Lie-csoportok

Egy tartom´any vizsg´alata sor´an gyakran folyamodunk lek´epez´esek haszn´alat´ahoz. Le-gyen M,N ⊂Rⁿ k´et ny´ılt halmaz, legyen tov´abb´a adott az f :M →N f¨uggv´eny, amely az M halmazt az N halmazba k´epezi le. Az f lek´epez´est diffeomorfizmusnak nevezz¨uk, ha f tetsz˝olegesen sokszor differenci´alhat´o, inverzf¨uggv´enye f⁻¹ l´etezik ´es tetsz˝olegesen sokszor diferenci´alhat´o. Az f :M→N f¨uggv´eny

• sz¨urjekt´ıv, amennyiben a teljes Mhalmaz k´epe a teljes N halmaz;

• injekt´ıv lek´epez´esnek nevezz¨uk, ha haM k¨ul¨onb¨oz˝o elemeit N k¨ul¨onb¨oz˝o elemeibe k´epezi le;

• bijekt´ıv lek´epez´esnek nevezz¨uk, ha a lek´epez´es k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝u.

Tov´abbi oszt´alyoz´as lehets´eges, ha az M,N halmazok pontjai k¨oz¨ott rel´aci´ok is fel´ all´ıt-hat´oak.

A lek´epez´esek vizsg´alat´anak fontos eleme annak eld¨ont´ese, hogy azNhalmaz tartalmazza-e ugyanazt az inform´aci´ot, mint az M halmaz. Figyelembe kell azt is venni, hogy a k´et halmaz dimenzi´oja elt´er˝o is lehet. Erre a c´elra haszn´aljuk egy adottf :M→Nlek´epez´es rangj´at. Legyen f : M → N egy sima lek´epez´es az m dimenzi´os M t´erb˝ol az n dimen-zi´os N t´erbe. f rangj´an egy adott x ∈ M pontban az n×m-es ∂fⁱ/∂x^j Jacobi-m´atrix rangj´at ´ertj¨uk. (A koordin´at´akat ki´ırva x= (x¹, . . . , x^m)∈ M→y = (y¹, . . . , yⁿ), azaz, yⁱ =fⁱ(x¹, . . . , x^m), i = 1, . . . , n). Az f lek´epez´est maxim´alis rang´unak nevezz¨uk, ha a Jacobi-m´atrix rangja maxim´alis, azaz egyenl˝omin(m, n)-nel.

A csoportok k¨oz¨ott fontos helyet foglalnak el azok a csoportok, amelyeknek elemei folytonos f¨uggv´enyei egy vagy t¨obb param´eternek. Ilyen csoportot alkotnak pl. a s´ıkbeli

12Tov´abbi r´eszleteket ld. Safarevics k¨onyv´enek 131.-ik oldal´an.

forgat´asok m´atrixai, aminek ´altal´anos elem´et Aϑ=

cosθ −sinϑ sinϑ cosθ

(2.48) alakba ´ırhatjuk. Az Aϑ m´atrixok a m´atrixszorz´as m˝uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, ugyanakkor a csoport minden eleme differenci´alhat´o f¨uggv´enyeϑ-nak. A csoportm˝uvelet

”´ath´ar´ıthat´o” a ϑ v´altoz´ora, hiszen A_ϑ1A_ϑ2 =

cos(ϑ₁+ϑ₂) −sin(ϑ₁+ϑ₂) sin(ϑ1+ϑ2) cos(ϑ1 +ϑ2)

(2.49) Ezzel az ¨osszef¨ugg´essel lek´epezt¨uk a forg´ast le´ır´o m´atrixokat a val´os sz´amokra (azaz, a m´atrixelemekben szerepl˝o θ argumentumra), a lek´epez´es izomorfia, a csoportm˝uvelet a m´atrixok k¨ozt a m´atrixszorz´as, a val´os sz´amok (azaz, a m´atrix argumentumok) k¨oz¨ott pedig az ¨osszead´as.

A param´eterekt˝ol folytonosan f¨ugg˝o csoportokkal foglalkozunk a tov´abbiakban. A csoportelemek ´altal´aban t¨obb param´etert˝ol is f¨uggenek, ez´ert a param´etertRhelyettRⁿ -ben (n ≥ 1) vizsg´aljuk. Mivel a fizik´aban alkalmazott Lie-csoportok t¨obbnyire m´atrix csoportok, az al´abbiakban csak a lok´alisan line´aris Lie-csoportokkal foglalkozunk. Legyen W egy egyszeresen ¨osszef¨ugg˝o ny´ılt halmaz, amely tartalmazza az Rⁿ t´er o= (0, . . . ,0) pontj´at, tov´abb´a, amely a val´os elem˝up= (p₁, . . . , p_n) sz´am n-esekb˝ol ´all.

