Lorentz-transzform´ aci´ o

Ebben a r´eszben fizikai mennyis´egek (t´avols´agok ´es sebess´egek) seg´ıts´eg´evel hozunk l´etre matematikai, els˝osorban geometriai konstrukci´okat. Ennek megfelel˝oen k´et jel¨ol´es lesz jelen p´arhuzamosan az elm´eletben. Az egyszer˝us´eg kedv´e´ert elker¨ulj¨uk a geometria ´ al-tal´anos t´argyal´as´at, de nem tudjuk elker¨ulni a geometria leegyszer˝us´ıtett t´argyal´as´at. A felhaszn´alt geometria egy h´aromsz¨ogben az oldalak ´es sz¨ogek k¨oz¨otti kapcsolat le´ır´as´at jelenti. A matematikai viszonyokat h´arom oldal (ezekre az A, B ´es C jel¨ol´est alkalmaz-zuk), valamint h´arom sz¨og (α az A oldallal szemben, β a B oldallal szemben, γ a C oldallal szemben) kimer´ıt˝oen megadja. Amennyiben a h´aromsz¨og egy konkr´et geomet-ri´aban jelenik meg, az oldalak jel¨ol´ese marad (hiszen a geometria megv´altoztat´asa csak annyit jelent, hogy m´as szerkezet˝u t´erben helyezz¨uk el az oldalakat jelent˝o szakaszokat), a sz¨ogek viszont felvesznek egy indexet, amely utal a t´erszerkezetre, azaz, a geometri´ara.

Az al´abb ismertetend˝o t´argyal´asWagner Istv´an munk´aja. Noha a Wagner Ist-v´an´altal kidolgozott elm´elet j´oval ´altal´anosabb, mint ahogyan itt bemutatjuk, itt csak az algebrai ´es geometriai vonatkoz´asokat hangs´ulyozzuk. Arra az esetre szor´ıtkozunk, ami-kor A, B, C <1 pl. ´ugy, hogy a h´aromsz¨oget elhelyezt¨uk egy egys´egnyi sugar´u g¨ombben.

Amennyiben A, B, C fizikai jelent´ese sebess´eg, akkor ezeket f´enysebess´eg egys´egekben m´erj¨uk. Sz¨uks´eg lesz tetsz˝oleges hossz´us´ag´u szakaszokra is, ekkor a 0 ≤ a, b, c < ∞ jel¨ol´est haszn´aljuk. A t´argyal´as c´elja tetsz˝oleges ir´anyban mozg´o koordin´atarendszerekre t¨ort´en˝o ´att´er´esek sorozat´ar´ol, az azt le´ır´o transzform´aci´or´ol megmutatni, hogy azok cso-portot alkotnak.

Az itt k¨oz¨olt anyag azt hivatott al´at´amasztani, hogy a csoportelm´elet alkalmazhat´o az egyik inerciarendszerr˝ol a m´asik inerciarendszerre val´o ´att´er´es formalizmus´aban. Meg-jegyezz¨uk, hogy Wagner Istv´an alkalmazza az itt k¨oz¨olt technik´at a fentieken t´ul is.

Az itt k¨oz¨olt gondolatmenet a Lorentz-transzform´aci´o 7.7.1. r´esz m´asodik alr´esz´ e-ben ismertetett t´argyal´as´anak egy alternat´ıv´aj´at k´ın´alja. Amint a7.7.1. r´eszben l´attuk, Lorentz-transzform´aci´ok egym´asut´anja is Lorentz-transzform´aci´o, v.¨o. (2.162), azaz, a Lorentz-transzform´aci´ok az egym´as ut´ani alkalmaz´as m˝uvelet´ere z´artak. Az ered˝o se-bess´eget (2.163) adja meg. Wagner Istv´an t´argyal´asa viszont r´amutat egy ´erdekes k´erd´esre: a sebess´egtranszform´aci´o nem csak t¨obb alternat´ıv geometri´aban t´argyalhat´o, de az egyik k¨oz¨ul¨uk, a g¨ombi geometria, k´etdimenzi´os!

A Wagner-elm´elet r´eszleteibe nem tudunk belemenni. A nem k¨oz¨olt sz´am´ıt´asok gyak-ran hosszadalmasak, de egyszer˝uek. M´askor kimondottan nehezek. Ezt a sz¨ovegben jel¨ ol-j¨uk. Az olvas´ot p´eld´ak seg´ıts´eg´evel pr´ob´aljuk eligaz´ıtani. Az utols´o fejezetbeli feladatok k¨oz¨ott is tal´alhat´o p´ar hasznos ´all´ıt´as.

