Krist´ alyr´ acsok oszt´ alyoz´ asa
6.1. A krist´ alyok szerkezete
−~ i
p2
2me +V(r)
Ψ(r) =EΨ(r). (6.1)
Amennyiben a r´acs peri´odikus, c´elszer˝u peremfelt´etelk´ent a r´acs periodikusan ism´etl˝od˝o egys´eg´enek (az elemi cell´anak) fel¨ulet´en a periodicit´ast megk¨ovetelni. Ezzel a f´emek t´argyal´as´at egy perem´ert´ek-probl´ema megold´as´ara vezett¨uk vissza.
Az egyes r´acsok elektonszerkezete elt´er˝o, ennek meg´ert´es´ehez az adott r´acshoz tartoz´o szabad elektron energi´aj´at (Fermi-energi´at) kell meghat´arozni. Az egyes r´acsok tulajdon-s´agait a r´acsot alkot´o atomok vagy molekul´ak t´erbeli szerkezete illetve a r´acs geometri´aja szabja meg. Nem meglep˝o h´at, hogy a le´ır´asban nagy szerepet kap a r´acsok geometriai szimmetri´aja.
6.1. A krist´ alyok szerkezete
A szil´ardtest fizika kit¨untetett t´argya egy v´egtelen, szab´alyos szerkezet. Ezt a szer-kezetet krist´alynak nevezik. Nem minden szil´ard anyag periodikus, a nem periodikus szil´ard anyagokat amorf anyagnak nevezik ´es k´ıv¨ul esnek a szil´ardtest fizika t´argyk¨ o-r´en. A szil´ardtest fizika teh´at szab´alyos szerkezet˝u krist´alyokat vizsg´al. A 2 fejezetben megmutattuk, hogy egy V t´erfogat szimmetri´ai v´altozatlanul hagyj´ak a V t´erfogat egy pontj´at. Ezek a szimmetri´ak egy csoportot alkotnak, a csoportot pontcsoportnak neve-zik. Mag´anak a V t´erfogatnak a jellemz´es´ere j´ol felhaszn´alhat´o V szimmetriacsoportja.
A krist´alyok oszt´alyoz´as´anak alapja szint´en a v´egtelen r´acsot ¨onmag´aba transzform´al´o csoport. Tekints¨uk azt a csoportot, amely v´altozatlanul hagyja a r´acs egy adottP pont-j´at. Ez a csoport az al´abbi transzform´aci´okat tartalmazhatja:
• diszkr´et sz¨og˝u forgat´asok P-n ´atmen˝o tengely k¨or¨ul;
1Az elektron´allapotok pontos energi´aj´at term´eszetesen egy sokr´eszecske feladat megold´asa adja.
• egy P-n ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ukr¨oz´esek.
A krist´aly a fentieken k´ıv¨ul tartalmazza ez eltol´ast, mint szimmetri´at. Ez azt jelenti, hogy a krist´alyt azonos elemek ism´etl˝od´es´eb˝ol fel´ep¨ul˝o strukt´ur´anak tekintj¨uk, nincse-nek benne egyedi helyek. Emiatt a hib´akat is tartalmaz´o krist´aly vizsg´alat´aval nem foglalkozunk.
6.1.1. A s´ık ´ es a t´ er szimmetri´ ai
Az ir´any´ıt´astart´o transzform´aci´okat forgat´asoknak nevezz¨uk. Az al´abbiakban a s´ık k´et, v´eges automorfizmus csoportj´aval foglalkozunk.
6.1. T´etel A s´ık v´eges forg´ascsoportjai ciklikusak. Egy n-edrend˝u csoport egy adott pont k¨or¨uli diszkr´et, k2π/n sz¨og˝u forgat´asokb´ol ´all, ahol k = 0, . . . , n−1. A s´ık forg´ ascsoport-jait Cn-nel jel¨olj¨uk, ez a szab´alyos n-sz¨og szimmetriacsoportja.
