Az tov´abbiakban sz¨uks´eg¨unk lesz egy m´asik algebrai (ha tetszik geometriai) strukt´ur´ara, a gr´afra. A gr´af pontok (cs´ucsok) tetsz˝oleges halmaza, a halmaz elemeit ´elek k¨othetik
¨ossze. Mag´at a gr´afot a cs´ucsok ´es az ´elek halmaz´aval adjuk meg: Γ = (C, E). A csopor-tok tanulm´anyoz´as´ara alkalmas eszk¨oz a Cayley-diagramm. Ha a G csoport gener´atorai a1, a2, . . .; akkor a G csoport Γ Cayley diagrammja egy gr´af, aminek cs´ucsait Pg (min-den egyes g ∈G-re) alkotja, ir´any´ıtott ´elei pedig ai t´ıpus´uak ´es Pg-b˝olPga-ba mutatnak minden a gener´atorra.
2.1. Feladat (A szab´alyos h´aromsz¨og szimmetri´ainak Cayley-gr´afja (1)) Legyen G = ha, b;a2 = 1, b3 = 1, ab=bai a vizsg´alt csoport. G-nek k´et gener´atora (a ´es b) to-v´abb´a 6 eleme van: 1, b, b2, a, ab, ab2. Cayley-diagrammja pedig az 2.1. ´abr´an l´athat´o.
K´es˝obb bel´atjuk, hogy ez a csoport izomorf a szab´alyos h´aromsz¨og szimmetriacsoportj´ a-val.
2.2. Feladat ( A n´egyzet szimmetri´ai) Tekints¨uk az al´abbi n´egyzetet. Legyen X = {x, y : −1 ≤x ≤ +1;−1 ≤y ≤ +1}. A n´egyzet automorfizmusainak csoportja Aut(X)
2.1. ´abra. Az{1, b, b2, a, ab, ab2} csoport Cayley-digrammja
2.2. t´abl´azat. A C4v csoport karaktert´abl´aja Reprezent´aci´o / Oszt´aly C1 C2 C3 C4 C5
A1 1 1 1 1 1
B1 1 -1 -1 1 1
A2 1 1 -1 1 -1
B2 1 -1 1 1 -1
E 2 0 0 -2 0
. A csoportelemeket ¨ot konjug´alt elemoszt´alyba sorolhatjuk: C1 ={E}, C2 ={ax, ay}, C3 = {d1, d2}, C4 ={b}, C5 ={c1, c2}. Ez a csoport izomorf a C4v pontcsoporttal, aminek ka-raktert´abl´aj´at k´ezik¨onyvekb˝ol, vagy a GAP programb´ol kiolvashatjuk: Az orbitok a n´ egy-zeten 4 vagy 8 pontot tartalmaznak, az Aut(X)\X halmaz a n´egyzet 1/8 r´esz´et kitev˝o h´aromsz¨og.
AzAut(X)csoport ´abr´azol´asa lehets´eges p´eld´aul4x4-es m´atrixokkal. Ekkor a csoport egy ´abr´azol´as´at adj´ak a k¨ovetkez˝o m´atrixok:
De =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
(2.93)
Dax =
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
(2.94)
Day = t´erben (amelyen a 4x4-es m´atrixok hatnak), amelyben a fenti m´atrixok blokkokra esnek sz´et. Meggy˝oz˝odhet¨unk k¨ozvetlen sz´am´ıt´assal arr´ol, hogy az al´abbi O m´atrix mind a 8 fenti m´atrixot blokkdiagon´alis alakra reduk´alja:
O= Aut(X)csoport ´abr´azol´as´ahoz tartoz´o minden m´atrixnak csak diagon´alis eleme van, ez´ert azOm´atrix els˝o ´es m´asodik sora is egy-egyAut(X)invari´ans, egydimenzi´os alteret jelent.
A transzform´aci´o ut´an egyes m´atrixokban a harmadik ´es negyedik sorban k´et nemnulla elem tal´alhat´o, ez´ert az O m´atrix utols´o k´et sora ad meg egy ´ujabb Aut(X) invari´ans, de m´ar k´etdimenzi´os alteret.
