K´ aosz ´ es szimmetri´ ak

ertelemben fenn´all´o szimmetri´ak nem korl´atoz´odnak az id˝oeltol´asra, ´es a k¨ovetkez˝o hi-pot´eziseket javasolta.

7.3. Feltev´es. Az R → ∞ hat´aresetben a Navier-Stokes egyenlet minden lehets´eges szimmetri´aja, amelyet rendszerint meghi´us´ıt a turbulens ´araml´as, statisztikus ´ertelemben

´

ujra helyre´all kis sk´al´akon, a hat´arfel¨uletekt˝ol t´avol.

7.4. Feltev´es. Az7.3.. Hipot´ezisben megfogalmazott felt´etelek mellett a turbulens ´ aram-l´as kis sk´al´akon ¨onmag´ahoz hasonl´o, azaz, egyetlen sk´alakitev˝ot tartalmaz.

7.5. Feltev´es. Az7.3.. Hipot´ezisben megfogalmazott felt´etelek mellett a turbulens ´ aram-l´as t¨omegegys´egre es˝o disszip´aci´oj´anak ´atlag´ert´eke v´eges.

A fenti hipot´ezisekb˝ol megkaphat´o a Kolmogorov ´altal is megadott hasonl´os´agi transz-form´aci´o, 1/3 kitev˝ovel. ´Altal´aban turbulens ´araml´asban n mennyis´eg korrel´aci´oj´ara az l hosszal jellemzett sk´al´an

F_n(l) = c_nε^1/3nl^1/3n (7.33) ad´odik, itt c_n dimenzi´otlan ´alland´o, n = 3 eset´en c₃ = −4/5, egy univerz´alis ´alland´o.

A t¨obbi c_n egy¨utthat´o viszont f¨ugg a geometri´at´ol, ´ıgy a turbulencia sk´al´aj´at´ol is, ez´ert nem univerz´alis ´alland´o.

7.4. K´ aosz ´ es szimmetri´ ak

Egy fizikai rendszer fejl˝od´es´et egy egyenlett´ıpus, az ´u.n. evol´uci´os egyenlet ´ırja le, amelyet itt az al´abbi alakban ´ırunk:

∂u

∂t =G(x, u), (7.34)

ahol u(x, t) a fizikai rendszert le´ır´o ´allapotf¨uggv´eny, x a f´azist´er egy pontja, t az id˝o.

A fizikai rendszert jellemz˝o folyamatok hat´arozz´ak meg a G(x, u) oper´atort, amely ´ al-tal´aban nemline´aris oper´ator is lehet. A G oper´ator lehet egy nemline´aris f¨uggv´eny is, ez´ert a tov´abbiakban Gegyszer oper´atornak, m´askor f¨uggv´enynek tekintj¨uk, ahogyan a t´argyal´as megk´ıv´anja.

7.1. Feladat (Oper´ator ´es f¨uggv´eny) Amennyiben G-ben deriv´al´as vagy integr´al´as szerepel, oper´atorr´ol besz´el¨unk. Ha viszont G-ben csak a matematikai anal´ızisben meg-szokott m˝uveletek (hatv´anyoz´as, nemline´aris f¨uggv´enyek) szerepelnek, akkor G-t f¨ ugg-v´enynek nevezz¨uk, noha ekkor is egy f¨uggv´enyb˝ol egy m´asik f¨uggv´enyt ´all´ıt el˝o. P´elda nemline´aris oper´atorra: a Navier-Stokes egyenletben szerepl˝o(v∇)voper´ator, amely egy h´arom komponensb˝ol ´all´o v f¨uggv´enyre (ez j´atsza most az u f¨uggv´eny szerep´et) hat, a k¨ovetkez˝ok´eppen:

v∇v=X

j

X

i

v_i∂_i

!

v_j. (7.35)

Ez teh´at oper´ator. Ugyanakkor aze^Bv nemline´aris f¨uggv´enyt ink´abb ´erdemes f¨uggv´enynek tekinteni. A k¨ul¨onbs´eg els˝osorban a deriv´al´as m´odj´aban mutatkozik meg. F¨uggv´enyek eset´en a szok´asos f¨uggv´enyderiv´altat kell meghat´arozni, oper´atorok eset´en pedig a Frechet-deriv´altat (ld. al´abb).