Tekints¨uk az invert´alhat´o A(p) = A(p₁, . . . , p_m) m-edrend˝u m´atrixokat, amelyek defini´alva vannak minden p∈W-re, ´es fenn´all tov´abb´a:

• A(0, . . . ,0) =E_m egys´egm´atrix;

• A(p) analitikus f¨uggv´enyep minden komponens´enek;

• A ∂A/∂p_j, j = 1, . . . , mm´atrixok line´arisan f¨uggetlenek mindenp-re.

• L´etezik az o = (0, . . . ,0) elemnek olyan W⁰ ∈ W k¨ornyezete , hogy b´armely p,q ∈ W-p´arhoz tal´alhat´o olyan r ∈ W, amelyre teljes¨ul A(p)A(q) = A(r).

Itt a baloldalon ´all´o szorz´as egyszer˝u m´atrixszorz´ast jelent.

A fent defini´altA(p) m´atrixok a m´atrixszorz´as m˝uvelet´ere n´ezve egyGLcsoportot alkot-nak. Ezt a csoportotn-dimenzi´os, val´os, lok´alis Lie-csoportnak nevezik¹³. Apparam´etert a G_L csoport lok´alis koordin´at´aj´anak nevezz¨uk. Mivel tetsz˝oleges A(p),A(q) ∈ G_L-re fenn´all A(r) =A(p)A(q)∈GL, ez´ert

r=f(p,q). (2.50)

13Sophus Lie (1842-1899) sv´ed matematikus tisztelet´ere.

Itt azf f¨uggv´enyneknkomponense van. Bel´athat´o, hogy apkoordin´at´ak helyett b´armely m´asikp⁰ =F(p) koordin´ata egy ´uj csoportot eredm´enyez, azA(p)→A(p⁰) lek´epez´essel.

A m´atrixok szorz´asa teh´at le´ırhat´o a m´atrixok param´eterei k¨oz¨otti f f¨uggv´ennyel is. Az asszociativit´as miatt teljes¨ulnie kell tetsz˝oleges p,q´es r argumentumok eset´en az

f(r,f(p,q)) = f(f(r,p),q) (2.51)

¨osszef¨ugg´esnek. Az egys´egelem nyilv´anval´oan l´etezik a m´atrixok k¨oz¨ott, ez´ert l´eteznie kell egy o vektornak, amelyre fenn´all:

f(p,o) = f(o,p) =p. (2.52)

Mivel feltett¨uk, hogy a sz´obanforg´o m´atrixok invert´alhat´oak, adott m´atrixnak l´etezik az inverze is, ez´ert mindenp param´eterhez l´etezik olyan p param´eter, amelyre

f(p,p) =f(p,p) = o. (2.53) m-edrend˝u m´atrixok halmaza alkotja, ahol p(t) v´egigfut minden olyan g¨orb´en Rⁿ-ben, amely ´atmegy az o ∈ Rⁿ ponton. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy minden A ∈ G fel´ırhat´o az

Eszerint Grendelkezik egyn-dimenzi´os vektort´er strukt´ur´aj´aval, e vektort´eren defini´alva van az ¨osszead´as ´es a skal´arral val´o szorz´as. Ebben a vektort´erben a B_j, j = 1, . . . , n m´atrixok b´azist alkotnak.

A m˝uveletek sz´am´at b˝ov´ıteni lehet. Vizsg´aljuk meg az A,B ∈ G m´atrixok kommu-t´ator´at! Minthogy [A,B] =AB−BA, tov´abb´a a m´atrixszorz´as ´atvihet˝o a param´eterek transzform´aci´oj´ara (2.50) szerint, tov´abb´a, minden G-beli m´atrix kifejthet˝o a B_j m´ atri-xok szerint, az al´abbi ¨osszef¨ugg´est kapjuk:

[BmBn] =

n

X

i=1

c^(mn)_i Bi,1≤m, n≤n. (2.57)

Tov´abb´a,

c^(mn)_i =c_i,mn−c_i,nm (2.58)

ahol c_i,mn = ∂_p²_ipj f_i(p,q)|_p,q=o. Ezzel a G vektort´eren ´ertelmezt¨uk a kommut´atort is, G-hez teh´at egy Lie-algebra is rendelhet˝o az al´abbiak szerint.