2.3. t´abl´azat. A C4v csoport gr´afj´ahoz Csoportelem (g) s1g s2g
E ay c2
ax b d1
ay E d2
c1 d2 E
c2 d1 b
d1 c2 ay
d2 c1 ax
b ax c1
2.4. t´abl´azat. A C4v csoport Cayley-diagrammj´ahoz i ui∗s ui∗t
1 4 4
2 3 3
3 1 2
4 2 1
A n´egyzet szimmetri´ainak Cayley-gr´afja bonyolult szerkezetet mutat, ez´ert helyette egy t´abl´azatban azt adjuk meg, hogyan kapcsolj´ak ¨ossze a csoportelemeket a gener´ a-torok. Ha egy csoport Cayley-gr´afja bonyolult szerkezet˝u, egy G csoport strukt´ur´aj´at bemutathatjuk az al´abbi egyszer˝us´ıtett m´odon is. Jel¨olj¨unk ki egy H ⊂Gr´eszcsoportot
´
es bontsuk fel G-t H szerinti Ci mell´ekoszt´alyokra. Ezek sz´ama |G|/|H| lesz. Az egyes mell´ekoszt´alyokat jellemezhetj¨uk a mell´ekoszt´aly reprezenz´aci´os elem´evel,ui-vel, amelyre teljes¨ulci =h∗ui, minden ci ∈Ci-re. A csoport jellemz´es´ere elegend˝o megadni, hogyG gener´atorai melyik mell´ekoszt´alyba transzform´alj´ak az ui reprezent´ansokat.
2.3. Feladat (A C4v csoport Cayley-gr´afja) V´alasszuk gener´atornak az s 90-fokos forgat´ast ´es a t y-tengelyre vett t¨ukr¨oz´est. V´alasszunk egy k´etelem˝u r´eszcsoportot, pl.
H ={e, st}. Ekkor a C4v csoport n´egy H-szerinti mell´ekoszt´alyra bomlik, legyenek ezek
´
abr´azol´as´anak elemeiui,i= 1,4. Azui elemek transzform´aci´oit a2.4. t´abl´azat adja meg.
(A mell´ekoszt´alynak csak az index´et adtuk meg.) Az ´ıgy kapott Cayley-gr´af t´abl´azat, vagy rajz form´aj´aban is haszn´alhat´o.
Az eg´esz sz´amok egy v´egtelen elem˝u csoportot alkotnak, a csoportm˝uvelet az ¨ ossze-ad´as. A val´os sz´amok is csoportot alkotnak, itt a csoportm˝uvelet szint´en az ¨osszead´as.
Tekints¨uk a nemszingul´aris 2×2-es nemszingul´aris m´atrixok halmaz´at. Ez a halmaz is csoportot alkot a m´atrixszorz´as m˝uvelet´ere n´ezve. Amennyiben a m´atrixelemeket modulo(q) vessz¨uk, a csoport elemeinek sz´ama v´eges lesz.
2.5. t´abl´azat. Szorz´asok a GL(2,F2) csoportban
2.6. t´abl´azat. Az (2.104) csoport szorz´asi t´abl´azata bal/jobb e t t2 s st st2
2.4. Feladat (A szab´alyos h´aromsz¨og szimmetriacsoportja (2)) K¨onnyen bel´ at-hat´o, hogy az al´abbi 6 m´atrix, melyeknek elemeit modulo(2) vessz¨uk 16, a m´atrixszorz´as m˝uvelet´ere csoportot k´epez, ez a GL(2,2) csoport:
E = A szorz´asi t´abl´azatot a 2.6. t´abl´azat mutatja. A konjug´alt oszt´alyokat k¨onnyen el˝o´ all´ıt-hatjuk a defin´ıci´o alapj´an: {E},{m1, m1∗m2, m1∗m22}{m2, m22}. A csoport gener´atora form´aban, azaz, v´egesen prezent´alhat´o. Ez a csoport izomorf a szab´alyos h´aromsz¨og szim-metri´ainak csoportj´aval. Azt u.i. egy magass´agvonalra val´o t¨ukr¨oz´es (jel¨olj¨uk s-sel) ´es a h´aromsz¨og k¨oz´eppontja k¨or¨uli 120 fokos elforgat´as (jel¨olj¨uk t-vel) gener´alja, ´es s2 = E, t3 =E. A k´et csoport elemeinek megfeleltet´es´et k¨onnyen megtal´alja az Olvas´o. A szor-z´asi t´abl´ahoz fel kell haszn´alni az al´abbi azonoss´agokat: ts = st2; (st)2 = E. A C4v
16Ekkor a m´atrix elemei azF2-halmazb´ol val´oak
2.2. ´abra. Az C4v csoport Cayley-digrammja
2.7. t´abl´azat. Konjug´alt elemoszt´alyok az (2.104) csoportban
x g gxg−1 Konjug´alt elemoszt´aly
tetsz˝oleges e e Ce ={e}
t {e, t, t2},{s, st, st2} {t},{t2} Ct ={t, t2} s e,{t, t2} s,{st}, st2, st Cs ={s, st, st2}
csoport Cayley-diagrammj´at a 2.4. ´abra tartalmazza. A konjug´alt elemoszt´alyokra bon-t´ashoz a (2.15) egyenlet el˝otti bekezd´esben elmondottakat haszn´aljuk, az eredm´enyt az 2.7 t´abl´azat tartalmazza. Tekints¨uk az A ={e, t, t2} csoportot, ami G-nek r´eszcsoportja. A szorz´asi t´abl´azat seg´ıts´eg´evel ellen˝orizhet˝o, hogy A baloldali ´es jobboldali mell´ekoszt´alyai azonosak, ez´ert A norm´aloszt´oja G-nek. G rendje 6, A rendje 3, A indexe pedig 2. Te-kints¨uk a G csoportban az al´abbi k´et halmazt: S1 = A = {e, t, t2};S2 = {s, st, st2}. S1
´
es S2 csoportot alkot, amit G/A faktorcsoportnak nevez¨unk. A csoportm˝uvelet a k¨ ovet-kez˝o: Sg∗Sh = Sg∗h minden g, h∈ G-re. Itt Sg alatt azt az Si, i= 1,2 halmazt ´ertj¨uk, amelyik megegyezik g ∗A-val. Ez´ert a faktorcsoport szorz´asi t´abl´azata: S1 ∗S1 = S1; S1∗S2 =S2∗S1 =S2;S2∗S2 =S1. A G csoport feloldhat´o.
