¨osszes elem´en) aghg−1 m˝uvelettel, a konjug´al´assal el˝o´all´ıthat´o elemekh konju-g´alt oszt´aly´at (vagy egyszer˝uen oszt´aly´at) alkotj´ak. Az oszt´alyok a csoport szerkezet´ere jellemz˝oek. Az Abel-csoport minden eleme egy konjug´alt oszt´alyt alkot. Legyen N a G csoport egy norm´aloszt´oja. G-nek az N szerinti mell´ekoszt´alyai a szorz´as m˝uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, ezt a csoportot nevezik a G csoport N szerinti faktorcsoport-j´anak, jel¨ol´eseG\N. Az egys´egelem ´esGtrivi´alisan faktorcsoportok. Ha aGcsoportnak csak az egys´egelem ´es magaGfaktorcsoportja, akkorG-t egyszer˝u csoportnak nevezz¨uk.
Azt a g → G\N homomorfizmust, amely minden g ∈ G elemet a gN mell´ekoszt´alyba visz, term´eszetes vagy kanonikus homomorfizmusnak nevezz¨uk. A norm´aloszt´ok megha-t´aroz´as´ahoz j´ol haszn´alhat´o az al´abbi megfigyel´es. AzN ⊂Gcsoport akkor ´es csak akkor norm´alis r´eszcsoport, ha N-benGelemei oszt´alyonk´ent fordulnak el˝o, azaz, amennyiben adott g ∈ G eleme N-nek, akkor minden hg0h−1 ∈ N, ahol a g ´es g0 elemek G azonos konjug´alt oszt´aly´ahoz tartoz´o elemek.
AGcsoportot feloldhat´onak nevezz¨uk, ha egym´asba ´agyazott norm´alis r´eszcsoportok sorozatak´ent (ezt szok´as norm´all´ancnak nevezni) adhatjuk meg, a k¨ovetkez˝o m´odon:
G=G0 ⊂G1 ⊂ · · · ⊂Gs =e´es a Gi−1\Gi csoport minden tagja kommut´al.
A G = ha1, a2, . . .;r1, r2, . . .i csoport az F = ha1, a2, . . .;−i 2 csoport ´es az N = hr1, r2, . . .i r´eszcsoport h´anyadosa.
EgyGcsoportG0 csoportba men˝o homomorfizmus´an egy olyanf :G→G0 lek´epez´est
´ert¨unk, amelyre f(g1g2) = f(g1)f(g2). Egy X halmaz transzform´aci´oj´an egy olyan f : X → X lek´epez´est ´ert¨unk, amely X-et k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝uek k´epezi le ¨onmag´ara.
Egy G csoport f homomorfizmusa egy X halmaz transzform´aci´ocsoportj´aba G-nek egy hat´as´at adja meg X-en. A csoporthat´as megad´as´an´al meg kell mondani, hogy adott g ∈ G-hez milyen X-nek milyen f(g) transzform´aci´oja tartozik3, azaz, meg kell adnunk f(g)(x)-et minden x∈X-re. Egyx∈X elem orbitja a Gtranszform´aci´ocsoportra n´ezve az a Gx halmaz, amely a g(x) alak´u elemekb˝ol ´all, itt g v´egigfut G elemein. Az x elem stabiliz´atora, Gx = {g :g(x) =x}, G-nek azon elemeib˝ol ´all, amelyek helyben hagyj´ak
2A rel´aci´ot nem tartalmaz´o,ngener´ator ´altal gener´alt csoportotnelemmel genar´alt szabad csoport-nak nevezik ´esFn-nel jel¨olik.
3ez a jel¨ol´es arra utal, hogy az f lek´epez´es minden csoportelem eset´en m´as ´es m´as lehet, f(g) a g csoportelemhet tartoz´o lek´epez´es
x-et. Tekints¨uk azt a rel´aci´ot az x, y ∈X elemek k¨oz¨ott, amikor x-hez van olyang ∈G, amelyre g(x) = y. Ez egy ekvivalenciarel´aci´ot ad meg, azaz, reflex´ıv, szimmetrikus ´es tranzit´ıv. Az X halmaz orbitok diszjunkt uni´oj´ara bonthat´o; az orbitok halmaza az orbitt´er, amit G\X-szel jel¨ol¨unk. Ha csak egy orbit van, akkor azt mondjuk, hogy G tranzit´ıv.
