IV.1. A cirkuláció, az örvényesség és a Bjerknes-féle örvényességi tétel
Tekintsünk egySzárt görbét, amely egyFnyílt felületet határol! A görbe mentén a cirkuláció definíció szerint:
,
ahol az S zárt görbe adott pontjában a sebesség, míg a görbe érintője menti elemi elmozdulás (tehát vektormennyiség). A görbe menti cirkuláció a Stokes-tétellel átalakítható a görbe által határolt felületen vett rotáció felületi integráljává:
, ahol az elemi felület vektor.
Ha azSgörbét az (x,y) síkban „összehúzzuk” egy pont köré, akkor a
.
A hányados határértéke az örvényesség értékét adja, ami a rotáció invariáns definíciója szerint nem más, mint a sebesség adott pontbeli rotáció vektoránakzkomponense. A cirkuláció az áramlás makroszkópikus tulajdonsága, az örvényesség pedig mikroszkópikus – pontbeli – tulajdonsága.
A ciklonok örvényessége pozitív, az anticiklonoké negatív. Idealizált kör alakú izobárokkal rendelkező ciklon illetve anticiklon örvényessége a középponttól távolságra:
,
ahol a pálya menti sebesség, ami ciklonban (az óramutató járásával ellentétes irányú mozgás az északi féltekén), pozitív, míg anticiklonban negatív (lásd aII. fejezetetis).
Ha egy légrészt, mint makroszkopikus objektumot vizsgálunk, akkor a cirkuláció természetesen függ attól, hogy milyen zárt görbe mentén haladunk a felületen, pl. milyen kétdimenziós metszetet készítünk. A cirkuláció, mint mérőszám jól jellemzi pl. egy tornádó forgását (a forgástengelyre merőleges metszetben), vagy a parti-tengeri, illetve a hegy-völgyi szél fejlődését, de alkalmas a ciklonális, anticiklonáris rendszerek egyszerű leírására is.
ABjerknes-féle cirkulációs tétel(Bjerknes, 1898; Götz és Rákóczi, 1981; Thorpe et al., 2003) a cirkuláció teljes időbeli változását három hatás,
A szolenoidális,
a Föld forgásából adódó és a súrlódási erőből származó
hatás összegeként írja le. A cirkuláció tétel a földrajzi szélességen Descartes-féle koordináta-rendszerben, a
,
alakban mondható ki, ahol a súrlódási erő, a Föld forgás szögsebessége, az görbe által bezárt területnek az Egyenlítő síkjára eső vetülete.
IV.1.1. Adjuk meg a z-rendszerben felírt örvényességet és divergenciát tetszőleges vertikális koordináta-rendszerben, illetve speciálisan nyomási és potenciális hőmérsékleti rendszerben!
IV.1.2.Adjuk meg potenciális hőmérsékleti koordináta-rendszerben a geosztrófikus örvényességet, ha a figyelembe vesszük a Coriolis-paraméter szélességi körök szerinti megváltozását. Mekkora az egyes tagok nagyságrendje nagyskálájú folyamatokban az 500 hPa-os szinten a mérsékelt övben?
IV.1. 3.Számítsuk ki az örvényességet aP(1, 2) pontban Descartes-féle rendszerben.
a) , , ahol , ,
b) , , ahol , ,
c) , , ahol , , .
IV.1.4.A ciklon középpontjától 500 km-re a szélsebesség 15 m s–1. Itt a sebesség sugárirányban kifelé haladva 100 km-en 2 m s–1értékkel nő. Adjuk meg a ciklon örvényességét a vizsgált területen!
IV.1.5.Mutassuk meg, hogy henger koordináta-rendszerben ( ), ahol a sugár-, az érintő irányú, (tangenciális) és a vertikális sebesség rendre , a sebességmező rotációja a következő alakban adható meg:
.
A bizonyításnál használjuk ki az ortogonális görbevonalú koordináta-endszerben ( ) felírt rotáció általános alakját (lásd azI.4. fejzetetis)!
IV.1.6.Számítsuk ki az állandó szögsebességgel forgó koordináta-rendszerben a sebességgel elmozduló légrész rotációját!
IV.1.7. Határozzuk meg az úgynevezett örvény rotációját! Ennek az elméleti szempontból érdekes örvénymozgásnak sajátossága, hogy a forgástengelytől mért távolság ( ) és a tangenciális sebesség ( ) szorzata
állandó (IV.1.1. ábra). Az örvény sebességmezeje henger-koordináta-rendszerben: , , , ahol a állandó az örvény erősségére utal.
IV.1.8.Mutassuk meg, hogy a örvény cirkulációja tetszőleges a-b-c-d-a görbe mentén nulla, így a forgástengelyen kívül nincs örvényessége sem (IV.1.1. ábra).
