Egyenletek szimmetri´ ainak meghat´ aroz´ asa
5.5. Szimmetri´ ak ´ es megmarad´ asi t´ etelek
A fizik´aban ´altal´anos ´erv´eny˝u megmarad´asi elvek ´erv´enyesek, ilyen pl. az energiamegma-rad´as elve. A mozg´asegyenletek megold´asa sor´an ezeket a megmarad´o mennyis´egeket fel lehet haszn´alni, pl. a vizsg´alt test p´aly´aj´at a test megmarad´o mennyis´egei alapj´an adott oszt´alyba lehet sorolni. Emmy Noether a XX. sz´azad elej´en megmutatta, hogy a meg-marad´asi t¨orv´enyek kapcsolatban ´allnak a mozg´asegyenletekkel. A mozg´asegyenleteknek az id˝obeli eltol´asok csoportj´aval szembeni invarianci´aja vezet az energiamegmarad´ashoz.
Ezzel siker¨ult kapcsolatot teremteni a vizsg´alt egyenlet szimmetriacsoportja ´es a megma-rad´o mennyis´egek k¨oz¨ott. A Noether-t´etel alkalmazhat´os´ag´ahoz egy vari´aci´os form´at kell a vizsg´alt probl´em´ahoz tal´alni ´ugy, hogy a vari´aci´os probl´ema Euler–Lagrange-egyenlete pontosan a vizsg´alt egyenlet legyen.
Sajnos a vizsg´alt egyenlet nem minden szimmetriacsoportja vezet egy megmarad´asi t´etelhez. Csak azok a csoportokhoz tartozik megmarad´o mennyis´eg, amelyek kiel´eg´ıtenek egy tov´abbi ”vari´aci´os” felt´etelt.
Az al´abbiakban el˝osz¨or megfogalmazzuk a vari´aci´os feladatot, azut´an megadjuk, mit nevez¨unk megmarad´asi t´etelnek.
5.5.1. Vari´ aci´ os feladat
Keress¨uk az u=f(x) f¨uggv´enyt (u∈Rq,v ∈Rp), amely mellett az L[u] =
Z
Ω
L(x, u(n))dx (5.122)
funkcion´al sz´els˝o´ert´eket (minimumot vagy maximumot) vesz fel. Itt Ω ∈ Rp tartom´any, amelynek hat´ara megfelel˝oen sima. Az integr´al alatt ´all´o kifejez´est az L funkcion´al Lagrange-f¨uggv´eny´enek nevezik. L sima f¨uggv´enyex-nek ´esu deriv´altjainak.
Az L funkcion´al vari´aci´os deriv´altj´anak nevezz¨uk az al´abbi, egy´ertelm˝uen meghat´ a-rozott q elem˝u vektort:
δL[u] = (δ1L[u], . . . , δqL[u]) (5.123) amely rendelkezik az
d dε
ε=0
L[f+εη] = Z
Ω
δL[f(x)]η(x)dx (5.124)
tulajdons´aggal mindenu=f(x) sima, Ω-n ´ertelmezett f¨uggv´eny eset´en. η(x) = (η1(x), . . . , ηq(x)) egy Ω-n ´ertelmezett sima f¨uggv´eny, tov´abb´a f +εη kiel´eg´ıti a peremfelt´etelt, amely a
sz´oba j¨ov˝o f¨uggv´enyt´er elemeire ki van r´ova. ´Igy ε f¨uggv´enyek´ent L[f +εη]-nak sz´els˝
o-´
ert´eke kell hogy legyen ε= 0-n´al.
Az Eα Euler-oper´atorok 1≤α≤q-ra:
Eα =X
J
(−D)J
∂
∂uαJ. (5.125)
Az u=f(x) f¨uggv´eny, amelyre teljes¨ul
δL[u] = 0 (5.126)
kiel´eg´ıti az
Eν(L) = 0, ν = 1, . . . , q (5.127) Euler-Lagrange egyenleteket.
Tekints¨uk egy
∆(x, u(n)) = 0 (5.128)
alak´u differenci´alegyenlet-rendszert. Megmarad´asi t¨orv´enynek nevezz¨uk a
DivP = 0 (5.129)
kifejez´est, amely a differenci´alegyenlet-rendszer minden u = f(x) megold´as´ara elt˝unik.
IttP = (P1(x, u(n)), . . . , Pp(x, u(n))) egypelem˝u vektor, amelynek elemei sima f¨uggv´enyei x-nek,u-nak ´es u deriv´altjainak. Tov´abb´a,
DivP =D1P1+· · ·+DpPp. (5.130) Ez a megmarad´asi t¨orv´eny a k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek egy tulajdons´ag´anak k´ e-zenfekv˝o ´altal´anos´ıt´asa a parci´alis differenci´alegyenlet-rendszerekre. A fizik´aban gyakori dinamikai feladatokban az egyik v´altoz´o az id˝o, a t¨obbi v´altoz´o a helyv´altoz´ok ¨osszess´ege x= (x1, . . . , xp). A megmarad´asi t¨orv´eny alakja ebben az esetben
DtT +DivX = 0. (5.131)
IttT megmarad´o s˝ur˝us´egf¨uggv´eny,X = (X1, . . . , Xp) pedig ´aram, melynek komponensei f¨uggv´enyei x, t´esu-nak, valamint u deriv´altjainak.