EgyLhalmazt, amelyen k´et m˝uvelet van ´ertelmezve, egya+b¨osszead´as ´es egy [a, b] = ab−bakommut´al´as Lie-gy˝ur˝unek nevezz¨uk, ha kiel´eg´ıti az ¨osszes gy˝ur˝uaxi´om´at, kiv´eve a szorz´as asszociativit´as´at, aminek hely´ebe az [a, a] = 0 ´es [[a, b], c]+[[b, c], a]+[[c, a], b] = 0 azonoss´agok l´epnek mindena, b, c∈L-re. HaLm´eg vektort´er is valamilyenKtest felett, akkor L-et egy K-feletti Lie-algebr´anak nevezz¨uk.

2.1. Feladat . Legyen D∈L az els˝orend˝u differenci´al´as oper´atora:

D(f) =X teh´at az els˝orend˝u deriv´altak Lie-algebr´at alkotnak.

Most megmutatjuk, hogy a G_L Lie-csoport elemeit param´eterezhetj¨uk a Lie-algebra b´azisaival. V´alasszuk az A ∈ G_L csoportelem k¨ovetkez˝o ´abr´azol´as´at: amennyiben A = expA, aholA =Pn

A Lie-csoportok m´asik fontos ´abr´azol´as´at alkotj´ak a lek´epez´esek. Tekints¨unk egy L sokas´agot, amelyen ´ertelmezve vannak L → L transzform´aci´ok. Ilyen p´eld´aul az s´ıkot

¨

onmag´ara lek´epez˝o, forgat´asokat le´ır´o SO(2) csoport, vagy az Rⁿ teret ¨onmag´ara lek´ e-pez˝o, invert´alhat´o, line´aris transzform´aci´ok GL(n) csoportja. ´Altal´aban egy Lie-csoport megval´os´ıthat´o egy M sokas´ag automorfizmusainak seg´ıts´eg´evel. A transzform´aci´ok ab-ban az ´ertelemben lok´alisak, hogy egyes transzform´aci´ok esetleg nem defini´altakMegyes pontjaiban, vagy hat´asuk nem defini´alt egyes transzform´aci´okra. A vizsg´alt lek´epez´esek

´

altal´aban nemline´arisak, ez´ert m´atrixokkal nem le´ırhat´oak.

Egy adott transzform´aci´o le´ır´as´at ´ugy adjuk meg, hogy megadjuk azx∈Mpontx⁰ ∈ M k´ep´et, ´es megadjuk, melyik transzform´aci´or´ol van sz´o, ez ut´obbit a lek´epez´esben egy

param´eterrel, g-vel fogjuk jel¨olni. Legyen egy lek´epez´es adott a Ψ(g, x) g v´altoz´oj´aban mindenhol differenci´alhat´o f¨uggv´ennyel, ahol x∈M ´es g ∈ G_L. K´et lek´epez´es szorzat´at egym´as ut´ani alkalmaz´asuk jelenti. Legyen az els˝o lek´epez´es param´etere h, a m´asodik´e g, akkor

Ψ(g,Ψ(h, x)) = Ψ(g·h, x), (2.61)

ami azt fejezi ki, hogy k´et lek´epez´es szorzata is lek´epez´es, gh param´eterrel. Azt a lek´ e-pez´est, amely minden x ∈ M pontot v´altozatlanul hagy, az e param´eterrel azonos´ıtjuk.

Nyilv´an Ψ(g⁻¹,Ψ(g, x)) = Ψ(e, x) = x. Megmutathat´o, hogy a Ψ(g, x) lek´epez´esek cso-portot alkotnak. A komponenseket is ki´ırva: x = (x1, x2, . . . , xn) ´es a lek´epez´es ered-m´enye legyen x⁰ = Ψ(g, x). Kiz´ar´olag g szerint deriv´alhat´o lek´epez´esekkel foglalkozunk, ez´ert az x⁰ vektor i-ik komponens´enekg szerinti deriv´altj´at ´ırhatjuk

dx⁰_i

dg =ξ_i(x) (2.62)