2.5. Feladat Hat´arozzuk meg egy forgat´as hat´as´at a helykoordin´at´akra! A vizsg´alt M sokas´ag ´alljon a s´ık r = (x, y) pontjaib´ol, ´es ´ırjuk le a forgat´ast az infinitezim´alis gener´atorral. Ehhez el˝osz¨or a transzform´aci´ot kell fel´ırni, ezt megtal´aljuk (2.48)-ben, amit most a s´ık pontjainak transzform´aci´oja alapj´an ´ırunk fel: Ψ(ϑ,(x, y)) = (xcosϑ− ysinϑ, xsinϑ+ycosϑ). A transzform´aci´ohoz tartoz´o deriv´altat (2.64)-nek megfelel˝oen v=ξ(x, y)∂x+η(x, y)∂y adja meg. Mivel a transzform´aci´o egys´egeleme aϑ = 0 elemhez tartozik, ez´ert
ξ(x, y) = d
dϑ(xcosϑ−ysinϑ) ϑ=0
=−y (2.105)
´ es
η(x, y) = d
dϑ(xsinϑ−ycosϑ) ϑ=0
=x. (2.106)
Ez´ert az infinitezim´alis gener´ator v=−y∂x+x∂y.
2.6. Feladat (Faktorcsoport) Tekints¨uk a n´egy elem˝u ciklikus csoportot: C4 =a, a2, a3, a4 =e.
Ebben E = e, a2 egy r´eszcsoport, ´es a G\A faktorcsoportnak k´et eleme van (mert A in-dexe G-ben 2), ennek elemei halmazok: E =e, a2 ´es A =a, a3, teljes¨ul tov´abb´a A2 =E
´
es E2 = E; azaz a k´et halmaz z´art a szorz´asra n´ezve teh´at csoportot alkotnak, ez a C4
csoport faktorcsoportja.
2.7. Feladat . [Permut´aci´ocsoportok] AzSnpermut´aci´ocsoport egy konjug´alt elemoszt´ a-ly´aba tartoz´o elemek ciklusszerkezete azonos. A ciklusok sz´am´at megszorozva a ciklusban l´ev˝o elemekkel, a kapott szorzatokat minden ciklushosszra ¨osszegezve Sn rendj´et kapjuk meg. A ciklusok hossz´at z´ar´ojelben szokt´ak megadni, pl. (313) jelent´ese: egy darab h´ ar-mas ciklus, h´arom darab (ez a sz´am szerepel a kitev˝oben) egyes ciklus az S6 csoportban;
vagy (221) jelent´ese: k´et darab kettes ciklus, egy darab egyes ciklus az S5 csoportban. Az S4 csoportban 5 konjug´alt oszt´aly tal´alhat´o, ezek:
C1 = ();
C2 = (12),(13),(23),(24),(34);
C3 = (12)(34),(13)(24),(14)(23);
C4 = (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243);
C5 = (1234),(1243),(1324),(1324),(1342),(1423),(1432) .
Ezek az elemek az al´abbi m´odon rendezhet˝oek csoportokba: C1 ⊂(C1S
C3)⊂(C1S C3S
C4)
⊂ (C1S C2S
C3S C4S
C5) = S4. Ez´ert az S4 csoport feloldhat´o. Megjegyezz¨uk, hogy Sn nem feloldhat´o ha n ≥5.