A (7.34) egyenlet vizsg´alata r´ev´en bepillanthatunk az evol´uci´o folyamat´aba, azaz, egy

¨osszetett rendszer id˝obeni fejl˝od´es´ebe. Az 5.1 pontban l´attuk, hogy a kaotikus turbulens

´

araml´as meg´ert´es´ehez sz¨uks´eges az evol´uci´ot le´ır´o oper´ator (azaz, a (7.17) Navier-Stokes egyenletben szerepl˝o oper´ator) spektrum´anak ismerete. Ugyanis, legyen G f¨uggetlen u-t´ol, azaz, tekints¨uk a line´aris esetet. Ekkor Gle´ır´as´ara el˝ony¨osen alkalmazhat´o saj´

at-´

ert´ekeinek ´es saj´atf¨uggv´enyeinek ¨osszess´ege. ´Irjuk a saj´at´ert´ek-feladatot

GΦ_i =γ_iΦ_i (7.36)

alakba ´es tegy¨uk fel, hogy a Φ_i saj´atf¨uggv´enyek teljes rendszert alkotnak, ´es fejts¨uk ki a keresett u f¨uggv´enyt a saj´atf¨uggv´enyek b´azis´an:

u=X

i

A_i(t)Φ_i(x), (7.37)

ezt behelyettes´ıtve (7.34)-be, azt l´atjuk, hogy az amplitud´ok exponenci´alis f¨uggv´enyek, mert kiel´eg´ıtik azA⁰_i =γiAi egyenletet. Ha a fizikai rendszert perturb´aci´o ´eri, alkalmaz-hatjuk a (7.37) sorfejt´est. K¨ovetkez´esk´eppen,a perturb´aci´o kifejthet˝o a saj´atf¨uggv´enyek szerint, az egyes komponensek amplit´ud´oja pedig a saj´at´a´ert´ekekt˝ol f¨ugg˝oen id˝oben n˝o, cs¨okken vagy oszcill´al, ez ut´obbi tiszta k´epzetes saj´at´ert´ekek eset´en ´all el˝o.

Kezdj¨uk a vizsg´alatot azzal a speci´alis esettel, amikor a Goper´ator line´aris. Legyen a t = 0-ban u(0) = P

ic_i0Φ_i. Az u(t) ´allapotot ´abr´azolhatjuk a c_i(t) amplitud´okkal.

Amennyiben minden saj´at´ert´ek negat´ıv, n¨ovekv˝o t-vel az amplitud´ok cs¨okkenek, ´es t→

∞ hat´aresetben tartanak null´ahoz, azu(t) g¨orbe b´arhonnan induljon is, az orig´oba jut, ld. 11.11. ´abra.

7.1. ´abra. Negat´ıv saj´at´ert´ekek esete

7.2. ´abra. Komplex saj´at´ert´ekek esete

Komplex saj´at´ert´ekek eset´en pozit´ıv val´osr´esz eset´en n¨ovekv˝o, negat´ıv val´osr´esz eset´en cs¨okken˝o spir´alison mozog az u(t) g¨orbe, ld. 7.2. ´abra.

B´armilyen bonyolult legyen is az id˝of¨ugg´est megad´o egyenlet, az u(t) ´allapot p´aly´aja a f´azist´erben n´eh´any tipikus p´aly´aba sorolhat´o. Ezek t¨obbs´ege tanulm´anyozhat´o az au-ton´om rendszerek p´eld´aj´an. Megjegyezz¨uk, hogy mechanikai alkalmaz´asokban k´etf´ele rendszert k¨ul¨onb¨oztet¨unk meg, konzervat´ıv ´es disszipat´ıv rendszert. Ez a k´et kateg´ o-ria ´altal´anos´ıthat´o az id˝of¨ugg˝o folyamatokra. A konzervat´ıv rendszerben megmarad az energia, ´erv´enyes a Liouville-t´etel, amely szerint a f´aziscell´ak t´erfogata nem v´altozik az id˝ovel. A disszipat´ıv rendszer energi´aja egyre cs¨okken, p´aly´aja ennek megfelel˝oen egyre kisebb t´err´eszre korl´atoz´odik. A p´aly´ak elemz´es´et az auton´om rendszerek p´eld´aj´an mu-tatjuk be. El˝orebocs´atva az auton´om rendszerek n´eh´any tulajdons´ag´at. El˝osz¨or is, ha egy auton´om rendszer p´aly´aj´anak van olyan u(t₁) pontja, amely megegyezik egy m´asik u(t₂), t₂ > t₁ ponttal, akkor a p´alya u(t), t₁ ≤ t ≤ t₂ pontjai egy z´art ciklust alkotnak.

Minden egy´eb esetben az auton´om rendszer p´aly´aja nem haladhat ´at k´etszer ugyanazon a ponton.