alakba. Adott Ψ lek´epez´es egy´ertelm˝uen meghat´arozza a ξ_i(x) f¨uggv´enyeket. Mivel g =e eset´enx⁰ =x, ez´ert teljes¨ulnie kell az x⁰(e) =x felt´etelnek is. Alkalmazzuk a fenti gondolatmenetet a x⁰ = Ψ(h, x) pontra. Ekkor legyen a k´eppont x” = Ψ(g,Ψ(h, x)) = Ψ(g, x⁰). Nyilv´an fenn´all dx”_i/dg = ξ_i(x⁰) minden 1 ≤ i ≤ n indexre, ´es x”(e) = x⁰. Vizsg´aljuk most az y = Ψ(g ·h, x) lek´epez´est. Nyilv´an dyi/dg = ξi(x) ´es y(e·h) = x⁰. Kaptunk k´et, els˝o deriv´altakat tartalmaz´o kezdeti´ert´ek feladatot, amelynek csak egy megold´asa l´etezik, ez´ert Ψ(g,Ψ(h, x)) = Ψ(g·h, x), teh´at a lek´epez´esek t´enyleg csoportot alkotnak.

Minthogy a transzform´aci´o g = e eset´en helyben hagyja az x pontot, feltehetj¨uk, hogy ag-hez tartoz´o transzform´aci´o folytonosan v´altozikg-vel ´es elegend˝o ag-hez tartoz´o transzform´aci´ot els˝o rendben tekinteni, ´es minden g csoportelemhez t´ars´ıthat´o egyε <<

1 param´eter. Ebben az esetben

Ψ(ε, x) = x+εξ(x) +O(ε²), (2.63) ahol a ξ(x) vektor elemeit (2.62) adja meg. Bevezetj¨uk a

v|_x = d

dε|_ε=0Ψ(ε, x) (2.64)

kifejez´est, amit a transzform´aci´ocsoport infinitezim´alis gener´ator´anak nevez¨unk. Ezzel a jel¨ol´essel maga a transzform´aci´o ´ıgy ´ırhat´o fel:

Ψ(ε, x) = exp(εv)x. (2.65)

Az exponenci´alisban szerepl˝o oper´atoron Taylor sor´at ´ertj¨uk:

exp(A) =

∞

X

i=1

Aⁱ i! .

2.2. Feladat LegyenM-ben egyetlen v´altoz´o, x, ´esv =d/dx. Ekkorexp(εv)x=x+ε.

2.3. Feladat Az x⁰ = x^p transzform´aci´o a [0,1] intervallumot ¨onmag´ara k´epezi le. A transzform´aci´o param´eterek´ent haszn´alhat´o a lek´epez´esben szerepl˝o p kitev˝o, p₁ ´es p₂ egym´asut´ani alkalmaz´asa megfelel azx⁰ =x^p1+p2 lek´epez´esnek. Itt a lek´epez´esek csoportja izomorf a val´os sz´amok (addit´ıv) csoportj´aval.

Jel¨olje G a vizsg´alt L sokas´agon hat´o Ψ(g, x) transzform´aci´ok csoportj´at. Egy adott x pont O orbitj´at a Ψ(g, x), g ∈ G pontok alkotj´ak. A G transzform´aci´ocsoport regul´ ari-san hat L-en, ha minden orbit azonos dimenzi´oj´u ´es minden x ∈L pontnak l´etezik egy tetsz˝olegesen kicsiU k¨ornyezete, amelyet aGcsoport orbitjai p´aly´ank´ent folytonos r´ esz-halmazokban metsz. A csoporthat´ast tranzit´ıvnak nevezz¨uk, haG-nek csak egy orbitja van, L. A transzform´aci´ocsoportot ´ujra megvizsg´aljuk a 7. ´es 8. fejezetben.

Vizsg´aljuk meg egy transzform´aci´oval szemben invarianci´at mutat´o halmazokat! El˝

o-sz¨or azt kell megvizsg´alni, mely invari´ansak tekinthet˝oek f¨uggetlennek. Legyenekζ1(r), . . . , ζk(r) megfelel˝oen sima val´os f¨uggv´enyek, amelyek ´ertelmezettek azon azM sokas´agon, amelyet

a vizsg´alt G transzform´aci´oscoport ¨onmeg´ara k´epez le. Ekkor a ζ₁(r), . . . , ζ_k(r) f¨uggv´ e-nyeket funkcion´alisan ¨osszef¨ugg˝onek nevezz¨uk, ha minden r∈M pontnak l´etezik egy U k¨ornyezete, ´es egy olyan sima, val´osF(ζ₁, . . . , ζ_k) f¨uggv´eny, amely nem azonosan nulla a k-dimenzi´os t´er egyetlen ny´ılt halmaz´an sem, ´es teljes¨ul

F(ζ₁, . . . , ζ_k) = 0

minden x∈U eset´en. Amennyiben a fentiF f¨uggv´eny azonosan nulla, aζ₁(r), . . . , ζ_k(r) f¨uggv´enyeket funkcion´alisan f¨uggetleneknek nevezz¨uk.