Amennyiben a Cn csoportot kieg´esz´ıtj¨uk a szab´alyos n-sz¨og szimmetriatengelyeire vett t¨ukr¨oz´esekkel, a 2nelem˝uDn diadikus csoportot kapjuk. A k´et elem˝uD1 csoportot egyetlen t¨ukr¨oz´es gener´alja, a n´egy elem˝u D2 csoportot pedig az x ´es y tengelyre val´o t¨ukr¨oz´esek gener´alj´ak.
A h´aromdimenzi´os t´erben a v´eges forg´ascsoportok a szab´alyos poli´ederekhez k¨ot˝ od-nek. Legyen P egy korl´atos, konvex poli´eder a h´aromdimenzi´os t´erben. P z´aszl´oj´anak h´ıvjuk az F = {P0, , P1, P2} halmazt, ha Pi P-nek i dimenzi´os lapja. (P0–a poli´eder cs´ucsainak halmaza, P1–az ´elek halmaza, P2–a lapok halmaza.) A P poli´eder szab´alyos, ha a P-t v´altozatlanul hagy´o forgat´asokGP csoportja tranzit´ıvP ¨osszes z´aszl´oinak hal-maz´an. Ekkor GP rendje P cs´ucsainak sz´ama szorozva az egy cs´ucsban ¨osszefut´o ´elek sz´am´aval. A szab´alyos poli´edereket plat´oni testeknek nevezik, ezek: tetra´eder (forg´ ascso-portjaT), kocka, okta´eder (forg´ascsoportjaN), dodeka´eder ´es ikoza´eder (forg´ascsoportja Y). Minden szab´alyos poli´ederhez hozz´atartozik a du´alisa, a du´alis cs´ucsai a poli´eder lapk¨oz´eppontjai. A poli´eder ´es du´alis´anak azonos a forg´ascsoportja. Az okta´eder du´alisa a kocka, a tetra´eder du´alisa saj´at maga, az ikoza´eder du´alisa a dodeka´eder. A fentiek alapj´an meghat´arozhat´o az eml´ıtett csoportok rendje: |T|= 12,|O|= 24,|Y|= 60.
6.2. T´etel A h´arom-dimenzi´os t´er forg´ascsoportj´anak v´eges r´eszcsoportjai a k¨ovetkez˝ok:
a ciklikus ´es a di´edercsoportok, valamint a tetra´eder, az okta´eder ´es az ikoza´eder forg´ as-csoportja.
Ha teh´at G a h´arom-dimenzi´os t´er forg´ascsoportj´anak egy r´eszcsoportja, akkor G vagy ciklikus, vagy l´etezik olyan P poli´eder, amelyre G = GP. Mivel azokat a poli´edereket tekintj¨uk azonos t´ıpus´uaknak, amelyek nagy´ıt´asokkal, forgat´asokkal egym´asba vihet˝oek, ez´ert az ilyen poli´edereknek megfelel˝o r´eszcsoportok konjug´alt r´eszcsoportjai a t´er for-g´ascsoportj´anak.
A t´er szimmetri´ainak vizsg´alat´aban haszn´alni fogjuk aZk´etelem˝u inverzi´os csoportot, amelynek elemei az egys´egtranszform´aci´o ´es egy adott k¨oz´eppontra (ez ´altal´aban egy tetsz˝olegesen kiv´alasztott r´acspont) vett t¨ukr¨oz´es.
6.3. T´etel A h´arom-dimenzi´os t´er ortogon´alis transzform´aci´oinak nem csak forgat´ asok-b´ol ´all´o v´eges r´eszcsoportjai a k¨ovetkez˝ok:
Cn×Z, Dn×Z, T ×Z, O×Z, Y ×Z, C2n, Cn, D2n, Dn, Cn, OT
.
6.4. T´etel Rn minden diszkr´et r´eszcsoportja izomorf Zn-nel. Minden ilyen r´eszcsoport n darab line´arisan f¨uggetlen vektor, a1, . . . ,an ¨osszes eg´esz egy¨utthat´os line´aris kombin´ a-ci´oib´ol ´all. Az ilyen csoportokat r´acsoknak nevezz¨uk. A P
ipiai tartom´any 0 ≤ pi ≤ 1 eset´en a r´acsnak fundament´alis tartom´anya. Ez a tartom´any az ai vektorok ´altal kifesz´ı-tett paralellepipedon.