1. Stacion´arius pont. Ha a f´azist´ernek l´etezik olyan pontja, amelyben ∂u/∂t = 0,

´

es a rendszer fejl˝od´ese eljut e pontba, akkor azt nem is hagyja el. (Ezt a pontot nyel˝onek is nevezik.)

2. Hat´arciklus. Az u(t) p´alya t → ∞eset´en tart egy z´art ciklushoz.

3. Ciklus. Az u(t) p´alya egy z´art g¨orb´eben folytat´odik, itt t v´eges.

4. K¨ul¨on¨os attraktor. Egy disszipat´ıv rendszer p´aly´aja egyre kisebb t´err´eszben helyez-kedik el. Egyes esetekben ez a p´alya nem egy z´art ciklus, a p´alya nem t¨olti ki a sz´oban forg´o t´err´eszt, de a p´alya dimenzi´oja a p´alyag¨orbe dimenzi´oja (ez term´ esze-tesen 1) ´es a t´err´esz dimenzi´oja (ez u komponenseinek sz´ama) k¨oz´e es˝o, ´altal´aban t¨ort sz´am.

5. Bifurk´aci´o, k´aosz. Bizonyos felt´etelek mellett (ezeket al´abb r´eszleteiben t´ argyal-j´ak) a rendszer p´aly´aja k´et (esetleg t¨obb) ´agra bomlik. Ezt nevezik bifurk´aci´onak.

Egyes rendszerek bifurk´aci´ok sorozat´an mennek ´at, am´ıg v´eg¨ul a lehets´eges p´aly´ak sokas´aga jelenik meg. Ezt nevezik kifejlett k´aosznak.

Tekintettel arra, hogy az auton´om rendszer p´aly´aja a f´azist´er ¨onmag´ara t¨ort´en˝o lek´ e-pez´esnek tekinthet˝o, a kialakul´o p´aly´ak tanulm´anyoz´asa a lek´epez´esek tanulm´anyoz´as´at jelenti.

A 11.11. ´abr´an egy nyel˝o l´athat´o az orig´oban, a 7.2 ´abra orig´oj´aban csak negat´ıv val´osr´esz˝u saj´at´ert´ekek eset´en van nyel˝o.

A k¨ovetkez˝o l´ep´esben vizsg´aljuk az elliptikus oper´atorok saj´at´ert´ekeit. Noha ´altl´ a-noss´agban nem sokat tudunk az elliptikus opert´atorok saj´at´ert´ekeir˝ol, az oper´atorok egy sz´eles oszt´aly´ara fenn´all a m´atrixokra vonatkoz´o Perron-Frobenius-t´etel ´altal´anos´ıt´asa.

7.6. T´etel (Perron-Frobenius-t´etel) Legyen azAn´egyzetes, irreducibilis m´atrix min-den eleme nemnegat´ıv. Ekkor van A-nak egy λ(A) nemnegat´ıv saj´at´ert´eke, ehhez a sa-j´at´ert´ekhez pozit´ıv elem˝u saj´atvektor tartozik. A (kE−A)⁻¹ m´atrix akkor pozit´ıv elem˝u, ha k > λ(A).

A Perron-Frobenius-t´etel ´altal´anos´ıt´asa pedig a Krein-Rutman t´etel. Legyen X egy Banach-t´er. Egy K k´up egy komplex halmaz X-ben, amelyre minden λ > 0-ra telje-s¨ul λK ⊂ K ´es KT

(−K) = ∅. Egy X-ben tal´alhat´o K-k´up egy r´eszleges rendez´est induk´al. Jel¨olje ezt ”≤”. X-ben u ≤ v, akkor ´es csak akkor, ha u−v ∈ K. Feltessz¨uk, hogy {u−v, u, v ∈K} s˝ur˝u X-ben. A t´etelnek t¨obb ´altal´anos´ıt´asa is l´etezik nemline´aris oper´atorokra, itt a line´aris esetre k¨oz¨olj¨uk a t´etelt.

7.7. T´etel (Krein-Rutman-t´etel) Legyen X egy Banach-t´er, K ⊂ X egy k´up ´es T : X →X egyT kompakt line´aris oper´ator, amely pozit´ıv, azaz, T(K)⊂K. A Toper´ator spektr´alis sugara legyen ρ(T) > 0. Ekkor ρ(T) > 0 egy saj´at´ert´eke T-nek, ´es a hozz´a tartoz´o u saj´atf¨uggv´enyre teljes¨ul Tu = ρ(T)u, u ∈ K, tov´abb´a T^∗ spektr´alis sugara megegyezik T spektr´alis sugar´aval: ρ(T^∗) =ρ(T).