2.4. Feladat A ζ₁ =x/y ´es a ζ₂ = xy/(x² +y²) funkcion´alisan ¨osszef¨ugg˝ok az x, y s´ık y 6= 0 pontjaiban, mert

xy

x²+y² = x/y

1 + (x/y)² =f(x/y).

Aζ₁(r), . . . , ζ_k(r)f¨uggv´enyek funkcion´alis f¨uggetlens´eg´enek klasszikus felt´etele,hogy a Jacobi-m´atrix rangja minden pontban kisebb legyen k-n´al.

Amennyiben egy transzform´aci´ocsoport, amelyet (2.62) ´ır le, akkor hagy egy ζ f¨ ugg-v´enyt v´altozatlanul, ha fenn´all

ξ₁(x) ∂ζ

∂x₁ +· · ·+ξ_m(x) ∂ζ

∂x_m = 0. (2.66)

(2.66) ´altal´anos megold´asa egy k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenelet-rendszer integr´al´as´aval kaphat´o meg. Ezt a differenci´alegyenelet-rendszert karakterisztik´anak nevezik ´es a k¨ o-vetkez˝o egyenletrendszert jelenti:

dx₁

ξ₁(x) = dx₂

ξ₂(x) =· · ·= dx_m

ξ_m(x). (2.67)

Ezen egyenletek megold´asa m−1 f¨uggv´eny, amelyek azm-dimenzi´osM-sokas´ag koordi-n´at´ait´ol f¨uggvenek.

2.5. Feladat Az SO2 (forgat´ascsoport) csoport a s´ıkon hat. Legyen ez´ert M = R² = (x, y). A csoport elemei az (x, y) pontok transzform´aci´oit adj´ak meg. A transzform´ a-ci´o jellemz´es´ere (2.62) szerint a k´eppont koordin´at´ainak deriv´altjait haszn´alhatjuk. Az SO2 csoport infinitezim´alis gener´atora v = −y∂_x+x∂_y. A transzform´aci´oban szerepl˝o f¨uggv´enyek ξ₁(x, y) =−y, ξ₂(x, y) =x. A karakterisztik´ak egyenlete:

dx

−y = dy

x . (2.68)

Az egyenletrendszer megold´asa x²+y² = ´all.Ez, vagy ezen kifejez´es tetsz˝oleges f¨uggv´enye a forgat´asok egyetlen, f¨uggetlen invari´ansa.

Azokat a Lie-csoportokat, amelyekben a param´eter csak v´eges korl´atok k¨oz¨ott mozoghat, kompakt csoportoknak nevezz¨uk. Amennyiben a csoport elemei sima f¨uggv´enyei egy vagy t¨obb param´eternek, lehet defini´alni k´et csoportelem t´avols´ag´at, azaz, be lehet vezetni topol´ogi´at a csoporton. Ennek alkalmaz´asaira p´eld´ak tal´alhat´oak Saferivics ´es Olver k¨onyv´eben is.

2.6. Feladat Tekints¨uk az al´abbi vektormez˝ot:

v=−y ∂

∂x +x ∂

∂y + (1 +z²) ∂

∂z, (2.69)

amely ´ertelmez´esi tartom´anya R³. Minthogy v nem t˝unik el egyetlen (x, y, z) ∈ R³ pontban sem, k´et invari´anst is gener´alhatunk. A karakterisztika most

dx

−y = dy

x = dz

1 +z². (2.70)

Az els˝o k´et egyenletet az el˝oz˝o p´eld´aban oldottuk meg, ennek megfelel˝oen az els˝o

invari-´

ans r = p

x²+y². A m´asodik invari´ans megkeres´es´ehez haszn´aljuk az x → p

r²−y² helyettes´ıt´est az integr´al´as el˝ott:

dy

pr²−y² = dz

1 +z². (2.71)

Ennek megold´asa arcsin(y/r) = (arctanz) + k, itt k tetsz˝oleges ´alland´o. A m´asodik invari´ans teh´at

arctanz−arcsin(y/r) = arctanz−arctan(y/x). (2.72)

