Lorentz-csoport

Az els˝o tenzor egy nulla spur´u szimmetrikus tenzor, ez ekvivalens a D² irreducubilis

´

abr´azol´assal.

2.5.2. Lorentz-csoport

Az elektrom´agness´eget le´ır´o Maxwell-egyenletek vizsg´alata sor´an el˝obukkant egy nem v´art k¨ovetkezm´eny. Az egyenletek csak akkor ˝orzik meg alakjukat k¨ul¨onb¨oz˝o inercia-rendszerekben, ha feltessz¨uk, hogy a f´enysebess´eg minden inerciarendszerben azonos.

Vizsg´alni kell teh´at, hogy milyen transzform´aci´o k¨oti ¨ossze k´et inerciarendszer koordi-n´at´ait ´es idej´et, ha a f´enysebess´eg mindkett˝oben azonos. A f´enysebess´eget v´altozatlanul hagy´o transzform´aci´oj´at Lorentz-transzform´aci´onak¹⁹ nevezz¨uk.

Tekints¨unk egy Kkoordin´ata-rendszert ´es egy hozz´a k´epest v₁ sebess´eggel mozg´oK₁ koordin´ata-rendszert. Vizsg´aljuk meg a f´eny mozg´as´atK-ban! Jel¨oljeca f´enysebess´eget (mint vektort), x pedig a f´eny helyzet´et K-ban, at id˝opillanatban. Nyilv´an fenn´all az

(ct)²−x² = 0

¨osszef¨ugg´es. Jel¨olje a f´eny helyzet´et K⁰-ben x⁰ a K⁰-ben m´ert t⁰ id˝opillanatban. A f´ eny-sebess´eg ´alland´os´aga miatt fenn´all az

(ct⁰)²−x⁰² = 0

19H. A. Lorentz (1853-1928)holland fizikus ut´an.

¨osszef¨ugg´es. A helyzet nagyon hasonl´ıt a t´erbeli forgat´asokn´al megfigyeltre, csak itt most egy n´egydimenzi´os vektor hossza marad v´altozatlan a K → K⁰ ´att´er´eskor. A transzform´aci´ot a cosh²a−sinh²a= 1 ¨osszef¨ugg´es ismeret´eben azonnal fel lehet ´ırni:

x⁰ = xcoshu+ctsinhu (2.132)

ct⁰ = xsinhu+ctcoshu. (2.133) Vizsg´aljuk meg a K ´es K⁰ rendszerek relat´ıv sebess´eg´et. Az orig´ok a t = 0 pillanatban essenek egybe, ezzel

x⁰ =ctsinhu;ct⁰ =ctcoshu, (2.134) a k´et egyenletet elosztva ´es az orig´ok sebess´eg´etV =x⁰/t⁰-t behelyettes´ıtve tanhu=V /c ad´odik. Ebb˝ol kapjuk a Lorentz-transzform´aci´o j´ol ismert k´eplet´et:

x⁰ = x+V t q

1− ^V_c2 (2.135)

t⁰ = t+^{V x}_c2

q

1− ^V_c2. (2.136)

Term´eszetesen az id´ezett k´epletek csak az x tengellyel p´arhuzamos sebess´eg eset´en ´erv´ e-nyesek, a m´asik k´et koordin´ata v´altozatlan marad (y⁰ = y, z⁰ = z). ´Altal´anos esetben azonban m´as a helyzet.

A t´erid˝o ´altal´anos szimmetri´ait szeretn´enk teh´at megtal´alni. Itt algebra ´es geometria

¨osszefon´odik. Az algebrai geometria a geometriai alakzatokat az alakzatok automorfiz-musaival ´ırja le. K´ıs´erletet tesz¨unk teh´at arra, hogy a t´erid˝o tulajdons´agait a t´erid˝o automorfizmusaib´ol vezess¨uk le, ez l´enyeg´eben Felix Klein ”Erlangeni program”-j´anak c´elkit˝uz´ese. Az al´abbiakban Domenico Guilini munk´aja alapj´an bemutatjuk, hogyan m˝uk¨odik a modern algebra appar´atusa a t´erid˝o vizsg´alat´aban.

