Egyenletek szimmetri´ aja

Tekints¨uk az al´abbi algebrai egyenletrendszert:

F_i(x) = 0, i= 1, . . . , `. (5.1) Feltessz¨uk, hogy az Fi val´os f¨uggv´enyek minden x∈M´ert´ekre sima f¨uggv´enyek. A fenti egyenletek megold´asa egy (vagy t¨obb) x ∈ M pont, amelyben minden F_i(x) f¨uggv´eny nulla ´ert´eket vesz fel.

Az (5.1) rendszer szimmetria csoportja M-en hat´o lok´alis transzform´aci´ok olyan G csoportja, amely az (5.1) egyenlet megold´as´at m´asik megold´asba transzform´alja. Vagyis,

amennyiben y(x) megold´as, ´es g ∈G, akkor amennyiben gy defini´alva van, akkor meg-k¨ovetelj¨uk, hogygy is megold´as legyen. Az al´abbiakban annak felt´eteleit keress¨uk, hogy egy adott transzform´aci´ocsoport a vizsg´alt egyenletek szimmetri´aja legyen.

Els˝o l´ep´esk´ent eml´ekeztet¨unk az invari´ans alt´er defin´ıci´oj´ara (2. fejezet). Ennek ana-l´ogi´aj´ara defini´aljuk az invari´ans r´eszhalmaz fogalm´at: azS⊂MhalmaztGinvari´ansnak nevezz¨uk, ha minden x∈S-re, ´esg ∈G-re gx∈S, felt´eve, hogygx defini´alva van.

Defini´alhatjuk egy adottF(x) f¨uggv´eny invarianci´aj´at is. LegyenGegy lok´alis transz-form´aci´ocsoport, amely az M halmazon hat. Egy F :M→ N (itt N egy m´asik sokas´ag) f¨uggv´enyt Ginvari´ansnak nevez¨unk, ha minden x∈ M-re, ´es minden g ∈G-re, amelyre gx defini´alva van, F(gx) = F(x). F : M → R<sup>`</sup> akkor ´es csak akkor G invari´ans, ha F = (F<sub>1</sub>, . . . , F<sub>`</sub>) minden komponense G invari´ans.

Most m´ar meg tudjuk fogalmazni a bevezet´esben megfogalmazott ´all´ıt´asokat.

5.1. ´All´ıt´as Legyen Gegy ¨osszef¨ugg˝o lok´alis Lie-transzform´aci´ocsoport azm dimenzi´os M sokas´agon. Egy val´os ´ert´ek˝u ζ :M→R f¨uggv´eny akkor ´es csak akkorG invari´ans, ha

v(ζ) = 0 (5.2)

minden x∈M-re, ´es G minden v infinitezim´alis gener´ator´ara.

LegyenGaz infinitezim´alis gener´atorok Lie-algebr´aja, ´es legyen ebben az algebr´aban v₁, . . . ,v_r egy b´azis. Ekkor a 5.1. ´all´ıt´asnak megfelel˝oen, a ζ(x) f¨uggv´eny akkor ´es csak akkor Lie-algebra invari´ans, ha v_k(ζ) = 0, k = 1, . . . , r. A v_k gener´atort Lok´alis koordin´at´akkal kifejezve

v_k=

∞

X

i=1

ξ_kⁱ(x) ∂

∂xⁱ. (5.3)

Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a fenti tulajdons´ag´u ζ f¨uggv´eny az al´abbi differenci´alegyenlet megold´asa:

v_k(ζ) =

∞

X

i=1

ξ_kⁱ(x)∂ζ

∂xⁱ = 0, k= 1, . . . , r. (5.4) 5.2. T´etel Legyen g egy ¨oszef¨ugg˝o Lie-transzform´aci´ocsoport, amely az m dimenzi´os M sokas´agon hat. Hat´arozz´ak meg az F : M → R<sup>`</sup>, ` ≤ m, f¨uggv´enyek az (5.1) egyen-letrendszert ´es tegy¨uk fel, hogy az egyenlet rangja maxim´alis, azaz, a ∂F_i/∂x^k m´atrix rangja `, az egyenlet minden x megold´as´ara. Ekkor a G csoport akkor ´es csak akkor szimmetriacsoportja az (5.1) egyenletrendszernek, ha

v(Fi(x)) = 0, i= 1, . . . , `, (5.5) valah´anyszor F(x) = 0, ´es a fenti ¨osszef¨ugg´es G minden v infinitezim´alis gener´ator´ara fenn´all.

5.3. ´All´ıt´as Legyen az F : M→R^` f¨uggv´eny maxim´alis rang´u az S_F ={x:F(x) = 0}

r´esz-sokas´agon. Az f : M → R val´os f¨uggv´eny akkor ´es csak akkor t˝unik el S_F-en, ha l´eteznek olyan sima Q₁(x), . . . , Q_`(x) f¨uggv´enyek, hogy

f(x) =

`

X

j=1

QjFj(x), (5.6)

minden x∈M-re.

A 5.3. ´all´ıt´asban a maxim´alis rang l´enyeges felt´etel. P´eld´aul tekints¨uk az F(x, y) = y²−2y+ 1 f¨uggv´enyt ´es legyenf(x) = y−1, amely elt˝unik minden olyan pontban, ahol F(x, y) = 0, ez a halmaz az S_F = {y= 1} pontb´ol ´all. Ugyanakkor nem l´etezik olyan sima Q(x, y) f¨uggv´eny, amelyre fenn´allna f(x, y) = Q(x, y)F(x, y).

5.4. ´All´ıt´as Legyen M → R<sup>`</sup> maxim´alis rang´u az S<sub>F</sub> = {x:F(x) = 0} halmazon. Te-gy¨uk fel, hogy az R1(x), . . . , R`(x) f¨uggv´enyekre fenn´all

`

X

j=1

R_j(x)F_j(x) = 0 (5.7)

minden x∈M-re. Ekkor R_j(x) = 0 minden x∈ S_F-re.

Ezzel ekvivalens, hogy l´eteznek olyan S_j^m(x) f¨uggv´enyek, amelyre fenn´all Rj(x) =

`

X

m=1

S_j^m(x)Fm(x). (5.8)

Tov´abb´a, azS_j^m(x) f¨uggv´enyeket lehet ´ugy v´alasztani, hogyS_j^m(x) =−S_m^j (x), ebben az esetben (5.8) fenn´all´asa sz¨uks´eges ´es el´egs´eges ahhoz, hogy (5.7) mindenx-re teljes¨ulj¨on.

Gyakran sz¨uks´eg van annak megv´alaszol´as´ara, hogy egy adott transzform´aci´ ocso-portnak h´any invari´ansa van. Nyilv´anval´o, hogy amennyiben ζ¹(x), . . . , ζ^k(x) invari´ans egy transzform´aci´ocsoporttal szemben, ´es F(z¹, . . . , z^k) tetsz˝oleges, sima f¨uggv´eny, ak-kor F(ζ¹(x), . . . , ζ^k(x)) szint´en invari´ans, ´am ez semmif´ele ´uj inform´aci´ot nem hordoz, az el˝obbi invari´anst´ol ”funkcion´alisan f¨ugg˝o”-nek nevezz¨uk (ld. jelen fejezet bevezet˝o r´esz´et).

5.5. T´etel Legyenζ = (ζ¹, . . . , ζ^k)egy sima lek´epez´esM-b˝olR^k-ba. Ekkorζ¹(x), . . . , ζ^k(x) akkor ´es csak akkor funkcion´alisan ¨osszef¨ugg˝oek, ha dζ|_x (azaz, a ζ f¨uggv´eny

differenci-´

alja az x pontban) rangja szigor´uan kisebb, mint k minden x∈M-re.