Legyen Ω⊂Rp egy t´erbeli tartom´any, u=f(x, t) egy megold´asa a (5.128) egyenlet-nek, amely defini´alt minden x∈Ω ´es t∈[a, b]-re. Tekints¨uk az
FΩ[f](t) = Z
Ω
T(x, t,pr(n)f(x, t))dx (5.132) funkcion´alt, amely adott f ´es Ω eset´en csak t-t˝ol f¨ugg. Tegy¨uk fel, hogy T megmarad´o s˝ur˝us´egf¨uggv´eny, X a megfelel˝o ´aram, amely a (5.128) rendszer megold´as´ab´ol sz´ armaz-tathat´o. Ekkor b´armely korl´atos Ω ⊂ Rp tartom´anyra, amelynek ∂Ω hat´ara sima, ´es b´armely u=f(x) megold´asra teljes¨ul
FΩ[f](t)−FΩ[f](a) =− Z t
a
Z
∂Ω
X(x, τ,pr(n)f(x, τ))dsdτ (5.133)
Ford´ıtva, amennyiben (5.133) teljes¨ul minden fenti tartom´anyra ´esu=f(x) megold´asra, akkor T ´es X meghat´aroz egy megmarad´asi t¨orv´enyt.
5.1. Feladat Legyen a Lagrange-f¨uggv´eny L(x, u), vagyis p=q = 1, a f¨uggetlen v´altoz´o karakteriszti-k´aj´anak nevezz¨uk. A karakterisztika seg´ıts´eg´evel a prolong´aci´oban (v.¨o. (5.51)) szerepl˝o φJα f¨uggv´eny, ´es vele a prolong´aci´o ´ıgy ´ırhat´o: 5.10. T´etel (Noether t´etele) Legyen adott az
L[u] = Z
L(x, u(n)dx (5.139)
vari´aci´os feladat. Legyen a G egyparam´eteres csoport infinitezim´alis gener´atora v=
es legyen G a (5.139) feladat szimmetriacsoportja. Legyen tov´abb´a a v-nek megfelel˝o karakterisztika (5.136), aholuαi =∂uα/∂xi. EkkorQ= (Q1, . . . , Qq)az Euler–Lagrange-egyenlet karakterisztik´aja is, vagyis, l´etezik olyanP(x, um) = (P1, . . . , Pp)vektor, amelyre
DivP =QE(L) = X
ν=1
QνEν(L) (5.141)
egy megmarad´asi egyenlet karakterisztika form´aban, ´espedig azE(L) = 0 Euler–Lagrange-egyenlete.
A fentiek alapj´an megfogalmazhat´o, mit nevez¨unk egy vari´aci´os feladat szimmetria-csoportj´anak. Legyen ´ertelmezve aGlok´alis transzform´aci´ocsoport hat´asa azM⊂Ω0×U sokas´agon. G-t az
L[u] = Z
Ω0
L(x, u(n))dx (5.142)
funkcion´al vari´aci´os szimmetriacsoportj´anak nevezz¨uk, amelyben az Ω tartom´any lez´ a-r´asa, Ω ⊂ Ω0, tov´abb´a u = f(x) sima f¨uggv´eny, amely ´ertelmezve van Ω-ban, g¨orb´eje pedig M-ben helyezkedik el. Tov´abb´a, g ∈ G olyan, hogy ue= fe(x) =e gf(ex) egy´ert´ek˝u f¨uggv´eny, amely defini´alva van Ω-ban, akkore
Z
Ωe
L(ex, pr(n)fe(ex))dex= Z
Ω
L(x, pr(n)f(x))dx. (5.143) Egy megmarad´asi egyenlet karakterisztik´aj´at a k¨ovetkez˝o m´odon vezetj¨uk be. Te-kints¨uk a
∆(x, u(n)) = 0 (5.144)
nem degener´alt differenci´alegyenlet-rendszert. Ezen egyenletrendszer mindenu= (u1, . . . , uq) megold´as´ab´ol k´epzett P = (P1, . . . , Pp) f¨uggv´eny, amely f¨uggv´enyex = (x1, . . . , xp)-nek, u = (u1, . . . , uq)-nak ´es u deriv´altjainak, akkor ´es csak akkor t˝unik el, ha l´eteznek olyan QJν(x, u(m)) f¨uggv´enyek, amelyekkel fenn´all
DivP =X
ν,J
QJνDJ∆ν (5.145)
minden (x, u)-ra. Parci´alis integr´al´as ut´an a fenti kifejez´es ´atalak´ıthat´o egy ´uj R(x, u) f¨uggv´enyre ´es egy marad´ekra, azaz,
DivP =DivR+
`
X
ν=1
Qν∆ν ≡DivR+Q∆. (5.146) A marad´ekban szerepl˝o ` elem˝u vektor komponensei:
Qν =X
J
(−D)JQJν (5.147)
´
es R = (R1, . . . , Rp). Mivel DivP = 0 minden megold´asra, azt l´atjuk, hogy R line´aris f¨uggv´enye a (5.144) differenci´alegyenlet-rendszert alkot´o egyenleteknek. L´atjuk teh´at, hogy DivP = 0 ´es
Div(P −R) =Q∆. (5.148)
A (5.148) egyenletet nevezz¨uk a (5.145) megmarad´asi t¨orv´eny karakterisztik´aj´anak.
Amennyiben ` = 1, a Q karakterisztika egy´ertelm˝uen meghat´arozott. 1 < ` ≤ q eset´en a Q karakterisztika m´ar nem egy´ertelm˝uen meghat´arozott. Legyen p´eld´aul
Div(P −R) = Q∆ (5.149)
´ es
Div(P −R) =Q∆.e (5.150)
Ekkor Q∆ = Q∆, de mivel a ∆ differenci´e alegyenlet-rendszer nem degener´alt, ez´ert Q − Qe = 0 minden u megold´asra. (Eml´ekezz¨unk, P f¨ugg x-t˝ol ´es u-t´ol, tov´abb´a u deriv´altjait´ol is.) ´Igy val´oj´aban nem egyetlen megmarad´asi egyenletr˝ol, hanem egy ekvi-valenciaoszt´alyr´ol van sz´o.