IV.1.1. ábra. A örvény cirkulációjának meghatározása az a–b–c–d–a görbe mentén.
IV.1.9. Adjuk meg a Burgers-örvény (IV.1.2. ábra) divergenciáját és rotációját! Súrlódásos áramlás esetén a Rankine–örvény nem stabil. A kinetikus energia disszipálódik. (A Rankine-örvényben az örvényesség állandó, az örvényen kívül nulla, lásd aII.2.19. feladatot is). Az energiapótlás egy módja, ha a tengely irányában folyamatos befelé áramlást biztosítunk (Halász, 2006; Lautrup, 2011).
IV.1.2. ábra. A tangenciális sebesség ( ) a Burgers-örvényben – C az örvényerősség, r0az örvénymag sugara (Halász, 2006 alapján).
A kontinuitás miatt az axiális sebesség sem lehet mindenhol zérus. Az így definiált örvényes áramlás (Burgers-örvény) a kontinuitási feltétel teljesítése mellett a Navier–Stokes-egyenleteket is kielégíti:
, , ,
aholsállandó (laboratóriumi folyadék kísérletekben a közeg kinematikai viszkozitása). Az axiális sebesség a távolságtól, a radiális sebesség viszont a magasságtól független. A tangenciális sebesség nagy távolságban ideális örvényhez, kis távolságban viszont merev forgáshoz tart; a képlet által definiált függvény egy „lekerekített” változata a Rankine-örvénynél megadottnak.Caz örvényerősség értéke elég nagy távolságban,r0az örvénymag sugara, mely a külső részt a belsőtől elválasztja.
AIV.1.2. ábránlátható tangenciális sebesség értéke körülbelülctávolságban a legnagyobb, ami szintén összhangban van a Rankine-örvénnyel. Természetesen a Burgers-örvény is egy idealizált, a tengelytől távolodva például a radiális sebesség végtelenhez tart.
IV.1.10.Mutassuk meg, hogy a Bjerknes-féle cirkulációs tételben a szolenoidális tag hatását az állapotegyenlet ( ), illetve a Stokes-tétel alkalmazásával a következőképpen is felírhatjuk:
, illetve !
IV.1.11.Milyen irányú cirkulációt generál a szolenoidális tag a következő esetben (IV.1.3. ábra)?
IV.1.3. ábra. A nyomási ( ) és a sűrűségi ( ) gradiens iránya az A pontban. β a két gradiens által bezárt szög. (A légkör baroklin.)
IV.1.12.A kiterjedésű ciklon (1013 hPa-os izobár vonalnál kisebb nyomású terület) 45° szélességi körről az 50° szélességi körre sodródik 18 óra alatt. Hogyan változik a cirkuláció, ha a) a ciklon területe nem változik, b) 10%-kal nő, illetve csökken az 1013 hPa-os izobár által határolt terület?
IV.1.13.Tekintsük a következő gondolatkísérletet! Vegyünk egy 100 km-es sugarú légrészt az Egyenlítőnél, amely nyugalomban van. Hogyan változna a légtest cirkulációja, ha az északi-pólusra sodródna? Mekkora lenne az örvényessége, s mennyi lenne a középponttól 100 km-re a légtest sebessége, ha a mozgást merev test forgásával közelítenénk?
IV.1.14.Határozzuk meg a cirkuláció időbeli változását egy anticiklonban ha az 500 km sugarú zárt izobár mentén az izobár érintőjébe eső (egységnyi tömegre jutó) súrlódási erőkomponens ! Becsüljük meg az örvényesség változását is!
IV.1.15.Becsüljük meg a cirkuláció időbeli megváltozását, ha a vertikális sebesség és a Coriolis-paraméter vertikális komponense elhanyagolható és a rendszer hidrosztatikus! (Az (x,y) síkban levőFfelületűSzárt görbére vonatkozó cirkuláció ( ) időbeli változását kell meghatározni. Induljunk ki a
egyenletből! Másképpen fogalmazva: vezessük le a
egyenletet, ahol , és . Adjuk meg az egyes tagok jelentését is!
IV.1.16.Tekintsünk egy 300 km-es sugarú légrészt a 30°szélességi körön, amelynek kezdetben cirkulációja nulla.
A légtest 5 m s–1sebességgel északi irányba advektálódik.
a) Becsüljük meg a cirkuláció időbeli változását!
b) Feltételezve, hogy az elmozdulás során változása elhanyagolható, adjuk meg a cirkuláció értékét 24 óra múlva! A görbe változásától (divergencia-hatás) eltekintünk. c) Becsüljük meg a tangenciális sebességet is!
(AIV.1.14. feladatban levezetett formulát alkalmazzuk!)