A fizika megfigyel´esekb˝ol von le k¨ovetkeztet´eseket. A t´erid˝ore vonatkoz´o megfigye-l´esekhez m´eterr´udra, mint a t´avols´agm´er´es hagyom´anyos eszk¨oz´ere, ´es zseb´or´ara, mint az id˝om´er´es hagyom´anyos eszk¨oz´ere van sz¨uks´eg. Ezeket az eszk¨oz¨oket elvissz¨uk a t´er egyes pontjaiba hogy ott m´er´eseket v´egezz¨unk vel¨uk. Feltessz¨uk, hogy m´er˝oeszk¨ oze-ink stabilak, mik¨ozben egyik helyr˝ol a m´asikra vissz¨uk ´at, szerkezet¨uk nem v´altozik ´es szerkezet¨uk f¨uggetlen a k¨ornyezett˝ol. A m´er´eseket mindig adott pontokban v´egezz¨uk,

´

es bel˝ol¨uk ´ujabb mennyis´egeket sz´armaztatunk, mint pl. k´et pont t´avols´aga, vagy k´et id˝opont k¨oz¨otti k¨ul¨onbs´eg. Ezeket a m˝uveleteket teh´at adott munkahipot´ezisek alapj´an v´egezz¨uk. A megfigyel´esek szerint egy er˝ohat´asok alatt nem ´all´o test egy kit¨untetett p´ a-ly´an mozog, ezt a p´aly´at egyenesnek fogjuk nevezni. A t´erid˝o transzform´aci´oit mathrm t´ıpussal R, B stb. jel¨olj¨uk, a h´aromdimenzi´os t´er transzform´aci´oit (m´atrixait)D,Abold bet˝ut´ıpussal ´ırjuk. A t´erbeli vektorokat −→v, ugyanezen vektor abszol´ut´ert´ek´etv jel¨oli. A t´erid˝o automorfizmusainak vizsg´alata sor´an a k¨ovetkez˝o elveket fogjuk k¨ovetni:

1. A t´erid˝o homog´en: ha egy kis´erletet megim´etl¨unk m´asutt, m´askor, ugyanazt az erdm´enyt kell kapnunk.

2. A t´er izotr´op: nincsenek kit¨untetett ir´anyok.

3. ´Erv´enyes a Galilei-f´ele relativit´as.

A fentiekb˝ol a t´erid˝o automorfizmusaira n´ezve az al´abbi k¨ovetelm´enyek ad´odnak. Az els˝o k¨ovetelm´eny szerint az automorfizmusban helyet kell kapnia minden transzl´aci´onak, vagyis az automorfizmusok k¨oz¨ott szerepelnie kell GL(4,R) alcsoportjainak. A m´asodik szerint az automorfizmusok k¨oz¨ott helyet kell kapnia minden t´erbeli forgat´asnak. A t´erid˝oben az id˝ot ´es a h´arom t´erkoordin´at´at azonos m´odon kezelj¨uk, a t´erid˝o egy pontj´at a (t,x)^T n´egyessel (azaz oszlopvektorral) jel¨olj¨uk²⁰. A m´asodik felt´etel szerint amennyiben a t´erid˝o egy pontj´at (t,x)^T ´ırja le, az automorfizmus csoport r´esze minden

R(D) = 1 −→ 0^T

−

→0 D

!

(2.137) alak´u m´atrix is, ahol D ∈ SO(3), egy forgat´ast le´ır´o m´atrix. A jel¨ol´es hangs´ulyozni k´ıv´anja, hogy az R automorfizmust param´eterezi a D m´atrix. A harmadik szerint a sebbess´egtranszform´aci´onak az a form´aja, amikor egyik inerciarendszerr˝ol ´att´er¨unk egy m´asikra, szint´en lehet a t´erid˝o automorfizmusa. Egyenl˝ore m´eg nem tudjuk, hogyan kell az inerciarendszerek k¨oz¨otti ´att´er´est le´ırni matematikailag.

Feltessz¨uk, hogy a sebess´egtranszform´aci´ot le´ır´o B m´atrixot egyetlen (h´ aromdimen-zi´os) vektorral lehet param´eterezni, teh´at ´ırhatunk B(−→v)-t, ez a −→v vektor a k´et inercia-rendszer orig´oj´anak relat´ıv sebess´ege −→v. B(−→

0 ) = E₄, egys´egtranszform´aci´o. Feltessz¨uk, hogy a sz´obaj¨ohet˝o sebess´egek abszol´ut´ert´eke nem haladja meg c-t, ami adott (v´eges vagy v´egtelen) ´alland´o. A 3. feltev´es szerint b´armely D forgat´as eset´en feltessz¨uk, hogy R(D)B(−→v )R(D⁻¹) = B(D−→v). (2.138) Megmutatjuk, hogy ez ut´obbi tulajdons´ag lehet˝ov´e teszi, hogy csak adott ir´any´u, ese-t¨unkben a pozit´ıv xtengely ir´any´u sebess´egtranszform´aci´okat vizsg´aljunk. A bizony´ıt´as h´et l´ep´esben t¨ort´enik.