Azn= 2 esetben azR2 s´ık egyCkomplex s´ıknak tekinthet˝o, amelynekzpontj´at az (x, y) koordin´at´akb´olz =x+iyrel´aci´oval kapjuk. HaGegyC-beli r´acs, akkor aG\C faktort´er rendelkezik C strukt´ur´aj´aval. A faktort´eren ´ertelmezett meromorf komplex f¨uggv´enyek invari´ansak a z 7→ z +g, g ∈ G eltol´asokkal szemben. Ezek elliptikus f¨uggv´enyek, ld.
10.3. fejezet.
6.5. T´etel Legyen G egy krist´alycsoport, azaz, a krist´alyr´acs automorfizmusainak egy csoportja. G-ben az eltol´asok T-vel jel¨olt r´eszcsoportja v´eges index˝u norm´aloszt´o,melyre T\Rn (itt n = 2,3) kompakt.
Ezzel a krist´alyokat oszt´alyoztuk tiszt´an matematikai szempontok alapj´an. A fenti t´etel szerint minden krist´alyban l´etezik egy elemi cella, amelynek pontjai ¨osszef¨ugg˝o tarto-m´anyt alkotnak. Az elemei cella p´aly´aja a r´acs szimmetri´ai alatt lefedi az eg´esz kist´alyt.
Az ai r´acsvektorok seg´ıts´eg´evel defini´aljuk a reciprokr´acsot, a k¨ovetkez˝o m´odon. Fe-sz´ıts´ek ki a recirpokr´acsot a bi vektorok, amelyekre teljes¨ulj¨on:
aibj =
2π ha i=j
0 egy´ebk´ent (6.2)
A b = P
ipibi (pi eg´esz) vektorok egy r´acsot fesz´ıtenek ki, a reciprokr´acsot. A br =
´
alland´o egyenlet (ittb´alland´o vektor) abvektorra mer˝oleges s´ıkot ´ır le, a s´ık t´avols´aga az orig´ot´ol ´alland´o|b|. Azonr=P
iniai pontok halmaza, amelyek rajta vannak az eml´ıtett s´ıkon, kiel´eg´ıtik a P
inipi = ´alland´o egyenletet. A fentiek szerint minden recipror´ acs-vektornak megfelel a krist´aly p´arhuzamos s´ıkjainak egy halmaza. A fenti egyenletben pi-k v´alaszthat´oak relat´ıv pr´ımeknek. A pi-ket az adott s´ık Miller-index´enek nevezz¨uk.
Az eltol´asokkal szembeni invariancia miatt a v´egtelen r´acs el˝o´all´ıthat´o egyetlen egy-s´egb˝ol eltol´asokkal. A r´acs invari´ans minden
t=X
i
niai (6.3)
transzl´aci´oval szemben, aholai a legr¨ovidebb, nem z´erus transzl´aci´o, amellyel szemben a r´acs invari´ans. A r´acs invari´ans tov´abb´a bizonyos forgat´asokkal ´es t¨ukr¨oz´esekkel szemben.
A forgat´asok ´es t¨ukr¨oz´esek le´ır´as´ara a 2.2. fejezetben l´attunk p´eld´at, az eltol´asok ´es forgat´asok egy¨uttes alkalmaz´as´ara pedig a 4.1. fejezetben.
Az al´abbiakban a krist´alyr´acsokat fizikai szempontok alapj´an oszt´alyozzuk. V´ a-lasszunk ki egy r´acspontot, ebb˝ol kiindulva m´erj¨uk fel az ai vektorokat. Az ´ıgy kapott paralellepipedont elemi cell´anak nevezz¨uk. Az egym´asba p´arhuzamos eltol´assal ´atvihet˝o r´acspontok ¨osszess´ege alkotja a Bravais-r´acsot. T´erben 14 Bravais-r´acs lehets´eges, ezeket a 6.1.1 ´abra mutatja. ´Altal´aban a Bravais-r´acs nem tartalmazza a r´acs minden pontj´at.