7.6.1. Geometriai viszonyok

Lehetne ugyan a geometri´at ´altal´anosan (pl. Riemann-geometri´at vizsg´alva) t´argyalni, ez azonban nehezen lenne k¨ovethet˝o. Az itt ismertetett gondolatmenet a j´oval egyszer˝ubb

trigonometri´ara ´ep´ıt. Amennyiben a geometria k´erd´ese egy h´aromsz¨og le´ır´as´ara szor´ıtko-zik, elegend˝o az oldalak ´es sz¨ogek k¨oz¨otti viszonyokat vizsg´alni. Ezt az adott geometri´ a-ban megfogalmazott koszinuszt´etel ´es szinuszt´etel biztos´ıtja. El˝osz¨or teh´at megpr´ob´aljuk tiszt´azni, hogyan lehet diszkr´et helyeken elv´egzett m´er´esekb˝ol (pl. egyszer˝u t´avols´agm´ e-r´esekb˝ol) meg´allap´ıtani, milyen egy h´aromsz¨ogben az oldalak ´es sz¨ogek viszonya. Az egyszer˝us´eg kedv´e´ert csak az al´abbi geometri´akat vizsg´alunk meg: az euklideszit (jele E), a Bolyai-Lobacsevszkij (jele B)³ ´es a g¨ombi (jele G) geometri´at. Ez ut´obbi az´ert

´

erdekes, mert egy k´etdimenzi´os felsz´ınen l´ev˝o pontokat ´ır le, ´ıgy alapvet˝oen k¨ul¨onb¨ozik az els˝o kett˝ot˝ol, amely k´et-, ill. a bel˝ole l´etrehozott tetra´eder eset´eben h´aromdimenzi´os t´er geometri´aja. Az al´abbi, 7.6.1. t´abl´azatban ¨osszefoglaljuk a h´aromsz¨ogre vonatkoz´o koszinusz ´es szinusz t´etelt a h´arom vizsg´alt geometri´aban. A fentieken k´ıv¨ul t´argyaljuk

7.1. t´abl´azat. Koszinusz- ´es szinuszt´etel h´arom geometri´aban geometria szinusz-t´etel koszinusz-t´etel euklied´eszi (E) A/sinα = B/sinβ =

C/sinγ

C² =A²+B²−2ABcosγ g¨ombi (G) ^sin_sin^A_α = ^sin_sin^B_β = ^sin_sinγ^C cosA = cosBcosC +

sinBsinCcosα ill.

cosα = −cosβcosγ + sinβsinγcosA

Bolyai-Lobacsevszkij (B) sinα/sinβ = sinha/sinhb

√

(1−tanh√²(C))(1−tanh²(B))

1−tanh²(A) =

1−tanh(B) tanh(C) m´eg az ´u.n. sebess´eggeometri´at is, ezt al´abb r´eszletesen vizsg´aljuk.

Ha egy inerciarendszeren bel¨uli t´avols´agokat kell ¨osszeadni, azokb´ol h´aromsz¨oget al-kotni, az euklideszi geometria van ¨osszhangban a tapasztalattal. Ha azonos inercia-rendszerbeli sebess´egeket kell ¨osszeadni, mint vektorokat, ism´et az euklideszi geometria

´ırja le a megfigyel´eseket. Ha azonban k´et elt´er˝o inerciarendszerben m´ert sebess´eget kell

¨osszeadni, a (2.151) k´epletet kell alkalmazni, ami ellent mond az euklideszi geometri´ a-nak. Wagnerjavaslat´ara bevezet¨unk egy ´uj geometri´at, amelyet sebess´eggeometri´anak (S-geometri´anak) h´ıvunk. Az ´uj geometri´aval szemben azzal az ig´ennyel l´ep¨unk fel, hogy helyesen ´ırja le az elt´er˝o inerciarendszerekben m´ert sebess´egek ¨osszead´as´at. Ezt a geometri´at v´egtelen sokf´ele m´odon lehet r¨ogz´ıteni, egy lehets´eges v´alaszt´ast ad meg Wagner els˝o t´etele.