1. Az x tengely k¨or¨uli tetsz˝oleges D forgat´ast alkalmazva a (2.138)-b˝ol k¨ovetkezik, hogy D−→v =−→v eset´en

B(ve_x) =

A(v) 0 0 α(v)E2

. (2.139)

20A 2.5.2 r´eszben aT fels˝o index transzpon´al´asra utal.

Itt a t´erid˝o n´egy elem´et k´et, k´etelem˝u vektorra bontottuk fel. Az els˝o k´et elem (t, x) v´altozhat, a m´asodik k´et elem (y, z) pedig nem. Alkalmazva (2.138)-t, egyytengely k¨or¨uli π-sz¨og˝u forgat´assal, azt tal´aljuk, hogy α(v) = α(−v), itt a negat´ıv el˝ojel ellent´etes ir´any´u sebess´eget jelent. Meg lehet azonban mutatni, hogy α(v)≡1.

2. A Galilei-transzform´aci´o sor´an megv´altoz´o k´et koordin´ata v´altoz´as´atA(v) szabja meg. ´Irjuk ki r´eszletesen elemeit:

t⁰ x⁰

=A(v) t

x

=

a(v) b(v) c(v) d(v)

t x

. (2.140)

A (t, x) koordin´at´akra mint K koordin´ata-rendszerre hivatkozunk, a (t⁰, x⁰) koor-din´at´akra mint K⁰-re. A K⁰ rendszer sebess´ege K-ban m´erve pontosan v. A K rendszer K⁰-ben m´ert sebess´ege legyen v⁰. K⁰ orig´oj´anak sebess´eg´et

v =−c(v)

d(v), (2.141)

m´ıg K orig´oj´anak sebess´eg´et

v⁰ =−a(v)

c(v) =−vd(v)

a(v) , (2.142)

adja meg. Bevezetj¨uk a v⁰ =ϕ(v) jel¨ol´est. Nyilv´anval´oan, a K⁰ → K´es aK → K⁰ transzform´aci´ok egym´as inverzei, ez´ert

A(ϕ(v)) = (A(v))⁻¹. (2.143) 3. Most hat´arozzuk meg a ϕ f¨uggv´enyt. Ism´et alkalmazzuk (2.138)-et ´ugy, hogy D legyen π sz¨og˝u forgat´as az y tengely k¨or¨ul, amib˝ol k¨ozvetlen¨ul l´athat´o, hogy a ´es d p´aros, b ´es c p´aratlan f¨uggv´eny. ϕ defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkez˝oen p´aratlan f¨uggv´eny.

Kor´abban feltett¨uk, hogy K ´es K⁰ relat´ıv sebess´ege, −→v egy topologikus csoport folytonos koordin´at´aja, ez´ert ϕ folytonos f¨uggv´eny. Bel´athat´o, hogy ϕ ¨onmag´ara k´epezi le a (−c,+c) intervallumot. Egy t´etel szerint egy folytonos bijekci´o, amely egy val´os intervallumot ¨onmag´ara k´epez le, az monoton. Ez´ert ϕ csak ±1-gyel szorz´asnak felelhet meg. Mivel A(0) = E₃ ez´ert csak ϕ(v) = −v lehet. Ez azt jelenti, hogy a K rendszer K⁰-ben m´ert sebess´ege ´eppen a negat´ıvja a K⁰ rendszer K-ban m´ert sebess´eg´enek. Ez nem trivi´alis, hiszen a k´et koordin´ata rendszerben m´as-m´as m´er˝oeszk¨oz¨oket (´or´at ´es m´er˝orudat) haszn´altunk.

4. N´ezz¨uk most az α(v) f¨uggv´enyt. L´attuk, hogy B(−v−→e_x) = (B(v−→e_x))⁻¹. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen α(v) = 1.