Altal´´ aban egy krist´alyr´acs t¨obb, egym´asba tolt Bravais-r´acsb´ol ´ep¨ul fel. Megfigyel´esek szerint a krist´aly egy sor jelens´egben homog´en, folytonos testk´ent viselkedik. A krist´aly makroszkopikus tulajdons´agai (szil´ards´ag, t¨or´esmutat´o) csak az ir´anyt´ol f¨uggenek. A szimmetria miatt a krist´alyban l´etezhetnek ekvivalens ir´anyok. Az ekvivalens ir´anyok ment´en a krist´aly makroszkopikus tulajdons´agai azonosak. Mivel az eltol´as nem hoz l´etre ekvivalens ir´anyokat, az ir´anyok szimmetri´aj´at a krist´alyban a szimmetriatengelyek
´
es s´ıkok hat´arozz´ak meg ´ugy, hogy a csavartengelyeket ´es cs´usz´os´ıkokat egyszer˝u ten-gelyeknek ´es s´ıkoknak tekintj¨uk. Ezen szimmetriaelemek ¨osszess´eg´et krist´alyoszt´alynak nevezz¨uk.
Megmutatjuk, hogy az eltol´assal szembeni invariancia csak meghat´arozott forgat´ a-sokat enged meg, mint szimmetri´at. Tekints¨uk a krist´aly egym´ast´ol a r´acst´avols´agnyira l´ev˝oA´esB pontjait. HaA-n ´atmegy egy n-fog´as´u tengely, akkor azaeltol´assal szembeni invariancia miatt, a B ponton is ´atmegy egy n-fog´as´u tengely. LegyenB elforgatott k´epe B0,Aelforgatott k´epe pedigA0. Szint´en az eltol´assal szembeni invariancia miatt, azA0B0 t´avols´ag a eg´eszsz´am´u t¨obbsz¨or¨ose lesz, legyen A0B0 =pa, ahol p eg´esz. Ezzel
a+ 2asin(φ−π/2) =a−2acosφ=ap, (6.4) amib˝ol cosφ = 1−p2 . Ebb˝ol ad´odik: p = 1,2,3. Mivel a krist´aly h´ezagmentesen kit¨olti a teret, φ = 2π/n, ahol n eg´esz sz´am. Ebb˝ol k¨ozvetlen¨ul kapjuk a lehets´eges forgat´asok
´
ert´ek´et: n = 2,3,4,6 (ld. 6.1.1 ´abra).
Pontcsoportnak nevezz¨uk a r´acs szimmetri´ainak olyan csoportj´at, amelyek a r´acs egy adott P pontj´at v´altozatlanul hagyj´ak. Itt megjegyezz¨uk, hogy a krist´alyszerkezet szimmetri´aja k´et l´ep´esben ´allap´ıthat´o meg. El˝osz¨or is a periodikus r´acs (ezt nevezik t´err´acsnak) szimmetri´aj´at kell meghat´arozni, azut´an pedig a r´acs egy adott pontj´aban tal´alhat´o atomcsoport szimmetri´aj´at. A fentiek alapj´an felsorolhatjuk a k´etdimenzi´os krist´alyok pontcsoportjait:
• 1: csak az egys´egelemb˝ol ´all a szimmetriacsoport, a r´acs szab´alytalan;
• 2: a r´acs minden pontja egy k´etfog´as´u tengely;
• 1m: a r´acs minden pontj´an ´atmegy egy szimmetrias´ık;
• 2mm: a r´acs minden pontj´an ´atmegy egy k´etfog´as´u tengely ´es k´et, egym´asra me-r˝oleges szimmetrias´ık;
• 4: a r´acs minden pontja egy n´egyfog´as´u tengely;
• 4mm: a r´acs minden pontj´an ´atmegy egy n´egyfog´as´u tengely ´es k´et, egym´asra mer˝oleges szimmetrias´ık;
• 3: a r´acs minden pontja egy h´aromfog´as´u tengely;
• 3m: a r´acs minden pontj´an ´atmegy egy h´aromfog´as´u tengely ´es egy szimmetrias´ık;
• 6: a r´acs minden pontja egy hatfog´as´u tengely;
• 6mm: a r´acs minden pontj´an ´atmegy egy hatfog´as´u tengely ´es k´et, egym´asra me-r˝oleges szimmetrias´ık.
