Bloch-f¨ uggv´ enyek

uj csoportr´ol van-e sz´o.) Az egyszer˝u csoportok azonos´ıt´as´anak h´arom m´odja van:

• prezent´aci´o alapj´an (gener´atorok ´es rel´aci´ok seg´ıts´eg´evel);

• a csoport hat´asa r´ev´en egy adott geometri´aban;

• Permut´aci´os reprezent´aci´o alapj´an.

A r´eszletek ir´ant ´erdekl˝od˝o Olvas´onak a GAP levelez´esi list´ait aj´anlom.

6.3. Bloch-f¨ uggv´ enyek

Amennyiben a krist´alyok jellemz´ese megoldott, k´erd´es, hogyan kapcsolhat´o ¨ossze az elekt-ronszerkezet le´ır´asa a krist´aly szerkezet´evel. A csoportelm´elet egyik alkalmaz´asa azt sugallja, meg kell vizsg´alni a lehets´eges megold´asokat ´es fel kell bontani azokat az egyen-let szimmetriacsoportja ´altal megadott irreducibilis komponensekre. Ezzel a k´erd´essel foglalkozik a jelenlegi alfejezet.

Miel˝ott a Schr¨odinger-egyenlet megold´asainak vizsg´alat´ara t´ern´enk, vegy¨uk

szem-¨

ugyre a s´ıkhull´amok le´ır´as´at egy periodikus r´acson. Legyen teh´at

Φ_k(r) = e^ikr (6.6)

a vizsg´alt s´ıkhull´am, ahol k= 2π/λu a hull´amvektor, itt u a hull´am terjed´esi ir´any´aba mutat´o egys´egvektor. A s´ıkhull´am ´altal´anos (id˝ot˝ol- ´es helyt˝ol f¨ugg˝o) alakja pedig

Φ_k(r, t) = e^i(kr+ωt), (6.7)

ahol ω a k¨orfrekvencia: ω= 2π/T, ahol T a s´ıkhull´am peri´odusideje. Legyen a terjed´esi ir´anyra mer˝oleges k´et s´ıknak a terjed´esi ir´anyra vett vet¨ulete r₁ ´es r₂, tov´abb´a legyen

|r₁−r₂|=λ. A k´et s´ıkon a s´ıkhull´am f´azisa megegyezik, hiszen

e^ikr1 =e^i(kr2+λ) =e^ikr2+i2π =e^ikr2. (6.8) A s´ıkhull´am terjed´esi sebess´eg´et k´et mennyis´eggel szokt´ak jellemezni. Az els˝o af´ azisse-bess´eg, v_f =ω/|k|. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a s´ıkhull´am az impuzusoper´ator saj´atf¨ ugg-v´enye, ennek megfelel˝oen pl. adott impulzus´u szabadelektron ´allapotot ´ır le. A fizikai r´eszecsk´ek ´allapot´at hull´amcsomag ´ırja le, azaz, a fenti monokromatikus s´ıkhull´amot ki kell eg´esz´ıteni egym´ast´ol kiss´e elt´er˝o k hull´amvektor´u s´ıkhull´amokkal. Legyen a hul-l´amcsomagban l´ev˝o hull´amvektorok hull´amsz´ama a −∆k ≤ δk ≤ +∆k intervallumban,

ahol δk infinitezim´alis mennyis´eg, ∆k viszont egy v´eges sz´eless´eg˝u intervallum. Ekkor a hull´amcsomagot egy ¨osszeggel ´ırhatjuk le:

Ψ(r,t) = X

Ebb˝ol a kifejez´esb˝ol l´athat´o, hogy a hull´amcsomag amplit´ud´oja (ez a m´asodik egyenl˝ o-s´egjel ut´ani ¨osszeg) modul´alt, az e^ikr s´ıkhull´amra ”r´a¨ul” egy j´oval lassabb modul´aci´o. A hull´am ´altal le´ırt elektron sebess´eg´et nem a hull´amsz´amhoz, hanem a modul´alt ampli-tud´ohoz kapcsoljuk, mivel ez ut´obbi ´ırja le a lokaliz´alt perturb´aci´o terjed´esi sebess´eg´et.