Legyen X topologikus t´er. X automorfizmusai k´epezhetnek folytonos vagy diszkr´et csoportot. Xautomorfizmusainak egyGcsoportj´at diszkr´etnek (itt a diszkr´et a folytonos ellent´etek´ent ´ertend˝o) nevezz¨uk, ha mindenK ⊂X kompakt r´eszhalmazra csup´an v´eges sok olyan g ∈ G elem l´etezik, amelyre KT
gK nem ¨ures. Ha minden x ∈ X pont sta-biliz´atora csakg egys´egelem´eb˝ol ´all, akkor azt mondjuk aG csoport szabadon hat az X halmazon. G orbitjainak G\X halmaz´an a k¨ovetkez˝o m´odon defini´alhatunk topologi´at.
Amennyiben G szabadon hat X-en, akkor minden x0 ∈G\X pontnak van olyan k¨ ornye-zete, amelynek az f : X → G\X lek´epez´esn´el a teljes inverze az f ´altal homeomorfan lek´epezett, p´aronk´ent diszjunkt ny´ılt halmazoknak az egyes´ıt´ese. Ez defin´ıci´o szerint azt jelenti, hogy X nem el´agaz´o fed´ese G\X-nek.
Term´eszetesen a Gcsoport hat´asaGelemein is defini´alhat´o. A h´arom leggyakrabban alkalmazott defin´ıci´o: g · x = gx (itt x ∈ G, az egyenl˝os´eg baloldala a csoporthat´as defin´ıci´oja, jobboldala pedig G-beli szorz´as); g · x = xg−1; g · x = gxg−1. A fenti m˝uveleteket balregul´aris, jobbregul´aris, ill. adjung´alt csoporthat´asnak nevezz¨uk.
Adott G csoport hat´as´at egy X halmazon t¨obbf´elek´eppen is megadhatjuk. P´eld´aul legyen G egy csoport, amelynek minden g ∈ G elem´enek hat´asa, defini´alt, azaz gx
´
ertelmezve van, az x∈Xpontokra. Ekkor ag csoportelem hat´asak´ent tekinthetj¨uk pl. a gx vagy agxg−1 transzform´aci´ot is. Gyakran nem adhat´o meg trivi´alis csoporthat´as. Az el˝oz˝o p´eld´aban term´eszetesnek t˝unhet agxdefin´ıci´o v´alaszt´asa, azonban ez nincs mindig
´ıgy. P´eld´aul legyen G az egys´egnyi determin´ans´u 2×2-es m´atrixok csoportja, amit a z >0 komplex f´els´ıkra alkalmazhatunk az al´abbi k´eplettel
gz = az+d
cz+d. (2.5)
Hozz´arendelhetj¨uk a g csoportelemhez az al´abbi invert´alhat´o m´atrixot:
g = a b
c d
. (2.6)
Itt teh´at k´et def´ın´ıci´o is k´ın´alkozik, egyiknek sincs kiemelt szerepe.
2.1. Feladat A (2.5) vagy (2.6) csoporthat´as az X = C komplex sz´amtest ill. az R2 (s´ık pontjai) halmazokon van ´ertelmezve. A tov´abbiakban sz¨uks´eg¨unk lesz a polinomokb´ol
´
all´o testre, amit C(x)-szel jel¨ol¨unk, ha a polinom v´altoz´oja x, egy¨utthat´oi pedig komplex sz´amok. C(x)-en ´ertelmezett az ¨osszead´as (a polinomokban az azonos hatv´anyok egy¨ utt-hat´oit kell ¨osszeadni), ´es a szorz´as. Ha a legfeljebb n-edfok´u polinomok k¨or´eben k´ıv´anunk maradni, akkor a szorz´ast modul´o (n + 1) ´ertj¨uk, azaz, a szorzatnak csak a legfeljebb
n-ed fok´u tagjait tekintj¨uk. Ha az oszt´ast is megengedj¨uk, akkor a K(x) testr˝ol besz´el¨unk, amelynek elemei
a0+a1x+· · ·+anxn
b0+b1x+· · ·+bnxn. (2.7) Itt nem minden bi nulla, az egy¨utthat´ok pedig a ai, bi ∈K testb˝ol val´ok.