A domin´ans saj´at´ert´ek aszimptotikusan nagy id˝ok eset´en meghat´arozza a megold´as visel-ked´es´et, hiszen a t¨obbi saj´at´ert´ekhez tartoz´o tag amplit´ud´oja j´oval kisebb, mint a domi-n´ans saj´at´ert´ekhez tartoz´o tag´e. Sajnos enn´el t¨obb ´altal´anoss´agban nem mondhat´o. Az id˝of¨ugg˝o egyenletek megold´as´at csak a spektrum ismeret´eben lehet vizsg´alni. A fizik´ a-ban el˝ofordul´o oper´atorok egy r´esz´enek (ide tartozik a Botzmann-f´ele transzportegyenlet oper´atora ´es sz´amos bel˝ole sz´armaztatott oper´ator is) ma sem ismert a spektruma, ez els˝osorban a stabilit´asvizsg´alatot nehez´ıti meg.

A saj´at´ert´ekek ismeret´eben vizsg´alhat´o ugyanis a megold´as stabilit´asa. A megold´as, vagy a vizsg´alt egyenletek stabilit´as´an a k¨ovetkez˝ot ´ertik. Amennyiben a (7.34) egyenlet u(λ, t) megold´asa egy t = 0 id˝opontban megadott kezd˝ofelt´etel eset´en ismert, megvizs-g´aljuk, az egyenletben szerepl˝oλ param´eter kis megv´altoz´asa (azaz, λ+δ, δ <<1 eset´en az u(λ+δ, t) megold´as elegend˝oen nagy t eset´en mennyire v´altozik meg. Ha azt l´atjuk, hogy minden t > T eset´en u(λ, t)−u(λ+δ, t) << 1, akkor az (7.34) egyenlet megol-d´asa stabil, ellenkez˝o esetben instabil. A G(λ, u₀) = 0 stacion´arius egyenlet megold´as´at stabilnak nevezz¨uk, ha a ∂G/∂u(λ, u₀) oper´ator spektruma a komplex s´ık baloldal´ara (azaz, a negat´ıv k´epzetes r´esz˝u saj´at´ert´ekekre) van korl´atozva. Amennyiben(7.34)

line-´

aris, a deriv´alt egy ´alland´o m´atrix, ellenkez˝o esetben az u szerinti deriv´altat az al´abbi m´odon kell kisz´am´ıtani (Frechet-deriv´alt):

∂G(λ, u)

∂u v = lim

ε→0

G(λ, u+εv)−G(λ, u)

ε . (7.38)

Vagyis, a G f¨uggv´eny vagy oper´ator deriv´altja az az oper´ator, amely a (7.38) hat´ar´ at-menet v´egrehajt´asa ut´an a v ∈ U f¨uggv´enyre hat. Amennyiben G f¨uggv´eny, a Frechet-deriv´alt megegyezik az anal´ızisben haszn´alatos deriv´alttal. Ha viszontGegy oper´ator (pl.

deriv´al´ast tartalmaz), akkor kisz´am´ıt´as´ahoz az al´abbi tulajdons´agokat lehet felhaszn´alni.

7.2. Feladat (A Frechet-deriv´alt tulajdons´agai) Amennyiben a λ param´eter ´ert´ e-k´et r¨ogz´ıtj¨uk, a Frechet-deriv´alt csak u-t´ol f¨ugg, aG f¨uggv´eny vagy oper´ator, ez n´ez˝opont k´erd´ese, u szerinti deriv´altj´at G⁰-vel jel¨olj¨uk. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a (7.38) Frechet-deriv´alt rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal:

1. Ha G=u=const, azaz a G oper´ator minden u f¨uggv´enyt egy ´alland´oba k´epez le, akkor G⁰(u)≡0, vagyis, akkor G deriv´altja a nulla line´aris oper´ator.

2. LegyenGline´aris, azaz ´alljon fennG(u₁+u₂) =G(u₁)+G(u₂). EkkorG⁰(u) = G.

3. ¨Osszetett f¨uggv´eny deriv´altja. LegyenU, V´es Wh´arom norm´alt t´er. Legyen U(u), ahol u ∈ U, az U t´er u pontj´anak egy k¨ornyezete. Az G1 oper´ator k´epezze le ezt a k¨ornyezetet a V t´erbe. Legyen V(v) a v = G₁(u) pont egy k¨ornyezete. A G₂ oper´ator k´epezze le ezt a k¨ornyezetet a W t´erbe. Ha G₁ differenci´alhat´o az u, G₂ pedig a v pontban, akkor az U→Wlek´epez´est megval´os´ıt´o G3 =G2◦G1 ¨osszetett oper´ator is differenci´alhat´o az u pontban ´es G⁰₃(u) =G⁰₂(v)G⁰₁(u).