Ezt a sebess´eget csoportsebess´egnek nevezik, ´es v_cs-vel fogjuk jel¨olni:

v_cs = δω δk = ∂ω

∂k =~⁻¹∂E

∂k. (6.11)

Itt E a Schr¨odinger-oper´ator saj´at´ert´eke, az elektron energi´aja. V´egezet¨ul megadunk k´et, a s´ıkhull´amra vonatkoz´o, hasznos ¨osszef¨ugg´est:

X

ahol k reciprokr´acsvektor, t r´acsvektor, v a cellat´erfogat. Egy N cell´ab´ol ´all´o v´eges r´acson

X

k

e^ikr =N v, (6.13)

amennyiben r r´acsvektor, nulla egy´ebk´ent.

Azok akvektorok, amelyek egy reciprok r´acsvektorban t´ernek el, ekvivalensek abban az ´ertelemben, hogy a (6.12) s´ıkhull´amok azonosak. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a nem ekvi-valens s´ıkhull´amok a reciprok r´acs egy elemi cell´aj´an bel¨ul helyezkednek el. Ezt a cell´at nevezik Brillouin-z´on´anak. Az eml´ıtett k vektorok k´epezik a r´acsvektorokhoz tartoz´o eltol´asok irreducibilis ´abr´azol´asait. Egy Brillouin-z´on´aban a lehets´eges hull´amvektorok egy v´eges r´acsot alkotnak–amennyiben a krist´aly v´eges sok cell´ab´ol ´all. Legyen az a r´acsvektor x ir´any´u, ´es legyen az x tengely ment´en a v´eges r´acsban N_x cella. A v´eges r´acs p´eld´anyait egym´ashoz ragasztva fel´ep´ıthet¨unk egy v´egtelen r´acsot, ebben pedig a v´eges r´acs egyes p´eld´anyainak azonosnak kell lenni¨uk, ez´ert az N_xa-val eltol´asnak az egys´egoper´atort kell visszaadnia. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a Brillouin-z´on´aban a lehets´ e-ges ´allapotok sz´ama (az x tengely ment´en) N_x, ami annak felel meg, hogy a lehets´eges

´

allapotok diszkr´etek, egy ´allapothoz tartoz´o cella m´erete 2π/a/N_x.

6.1. Feladat Tekints¨unk egy egydimenzi´os r´acsot, az elemi cella hossza legyen a, a r´acs

´

alljon N atomb´ol. Vizsg´aljuk meg a Brillouin-z´ona szerkezet´et! Legyen N p´aros, a recip-rok r´acs a^∗ = 2π/a, a nem-ekvivalens hull´amvektorok a −a^∗/2< k≤a^∗/2 intervallumba esnek. A lehets´eges hull´amvektorok ia/N alak´uak, ahol −N/2≤i≤+N/2. P´aratlan N eset´en pedig −(N −1)/2≤i≤+(N −1)/2. Ez ut´obbi esetben a Brillouin-z´ona sz´ele (a

±N/2 pont) nem megengedett–mivel nem eg´esz sz´am.

Feltev´es¨unk szerint a Schr¨odinger-oper´ator felcser´elhet˝o a r´acs szimmetri´aival. Ezt

´

ugy fogjuk kihaszn´alni, hogy megkeress¨uk a szimmetriacsoport irreducibilis ´abr´azol´asait kifesz´ıt˝o f¨uggv´enyeket, ´es azok szerint a f¨uggv´enyek szerint fogjuk kifejteni a Schr¨ ondiger-egyenlet megold´as´at. El˝osz¨or teh´at a szimmetriacsoport ´abr´azol´asait kell megkeresni.