EgyGcsoport hat´as´at azXhalmazon primit´ıvnek nevezz¨uk, ha a csoporthat´as tranzi-t´ıv, ´es nem engedi meg azXhalmaz nemtrivi´alis blokkokra bont´as´at. Egy blokkrendszer ( imprimitivit´as rendszer) a G csoport egy X-en ´ertelmezett hat´asa, amely nem m´as, mint X egy part´ıci´oja, amely v´altozatlan maradG hat´asa alatt.
R¨oviden megeml´ıtj¨uk m´eg azXhalmazban v´alasztand´o b´azis k´erd´es´ere. Amennyiben a csoporthat´ast szeretn´enk hangs´ulyozni, megfelel˝o b´azis v´alaszt´as´ara van sz¨uks´eg. Gon-doljunk pl. arra, hogy a polinomok le´ır´as´ara a v´altoz´ok hatv´anyait szoktuk alkalmazni, ezek bizony a csoportelemek hat´asa alatt ¨osszekeverednek. Lehet˝os´eg van szimmetriz´alt b´azisok v´alaszt´as´ara, azaz, olyan polinomokat v´alaszthatunk, amelyek a csoportelemek hat´asa alatt egyszer˝u m´odon transzform´al´odnak. Csoportelm´eleti munk´akban sz´o esik a Gr¨obner-b´azisr´ol is, ennek defin´ıci´oj´ara itt nem t´er¨unk ki, mivel ´altalunk nem t´argyalt strukt´ur´akat (ide´al, polinomgy˝ur˝u, monomi´alis rendez´es) haszn´al. Ez´ert az ´erdekl˝od˝o Olvas´onak a GAP le´ır´ast aj´anlom. A GAP-ben haszn´alhat´o a GroebnerBasis f¨uggv´eny, amely el˝o´all´ıtja a k´ıv´ant b´azist.
Gyakran sz¨uks´eg¨unk van a csoporthat´asra egy f¨uggv´enyt´er elemein. Erre az al´abbi defin´ıci´ot szok´as haszn´alni. Legyen adott az f(r) f¨uggv´eny, ´es a vizsg´alt csoport egy g →Mg ´abr´azol´as ´ugy, hogyMg(r) ´ertelmezve van. Ekkor a csoporthat´as defin´ıci´oja
g·f(x) =f M−1g x
. (2.8)
Minden v´eges csoport reprezent´alhat´o permut´aci´okkal. Az 1, ..., nelemek permut´aci´oj´an az elemek al´abbi ´atrendez´es´et ´ertj¨uk:
1 2 3 . . . n i1 i2 i3 . . . in
(2.9) Nyilv´anval´o, hogy a permut´aci´ok egym´asut´ani alkalnaz´asa is permut´aci´o, azaz a permu-t´aci´ok z´artak az egym´asut´ani alkalmaz´as m˝uvelet´ere n´ezve. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a csoportaxi´om´ak teljes¨ulnek, a permut´aci´ok csoportot alkotnak. Minden v´eges csoport izomorf egy permut´aci´ocsoporttal vagy annak r´eszcsoportj´aval. A permut´aci´ok ´abr´ a-zol´asakor csak az als´o sort szok´as fel´ırni, azokat az elemeket, amelyek egym´as k¨oz¨ott permut´alunk egy z´ar´ojelbe. ´Igy pl.
1 2 3 4 5 6 2 4 5 1 3 6
= (124)(35)(6) (2.10)
mert az (124) elemek egy h´aromelem˝u, (35) egy k´etelem˝u, (6) pedig egy egyelem˝u ciklust alkot. 4 Az egys´egelem n egyelem˝u ciklusb´ol ´all, de ennek jel¨ol´es´ere az ¨ures z´ar´ojelet () szok´as haszn´alni. A ciklus invari´ans a ciklus elemeinek ciklikus permut´aci´oj´ara, pl.
(124) = (241) = (412), de (124) 6= (142). A k¨oz¨os elemet nem tartalmaz´o ciklusok sorrendje felcser´elhet˝o, pl. (124)(35) = (35)(124). A ciklusban szerepl˝o elemek sz´ama a ciklus hossza ´es
(i1 i2 i3 . . . ik)k = ().