A pontcsoportokat k´et oszt´alyba sorolj´ak:
• szimmorf csoportok, ezek szimmetri´ai t|p alak´uak, ahol t r´acsvektor, p pedig a Bravais-r´acs pontcsoportj´anak eleme. Szimmorf szimmetriacsoporttal rendelkez˝o krist´alyban nincs csavartengely vagy cs´usz´os´ık.
• nemszimmorf csoportok, amelyek v|p alak´uak, itt v = t/p, p eg´esz sz´am. Nem szimmorf szimmetriacsoporttal csak olyan krist´aly rendelkezhet, amelyet legal´abb k´et, egym´asba tolt Bravais-r´acs alkot.
Vizsg´aljuk meg, hogyan el´eg´ıthet˝o ki a t¨ukr¨oz´esi szimmetria egy adott s´ıkban. Legyen a k´et koordin´ata tengely ir´any´u egys´egvektor i ´es j. B´armely k´et r´acspontot ¨osszek¨ot˝o vektort r´acsvektornak nevez¨unk. Legyen a = axi+ayj, ´es b = bxi+byj. A t¨ukr¨oz¨ott vektorok a0 =axi−ayj, ´es b0 = bxi+−byj. a0 ´es b0 akkor lesz r´acsvektor, ha a = |a|i
´
es b = |b|j, vagyis, a k´et vektor a koordin´ata tengelyek ir´any´aba mutat. Van azonban egy m´asik lehet˝os´eg is: b0 = a−b, azaz, b0x =ax −bx = bx ´es b0y =ay −by = −by. Ez ut´obbi k´et egyenletb˝ol ay = 0, ax = 2bx, azaz, a primit´ıv transzl´aci´os vektorok m´asik lehets´eges v´alaszt´asa: a=|a|i, b= 12|a|i+byj. Ez a v´alaszt´as centr´alt r´acsot szolg´altat, az els˝o v´alaszt´as eset´en a r´acs olyan cella ism´et´el´esvel ´ep´ıthet˝o fel, amelyben csak a cs´ucspontokban tal´alhat´o a r´acsot alkot´o atomcsoport. Ez ut´obbit primit´ıv cell´anak nevezz¨uk.
Az al´abbiakban sorravessz¨uk azokat a szimmetriatranszform´aci´okat, amelyekb˝ol egy krist´alyr´acs szimmetriacsoportja fel´ep´ıthet˝o. M´ar l´attuk, hogy a szimmetricsoport fak-torcsoportja az eltol´asok csoportja, ennek indexe minden esetben v´eges. A faktorcsoport lev´alaszt´asa ut´an kapott szimmetri´ak pontcsoportot alkotnak. A pontcsoportok oszt´ a-lyoz´as´aban fontos szerepet kapnak ezek a szimmetri´ak. Figyelemre m´elt´o, hogy hasonl´o m´odon vizsg´alhat´o egy sok atomos molekula szimmetri´aja is, amely fontos szerepet j´ at-szik a gerjeszt´esi energi´ak ´es a sz´ınk´ep le´ır´as´aban. Egy krist´alyr´acs pontcsoportja az al´abbi alkot´oelemekb˝ol ´allhat:
• forg´astengely: Ha a r´acs ¨onmag´ara lek´epezhet˝o valamilyen tengely k¨or¨uli 360o/n sz¨og˝u forgat´assal, akkor ezt a tengelyt n-edrend˝u szimmetriatengelynek nevezz¨uk.
Altal´´ aban n tetsz˝oleges eg´esz ´ert´eket felvehet, ´am egy r´acs eset´eben csak n = 1,2,3,4 ´es 6 megengedett. Ezeket a tengelyeket digir, trigir, tetragir ´es hexagir-nek szokt´ak nevezni. A tengely szok´asos jel¨ol´ese Cn. A forgat´asok egy ciklikus csoportot alkotnak. Ha adott k´et tengely, amelyek egy pontban metszik egym´ast, a k´et tengely k¨or¨uli forgat´as szorzata egy harmadik, ugyanazon a ponton ´atmen˝o tengely k¨or¨uli forgat´as.