5. Vegy¨uk most szem¨ugyre az A(v) m´atrixot! (2.141) ´es (2.142) alapj´an

6. Ezzel A(v) meghat´aroz´as´at a(v) meghat´aroz´as´ara reduk´altuk. Most haszn´aljuk ki azt, hogy k´et sebess´egtranszform´aci´o egym´asut´anja is sebess´egtranszform´aci´o, egyenl˝ore csak azonos ir´any´u sebess´egekr˝ol van sz´o. Ez´ert

A(v)A(v⁰) = A(v”). (2.147) (2.144) szerint azA(v) m´atrix diagon´alis elemei egyenl˝ok. Ezt alkalmazva a (2.147) baloldal´an ´all´o m´atrixszorzatra azt kapjuk, hogy v⁻²(a⁻²(v)−1) f¨uggetlen v-t˝ol, azaz, egyenl˝o egy k ´alland´oval, amelynek dimenzi´oja sebess´egn´egyzet reciproka.

Ezzel

a(v) = 1

√1 +kv², (2.148)

ahol az´ert v´alasztottuk a pozit´ıv gy¨ok¨ot, mert k¨ul¨onben nem ´all fenn a(0) = 1. A (2.147) t¨obbi elem´et meghat´arozva az al´abbi ¨osszef¨ugg´eseket kapjuk:

a(v)a(v⁰)(1−kv⁰v) = a(v”) (2.149) a(v)a(v⁰)(v +v⁰) = v”a(v”). (2.150) Ebb˝ol a sebess´eg¨osszead´asra az al´abbi kifejez´est kapjuk:

v” = v+v⁰

1−kvv⁰. (2.151)

V´eg¨ulis a (2.147) felt´etelb˝ol kiad´odik (2.148) ´es (2.151).

7. Miel˝ott meghat´arozn´ank k ´ert´ek´et, foglaljuk ¨ossze az eddigi eredm´enyeket. Egy-m´ashoz k´epest xir´anyban v relat´ıv sebess´eggel mozg´o koordin´ata rendszerek k¨ozt csak a t, x v´altoz´okat kell transzform´alni. Ez a transzform´aci´o:

A(v) =

Most az al´abbi lehet˝os´egek ´allnak fenn.

• Amennyiben k > 0, ´atsk´al´azzuk az id˝ot az al´abbi m´odon: t → τ = t/√ k ´es bevezetj¨uk tanα = √

kv-t, amivel a (2.152) m´atrix egy α sz¨og˝u forgat´ast ´ır le a t, x s´ıkban. A (2.151)-nek megfelel˝o sebess´eg¨osszead´as k¨oz¨ons´eges ¨ ossze-ad´ass´a v´alik. Amennyiben k-t sebess´egk´ent ´ertelmezz¨uk, ebb˝ol konfliktusok sz´armaznak. A t´erid˝o automorfizmusainak ´ıgy kapott csoportja SO(4) lesz.

• Amennyiben k = 0, az A m´atrixnak a Galilei-transzform´aci´ok csoportja felel meg. A sebess´eg¨osszead´as vektor¨osszead´ass´a egyszer˝us¨odik.

• Amennyiben c= k < 0, 1/√

−k a sebbes´egek fels˝o hat´ar´anak ad´odik. Beve-zetj¨uk az al´abbi jel¨ol´eseket: τ = ct, v/c = β, β = tanhρ ´es γ = 1/p

1−β². Ekkor (2.152) az al´abbi alakot ¨olti:

τ⁰ Aρ= tanh⁻¹(v/c) = tanh⁻¹(β) kifejez´es a koordin´ata-rendszerek relat´ıv sebess´ege.

(Vess¨uk ¨ossze a fenti k´epletet a (2.135)-(2.136) k´epletekkel).

Ezzel megmutattuk, hogy a t´erid˝o automorfizmuscsoportj´at Galilei-transzform´aci´ok ´es Lorentz-transzform´aci´ok alkothatj´ak. A transzform´aci´ot reprezent´al´o m´atrixok szerkeze-t´et pedig megszabja a tett h´arom plauzibilis feltev´es.