(2.11) B´armely ciklus fel´ırhat´o transzpoz´ıci´ok szorzatak´ent:
(ijk . . . l) = (ij)(jk)...(kl). (2.12) Ez a felbont´as nem egy´ertelm˝u. V´eg¨ul k´et hasznos azonoss´ag:
(ik . . . lmi) = (k . . . lm) (2.13) (ik . . . lm)(mn . . . p) = (ik . . . lmn . . . p). (2.14) A fenti ¨osszef¨ugg´esek seg´ıts´eg´evel bel´athat´o, hogy tetsz˝oleges permut´aci´o el˝o´all´ıthat´o k´etelem˝u ciklusokb´ol, amelyeket transzpoz´ıci´onak neveznek. Azokat a permut´aci´okat, amelyeket p´aros transzpoz´ıci´oval ´all´ıthatunk el˝o, p´aros permut´aci´onak nevezik. A p´aros permut´aci´ok alcsoportot alkotnak, az altern´al´o csoportot. Az altern´al´o csoport indexe 2, mivel a p´aros ´es p´aratlan permut´aci´ok k¨oz¨ott egy-egy´ertelm˝u megfeleltet´es l´etes´ıthet˝o.
2.2. Feladat (A szab´alyos hatsz¨og szimmetriacsoportja C6v) A csoport permut´ a-ci´okkal az al´abbi m´odon ´all´ıthat´o el˝o. Sz´amozzuk meg a hatsz¨og cs´ucsait az ´oramutat´o j´ar´as´aval megegyez˝o ir´anyban. A csoport gener´atorak´ent egy forgat´ast ´es egy t¨ukr¨oz´est lehet v´alasztani. Legyenα = (123456), ami egy π/3 sz¨og˝u forgat´as, ´es β = (26)(35), ami az 1,4 cs´ucsokon ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ukr¨oz´est jelenti. Az olvas´o k¨onnyen ellen˝orizheti, hogy β2 = (), α6 = (), ´es a k´et gener´ator seg´ıts´eg´evel a C6v csoport minden eleme el˝o´ al-l´ıthat´o. A csoport elemei hat konjug´alt oszt´alyt alkotnak. Az els˝oben az egys´egelem van:
(); a m´asodikban h´arom elem van, h´arom t¨ukr¨oz´es a hatsz¨og cs´ucsain ´atmen˝o s´ıkokra, ezek egyike (26)(35); a harmadikban h´arom elem tal´alhat´o, a h´arom lapk¨oz´epen ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ukr¨oz´es, az egyik elem (12)(36)(45); a negyedikben k´et, 2π/3 sz¨og˝u forgat´as ta-l´alhat´o, az egyik (135)(246); az ¨ot¨odikben k´et darabπ/3 sz¨og˝u forgat´as van, egyik k¨oz¨ul¨uk (123456); a hatodikban csak az inverzi´o (14)(25)(36) van. A C6v csoport karaktert´abl´aja a 6.9. t´abl´azatban, a 6. fejezetben tal´alhat´o.
Egy G csoport felbonthat´o a csoportelemek konjug´altoszt´alyainak halmaz´ara. Vegy¨unk egy h1 ∈ G elemet ´es k´epezz¨uk az ¨osszes h1-gyel konjug´alt elem halmaz´at, amit gh1g−1 elemek ¨osszess´ege ad meg, ittg v´egigfut Gminden elem´en. Jel¨olje ezt a halmaztC1. Ez-ut´an vegy¨unk egyh2 elemetG− C1-b˝ol, ´es k´epezz¨uk ah2-h¨oz konjug´alt elemek halmaz´at:
4Az egyelem˝u ciklust csak akkor ´erdemes ki´ırni, ha jelezni k´ıv´anjuk a permut´aci´o hossz´at.