• t¨uk¨ors´ık: Amennyiben a krist´alyt ¨onmag´ara k´epezi le egy r´acsponton ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ukr¨oz´es, akkor azt mondjuk, a krist´aly rendelkezik t¨uk¨ors´ıkkal vagy szimmet-rias´ıkkal. A s´ıkra vett t¨ukr¨oz´estσ-val szok´as jel¨olni. Amennyiben t¨obb szimmetria-s´ık is van, azokat egy alkalmas indexszel k¨ul¨onb¨oztetj¨uk meg. A v index egy adott tengelyen ´atmen˝o (f¨ugg˝oleges) s´ıkra, a h index pedig egy, a tengelyre mer˝oleges (v´ızszintes) s´ıkra utal. A t¨ukr¨oz´es ism´etelt alkalmaz´asa az egys´egtranszform´aci´ot adja, ez´ert minden t¨ukr¨oz´es gener´al egy k´etelem˝u csoportot. K´et, egym´ast metsz˝o s´ıkra vett t¨ukr¨oz´es szorzata egy forgat´assal egyenl˝o. A forgat´as tengelye a k´et s´ık k¨oz¨os metsz´esvonala, a forgat´as sz¨oge pedig a s´ıkok ´altal bez´art sz¨og k´etszerese.
• szimmetria-k¨oz´eppont: Egy 180o-os elforgat´as ´es a forg´astengelyre mer˝oleges s´ıkra vett t¨ukr¨oz´es k¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´est (inverzi´ot) alkot. A k¨oz´eppontos t¨ukr¨oz´es m˝uvelet´et I-vel jel¨olj¨uk. Jel¨olje σh az inverzi´oban szerepl˝o t¨ukr¨oz´est, ekkor I = C2σh, ´es mivelC2I =σh´esIσh =C2, a m´asodrend˝u tengely, a r´a mer˝oleges tengely
´
es ezek metsz´espontj´aban ´all´o szimmetriak¨oz´eppont nem f¨uggetlenek, ha k¨oz¨ul¨uk kett˝o l´etezik, a harmadik l´ete m´ar k¨ovetkezik.
• inverzi´os forg´astengely: Ha a krist´aly lek´epezhet˝o ¨onmag´ara egyidej˝u 3600/nsz¨og˝u forgat´assal ´es inverzi´oval, akkor l´etezik inverzi´os forg´astengely. Egy-, k´et-, h´arom-, n´egy- ´es hatfog´as´u inverzi´os forg´astengely l´etezik.
• forg´astengely, r´a mer˝oleges t¨uk¨ors´ıkkal: Ekkor a krist´aly lek´epezhet˝o ¨onmag´ara egyidej˝u 3600/n sz¨og˝u forgat´assal ´es a forg´astengelyre mer˝oleges σh t¨ukr¨oz´esel. E szimmetria jele Sn, n ´ert´eke csak 2,3,4 ´es 6 lehet. Nyilv´an Sn = σhCn = Cnσh.
Megjegyezz¨uk, hogyS2m+12 =C2m+12 , azaz tiszta forgat´as, ´altal´abanS2m+12m =C2m+12m
´
es S2m+12m+1 = σh. Amennyiben Sn-ben szerepl˝o n p´aros, egyidej˝uleg l´etezik Cn/2 szimmetria (forg´astengely) is. Tov´abb´a, S2 =I.
A felsorolt egyszer˝u szimmetri´akb´ol ¨osszetett szimmetri´akat hozhatunk l´etre. Az ¨ ossze-tett szimmetri´ak eltol´asok, forgat´asok ´es t¨ukr¨oz´esek kombin´aci´oi.
• forg´astengely, r´a mer˝oleges (egy vagy t¨obb) k´etfog´as´u tengellyel: ha egy n-edrend˝u tengelyhez hozz´avesz¨unk egy r´a mer˝oleges m´asodrend˝u tengelyt, ez tov´abbi n−1 m´asodrend˝u tengely megjelen´es´et eredm´enyezi, ¨osszesen teh´at az n-edrend˝u ten-gelyre mer˝olegesen n m´asodrend˝u tengely jelenik meg. Az ´ıgy megjelen˝o m´ asod-rend˝u tengelyeket jel¨ol´esben is megk¨ul¨onb¨oztetj¨uk az U2 jel¨ol´essel.