4. Legyen G₁ ´es G₂ U → V folytonos lek´epez´es. Ha G₁ ´es G₂ differenci´alhat´o az u∈U pontban, akkor (G₁+G₂)⁰u=G⁰₁(u) +G⁰₂(u), tov´abb´a adott a sz´am eset´en (aG₁)⁰(u) = aG⁰₁(u).

7.3. Feladat (A Frechet-f´ele deriv´alt haszn´alata) Hat´arozzuk meg az F(u) = uⁿ, folytonos f¨uggv´enyt folytonos f¨uggv´enybe lek´epez˝o oper´ator Frechet-deriv´altj´at! (7.38) alapj´an

F⁰(u)h= lim

t→0

(u+th)ⁿ−uⁿ

t , (7.39)

a binomi´alis t´etelt felhaszn´alva, elv´egezve a hat´ar´atmenetet, az al´abbi eredm´enyt kapjuk:

F⁰(u)h=nuⁿ⁻¹h. (7.40)

Ezut´an megfogalmazhatjuk, mikor tal´alkozunk bifurk´aci´oval a (7.34) egyenlet megold´ a-sakor. Legyen (7.34) egy ismert megold´asau(λ). Legyen a G_u =∂G/∂u(λ, u₀) oper´ator egyik saj´at´ert´eke σ(λ), amely el˝ojelet v´alt λ = λ0 -n´al. Legyen a saj´at´ert´ek deriv´altja dσ/dλ₀ >0.

7.8. T´etel (Bifurk´aci´o t´etel) A fenti felt´etelek mellett l´etezik (7.34)-nek egy sima, nemtrivi´alis λ(ε), u(ε) megold´asa, amely a (λ0, u0) pontban bifurk´al az u(λ) megold´ as-t´ol.

Legyen u ∈ E ´es legyen a G oper´ator egy lek´epez´es az L×E t´erb˝ol az F t´erbe, ´es λ ∈ L. Jel¨olje L₀ = G_u(λ₀, u₀)-t. Legyen N az L₀ oper´ator nulltere, azaz, ϕ₀ ∈ N ha L0ϕ= 0. Az L0 oper´ator R ´ert´ekk´eszlete azonf f¨uggv´enyekb˝ol ´all, amelyekre L0u=f.

A Fredholm-alternat´ıva t´etel alapj´an ennek felt´etele (f, ϕ₀^∗) = 0, a jobboldal ´es ϕ^∗₀ ortogonalit´asa.

Az invariancia vizsg´alat´ahoz egy nemline´aris f¨uggv´eny transzform´aci´o alatti viselke-d´es´et kell le´ırni a 2. fejezetben ismertett m´odon. Ennek haszna abban jelentkezik, hogy a (7.36) saj´atf¨uggv´enyek legal´abb line´arisan f¨uggetlenek vagy ortogon´alisak. A saj´ at-f¨uggv´enyeket invarianci´ajuk alapj´an is lehet oszt´alyozni, a k´et feloszt´as ¨osszevet´es´eb˝ol kit˝unik, hogy a magasabb saj´at´ert´ekhez ”kev´esb´e szimmetrikus” megold´as tartozik. ´Irja le a transzform´aci´ot a T oper´ator. A T oper´atort a (7.34) egyenlet szimmetri´aj´anak nevezz¨uk, ha fenn´all

TG(λ, u) =G(λ,Tu). (7.41) Az (7.34) egyenlet szimmetri´ait jel¨oljeG, a csoport egy reprezent´aci´oja, amely azEt´eren hat, e reprezent´aci´o ´alljon a T_g, g ∈Goper´atorokb´ol. Bontsuk fel a stacion´arius

G(λ, u) = 0 (7.42)

egyenletet egyN-be es˝ov =Pukomponensre, ´es egy N-re mer˝olegesψ komponensre (ezt vet´ıtse ki a Q= 1−P projektor). Ezzel (7.42) k´et egyenletre esik sz´et:

QG(λ, v+ψ) = 0 (7.43)

PG(λ, v+ψ) = 0. (7.44)

Az els˝o egyenletb˝ol meghat´arozhatjuk ψ = ψ(λ, v)-t. Ezt behelyettes´ıtj¨uk a m´asodik egyenletbe:

F(λ, v)≡PG(λ, v+ψ(λ, v)) = 0. (7.45) A kapott egyenletet bifurk´aci´oegyenletnek nevezik, mert megadja (7.42)-nek egy (λ₀, u₀) pontban bifurk´al´o megold´as´at. LegyenNazL₀ =G_u(λ₀, u₀) oper´ator nulltere, amelynek dimenzi´oja legyen N. Legyen az N-re vet´ıt˝o P oper´ator egy´uttal E lek´epez´ese E-re ´es F lek´epez´ese F-re. Mivel (7.45)-ben m´ar csak v-t kell meghat´arozni, az pedig az N dimenzi´os N-t´er eleme, az eredetileg v´egtelen dimenzi´os egyenletet v´eges dimenzi´oss´a reduk´altuk. Ezt az elj´ar´ast Ljapunov-Schmidt elj´ar´asnak nevezik. Az al´abbi t´etel azt mutatja be, hogyan haszn´alhatjuk ki azt a t´enyt, hogy azNnullt´er szimmetri´aja azE(2) euklideszi csoport.

7.9. T´etel Legyen adott egy G csoport, annak egy T ´abr´azol´asa, az ´abr´azol´as ´altal´anos eleme legyen T_g, amelynek hat´asa defini´alt E-n. ´Alljon fenn a (7.41) ¨oszef¨ugg´es a T ´ ab-r´azol´as minden elem´ere. Ekkor azL₀ =G_u(λ₀, u₀) oper´ator kommut´al T_g-vel ´es a (7.45) bifurk´aci´oegyenlet kovari´ans a Tg ´abr´azol´as N-re korl´atozott v´egesdimenzi´os ´abr´azol´as´ a-val, vagyis, a T ´abr´azol´as minden T_g elem´ere fenn´all T_gF(λ, v) = F(λ, T_gv).

A bifurk´aci´oegyenlet szimmetri´aja felhaszn´alhat´o mag´anak a bifurk´aci´oegyenletnek a megkonstru´al´as´ara, amennyiben az N nullt´er G_N szimmetriacsoportj´anak T reprezen-t´aci´oja ismert. G_N szimmetriacsoportj´at tekinthetj¨uk az E(2) euklideszi-csoportnak (ld.

4.1. fejezet), amennyiben feltessz¨uk, hogy a (7.34) egyenlet valamilyen v´eges eltol´assal szemben invarianci´at mutat. E felismer´es el˝onye, hogy a 4.1. fejezetben ismertetett vizs-g´alatokat, ´ıgy az E(2) csoport (4.12) ´abr´azol´as´at is, alkalmazhatjuk. Ez a k¨or¨ulm´eny a bifurk´aci´oegyenlet jelent˝os egyszer˝us´ıt´es´ere vezet, els˝osorban a t¨obbsz¨or¨os saj´at´ert´ekek eset´eben. Lehet˝ov´e teszi a bifurk´aci´o probl´em´aj´anak geometria szerinti oszt´alyoz´as´at valamint egy olyan elm´elet kidolgoz´as´at, amely f¨uggetlen a vizsg´alt probl´ema fizikai vo-n´asait´ol. ´Erdemes felfigyelni arra, hogy a reprezent´aci´oelm´elet line´aris, m´ıg a bifurk´aci´o alapvet˝oen nemline´aris jelens´eg. A reprezent´aci´oelm´elet alapjait a 2. ´es 4. fejezetek-ben t´argyaltuk, itt most a bifurk´aci´oegyenlet tenzor jelleg´et vizsg´aljuk meg. Most a (7.45) bifurk´aci´oegyenletben szerepl˝o F nemline´aris f¨uggv´enyt itt oper´atornak tekintj¨uk

´

es felbontjuk foksz´am szerinti tagokra, a kapott tagokat k¨ul¨on-k¨ul¨on vizsg´aljuk.