C2 = {gh2g−1, g ∈G}. Az elj´ar´ast folytatva, a kapott C1,C2, . . . elemoszt´alyok lefedik a G csoportot. Egy v´eges G csoportot alkot´o konjug´alt elemoszt´alyok sz´ama v´eges. A C1,C2, . . . elemoszt´alyokat konjug´alt elemoszt´alyoknak is nevezik. A konjug´alt elemosz-t´alyok sz´am´at nc-vel fogjuk jel¨olni. Egy G csoport ´abr´azol´asa (´abr´azol´asa) alatt G egy homomorfizmus´at ´ertj¨uk, egy L vektort´er automorfizmus csoportj´aba. A leggyakoribb m´atrix´abr´azol´as eset´enLautomorfizmusai m´atrixok,Ghomomorfizmusa alatt pedig a g csoportelemhez egy olyang →Dg m´atrix hozz´arendel´est ´ert¨unk, amire teljes¨ul, hogy De
az egys´egm´atrix, amennyiben e az egys´egelem G-ben, tov´abb´a g1g2 →Dg1g2 =Dg1Dg2. Ha g → Dg egy ´abr´azol´as, akkor g → CDgC−1 is az (itt C nemszingul´aris m´atrix).
A hasonl´os´agi transzform´aci´oban elt´er˝o ´abr´azol´asokat ekvivalensnek nevezz¨uk. A nem ekvivalens ´abr´azol´asok jellemz´es´ere a m´atrix spurj´at haszn´aljuk, amit az ´abr´azol´as ka-rakter´enek nevez¨unk. Ismeretes az algebr´ab´ol, hogy ekvivalens m´atrixok spurja azonos.
Amennyiben egy ´abr´azol´as minden m´atrixa egyidej˝uleg az al´abbi alakra hozhat´o:
M1 M2
0 M3
(2.15) az ´abr´azol´ast reducibilisnek, egy´ebk´ent irreducibilisnek nevezz¨uk. A nem ekvivalens ir-reducibilis ´abr´azol´asok sz´ama megegyezik a konjug´alt elemoszt´alyok nc sz´am´aval. Az
´
abr´azol´ast h˝unek nevezz¨uk, amennyiben elt´er˝o csoportelemekhez elt´er˝o m´atrixok tartoz-nak.
Legyens egy homomorf lek´epez´ese a Gcsoportnak az F sz´amtestbe. A homorfizmus azt jelenti, hogy s(g1 ∗g2) = s(g1)∗s(g2), b´armely k´et g1, g2 ∈ G-re. s-t a G csoport karakter´enek nevezz¨uk. Amennyiben G-t m´atrixokkal reprezent´aljuk, a m´atrix spurja egy alkalmas karakter.
Egy v´eges G csoport χ karakter´et monomi´alisnak nevezz¨uk, ha χ el˝o´all´ıthat´o G egy r´eszcsoportj´anak line´aris karakter´eb˝ol. A v´eges G csoportot monomi´alisnak, vagy M -csoportnak nevezz¨uk, ha minden k¨oz¨ons´eges irreducibilis karaktere monomi´alis.
Az irredicibilis ´abr´azol´asok karaktereit egy karaktert´abla tartalmazza. A karakte-rek egy elemoszt´alyon bel¨ul egyenl˝oek, az elt´er˝o karakterek sz´ama teh´at nem haladhatja meg az elemoszt´alyok sz´am´at. A karaktert´abl´aban a nem ekvivalens irreducibilis ´abr´ a-zol´asok karakterei vannak felsorolva. Az irreducibilis ´abr´azol´as m´atrix´anak rendj´et az
´
abr´azol´as dimenzi´oj´anak nevezz¨uk. A v´eges csoportok irreducibilis ´abr´azol´asai 1, 2 vagy 3 dimenzi´osak. A karaktert´abl´aban azt is megadj´ak, hogyan transzform´al´odik az adott irreducibilis komponens (irrep). Erre utal az irrep jel¨ol´ese is, de fel szokt´ak t¨untetni az adott irrep szerint transzform´al´od´o egyszer˝u komponenseket is. Ez lehet egy vektor valamely komponense (pl. x, y vagy z), vagy egyRaxi´alvektorx, y vagy z komponense.
Az egydimenzi´os, szimmetrikus irreducibilis alt´er jel¨ol´ese A, amennyiben t¨obb ilyen is van, akkor azokat egy indexszel k¨ul¨onb¨oztetj¨uk meg. Az egydimenzi´os, aszimmetrikus
´
abr´azol´asok szok´asos jele B, a k´etdimenzi´os ´abr´azol´as jele E, a h´aromdiemnzi´os´e pedig F. Az irrepek alkotj´ak a karaktert´abla sorait. Az els˝o irrep maxim´alis szimmetri´aval
rendelkezik, azaz a karaktert´abla els˝o sor´aban csupa egyes ´all. A karaktert´abla oszlo-pait a csoportot alkot´o elemek alkotj´ak. Mivel az egy konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o csoportelemek karaktere azonos, az oszlopok konjug´alt elemoszt´alyokat tartalmaznak.