A tov´abbiakban a Lorentz-csoporttal foglalkozunk. A t´erid˝ot n´egydimenzi´os val´os vektort´erk´ent ´abr´azoljuk, a k¨ovetkez˝o metrik´aval :

gij =diag(1,−1,−1,−1). (2.154) Jel¨olje L^a_i a Lorentz-transzform´aci´o m´atrix´at. A Lorentz-csoporthoz tartoz´o m´atrixok defin´ıci´o szerint kiel´eg´ıtik az

4

X

i,j=1

g_ijLⁱ_kL^j_l =g_kl. (2.155)

¨osszef¨ugg´est. ´Irjuk a Lorentz-transzform´aci´o m´atrix´at L = alakba. A (2.155) defin´ıci´o szerint fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ugg´esek:

−

Minden L m´atrix felbonthat´o egy forgat´ast le´ır´o m´atrix ´es egy sebess´egtranszform´aci´o

Vizsg´aljuk meg, milyen param´eterekkel ´ırhat´o le a B sebess´egtranszform´aci´o! Legyen

− majd a −→v ₂ vektorral jellemzett sebess´egtranszform´aci´ot! A k´et m´atrix szorzat´at (2.158) szerint felbonthatjuk egy Mforgat´as ´es egy−→v3 sebess´eggel jellemzett sebess´ egtranszfor-m´aci´o szorzatak´ent. Megmutathat´o, hogy

L(−→v 1,D1)L(−→v2,D2) = L(−→v 1?D1·v2,T[−→v1,D1· −→v 2]·D1D2). (2.162) IttD₁´esD₂jelenti av₁´esv₂ sebess´egekhez tartoz´o m´atrix (2.158)-szerinti felbont´as´aban szerepl˝o forgat´asok m´atrix´at. A sebess´egek kompoz´ıci´oj´at megad´o szab´aly:

−

→v₁?−→v₂ =

−

→v ₁+−→v2k+γ₁⁻¹−→v2⊥

1 +−→v ₁−→v ₂ . (2.163) A sebess´egkompoz´ıci´ok nem alkotnak csoportot, mert a−→v ₁?−→v ₂m˝uvelet nem asszociat´ıv.

L´etezik viszont egys´egelem: −→v ?−→

A sebess´egek ¨osszead´asa kapcsolatban ´all a hiperbolikus geometri´aval (Borel, 1913).

Bevezetve a sebess´egt´erben a radi´alis koordin´at´at, a metrika ´ıgy ´ırhat´o fel:

s² = dv²

2.2. Feladat (A Lorentz-transzform´aci´o m´atrixa) Osszehasonl´ıt´¨ ask´eppen k¨oz¨olj¨uk Novob´atzky K´aroly k¨onyv´eb˝ol a Lorentz-transzform´aci´o m´atrix´at. Az alkalmazott jel¨ol´es:

v² = v₁² +v₂² +v₃², κ = 1/p

1−v²/c², c a f´enysebess´eg. Tekints¨uk teh´at a K ´es K⁰ inerciarendszereket, amelyek tengelyei nem esnek ¨ossze ´es nem esnek a (v₁, v₂, v₃) komponensekkel jellemzett k¨olcs¨on¨os mozg´as ir´any´aba. A K ´es K⁰ rendszerekben m´ert id˝ot t ill. t⁰ adja meg. Feltessz¨uk, hogy a t=t⁰ = 0 id˝oben a K ´es K⁰ rendszerek orig´oja

transzform´aci´ot le´ır´o Lorentz-m´atrix:

L=

Az Lm´atrix egy line´aris transzform´aci´ot ´ır le, ez´ert a koordin´atadifferenci´alokra ugyanez a m´atrix alkalmazhat´o.

2.5.3. Irodalom

Magyar nyelv˝u csoportelm´elet Safarevics, Kuros ´es Wigner k¨onyve. Ezek k¨oz¨ul csak Kuros k¨onyve nevezhet˝o bevezet˝o jelleg˝unek. A gazdag angol nyelv˝u irodalomb´ol Falicov, Hammermesh ´es Sternberg k¨onyve aj´anlhat´o. Wigner, Olver ´es Landau-Lifsic ink´abb a halad´o olvas´oknak aj´anlhat´o. Safarevics k¨onyve j´o ¨osszefoglal´o, de nem bevezet˝o jelleg˝u munka. Az algebra ´es geometria k¨oz¨otti kapcsolat bevezet˝o le´ır´as´at adja (piros ´es s´arga).