Fejts¨uk ki a (7.45) bifurk´aci´oegyenletletben szerepl˝o m˝uveleteket az al´abbi m´odon:

F(λ, v) = A(λ)v+B₂(λ, v, v) +B₃(λ, v, v, v) +. . . (7.46)

Itt A(λ) egy line´aris lek´epez´es: A(λ) : N → QF, ahol N az F(λ, v) oper´ator nulltere, F pedig a G oper´ator ´ert´ekk´eszlete. A (7.46)-ban szerepl˝o B_k(λ, v, . . . , v) oper´ator egy k-line´aris oper´ator: B_k : N×N×. . .N → QF. A jelen paragrafus k´epleteiben a ”. . .” jelent´ese: a sz´oban forg´o mennyis´egek k-szor ism´etl˝odnek. Legyen a (7.57) egyenlet λ₀ param´eterhez tartoz´o megold´asa u₀. Ha u₀ 6= 0, akkor helyettes´ıthetj¨uk az eredeti G(λ, u) egyenletet a G(λ, u+u₀)−G(λ, u)-val. Az ´uj egyenletnek nyilv´an megold´asa lesz az azonosan nulla f¨uggv´eny. Ez´ert tekinthetj¨uk a fenti ´ertelemben m´odos´ıtott egyenlet egy megold´as´anak azu≡0 f¨uggv´enyt ´es a bifurk´aci´ot ett˝ol val´o elt´er´esk´ent vizsg´alhatjuk.

El˝osz¨or is, vegy¨uk ´eszre, hogyv ≡0 mindig megold´as, ¨osszhangban azzal a feltev´es¨unkkel, hogy az azonosan nulla f¨uggv´eny megold´asa a (7.34) egyenletnek.

Vizsg´aljuk meg a B₂(λ, v, v) biline´aris oper´atort. Nyilv´an fenn´all B₂(τ v, τ v) = τ²B₂(v, v). Nyilv´an B₂(λ, v, v) kvadratikus v-ben, ez m´odot ad a kavadratikus K(u, v) oper´atorok ´es biline´aris oper´atorok k¨oz¨otti kapcsolat meg´allap´ıt´as´ara: B2(λ, u, v) =

∂²

∂s∂t K(su, tv)|_s=0,t=0. Ezt a meg´allap´ıt´ast felhaszn´aljuk a bifurk´aci´oegyenlet vizsg´ ala-t´an´al.

7.10. Defin´ıci´o (Kovariancia) LegyenF(λ, u)tetsz˝oleges f¨uggv´eny vagy oper´ator. Le-gyen u ∈ N, legyen D : g → D_g az N t´eren ´ertelmezett G csoport v´egesdimenzi´os ´ ab-r´azol´asa. Az F(λ, u) f¨uggv´enyt kovari´ansnak nevezz¨uk a D ´abr´azol´as alatt, amennyiben minden g ∈G eset´en fenn´all D_gF(λ, u) = F(λ,D_gu).

Legyen a (7.34) egyenlet kovari´ans egy G csoport D reprezent´aci´oja alatt. Deriv´aljuk a (7.34) egyenletet u szerint:

D_gG_u(λ, u) = G_u(λ,D_gu)D_g. (7.47) Azt kaptuk, hogy a G_u oper´ator a fenti ´ertelemben kommut´al aG csoport D ´abr´azol´ a-s´aval.

Mivel a bifurk´aci´os pont v = 0, ez´ert a (7.45) ´es (7.46) egyenletek azt ´ırj´ak le, hogy a saj´at´ert´eket ´es a sebess´egt´er perturb´aci´oit hogyan hat´arozz´ak meg a fizikai folyama-tok. Term´eszetesen nem ismerj¨uk az infinitezim´alis perturb´aci´ok tulajdons´agait, de az N-t´erben ´ertelmezettG_Nautomorfizmuscsoport alkalmat ad arra, hogy a perturb´aci´okat,

´

es ´ıgy a perturb´aci´ot le´ır´o egyenletben szerepl˝o tagokat felbontsuk irreducibilis kompo-nensekre. A tov´abbi er˝ofesz´ıt´esek c´elja egyszer˝us´ıtett le´ır´ast tal´alni a (7.46) egyenlet irreducibilis komponenseire.

Tegy¨uk fel, hogy egy G csoport hat´as´at egy N dimenzi´os vektort´er elemeire egy v´egesdimenzi´os D_g, g ∈G m´atrix reprezent´aci´oval adjuk meg. Egy B_k lek´epez´es, amely k-line´aris, akkor kovari´ans, ha