Kezdj¨uk a transzl´aci´ok r´eszcsoportj´aval. Keress¨uk teh´at a

T(t)Φ(r) =λΦ(r) (6.14)

saj´at´ert´ek-feladat megold´as´at. Bel´athat´o, hogy a (6.6) saj´atf¨uggv´eny, a saj´at´ert´ek pedig e^ikt. A transzl´aci´ok saj´atf¨uggv´eny´et ´altal´anosan az al´abbi form´aban ´ırhatjuk:

Φ(r) = e^ikru_k(r), (6.15)

ahol u_k(r+t) = u_k(r), b´armely t r´acsvektorra. A (6.15) alak´u f¨uggv´enyeket Bloch-f¨uggv´enyeknek nevezik.

A krist´aly t´ercsoportj´anak irreducibilis ´abr´azol´asait (ezt a tov´abbiakban irrepnek fogjuk r¨ovid´ıteni, ak´arcsak a 2. fejezetben tett¨uk) Bloch-f¨uggv´enyekkel ´all´ıtjuk el˝o. Ko-r´abban m´ar bel´attuk, hogy k´et Bloch-f¨uggv´eny, amelyek hull´amvektor´anak k¨ul¨onbs´ege reciprok r´acs-vektor, ekvivalens egym´assal. Viszont ezeket a Bloch-f¨uggv´enyeket is meg kell k¨ul¨onb¨oztetni az irrepek kidolgoz´asa sor´an, ez´ert az al´abbi jel¨ol´est fogjuk ´atvenni: a Bloch-f¨uggv´enyt

Ψ_kj(r) = e^ikru_kj(r) (6.16)

alakba ´ırjuk ´es a bevezetett j index az ekvivalens hull´amvektor´u Bloch-f¨uggv´enyekhez tartoz´o f¨uggv´enyeket indexeli. Ha a Bloch-f¨uggv´enyekben szerepl˝okhull´amvektorokat a reciprok r´acsban helyezz¨uk el, akkor a periodikus reciprok r´acs egy elemi cell´aj´aban az

¨osszes, nem-ekvivalens hull´amvektor megtal´alhat´o.

A k¨ovetkez˝o k´erd´es: hogyan transzform´al´odik a (6.16) f¨uggv´eny egy t´ercsoporthoz tartoz´o transzform´aci´o alatt? A (p|v) csoportelem hat´as´ara Ψkj(r) transzform´altja

(p|v)Ψ_kj =X

j⁰

Ψ_k⁰_j⁰, (6.17)

lesz, aholk⁰ =pk. Azoknak a nem-ekvivalenskvektoroknak a halmaz´at, amelyeket a cso-port ¨osszes forgat´asi elem´enek alkalmaz´as´aval nyer¨unkk-b´ol,akhull´amvekor csillag´anak nevezz¨uk. Egy pontcsoport irreducibilis ´abr´azol´as´anak meghat´aroz´as´ara haszn´alhatjuk

az (2.28) k´epletet. Eredm´eny¨ul s´ıkhull´amok line´aris kombin´aci´oj´at kapjuk, amelyben a k vektor csillag´anak minden eleme (ezeket sug´arnak nevezz¨uk) szerepel. Ezen line´aris kombin´aci´oban szerepl˝o elemek sz´am´at eltol´asok alkalmaz´as´aval sem lehet cs¨okkenteni, mert az egyes tagok az eltol´as sor´an m´as-m´as egy¨utthat´oval szorz´odnak.