7.15. T´etel (Wagner 1. t´etele) Legyen adott 0 < B < 1 ´es 0 < C < 1, valamint

3Az itt el˝ofordul´o geometri´aban a h´aromsz¨og sz¨og¨osszege mindig kisebb, mint 180 fok, ennek ellen´ere megtartjuk a nemzetk¨ozileg elfogadott Bolyai-Lobacsevszkij-geometria elnevez´est.

legyen adott |ρ| ≤1. Ekkor

A² = C²+B²−2BCρ

1 +B²C²−2BCρ <1, (7.96) tov´abb´a l´eteznek olyan |ω| ≤1 ´es |τ| ≤1 sz´amok, amelyekkel fenn´all

B² = A² +C²−2ACω

1 +A²C²−2ACω (7.97)

C² = A² +B²−2ABτ

1 +A²B²−2ABτ. (7.98)

Mivel |ρ| ≤ 1, van olyanα sz¨og, amelyre cosα=ρ, tov´abb´a olyan β ´es γ sz¨og, amelyre cosβ =ω, cosγ =τ. Vagyis, k´et oldal ´es a k¨ozbez´art sz¨og seg´ıts´eg´evel konstru´alhat´o egy h´aromsz¨og. Azt fogjuk mondani, hogy az ´ıgy konstru´alt a h´aromsz¨ogS-geometri´at k¨ovet.

An´elk¨ul, hogy r´eszletekbe bocs´atkozn´ank, megjegyezz¨uk, hogy oldalak hossza ´es sz¨ og-f¨uggv´enyek seg´ıts´eg´evel l´etrehozhat´o h´aromsz¨og a B-geometri´aban ´es a G-geometri´aban is.

7.16. T´etel (Wagner 2. t´etele) Az a, b, c oldalak k¨oz¨ul b´armelyik kett˝o ¨osszege na-gyobb a harmadikn´al, azaz, alkosson a, b, c euklideszi h´aromsz¨oget. Legyen A = ^√_1+a^a ₂, B = ^√_1+b^b ₂ ´es C = ^√_1+c^c ₂. Ekkor A, B, C h´aromsz¨oget alkot S-geometri´aban tetsz˝oleges a, b, c eset´en. Az ^√_1−A^A ₂, ^√_1−B^B ₂, ^√_1−C^C ₂ oldalakkal rajzolt h´aromsz¨og euklideszi h´aromsz¨og (E-geometria). Az A= tanhA, B = tanhB, C = tanhC defin´ıci´oval bevezetett A, B, C t´avols´agok Bolyai-Lobacsevszkij h´aromsz¨oget alkotnak (B-geometria). Az A = sinA^∗, B = sinB^∗, C= sinC^∗ defin´ıci´oval bevezetett A^∗, B^∗, C^∗ t´avols´agok olyan g¨ombi h´ arom-sz¨oget alkotnak, amelynek minden sz¨oge hegyessz¨og (G-geometria), ez´ert az{A, B, C}h´ a-romsz¨og egyar´ant ´ertelmezhet˝o sebess´egt´erbeli, euklideszi, Bolyai-Lobacsevszkij ´es g¨ombi h´aromsz¨ogk´ent is, amennyiben a t´avols´ag m´ert´ek´et megfelel˝oen v´alasztjuk.

7.1. Feladat (A geometri´ak kapcsolata) A k¨ovetkez˝okben gyakran esik sz´o a fent eml´ıtett n´egy geometri´ar´ol, ez´ert ´erdemes r´eszletesebben szem¨ugyre venni kapcsolatu-kat. A 7.16. t´etelben a kisbet˝us ´es nagybet˝us oldalak kapcsolata invert´alhat´o, ez´ert ha A = ^{√ a}

1+a², akkor a = ^√_1−A^A ₂. Ez teh´at az S-geometria ´es az E-geometria k¨oz¨otti kap-csolat alapja⁴. Bel´athat´o ⁵, hogy

B−C 1−BC

≤A≤ B+C 1 +BC,

4A tov´abbiakban gyakran szerepl˝o Θ(x)≡ ^√_1+x^x ₂ f¨uggv´enyt fogjuk haszn´alni.

5Az S-geometria koszinuszt´etel´eben cosα_S =−1 ill. cosα_S = +1 helyettes´ıt´essel. V.¨o. 26. t´etel al´abb.

ami felt´etele annak, hogy A, B, C h´aromsz¨oget alkosson S-geometri´aban.

AzA= tanhA, B = tanhB, C= tanhC defin´ıci´oval bevezetettA, B, C szakaszokhoz l´etezik olyan α_B sz¨og, amellyel fenn´all

p1−tanh²A=

Amennyiben a geometri´at m´eg nem v´alasztottuk ki, nem lehet vektorokr´ol, azok kom-ponenseir˝ol besz´elni. ´Ugy kell a geometri´at ki´ep´ıteni, hogy csak ´altal´anos fogalmakat, az anal´ızis ´es az algebra fogalmait haszn´aljuk a geometria kidolgoz´asa sor´an. Az anal´ızisb˝ol