Szok´as szerint az els˝o oszlop tartozik az egys´egelemhez, ebb˝ol teh´at leolvashat´o az adott irrep dimenzi´oja.
A karaktert´abla seg´ıts´eg´evel egy tetsz˝oleges reducibilis ´abr´azol´ast felbonthatunk irre-ducibilis ´abr´azol´asok ¨osszeg´ere. Az ekvivalens irreducibilis ´abr´azol´asok sz´ama megegyezik az ´abr´azol´as dimenzi´oj´aval. A karaktert´abla rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal:
1. A t´abl´azat n´egyzet alak´u, minden sora megfelel egy nemekvivalens irreducibilis
´
abr´azol´asnak.
2. A t´abl´azat els˝o oszlopa az ´abr´azol´as dimenzi´oj´at adja meg. Ez oszt´oja a csoport rendj´enek. Az els˝o oszlop az egys´egelem konjug´alt elemoszt´aly´ahoz tartozik.
3. Az els˝o oszlopban ´all´o sz´amok n´egyzeteinek ¨osszege megegyezik a csoport rendj´evel.
4. Az els˝o sorban minden oszlopban 1 ´all.
5. A sorok ortogon´alisak, ha az adott oszlopban ´all´o sz´amot megszorozzuk az adott konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o csoportelemek sz´am´aval.
6. Az oszlopok ortogon´alisak.
7. Amennyiben az ´abr´azol´as |G| rend˝u m´atrixokkal t¨ort´enik, az i-ik irreducibilis ´ ab-r´azol´ashoz annyi ekvivalens ´abr´azol´as tartozik, amennyi az ´abr´azol´as dimenzi´oja.
8. A t´abl´azat seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges f¨uggv´eny felbonthat´o irreducibilis komponen-sekre.
9. A t´abl´azat seg´ıts´eg´evel egy tetsz˝oleges ´abr´azol´as felbonthat´o irreducibilis ´abr´ azo-l´asok ¨osszeg´ere.
Az irreducibilis ´abr´azol´asok a k¨ovetkez˝ot jelentik. Amennyiben a csoportot N-rend˝u m´atrixok egy halmaz´aval ´abr´azoljuk, akkor elk´epzelhet˝o, hogy van olyan hasonl´os´agi transzform´aci´o, ami a csoportelemekhez rendelt m´atrixok mindegyik´et diagonaliz´alja.
Ennek felt´etele, hogy G Abel-csoport legyen. A diagon´alishoz legk¨ozelebb ´all´o alakot a karaktert´abla megadja, u.i. a m´atrixok egyidej˝uleg blokkdiagon´alis alakra hozhat´oak, a blokkok m´erete az irreducibilis ´abr´azol´asok dimenzi´oival egyeznek meg, a blokkok sz´ama pedig egyenl˝o az irreducibilis ´abr´azol´asok sz´am´aval. A diagon´alisban ´all´o m´atrixokat spurjuk (karakter¨uk) szerint lehet oszt´alyozni, a diagon´alisban legfeljebb nc elt´er˝o blokk fog ´allni, mindegyik blokk megfelel egy irreducibilis ´abr´azol´asnak. A diagon´alisban ´all´o
Ennek felt´etele, hogy G Abel-csoport legyen. A diagon´alishoz legk¨ozelebb ´all´o alakot a karaktert´abla megadja, u.i. a m´atrixok egyidej˝uleg blokkdiagon´alis alakra hozhat´oak, a blokkok m´erete az irreducibilis ´abr´azol´asok dimenzi´oival egyeznek meg, a blokkok sz´ama pedig egyenl˝o az irreducibilis ´abr´azol´asok sz´am´aval. A diagon´alisban ´all´o m´atrixokat spurjuk (karakter¨uk) szerint lehet oszt´alyozni, a diagon´alisban legfeljebb nc elt´er˝o blokk fog ´allni, mindegyik blokk megfelel egy irreducibilis ´abr´azol´asnak. A diagon´alisban ´all´o