6.2. Feladat Tekints¨unk egy k´etdimenzi´os, a oldal´u, n´egyzet alak´u elemi cell´ab´ol ´all´o r´acsot. Induljunk ki egy k vektorb´ol ´es k´esz´ıts¨uk el a k vektor csillag´at! (ld. 6.2.. ´abra.) A krist´alyr´acsot egym´asra mer˝oleges tengelyek ment´en k´et eltol´as, (a ´es b, ´ırja le, de az eltol´asok nagys´aga azonos. Az elemi cella szimmetrias´ıkjait mutatja az a ´abra, a Brillouin-z´on´at a b ´abra. A cella pontcsoportja a C_4v csoporttal izomorf. A szok´asos je-l¨ol´est k¨ovetve, a k vektort az ´abr´an G1 jel¨oli. A pontcsoport elemei ¨osszesen 8 vektorb´ol

´

all´o csillagot hoznak l´etre G₁-b˝ol. Amennyiben a k vektort megny´ujtjuk annyira, hogy pontosan a Brillouin-z´ona hat´ar´aig ´erjen (c ´abra), a helyzet megv´altozik, mert bizonyos vektorok egym´assal ekvivalensek lesznek, minthogy egy reciprokr´acs-vektorban k¨ul¨onb¨ oz-nek (pl. Z₂ ´es Z₅, Z₄ ´es Z₇), ezt mutatja a d ´abra sz¨urke vonala. Ennek megfelel˝oen az irreducibilis ´abr´azol´ashoz elegend˝o a c ´abr´an vastaggal jel¨olt Z₁, Z₂, Z₃, Z₄ vektorok haszn´alata.

Adott k eset´en azonban az irrepekben szerepl˝o tagok sz´ama kisebb is lehet, mint a pontcsoport rendje (legyen ez n). Azokat a csoporthoz tartoz´o transzform´aci´okat, ame-lyek egy adottkvektort v´altozatlanul hagynak, azadottkvektor szimmetriacsoportj´anak nevezz¨uk. Ha a k vektor szimmetriacsoportja egyn´el t¨obb elemb˝ol ´all, az irrepben sze-repl˝o tagok sz´ama kisebb lesz, mint n.

6.3. Feladat Az el˝oz˝o, 6.5 ´abr´an azonos´ıthatjuk az egyes k vektorok csoportj´at is. Z1

eset´en csak az egys´egoper´ator ´es σ_v2 transzform´alja Z₁-et ¨onmag´aba ill. vele ekvivalens vektorba. A 2b ´abr´ar´ol leolvashat´o, hogy kit¨untetett szerepet kapnak azok a vektorok, amelyek valamely szimmetrias´ıkban helyezkednek el, a megfelel˝o csoport legfeljebb 4, de legal´abb 2 elemb˝ol ´all.

Szimmorf csoportok

Amennyiben a r´acsban nincsenek csavartengelyek ´es cs´usz´os´ıkok, az irrepek az al´abbi alak´u f¨uggv´enyekb˝ol ´allnak:

ψ_kj = Ψ_ku_j, (6.18)

ahol Ψ_k ekvivalens hull´amvektor´u eⁱkr s´ıkhull´amok line´aris kombin´aci´oi, az u_j cella-f¨uggv´eny pedig invari´ans b´armely r´acsvektorral val´o eltol´assal szemben (azaz, periodikus f¨uggv´eny). A (6.18) f¨uggv´eny k csillag´anak minden elem´et tartalmazza. Ha (6.18)-re alkalmazzuk a k hull´amvektor csoportj´ahoz tartoz´o forgat´asokat ´es t¨ukr¨oz´eseket, azt l´atjuk, hogy Ψk nem v´altozik, a benne szerepl˝o s´ıkhull´amok ugyanis egym´asba transz-form´al´odnak, az u_j cellaf¨uggv´enyek szint´en egym´asba transzform´al´odnak, el˝o´all´ıtj´ak a k

hull´amvektor csoportj´anak irrepj´et. (Az u_j cellaf¨uggv´enyekb˝ol kapott irrepeket kis ´ ab-r´azol´asoknak nevezik.) Azok a forgat´asok viszont, amelyeket akhull´amvektor csoportja nem tartalmaz, a nem ekvivalens k-j´u (6.18) f¨uggv´enyeket transzform´alj´ak egym´asba.