3. fejezet

Seg´ edeszk¨ oz¨ ok a csoportelm´ eleti

sz´ am´ıt´ asokhoz

Egy sz´am´ıt´og´epen nem csak sz´amokkal lehet m˝uveleteket v´egezni. A nagy sz´ am´ı-t´asig´eny˝u munk´ak (pl. r´eszecskefizikai k´ıs´erletek ki´ert´ekel´ese) ig´enyelt´ek sz´am´ıt´og´epek alkalmaz´as´at. Ez is ¨oszt¨on¨ozte a szimbolikus vagy formulamanipul´aci´os nyelvek kidolgo-z´as´at, amelyek seg´ıt´es´eg´evel be lehet helyettes´ıteni formul´akban szerepl˝o r´eszek hely´ere bonyolult kifejez´eseket, el lehetett v´egezni egy kifejez´es egyszer˝us´ıt´es´et vagy deriv´al´as´at.

A formulamanipul´aci´os nyelvekben tetsz˝olegesen pontos aritmetik´at is megval´os´ıtottak, az eg´esz sz´amokat tetsz˝olegesen sok sz´amjeggyel lehet jellemezni, a racion´alis sz´amokat k´et eg´esz h´anyadosak´ent, az irracion´alis sz´amokat pedig egy formul´aval lehet le´ırni. ´Igy a√

2 ´abr´azol´as´ahoz ”egy sz´am, amelynek saj´atmag´aval vett szorzata kett˝ot ad” defin´ıci´ot lehet felhaszn´alni.

Az els˝o formulamanipul´aci´os nyelveket (Schoonship, T. Veltman programja) ´es a RE-DUCE (Hearst programja) r´eszecskefizik´aban gyakran sz¨uks´eges sz´am´ıt´asok elv´egz´esre k´esz´ıtett´ek. Ez a munka a nyolcvanas ´evekben jelent˝os lend¨uletet kapott, egym´as ut´an jelent meg a MAXIMA, SMP, MAPLE, SCRATCHPAD, AXIOM, majd nyolcvanas ´evek v´ege fel´e a MATHEMATICA. Ezek ´altal´anos c´el´u programok, amelyekhez egy-egy spe-ci´alis feladat megold´as´ara csomagokat lehetett ´ırni, ilyen csomagok a CALI (konstrukt´ıv algebrai feladatok megold´as´ara szolg´al´o csomag), IDEALS (nem-konstrukt´ıv geomet-riai feladatok), PDEtools, StandardForm (parci´alis differenci´alegyenletek), a REDUCE-hoz, a CASA csomag (konstrukt´ıv algebrai feladatok megold´as´ara) a MAPLE-hoz. A szimbolikus nyelvek is szaporodtak, megjelent a MAXIMA nyelv, amelyen elk´esz¨ult a SYMMGRP,MAX, SYMDE. A REDUCE tov´abb b˝ov¨ult a CRACK ´es a ODESOLVE csomagokkal. A MACSIMA szimbolummmanipul´aci´os programot (amely k´es˝obb eg´esz csal´add´a alakult, amelynek tagjai a LISP nyelven meg´ırt ALJBR, MACSYMA, PARA-MAX, PUNIPARA-MAX, VAXIMA programok) kieg´esz´ıtett´ek a PDELIE csomaggal. Az extra nagy matematikai objektumok kezel´es´ere l´etrej¨ott a FORM nyelv, majd megjelentek a MAGMA, GAP, SENAC numerikus ´es algebrai manipul´aci´ok v´egz´es´ere ´ır´odott progra-mok.

Ahogyan n˝ott a szimbolummanipul´aci´os programok sz´ama, nagyobb lett az ig´eny a csomagok k¨oz¨otti kapcsolat kialak´ıt´as´ara, l´etrej¨ott a MathLink a Mathematica-hoz, a MathEdge a Maple-hoz. Id˝ok¨ozben megjelent az OpenMath mozgalom, amely protokollt biztos´ıtott a csomagok k¨oz¨otti kommunik´aci´ohoz.

A speci´alis szimbolikus nyelvek a matematika egy-egy ´ag´ara ¨osszpontos´ıtottak, ezen a ter¨uleten jobb lehet˝os´egeket biztos´ıtva, mint az ´altal´anos programok. Ezzel szemben kev´esb´e kellemes k¨ornyezetet (input, output, megjelen´ıt´es) biztos´ıtanak a felhaszn´al´onak.