D_gB(u₁, . . . , u_k) = B(D_gu₁, . . . ,D_gu_k). (7.48) Mivel a 7.9.. t´etel szerint (7.45) kovari´ans, a (7.46)-ban szerepl˝o minden tag kovari´ans lesz, tov´abb´a, minden tag szimmetrikus v´altoz´oiban, ez´ert csak az al´abbi kifjez´eseket

vizsg´aljuk: B_k(λ, v, . . . , v), vagyis, ahol az argumentumban szerepl˝o v f¨uggv´enyek azo-nosak. Ez a k¨or¨ulm´eny jelent˝osen leegyszer˝us´ıti a tenzorok vizsg´alat´at, mert egy V vek-tort´er felett ´ertelmezett szimmetrikus tenzorok algebr´at alkotnak, ez az algebra izomorf a z₁, . . . , z_n n =dim(V) v´altoz´ok polinomjainak algebr´aj´aval. P´eld´anak ok´a´ert vizsg´aljuk a k-line´aris tenzorszorzatot: ϕ_i1⊗ · · · ⊗ϕ_ik-t. Ennek a tenzornak a szimmetrikus r´esz´ere van sz¨uks´eg¨unk, ezt k elem π permut´aci´oinak S_k halmaza seg´ıts´eg´evel ´all´ıtjuk el˝o. A π permut´aci´onak teh´at k eleme van, az i-ik elem legyen π(i).

1 k!

X

π∈S_k

ϕ_iπ(1)⊗ · · · ⊗ϕ_π(k) (7.49) A (7.49) szimmetriz´alt tenzorszorzatot egy´ertelm˝uen meghat´arozz´ak az nj sz´amok, ahol n_j megadja ϕ_j el˝ofordul´as´anak sz´am´at a ϕ_i1 ⊗ · · · ⊗ϕ_ik szorzatban. ´Igy v´eg¨ulis a (7.49) vektort cimk´ezhetj¨uk a z₁ⁿ¹. . . z_k^nk k v´altoz´os polinommal. Egy tetsz˝oleges k-adrend˝u szimmetrikus tenzort pedig cimk´ezhet¨unk az al´abbi k-adfok´u homog´en polinommal:

X

|α|=k

A_αz₁^α1. . . z_n^αn, |α|=α₁+· · ·+α_n. (7.50) A V vektorteret azonos´ıtjuk a z1, . . . , zn-ben line´aris polinomokkal. A V elemeib˝ol k´ ep-zett k-t´enyez˝os szimmetrikus szorzatot (7.50)-tal azonos´ıtjuk. Mivel a sz´obanforg´o V vektort´er f¨uggv´enyt´er, ez´ert feltessz¨uk, hogy a polinomban szerepl˝oz_i v´altoz´ok komplex sz´amok. Ekkor a B(v, . . . , v) homog´en, k-adfok´u tenzor egy n dimenzi´os t´erben







b₁(z₁, . . . , z_n) ... b_n(z₁, . . . , z_n)





, (7.51)

alak´u. Itt minden bj homog´en, k-adfok´u polinom. A bifurk´aci´oegyenlet megkonstru´al´ a-s´ahoz a szimmetriacsoport hat´as´at kell megvizsg´alni a z₁, . . . , z_n v´altoz´ok polinomjain.

A csoport hat´as´at a z_i-kre (teh´at a teret alkot´o f¨uggv´enyekre) ismerj¨uk. Ilyen m´odon a (7.46)-ben szerepl˝o tagokat Fj(z1, . . . , zn) alakba ´ırhatjuk, mindegyik egy k¨ul¨on egyen-letnek tekinthet˝o.

7.11. T´etel Legyenek a bifurk´aci´ot le´ır´o F_j(z₁, . . . , z_n)egyenletek kovari´ansak egy adott D reprezent´aci´oval szemben. Amennyiben D irreducibilis, a line´aris tagok F_j = λz_j alak´uak, m´ıg ha D reducibilis, akkor a line´aris tag minden irreducibilis blokkon egy ska-l´arszorosa az egys´egm´atrixnak, a szorz´ot´enyez˝o minden irreducibilis alt´erben m´as.

Tegy¨uk fel, hogy a perturb´aci´ok szab´alyos h´aromsz¨ogr´acsot mutatnak. A k¨ovetkez˝o p´eld´aban meghat´arozzuk a kvadratikus irreducibilis kifejez´esek sz´am´at, a r´ak¨ovetkez˝o p´eld´aban pedig meg is hat´arozzuk a megfelel˝o f¨uggv´enyeket.

7.4. Feladat (A szimmetrikus lek´epez´esek sz´ama C_3v szimmetria eset´en) Amennyiben a bifurk´aci´ot le´ır´o (7.45) egyenlet invari´ans a szab´alyos h´aromsz¨og szimmetri´aival

7.4. Feladat (A szimmetrikus lek´epez´esek sz´ama C_3v szimmetria eset´en) Amennyiben a bifurk´aci´ot le´ır´o (7.45) egyenlet invari´ans a szab´alyos h´aromsz¨og szimmetri´aival

In document Modern algebrai m (Pldal 172-187)