• csavartengely: egy forgat´as ´es a forg´astengely ment´en t¨ort´en˝o eltol´as. A r´acsnak akkor van n-edrend˝u csavartengelye, ha egy adott tengely k¨or¨uli 360o/n sz¨og˝u for-gat´assal ´es ugyanazon tengely ment´en valamely d eltol´assal ¨onmag´aba vihet˝o ´at.
Ha van n-edrend˝u csavartengely, a forgat´as ´es az eltol´as n-szeri ism´etl´es´evel a r´acs
¨
onmag´ara lek´epezhet˝o, ez´ert d = p/na, ahol p eg´esz, a pedig a r´acs legkisebb peri´odusa a csavartengely ment´en.
• cs´usz´os´ık vagy t¨uk¨ors´ık: ha a t¨ukr¨oz´est kombin´aljuk egy, a t¨ukr¨oz´es s´ıkj´aba es˝o d eltol´assal, ´uj szimmetriaelemet, cs´usz´os´ıkot vagy t¨uk¨ors´ıkot kapunk. Nyilv´an d=a/2.
Egy r´acs szimmetriacsoportja a Bravais-r´acsok szimmetri´aj´anak r´eszcsoportja, ugyanis a r´acs szimmetri´ai a Bravais-r´acsot is ´es a r´acsot alkot´o atomcsoportot is ¨onmag´ara k´epezi le. Amennyiben a r´acs szimmetri´aja megegyezik a Bravais-r´acs szimmetri´aj´aval, akkor a r´acsot holo´ederesnek nevezik. A Bravais-r´acsokat forgat´asokra ´es t¨ukr¨oz´esekre vonat-koz´o szimmetri´ai alapj´an krist´alyrendszerekbe sorolj´ak. H´arom dimenzi´oban h´et krist´ aly-rendszer van. Ha a p´arhuzamos eltol´asokon k´ıv¨ul a szimmetriak¨oz´eppont a Bravais-r´acs egyetlen szimmetri´aja, akkor a krist´alyrendszerek:
1. triklin. A legalacsonyabb szimmetri´aval rendelkezik, szimmetriacsoportjai C1, Ci. A triklin rendszernek megfelel˝o Bravais-r´acs elemi cll´aja olyan paralellepipedon, amelyben az ´elek hossz´us´aga elt´er˝o, a k¨oz¨ott¨uk l´ev˝o sz¨ogek is k¨ul¨onb¨oz˝oek. A kris-t´alyrendszer neve abb´ol sz´armazik, hogy a h´arom krist´alytengely m´as-m´as sz¨oget z´ar be (h´aromhajl´as´u).
2. monoklin. Szimmetriacsoportjai a Cs, C2, C2h. A Bravai-r´acs elemi cell´aja egy tetsz˝oleges alap´u egyenes has´ab. A Bravai-r´acsnak k´et v´altozata is l´etezik, az egy-szer˝u Bravai-r´acsban a r´acspontok a has´ab cs´ucsaiban helyezkednek el. A m´asodik v´altozat az alaplap-centr´alt r´acs, amelyben a cs´ucsokon k´ıv¨ul az oldallapok k¨oz´ ep-pontjaiban is vannak r´acspontok.
3. rombos vagy ortogon´alis. A C2v, D2, D2h pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy tetsz˝oleges ´elhossz´us´ag´u der´eksz¨og˝u has´ab. A rombos kris-t´alyrendszerhez n´egy Bravais-r´acs tartozik. Az egyszer˝u r´acsban a r´acspontok a has´ab cs´ucsaiban helyezkednek el, az alaplap-centr´alt r´acsban a has´ab k´et szem-k¨ozti oldal´anak k¨oz´eppontj´aban, a t´ercentr´alt r´acsban a cs´ucsokban ´es a has´ab k¨oz´eppontj´aban is vannak r´acspontok; a lapcentr´alt r´acsban pedig minden lap k¨ o-z´eppontja is r´acspont.