Az algebrai c´el´u speci´alis szimbolikus programok k¨oz¨ott megeml´ıtj¨uk a GAP (ld, fennt), ELIAS, GRAPE, ANU, CHEVIE, Schur ´es GUAVA k´odokat. A sz´amelm´eletben pedig a PARI, KANT, Galois, MALM, SIMATH k´odokat. Algebrai ´es geometriai feladatokra k´esz¨ultek az Albert, Bergman, CoCoA, FELIX, GANITH, GB, GRB, KAN, Maculay, SACLIB, GROEBNER, Singular k´odok. Differenci´alegyenletekkel kapcsolatos k´odok:

DESIR, DIMSYM, SPDE. Tenzorkalkulusban haszn´alatos k´odok: SHEEP, STENSOR.

A fenti k´odokb´ol, csomagokb´ol benn¨unket az elgebrai feladatokban haszn´alatos k´ o-dok ´erdekelnek. Az interneten t¨obb program is tal´alhat´o, amelyekkel algebrai feladatokat lehet megoldani. Ilyenek p´eld´aul a GAP ´es a MAGMA. Algebrai csomagok tartoznak a MATHEMATICA, vagy a MATLAB szimbolikus nyelvekhez is. A jelen fejezetben is-mertetett nyelveket az t¨unteti ki, hogy az algebra leggyakoribb fizikai alkalmaz´asaihoz (v´eges csoportok, Lie-csoportok, vektorterek, testek, lek´epez´esek stb.) sz¨uks´eges isme-retek k¨onnyen megtal´alhat´o benn¨uk. A MAGMA-t ld. www.maths.usyd.edu.au/magma, ahol a felhaszn´al´as felt´eteleit is meg lehet ismerni. A MAGMA el˝ofizet´es mellett hasz-n´alhat´o, a felt´eteleket a www.maths.usyd.edu.au/magma weboldalon tal´alja az Olvas´o.

3.1. MAGMA

A V2.9 MAGMA verzi´o tartalomjegyz´eke az al´abbi elemekb˝ol ´all:

• Bevezet´es

– A Magma filoz´ofi´aja

– A jelen dokumentum ¨osszefoglal´asa

• A Magma nyelv ´es rendszer

– A Magma felhaszn´al´oi nyelve – A Magma k¨ornyezet

• Csoportok

– Permutaci´ocsoportok – M´atrixcsoportok

– V´egesen present´alt csoportok – Abel-csoportok

– V´egesen present´alt Abel-csoportok – Policiklikus csoportok

– V´eges feloldhat´o csoportok – V´eges p-csoportok

– Csoportok, amelyeket ´ujra´ır´assal defini´alunk – Automatikus csoportok

– Csoportok, amelyek elemeit programok gener´alj´ak – Braid csoportok

– A PSL(2, R) csoport r´eszcsoportjai

• F´elcsoportok ´es monoidok

– v´egesen prezent´alt f´elcsoportok

– Monoidok, amelyeket ´ujra´ır´assal defini´alunk

• Lie elm´elet

– A Lie elm´elet gy¨okerei – Coxeter csoportok

– Lie-t´ıpus´u v´eges csoportok – Komplex t¨ukr¨oz´esek csoportjai

• Gy˝ur˝uk ´es testek

– A racion´alis test, az eg´eszek gy˝ur˝uje – Egyv´altoz´os polinomok gy˝ur˝uje

– Egyv´altoz´os polinomgy˝ur˝uk marad´ekoszt´alyai – V´eges testek

– Galois gy˝ur˝uk

– Sz´amtestek ´es rendj¨uk

– Altal´´ anos algebrai f¨uggv´enyek teste – Diszkr´et ´ert´ek˝u gy˝ur˝uk

– Val´os ´es komplex testek – Newton soksz¨ogek – Lok´alis gy˝ur˝uk ´es testek

– Hatv´any, Laurent and Puiseux sorok gy˝ur˝ui – Lazy hatv´anysorok gy˝ur˝ui

– Algebrailag z´art testek

• Kommutativ algebra

– T¨obbv´altoz´os polinomok gy˝ur˝ui – Affin algebr´ak

– Affin algebr´ak feletti modulusok

• Linearis algebra ´es modullus elm´elet – Matrixok

– Vektorterek

– Szabad modulusok

– Dedekind dom´enek feletti Modulusok

• R´acsok ´es kvadratikus form´ak – R´acsok

– Binaris kvadratikus form´ak

• Algebr´ak

– V´egesen present´alt asszociat´ıv algebr´ak – Altal´´ anos v´eges-dimenzi´os algebr´ak – V´eges dimenzi´os asszociat´ıv algebr´ak – Quaternion algebr´ak