Az ´ıgy el˝o´all´ıthat´o t´ercsoport´abr´azol´as dimenzi´oja a k vektor csillag´aban l´ev˝o sugarak sz´am´anak ´es a kis ´abr´azol´asok dimenzi´oj´anak szorzat´aval lesz egyenl˝o. A szimmorf t´ ercso-portok irrepjeinek meghat´aroz´asa teh´at visszavezethet˝o a k hull´amvektorok szimmetria szerinti oszt´alyoz´as´ara, ´es v´eges pontcsoportok irrepjeinek meghat´aroz´as´ara.

Nemszimmorf csoportok

Ebben az esetben a csavartengelyek ´es a cs´usz´os´ıkok jelentenek neh´ezs´eget. Ha azonban a kvektor nem v´altozik csoportj´anak egyik transzform´aci´oja sor´an sem, akkor a csavar-tengely ´es a cs´usz´os´ık megjelen´ese l´enyegtelen marad. M´arpedig ez a helyzet, ha k= 0 vagy k ´altal´anos helyzet˝u, hiszen ebben az esetben csoportja csak az egys´egelemb˝ol ´all.

Ekkor az irrepek (6.18) seg´ıts´eg´evel ´all´ıthat´ok el˝o, az egyetlen k¨ul¨onbs´eg az, hogy aze^ikr f¨uggv´enyek a forgat´asok sor´ane^ikv-vel szorz´odnak. Ha viszont (6.18)-ban Ψ_k t¨obb ekvi-valenskvektort is tartalmaz, ezek a vektorok a transzform´aci´o sor´ane^ibv-vel szorz´odnak,

´

es mivel bv (itt b reciprokr´acs-vektor) 2π-nek nem eg´esz sz´am´u t¨obbsz¨or¨ose, a line´aris kombin´aci´ok nem transzform´al´odnak egym´asba. Ez azzal j´ar, hogy az eltol´asokat ´es a forgat´asokat nem lehet elk¨ul¨on´ıteni. Tekintettel arra, hogy v racion´alis r´esze (ez 1/2, 1/3, vagy 2/3) a r´acsvektornak, elegend˝o v´eges sok eltol´ast vizsg´alni.

Amennyiben a r´acs v´eges, vagy a szennyez´esek hat´as´ara vagyunk k´ıv´ancsiak, nem elegend˝o a v´egtelen r´acsot vizsg´alni. Ebben az esetben a Schr¨odinger-egyenlet megold´ a-sait nem lehet periodikus Bloch-f¨uggv´enyekb˝ol fel´ep´ıteni. An´elk¨ul, hogy a r´eszletekbe bocs´atkozn´ank, az al´abbi egyszer˝u megfontol´asok k´ın´alkoznak.

Lemondunk arr´ol, hogy a v´eges krist´aly invari´ans az eltol´asokkal szemben. T¨oltse ki az egyik ir´anyban v´eges r´acs azx >0 f´elteret. Ebben az esetben a +x tengely ir´any´aba mutat´o eltol´asokkal szemben megk¨ovetelhetj¨uk az invarianci´at, de a −x ir´any´u eltol´ a-sokkal szemben m´ar nem. Ennek megfelel˝oen a Bloch-f¨uggv´enyt ´ugy ´altal´anos´ıthatjuk, hogy akvektor k´epzetes, k´epzetes r´esze pozit´ıv, ´ıgy aze^ikr →e^Re(kr)e^−Im(k)r l´ep a Bloch-f¨uggv´eny hely´ere. Tov´abbi r´eszletek szil´ardtestfizika k¨onyvekben (pl. Altman, [2], 14.

fejezet) tal´alhat´oak.

6.1. ´abra. A 14 Bravais-r´acs

6.2. ´abra. Lehets´eges r´acspontok

6.3. ´abra. Szimmetri´ak a r´acspontokban

157

6.5. ´abra. A kvektor csillaga n´egyzetr´acsban

7. fejezet

In document Modern algebrai m (Pldal 151-160)