2.7. Feladat ( N´eh´any Lie-csoport) 1. GL(n,X)- az invert´alhat´on-edrend˝u m´ at-rixok csoportja, aminek elemei azX halmazb´ol val´oak. ¹⁴ A m´atrixnakn² f¨uggetlen eleme van. Ennek a csoportnak a centruma az egys´egm´atrix skal´arszorosa. A cent-rum szerinti faktorcsoportot P GL(n,X)-szel jel¨olj¨uk. Ilyen csoport az Sp(2n,X), szimplektikus csoport, amely egy ferd´en szimmetrikus kvadratikus alak automor-fizmuscsoportja. A kvadratikus alak egy¨utthat´oi az X t´erb˝ol val´ok. Ezen csoport egyik r´ecscsoportj´at alkotj´ak azon fels˝oh´aromsz¨og m´atrixok, amelyeknek diagon´alis elemei mind eggyel egyenl˝oek. Ilyen a

G^a =

1 a 0 1.

(2.73) Ez a csoport izomorf X addit´ıv csoportj´aval. A GL(1,X) csoport viszont X mul-tiplikat´ıv csoportj´aval ¹⁵ izomorf, ezt a csoportot G^m-mel szok´as jel¨olni. Ezt a k´et csoportot a 7. fejezetben felhaszn´aljuk.

2. SL(n,X)- az egys´egnyi determin´ans´u (unimodul´aris)n-edrend˝u m´atrixok csoportja.

Altal´´ aban, ha G egy m´atrixcsoport, akkor SG-vel jel¨olj¨uk az egys´egnyi determi-n´ans´u m´atrixok alcsoportj´at. A G´es SGcsoportok centruma szerinti faktorcsopor-tot rendre P G-vel ill. P SG-vel jel¨olj¨uk. Az SL(n,X) csoport a GL(n,X) csoport azon elemeib˝ol ´all, amelyek determin´ansa 1, ez a csoport teh´at a GL(n,X) csoport r´eszcsoportja, param´etereinek sz´ama n²−1.

3. O(n,X)- az n-edrend˝u ortogon´alis m´atrixok csoportja, azaz, azon A m´atrixok tar-toznak ide, amelyekre AAe =1. A szabad param´eterek sz´ama n(n−1)/2. A para-m´eterek−1´es +1k¨oz¨ott v´altozhatnak. Miveldet(A) =±1, a sokas´ag k´et halmazra esik sz´et, a val´odi forgat´asokra, amelyek csoportot alkotnak (det(A) = 1)´es nem val´odi forgat´asok halmaz´ara det(A) = −1. Az ut´obbiak nem alkotnak csoportot, mert nem ´erhet˝oek el az egys´egelemb˝ol kiz´ar´olag csoportelemek alkalmaz´as´aval.

4. U(n)- az n-dimenzi´os komplex euklideszi t´er unit´er transzform´aci´oi.Elemei olyan n×n-es komplex sz´amokb´ol ´all´o m´atrixok, amelyekre AAe =1. A f¨uggetlen val´os param´eterek sz´ama n² −n

5. SU(n): Az U(n) csoport egys´egnyi determin´ans´u m´atrixokb´ol ´all´o r´eszcsoportja , ennek centruma azokb´ol az εE (itt E-egys´egm´atrix) m´atrixokb´ol ´all, amelyekre εⁿ= 1.

6. SpU(2n)- unit´er szimplektikus csoport . Azokb´ol a 2n×2n-es A m´atrixokb´ol ´all, amelyekre AGAe = G, ahol G adott antiszimmetrikus m´atrix. (Itt a hull´am a transzpon´alt m´atrixot jelenti.)

14Megjegyezz¨uk, hogy a moduloqeg´eszek halmaz´at Fq-val szok´as jel¨olni.

15amennyiben az Xhalmaz elemei a szorz´as m˝uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak

7. O(3,1)- a Lorentz-csoport, az ¨osszes olyan4x4-es A m´atrixb´ol ´all, amelyreAGAe = G. A param´eterek sz´ama 6. Itt G = diag(1,1,1,−1). SO(3,1) pedig a val´odi Lorentz-csoport. Ezek a csoportok a relativit´aselm´eletben fordulnak el˝o.

8. Line´aris algebrai csoportok: a GL(n,K), bizonyos K test feletti algebrai egyenle-tekkel meghat´arozott r´eszcsoportja, pl. O(f,K), a K feletti f kvadratikus alakot megtart´o m´atrixok csoportja.

In document Modern algebrai m (Pldal 38-46)