– Csoport algebr´ak – M´atrix algebr´ak

– V´eges simenzi´os Lie algebr´ak

• Representaci´o elm´elet

– Algebra feletti modulusok – Karakterek elm´elete

– V´eges csoportok invari´ansai

• Homologikus algebra – Alapvet˝o algebr´ak – L´anc komplexek

• Algebrai geometria – S´em´ak

– Altal´´ anos algebrai g¨orb´ek – Racion´alis g¨orb´ek ´es k´upok – Elliptikus g¨orb´ek

– Hiperelliptikus g¨orb´ek – Modularis form´ak – K3 fel¨ulet adatb´azisa

– Gr´afok ´es Splice diagrammok

• V´eges incidencia szerkezetek – Enumerative Combinatorics – Gr´afok

– Incidence Structures and Designs – V´eges s´ıkok

– Incidence Geometry

• Hibajav´ıt´o k´odok

– Line´aris k´odok v´eges testek felett – Line´aris k´odokZ₄ felett

• Titkos´ıt´as, pseudo v´eletlen sz´amsorozatok

• Matematikai adatb´azisok

• Dokument´aci´o

• Irodalom

A fenti tartalomjegyz´ekb˝ol kivonatosan id´ezz¨uk a MAGMA filoz´ofi´aj´anak ismertet´es´et.

A MAGMA egy sz´am´ıt´og´epeken m˝uk¨od˝o algebrai rendszer, amelyet arra terveztek, hogy algebrai, sz´amelm´eleti, geometriai ´es kombinatorikai feladatokat oldjon meg. Ezek a feladatok gyakran k¨orm¨onfont matematikai h´att´erre ´ep¨ulnek ´es megold´asuk m´eg sz´ am´ı-t´og´eppel is k¨or¨ulm´enyes. A megold´ashoz MAGMA biztos´ıt egy matematikai szigor´us´ag´u k¨ornyezetet, amely hangs´ulyozza a strukt´ur´alt sz´am´ıt´ast. Kulcsszeret kapott a program azon k´epess´ege, hogy fel tudja ´ep´ıteni a matematikai strukt´ur´ak kanonikus reprezent´

aci-´

oj´anak szerkezet´et. Ez´altal tesz lehet˝ov´e olyan m˝uveleteket, mint egy elem (halmazhoz) tartoz´as´anak vizsg´alata, egy strukt´ura tulajdons´againak le´ır´asa, izomorfi´ak vizsg´alata strukt´ur´ak k¨oz¨ott. A MAGMA program sok oszt´aly strukt´ur´aj´anak reprezent´aci´oj´at tartalmazza az algebra ¨ot alapvet˝o ´ag´ab´ol:

• csoportelm´elet

• gy˝ur˝uelm´elet

• testelm´elet

• modulelm´elet

• algebr´ak elm´elete.

Ezen fel¨ul, az elgebrai geometria ´es a gr´afelm´elet t¨obb strukt´uracsal´adja megtal´alhat´o a MAGMA programban.

A MAGMA rendszer f˝obb jellemz˝oi k¨oz¨ul kiemelj¨uk:

• A tervez´es filoz´ofi´aj´at: a tervez´esi elvek, amelyek a felhaszn´al´oi nyelv ´es a rend-szer architekt´ur´aj´anak alapjait k´epezik, az ´altal´anos algebra ´es kateg´oriaelm´elet fogalmaira ´ep¨ulnek.

• Univerzalit´as: az algebra eml´ıtett ¨ot ´ag´at m´elys´eg´eben lefedi a MAGMA nyelv.

• Integr´aci´o: Az egyes ter¨uletek seg´edeszk¨ozeit ´altal´anos elemekb˝ol ´ep´ıtett´ek fel, ez´ert a k¨ul¨onb¨oz˝o ter¨uleteket is ´atfog´o sz´am´ıt´asok programoz´asa egyszer˝us¨od¨ott.

A szerz˝ok szerint a MAGMA felhaszn´al´oi nyelv f˝obb tulajdons´agai:

• utas´ıt´asokb´ol ´es proced´ur´akb´ol ´all´o szabv´anyos nyelv;

• funkcion´alis, hierarchikus fel´ep´ıt´es, amely lehet˝ov´e teszi kifejez´esek, f¨uggv´enyek

• funkcion´alis, hierarchikus fel´ep´ıt´es, amely lehet˝ov´e teszi kifejez´esek, f¨uggv´enyek

In document Modern algebrai m (Pldal 59-81)