´atvessz¨uk az al´abbi, v´egtelen sorok ´altal defini´alt f¨uggv´enyeket:

exp(x) =

Ezen f¨uggv´enyek seg´ıts´eg´evel lehet dolgozni azS,G´esB geometri´akban is. E f¨uggv´enyek inverzei seg´ıts´eg´evel defini´alhatjuk a sz¨oget is, pl. az α sz¨oget egyszer˝uen a tg⁻¹x´ert´ ek-kel defini´aljuk, ahol x val´os sz´am. Amennyiben azonban vektorokr´ol, komponensekr˝ol, ortogonalit´asr´ol k´ıv´anunk besz´elni, sz¨uks´eg van az euklideszi geometri´ara. Megeml´ıtj¨uk, hogy egyes geometriai t´etelek puszt´an algebrai eszk¨oz¨okkel is megfogalmazhat´oak. Ennek illusztr´al´as´ara k¨oz¨olj¨uk az al´abbi t´etelt, amelyb˝ol kit˝unik, hogy az euklideszi geometria koszinuszt´etel´enek elfogad´asa maga ut´an vonja az euklideszi geometria eg´esz´et (noha itt csak azt mutatjuk meg, hogy a szinuszt´etel is k¨ovetkezik a koszinuszt´etelb˝ol).

7.17. T´etel (Algebrai szinuszt´etel) Legyen a, b, c > 0, h´arom val´os sz´am. L´ etezze-nek p, q, r val´os sz´amok ´ugy, hogy

a² =b²+c²−2bcp;b² =c²+a²−2acq;c² =a²+b²−2bar. (7.103) Am ez esetben algebrai t´´ eny, hogy

a²

1−p² = b²

1−q² = c²

1−r², (7.104)

igaz.

Tegy¨uk most fel, hogy |p| ≤ 1, ´ugy |q| ≤ 1 ´es |r| ≤ 1 is kiad´odik, vagyis p = cosα;

q = cosβ; r = cosγ v´alaszthat´o. ´Am akkor a/(sinα) = b/(sinβ) = c/(sinγ) ad´odik, vagyis az euklideszi koszinuszt´eteltiszt´an algebrai ´utonmaga ut´an vonja a szinuszt´etelt is, vagyis az euklideszi koszinuszt´etel haszn´al´oja automatikusan euklideszi geometri´at t´etelez fel.

Sebess´eggeometria

A feladat olyan konstrukci´o fel´ep´ıt´ese, amelyben a (2.151) sebess´eg¨osszead´as

rekonstru-´

alhat´o. A feladatot Wagner egy megfelel˝o sk´ala kiv´alaszt´as´aval oldotta meg. El˝osz¨or, Szegedi Gyula t´etel´et id´ezz¨uk.

7.18. T´etel (Az ¨osszead´as ´es a szorz´as ´altal´anos´ıt´asa) Az aritmetika fel´ep´ıt´ese nem egy´ertelm˝u. A val´os sz´amok ¨osszead´asa ´es szorz´asa helyett bevezethet˝o v´egtelen sok ekvi-valens m˝uvelet az al´abbi defin´ıci´okkal. Legyen az ´altal´anos ¨osszead´as ⊕ m˝uvelete

A⊕B =ϕ(ϕ⁻¹(A) +ϕ⁻¹(B)), (7.105) az ´altal´anos szorz´as ⊗ m˝uvelete pedig

A⊗B =ϕ(ϕ⁻¹(A)ϕ⁻¹(B)). (7.106) Itt ϕtetsz˝oleges invert´alhat´o f¨uggv´eny. Az ´ıgy bevezetett m˝uveletek tetsz˝oleges val´os A, B eset´en elv´egezhet˝oek, ´es rendelkeznek az al´abbi tulajdons´agokkal:

1. az ¨osszead´as szimmetrikus: A⊕B =B⊕A;

2. az ¨osszead´as kommutat´ıv ´es asszociat´ıv: (A⊕B)⊕C =A⊕(B⊕C) = (A⊕C)⊕B = (B⊕C)⊕A=A⊕B⊕C;

3. a szorz´as szimmetrikus: A⊗B =B⊗A;

4. a szorz´as kommutat´ıv ´es asszociat´ıv: (A⊗B)⊗C =A⊗(B⊗C) = (A⊗C)⊗B = (B⊗C)⊗A=A⊗B⊗C;

5. disztributivit´as: (A⊕B)⊗C =A⊗C⊕B ⊗C;

6. Bevezethet˝o mindk´et m˝uvelet inverze, amelyek korl´atlanul elv´egezhet˝ok, csak a nul-l´aval val´o oszt´as tiltott;

7. Bevezethet˝o a sz´ammal t¨ort´en˝o szorz´as m˝uvelete is, ´ugy, hogy kA=A⊕A⊕A· · ·⊕

A, (a kifejez´esben k darab ⊕ jel szerepel).

In document Modern algebrai m (Pldal 196-200)