4. tetragon´alis vagy n´egyzetes. AS4, D2d, C4, C4h, C4v, D4, D4h pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy der´eksz¨og˝u n´egyzetes has´ab. K´et v´altozata l´etezik, az egyszer˝u ´es a t´ercentr´alt cella.
5. rombo´ederes vagy trigon´alis. AC3, S6, C3v, D3, D3d pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy egyenl˝o oldal´u rombo´eder. Csak egy v´altozata l´etezik, az egyszer˝u cella.
6. hexagon´alis. AC3h, D3h, C6, C6h, C6v, D6, D6hpontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy hatsz¨og alap´u egyenes has´ab. Csak egy v´altozata l´etezik, a r´acspontok a has´ab cs´ucsaiban ´es a hatsz¨og˝u alaplapok k¨oz´eppontjaiban helyez-kednek el.
7. k¨ob¨os. A T, Th, Td, O, Oh pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cel-l´aja egy kocka. H´arom Bravai-r´acs tartozik hozz´a, az egyszer˝u, a lapcentr´alt ´es a t´ercentr´alt r´acs.
A 6.1.1 ´abr´an bemutatunk egy t´ercsoportot k´et dimenzi´oban. A r´acspontokat fekete k¨or¨ok, a k´etfog´as´u tengelyeket fekete ellipszisek jel¨olik. A r´acs elemi cell´aj´at az a, b vektorok fesz´ıtik ki. A cella belsej´eben k´et r´acspont tal´alhat´o. ´Altal´aban egy r´acsban t¨obb elemi cell´at is kijel¨olhet¨unk. A rajzon felt¨untett¨uk aza0, b0 vektorok ´altal kifesz´ıtett elemi cell´at is. Ebben a cell´aban egy r´acspont tal´alhat´o a cella belsej´eben, k´et r´acspont a cella hat´ar´an. Az v =a/2 vektor a bels˝o poz´ıci´ora mutat´o vektor. Az ¨ures ellipszisek az al´abbi szimmetri´at jel¨olik: k´etfog´as´u tengely + eltol´as v-vel. A C2 jel¨ol´es k´etfog´as´u tengelyt jelent, a σy, σ1, σ2, σ3 ´es σ4 szimmetrias´ıkokat jel¨olnek. A sz´ammal jel¨olt po-z´ıci´okon k¨ovethet˝o a szimmetria hat´asa, pl. σ2 v´altozatlanul hagyja a 4-es pontot, ´es egym´asba transzform´alja a 2 ´es 6 pontokat. A rajzon csavartengelyek is tal´alhat´oak, eze-ket g1, g2, g3, g4 ´es g5 jel¨oli, pl. g5 kicser´eli a 4 ´es 7 pontokat. Bel´athat´o, hogy g2 =vC2. Az olvas´ora b´ızzuk annak bel´at´as´at, hogy a r´acs minden szimmetri´aja el˝o´all´ıthat´o az E, C20, vσx0, σ0y szimmetri´ak alkalmas szorzatak´ent.
A2. fejezetben l´attuk, hogy egy csoport jellemz´es´eben fontos eszk¨oz a karaktert´abla.
Azonban olyan csoportok vizsg´alat´an´al, amelyeknek rendje nagy, az irreducibilis ´abr´ azo-l´asok, a csoportkarakterek meghat´aroz´asa k¨or¨ulm´enyes. A krist´alyok vizsg´alat´an´al tal´ al-kozunk a transzl´aci´ocsoporttal, amelynek v´egtelen sok eleme van. C´elszer˝u olyan m´ od-szert keresni, amely ak´ar v´egtelen rend˝u csoportokban is alkalmazhat´o. Els˝o l´ep´esk´ent
vizsg´aljuk meg egyetlena elem ´altal gener´altGcsoport karaktert´abl´aj´at! Amennyiben a
vizsg´aljuk meg egyetlena elem ´altal gener´altGcsoport karaktert´abl´aj´at! Amennyiben a