A k¨ovetkez˝o t´etel egy transzform´aci´ocsoport invari´ansainak sz´am´at adja meg.

5.6. T´etel Hasson a G csoport szemiregul´arisan az m-dimenzi´os M sokas´agon, ´es le-gyenek orbitjai s dimenzi´osak. Ha x₀ ∈ M, akkor pontosan m−s funkcion´alisan f¨ ug-getlen lok´alis invari´ans ζ¹, . . . , ζ^m−s l´etezik x₀ egy k¨ornyezet´eben. Tov´abb´a, a csoport-hat´as b´armely egy´eb, x₀ k¨ornyezet´eben defini´alt invari´ansa az al´abbi form´aba ´ırhat´o:

ζ(x) = F(ζ¹(x), . . . , ζ^m−s(x)), valamely alkalmas, sima F f¨uggv´enyre. Amennyiben a G csoport hat´asa regul´aris, a csoport invari´ansai glob´alis invari´ansokk´a tehet˝oek x₀ egy k¨ornyezet´eben.

Most m´ar csak az invari´ansok megkonstru´al´asa van h´atra. Legyen G egyparam´eteres csoport, amelynek infinitezim´alis gener´atora

v=ξ¹(x) ∂

∂x¹ +· · ·+ξ^m(x) ∂

∂x^m (5.9)

valamely alkalmas lok´alis koordin´at´aban kifejezve. Egy lok´alis, G-vel szemben invari´ans mennyis´eg, ζ(x) az al´abbi egyenlet megold´asa lesz:

v(ζ) = ξ¹(x) ∂ζ

∂x¹ +· · ·+ξ^m(x) ∂ζ

∂x^m = 0. (5.10)

5.1. Feladat (Karakterisztikus egyenlet) A (5.10) egyenlet megold´asa a megfelel˝o karakterisztik´akb´ol ad´od´o egyenletek megold´as´ara ´ep¨ul. Ez r¨oviden a k¨ovetkez˝ot jelenti k´et v´altoz´o eset´en. Legyen

ζ =ζ(x¹, x²), (5.11)

p=∂_x¹ζ ´es q =∂_x²ζ, a megoldand´o egyenlet pedig legyen

F(x¹, x², ζ, p, q) = 0 (5.12) alak´u. Legyen a t´er egy pontja legyen P(x¹ = x, x² = y, ζ = z). A (5.12) egyenlet

´

erint˝oje a P pontban

ζ−z =p(x¹−x) +q(x²−y). (5.13) (5.12)-ben ´es (5.13)-ben p ´es q param´eterek, r´aad´asul nem f¨uggetlenek. (5.12)-b˝ol ´es (5.13)-b˝ol

∂_pF dp+∂_qF dq = 0 (5.14)

(x¹−x)dp+ (y−x²)dq = 0. (5.15) Itt dp=dq = 0nem ´allhat fenn, ez´ert a determin´ans elt˝unik, ez´ert∂pF(x²−y)+∂qF(x¹− x) = 0. Ebb˝ol az egyenletb˝ol, (5.13)-b˝ol ´es (5.12)-b˝ol a p, q koordin´at´akat elimin´alhatjuk:

dz =pdx+qdy ´es F_pdy=F_qdx. Ezt ´atalak´ıtva dx F_p = dy

F_q. (5.16)

Ezt ´altal´anos´ıtva:

dx¹

ξ¹(x) = dx²

ξ²(x) =· · ·= dx^m

ξ^m(x). (5.17)

Ezen egyenletrendszer megold´asai:

ζ¹(x¹, . . . , x^m) = c₁, . . . , ζ^m−1(x¹, . . . , x^m) = cm−1. (5.18) Az ´ıgy kapott ζ¹, . . . , ζ^m−1 pontosan a (5.10) egyenlet keresett line´arisan f¨uggetlen meg-old´asai.

In document Modern algebrai m (Pldal 102-106)